第32期 17.3 一元二次方程根的判别式-17.5 一元二次方程的应用-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

4 素养·拓展 数理极 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 专题辅导 饶有趣味的数字问 题，总能激起我们思维的 饶 元三次方程应用题 数 报纸发行质量反馈电话 0351-5271248 面面观 火花，下面让我们一起领 略一元二次方程解数字 看世界 (上接4版参考答案 ©四川季清林 问题的风采吧！ 第31期3版参考答案 一、传播问题 25%. 一、特性数 陕 -、1.B;2.B; 例1化学课代表在老师的培训下，学会了 (2)设当农产品每袋降价m元时，这种农产 例1五个连续整 数 3.C;4.D; 5.B;6.B; 高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，品在十月份可获利4250元 数10,11,12,13,14有 味 建 第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课 根据题意，得(40-25-m)(400+5m)=4250, 个特性，即102+112+患二 7.C;8.A. 二、9. (x + 会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多 解得m1=5,m2=-70(舍去）. 122=132+142,你能再 1)(x-3);10.0; 的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了. 答：当农产品每袋降价5元时，这种农产品 找到五个连续整数，使它 11.-3: 问一个人每节课手把手教会了多少名同学？ 在十月份可获利4250元 们也具有上述特性吗？ 12.1-7 解：设一个人每节课手把手教会了x名同学， 三、面积问题 分析：题中的等量关 2 系是：由小到大排列，前 三、13.(1)x1= 根据题意，得(1+x)2=49, 例3有一个长、 三个连续整数的平方和等于后两个连续整数的 2+2 解得x1=6,x2=-8(舍去) 宽分别为20m和12m 2,3=2-2 平方和，解答该问题首先要用字母表示出这五 2 答：一个人每节课手把手教会了6名同学. 的长方形水池ABCD 个连续整数，然后利用等量关系，借助一元二次 (2)x1=-2,2= 二、营销问题 某旅游景点要在水池 方程的知识求解. 3y 例2某网店于今年六月底收购一批农产 中建一个与长方形的 解：设中间的一个数是x,则可列方程为(x 品，七月份销售256袋，八、九月该商品十分畅边互相平行的正方形观赏亭和连接观赏亭的四 -2)2+(x-1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2 (3x,=2+5 2 销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九条道路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条 X 整理，得x2-12x=0.解得x1=0,x2=12.所 月份的销售量达到400袋 与AB平行，另两条与BC平行.已知道路的宽为 以具备上述特性的另外五个连续整数分别为 名2-店 2 (1)求七月到功九月销售量的月平均增长率； 正方形边长的：，若道路与观赏亭的面积之和 -2,-1,0,1,2 14.(1)降次. (2)该网店十月降价促销，经调查发现，若 二、两位数 (2)移项，得 该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当是原长方形水池面积的石，则道路的宽为 例2已知一个两位数，个位上的数字比 2(x-3)-(x-3)2 =0.提取公因式，得 农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月 十位上的数字小4，这个两位数十位的数字与 m. (x-3)[2-(x 份可获利4250元（农产品进价每袋25元，原售 个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为 3)]=0.所以x-3 解：设道路的宽为xm 1612,那么原两位数是 ( =0或5-x=0.解 价为每袋40元)？ 因为道路的宽为正方形边长的4，所以正 A.95 B.59 C.26 D.62 得x1=3,x2=5. 解：(1)设七月到九月销售量的月平均增长 分析：设个位上的数字为y,十位上的数字 15.设x2+2x= 率为x, 方形边长为4xm, 为x,则原两位数为10x+y,且x-4=y,交换 n,则原方程可化为 由题意，得256(1+x)2=400, 根据题意，得x(12-4x)+x(20-4x)+ 位置后，新两位数为10y+x,根据等量关系，列 n2+4n-5=0.整 解得=025-号=16= 9 6×20×12, 理，得(n-1)(n+ 出方程求解即可. 5)=0.解得n=1 解：设个位上的数字为y,十位上的数字为 解得x1=1,x2=-5(舍去). 或n=-5.当n= -2.25(舍去). x,则原两位数为10x+y,且x-4=y,交换位置 -5时，x2+2x=-5 答：七月到九月销售量的月平均增长率为 所以道路的宽为1m.故填1. 十十…十十十十十十…十十十十十+十十十十十+十十十十十十 后，新数字为10y+x.根据题意，得(10x+y)(10y 无解，舍去.所以x +2x=1.所以x+ 第31期2版参考答案 6.(1)x1=x2=2; +x)=1612.整理，得(11x-4)(11x-40)= 3x2+x=x(x2+2x 17.2一元二次方程的解法 (2)x1=3,x2=-1; 1612.解得x1=6,2=-2(不合题意，舍去).所 +1)+x2=2x+x2 17.2.3公式法 1 以这个两位数是10x+y=62.故选D. =1. 基础训练1.C;2.D; (3)x1=x2=- 三、日历中的数 16.(1)方程 3.9,x1=x3=3;4.3±√3； 能力提高7.(1)原方程的根为x1=-2, 例3下图是一张日历表，在此日历表上 4x2-8x+3=0是 5.1+2」 x2=1. 用一个正方形任意圈出2×2个数（如17,18， “连根方程”. 6.(1):=-5+ ,t2=二5-7 (2)设3+2=y,原方程可化为)+名一32 24,25).如果圈出的四个数中最小数与最大数 (2)因为x2+ 4 4 的积为128，那么这四个数的和为 ( (2m-3)x-6m= =0,即y2-3y+2=0,解得y1=1,2=2.当 0,所以(x-3)(x+ (2)x1=1,x2=-1 日一二三四五六 Γ3 y=1时，3+2=1，解得x=-1,经检验是原方程 2m)=0,解得x,= 12345 3,x2=-2m.因为 3x=号=-2万 的解；当)=2时，3+2=2，解得=-2，经检验 6789101112 x2+(2m-3)x-6m 能力提高7.(1)根据题意，得m≠1.因是原方程的解故原方程的根为x1=-1,2= 13141516171819 =0是“连根方程”， 为a=m-1,b=-2m,c=m+1,所以2-4ac 所以1=x2+1或 2 20212223242526 =(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4.所以x1= 综合集训营 2728293031 x1=x2-1,即3= -2m+1或3= 2m+2 -m+1 2(m-1万=m-i6=1 1.(1)x1=6,x2=-10: A.40 B.48 C.52 D.56 -2m-1,所以m (2)x1=8,x2=2; 2)由(0知-出=1+2因 2 (3)x,=二1+10 分析：根据题意，设最小的数为x,则另外 =-1或m=-2. 三个数分别为x+1,x+7,x+8,根据题意可列 17.(1)2,4. 3 =二1-0 3 为方程的两个根都为正整数，所以 m一7是正整 (4)x=号=1 方程x(x+8)=128,结合日历表的数据情况选 (2)①x1=-1, x2=6. 出合适的数 ②等腰三角形 数.所以m-1=1或m-1=2.解得m=2或 2.(1)x1=1,x2=-3. 解：设最小的数为x,则另外三个数分别为 ABC的周长为18. m=3.所以m为2或3时，此方程的两个根都为 (2)由题意，得1<2(2-a)+1<5.解得 x+1,x+7,x+8.根据题意，得x(x+8)=128. 附加题 -2x2 正整数 0<a<2. 17.2.4因式分解法 解得x1=8,2=-16(不合题意，舍去).所以x 因为a是正整数，所以a=1. +1=9,x+7=15,x+8=16.所以这四个数 +:+3有最大值管 基础训练1.A;2.B;3.B;4.-2 所以方程为2x2+3x+1=0. 分别为8,9,15,16.因为8+9+15+16=48， (全文完) 5.-3. 解得x1=-1,=-2(下转1,4版中缝)片 所以这四个数的和为48.故选B. 数评橘 2026年2月4日·星期三 初中数学 32期总第1176期 沪科 八年级(AH) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 例1若关于x的一 名师点睛 元二次方程x2+2x-3 方法 =0有两个实数根，则飞 二说方程朋友多 的取值范围是( A>- 湖南苏睿 山 西 一元二次方程是初中数学的重要知识之 k=0的两个实数根，第三边BC的长为8，则 B.k≥- 也是每年中考必考的考点之一.在考查时， △ABC的周长为 王 3 常常将一元二次方程与其他数学知识联系在 解：因为x2-(2k+1)x+k+k=0, 程根的判别式的 涵 C.k≥-3且k≠0 起，赋予一元二次方程崭新的背景，使得考题新 所以x=k+1或x=k. 颖。下面举例说明，供同学们参考 因为△ABC是等腰三角形，所以需分情况 D.k≤号且k≠0 一、与不等式组交朋友 讨论： 解析：因为kx2+2x -a>0, ① ①当k+1=k时，不成立； 例1 已知不等式组 1 有 用 -3=0为一元二次方 -3<1 ②当k+1=8时，解得k=7,此时△ABC 2 程，所以k≠0. 的周长为：8+8+7=23： 3个整数解，则关于x的方程ax2+(2a-1)x+ ③当k=8时，则k+1=9,此时△ABC的 因为该一元二次方 a=0根的情况为 ( ) 程有两个实数根， 周长为：9+8+8=25 A.无法判断 所以4=22-4k×(-3)≥0， 综上所述，△ABC的周长为23或25， B.有两个不相等的实数根 故填23或25. 解得k≥ 3, C.有两个相等的实数根 三、与一次函数交朋友 D.没有实数根 1 例3若实数k,b是一元二次方程(x+ 所以k≥-3且k≠0. 解：解不等式①，得x>a;解不等式②，得x3)(x-1)=0的两个根，且k<b,则一次函数 故选C. <8.因为不等式组有解，所以a<x<8.因为不y=x+b的图象不经过 例2若关于x的一元二次方程x2+2x+ 等式组有3个整数解，所以4≤a<5.因为a≠ A.第一象限 B.第二象限 m=0有两个相等的实数根，求m的值及此时 0,所以方程ax2+(2a-1)x+a=0为一元二次 C.第三象限 D.第四象限 方程的根 方程.因为4=(2a-1)2-4a2=-4a+1,而 解：因为实数k,b是一元二次方程(x+ 解：根据题意，得△=22-4m=0,解得m 4≤a<5,所以△<0.所以该方程没有实数根.3)(x-1)=0的两个根，且k<b,所以k=-3, =1.此时方程为x2+2x+1=0,解得x1=x 故选D. b=1. =-1.所以m的值为1，方程的根为-1. 二、与三角形交朋友 所以函数y=x+b的图象经过第一、 例3已知关于x的一元二次方程x2-mx 例2 已知等腰△ABC的两边AB,AC的长四象限，不经过第三象限， +m-5=0,求证：无论m取何值，方程一定有 是关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+2+ 故选C. 十十…十十十 两个不相等的实数根。 型空间 证明：因为4=(-m)2-4×1×(m-5) m2-4m+20=(m-2)2+16>0, 所以无论m取何值，方程一定有两个不相 根与系数的关系知多 等的实数根. 安徽刘成文 方法总结：在解与一元二次方程根的判别 元二次方程的根与系数存在下列关系： 当m,n为一元二次方程x2-7x+2=0的 式有关的问题时，一般分两种情况：一种是直接 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为1，x2, 两个不相等的实数根时，m+n=7,mn=2, 利用判别式判断方程根的情况；另一种是根据 那么x1+x2=- 方程根的情况，求方程中未知系数的取值范围. 名x名=号与之有关的常见 所以卫+m=(m+n)2-2mn mn 前者可由判别式的正负确定根的情况；后者根 题型有如下三种. 72-2×2-45 据根的情况，列出不等式求取值范围（需注意 一、已知一根求另一根 二次项系数不能为零这一隐含条件) 例1已知x1=3是关于x的一元二次方程 x2-4x+m=0的一个根，则方程的另一个根x 综上所述，”+公的值为2或货 m 本周庄讲 故填2或5 解：根据题意，得3+x2=4.解得x2=1. 17.3一元二次方程根的判别式 故填1. 三、已知两根求一元二次方程 学习目标：掌握一元二次方程根的判别 二、求与两根相关的代数式的值 例3若关于x的一元二次方程的两个不 例2 已知实数m,n满足条件m2-7m+2相等的实数根分别为1和2，请你写出满足条件 式 17.4一元二次方程的根与系数的关系 =0,心-7n+2=0,则”+”的值为且二次项系数为2的关于x的一元二次方程： 学习目标：掌握一元二次方程的根与系 解：设x2+px+g=0的实数根分别为1和 数的关系，并能运用其解题 解：因为实数m,n满足条件m2-7m+2= 2,则p=-(1+2)=-3,9=1×2=2. 0,n2-7n+2=0, 17.5一元二次方程的应用 所以m=n或m,n为一元二次方程x2-7x 所以实数根分别为1和2的一元二次方程 学习目标：能够利用问题中的等量关系 +2=0的两个不相等的实数根， 为x2-3x+2=0.将其两边同乘2，得2x2-6x +4=0. 列出一元二次方程解应用题 当m=n时，m+ + =1+1=2 故填2x2-6x+4=0. 素养·专练 数理极 (1)若2,3是方程x2+px+q=0的两根，求 跟踪训练 p,g的值； (2)已知两个不同的实数m,n满足m2+5m GENZONGXUNLIAN -3=0,n2+5n-3=0,求m+”的值 17.3一元二次方程根的判别式 m 基础训练 1.若关于x的方程(a-2)x2-4x+1=0有 实数根，则a的取值范围是 ( ) A.a≤2 B.a≤5且a≠2 17.5.2第二课时 C.a≤6且a≠2 D.a≤6 屋础训练 2.关于x的方程2x2-3x-2=0的根的情况 是 ( ) 1.某县政府2024年投资0.2亿元用于保障性 A.有两个不相等的实数根 住房建设，计划到2026年投资保障性住房建设的 B.有两个相等的实数根 资金为0.288亿元.如果从2024年到2026年投资 C.没有实数根 此项目资金的年平均增长率相同，那么年平均增 D.不能确定 长率是 () 3.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 A.50% B.40%C.30%D.20% 有两个相等的实数根，则)-4(ac-1)的值为 2.如图1所示，某景区内有一块长方形油菜 花田地（单位：m),现要在其中修建一条观花道 4.若关于x的一元二次方程a2-x-4= 1 (阴影部分)供游人赏花，要求观花道的面积占长 17.5一元二次方程的应用 方形油菜花田地面积的 .设观花道的直角边为 0(a≠0)有两个不相等的实数根，则点P(a+1, 17.5.1第一课时 -3-a)在第 象限 xm,则x的值为 5.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x 屋础训练 A.2 B 3 C.1 D. 3 +k-3=0. 1.为了庆祝教师节，市教育工会组织篮球比 (1)求证：该方程总有两个实数根： 赛，赛制为单循环比赛（即每两个队比赛一场）， (2)请你给出一个整数k的值，使得此时方程 共进行了10场比赛，则这次参加比赛的球队个数 的解均为整数，并求出此时方程的解。 为 ( A.4 B.5 C.6 D.7 2.某商场要经营一种新上市的文具，进价为 图1 图2 20元/件.试营销阶段发现：当销售单价是25元 3.某城区采取多项综合措施降低降尘量，降尘 时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元， 量由2023年的6.4吨/平方公里下降至2025年的 每天的销售量就减少10件.要使每天所得的销售 3.6吨/平方公里，则降尘量的年平均下降率为 利润为2000元，则销售单价为 ( A.30元 B.40元 4.如图2，要设计一本书的封面，封面长 C.30元或40元 D.10元或20元 40cm,宽30cm,正中央是一个与整个封面长宽 3.已知一个两位数，十位上的数字是个位上 比例相同的长方形.如果要使四周的彩色边衬所 的数字的2倍，十位上的数字的平方与个位上的 数字的9倍之和正好是这个两位数，则这个两位 占面积是封面面积的名上、下边衬等觉，左，右边 数是 衬等宽，则上、下边衬的宽度为 cm. 4.阿拉伯数学著作《算术之钥》中，记载着 道数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人 能刀提高 摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人 5.如图3，某农户准备利用墙面（墙面足够 17.4一元二次方程的根与系数的关系 摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面 长)和34m长的栅栏围一个长方形羊圈ABCD和 那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴 个边长为1m的正方形狗屋CEFG(图中阴影部 垦础训练 全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到 分为羊的活动范围).设AB=xm 1.关于x的一元二次方程x2-3x-5=0的 10个石榴，则这群人共有 人.” (1)若羊的活动范围的面积为95m2,求AB 两个根是x1,x2,则x1+x2-x1x2的值为( 的长； 能刀提高 A.8 B.-8C.-2D.2 (2)羊的活动范围的面积能否为130m2?若 2.关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是 5.某商品进价30元，销售期间发现，当销售 能，求出此时AB的长；若不能，请说明理由。 -2和1，则n"的值为 单价定价50元时，每天可售出100个，临近五一， 3.已知一长方形的长和宽分别是一元二次方 商家决定开启大促，经市场调研发现，销售单价每 程x2-10x+21=0的两个根，则这个长方形的周 下降2元，每天销量增加20个，设每个商品降价 长为 x元 4.我们在探究一元二次方程根与系数的关系 （1)求每天销量y(个)关于x(元)的函数关 中发现：如果关于x的方程a2+bx+c=0的两 系式； 个根是x1,2,那么由求根公式可推出x1+= (2)求该商品的销售单价是多少元时，商家 4·名=÷请根据这一结论，解陕下列问题： b 每天获利1760元？ 数理报社试题研究中心 e (3)商家每天的获利是否能达到3000元？ (参考答案见34期) 数理极 素养·测评 16.(10分)关于x的一元二次方程x2-2x+ 同步检测 m=0的两个实数根分别为x1,x2 (1)求m的取值范围； TONGBUJIANCE (2)若2x1+2x2+xx2=0,求m的值 【检测范围：17.3~17.5】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 题号12345678 9.方程x2-mx+3m=0的两个根为x1,x2,若 答案 x1+x2=-2,则x12= 10.在本届全市青少年校园足球比赛中，每两 1.已知m,n是一元二次方程x2-2025x 支足球队之间都要进行一次主场比赛和一次客场 2026=0的两个实数根，则m+n= 比赛，共有30场此赛，则参加本届足球比赛的足球 A.2025 B.-2025 队共有」 支 C.2026 D.-2026 2.若关于x的一元二次方程2-x+m=0没 11.对于实数a,b定义新运算：a※b=ab2-b, 若关于x的方程k※x=1有两个不相等的实数根， 有实数根，则m的值可能为 17.(12分)如图2-①是用总长为400cm的 则k的取值范围是 木板制作的长方形置物架，抽象为图2-②中的长 12.《李白饮酒》数谜诗一李白每天不离方形ABCD,该置物架上面部分是边长为xcm的正 C.0 D.-1 酒，三餐依次增一斗；三餐斗数两两乘，乘积相加方形ABFE,中间部分为长方形EFHG,点M,N分 3.两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的 一四六；要知酒仙量如何，求出每餐饮几斗则早 别为线段HG,CD的中点，且DG=40cm 和为 ( 餐饮 (1)当x=45时，EG的长为 cm; A.26 B.28 三、耐心解一解（共52分） (2)置物架ABCD的高AD为 cm(用含 C.-26或26 D.-28或28 13.（10分)已知关于x的一元二次方程x2- x的式子表示)； 4.取一张长与宽之 cm (2k-1)x+子k+1=0,其根的判别式的值是1， (3)为了便于放置物品，要求EG的高度不小 比为5：2的长方形纸板， 于18cm,若长方形ABCD的面积为4000cm2,求x 剪去4个边长为5cm的 求k的值 图1 的值. 小正方形（如图1），并用它做一个无盖的长方体形状 的包装盒.要使包装盒的容积为200cm3(纸板的厚 度略去不计)，则这张长方形纸板的周长为( A.7cm B.14 cm C.42 cm D.84 cm 5.山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤 为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一” 的美誉.某店铺销售一批箱装小米，每箱的进价为 14.(10分)已知关于x的一元二次方程x2 80元，售价为120元，每天可销售20箱.春节期间， (m+1)x=x-2m(m为常数) 为了让利于顾客，该店铺计划降价销售.根据销售 (1)求证：不论m为何值，该方程总有实数根； 经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱.若要使 (2)若该方程有一个根为3，求m的值和方程 附加题⊙ 顾客尽量得到实惠，且该店铺每天获得的利润为 的另一个根 1050元，则每箱小米应降价 (以下试题供各地根据实际情况选用) A.5元 B.15元 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC C.20元 D.25元 =8cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 6.已知a,b,c为常数，点P(a,c)在第二象限， 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的 2cm/s的速度移动 情况为 (1)如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒 A.有两个相等的实数根 后，△PBQ的面积等于8cm2? B.有两个不相等的实数根 (2)如果P,Q分别从A,B同时出发，△PBQ的 C.没有实数根 面积能否等于10cm2? 15.(10分)芯片行业是制约我国工业发展的 D.无法判定 (3)如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒 7.近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国 主要技术之一，经过大量科研技术人员艰苦攻关，后，PQ的长度等于6cm? 我国芯片有了新突破.某芯片实现国产化后，芯片 汽车乘联会统计，2022年我国新能源汽车销售量 价格大幅下降.原来每片芯片的单价为200元，准 约为650万辆，2024年约为1150万辆，假设我国新 备进行两次降价.如果该芯片经过两次降价后每 能源汽车销售增长率保持不变，预计我国新能源 片芯片的单价为128元，求每次降价的百分率 汽车销售量突破2000万辆的年份是 A.2025年 B.2026年 C.2027年 D.2028年 8.已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0,9n +2010m+5=0,则m的值为 n A.-402 R多 c号 D.670 数理报社试题研究中心 (参考答案见34期)初中数学·沪科八年级(AH)第32~35期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·沪科八年级(AH)第32~35期 所以方程无实数解， 第32期2版 所以商家每天的获利不能达到3000元. 17.3一元二次方程根的判别式 17.5.2第二课时 基础训练1.C;2.A;3.4;4.四. 基础训练1.D;2.C;3.25%;4.5. 5.(1)证明：因为4=(2k+1)2-4×1×(k-3)=42 能力提高5.(1)依题意，得BC=(32-2x)m,羊的活动 +13>0. 范围的面积为S长方形BCD一S正方形CEG, 所以该方程总有两个实数根。 所以x(32-2x)-12=95, (2)答案不惟一，如当k=3时，方程为x2+7x=0,解得 整理得x2-16.x+48=0, x1=0,x2=-7. 解得x1=12,x2=4, 17.4一元二次方程的根与系数的关系 所以AB的长为12m或4m. 基础训练1.A;2.16;3.20 (2)羊的活动范围的面积不能为130m2.理由如下： 4.(1)因为2,3是方程x2+x+q=0的两根， 依题意，得x(32-2x)-1=130, 所以2+3=-=-p,2×3=g, 整理得2x2-32x+131=0, 所以p=-5,9=6. 因为4=(-32)2-4×2×131=-24<0， (2)因为两个不同的实数m,n满足m2+5m-3=0,n2+ 所以方程无实数解， 5n-3=0, 所以羊的活动范围的面积不能为130m2. 所以m≠0，n≠0，m≠n,m,n可看作方程2+5x-3= 第32期3版 0的两根， 所以m+n=-5,mn=-3, 一、 题号12345678 所以m+卫=m+2=(m+m2-2mm 答案AA DD DBBC n m mn mn (-5)2-2×(-3】=-31， 二9.-6；10.6；1.k>-}且k≠0：12.6 -3 3 即公+只的值为-引 三、13.根据题意，得4=(2k-1)2-4h(子k+)=1解 n m 得k1=0(舍去)，k2=8.所以k的值是8. 17.5一元二次方程的应用 17.5.1第一课时 14.方程整理，得x2-(m+2)x+2m=0. 基础训练1.B;2.C;3.63:4.19. (1)因为4=(m+2)2-8m=(m-2)2≥0，所以不论 能力提高5.(1)y=10x+100. m为何值，该方程总有实数根. (2)由题意可得(50-30-x)(10x+100)=1760, (2)设另一个根为a.由根与系数的关系，得3a=2m,3+ 整理得x2-10x-24=0, a=m+2.解得m=3,a=2.所以方程的另一个根为2. 解得=-2（舍去），x2=12, 15.设每次降价的百分率为x 所以50-12=38（元）， 根据题意，得200(1-x)2=128 所以该商品的销售单价是38元时，商家每天获利 解得x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去) 1760元 答：每次降价的百分率为20%. (3)由题意可得(50-30-x)(10x+100)=3000, 16.(1）根据题意，得4=b2-4ac=4-4m≥0，解得m 整理得x2-10x+100=0, ≤1. 因为4=(-10)2-4×1×100=-300<0， 故m的取值范围为m≤1. 初中数学·沪科八年级(AH) 第32~35期 (2)根据题意，得x1+3=-=2,1:,=￡=m, 第33期综合测评卷 因为2x1+2x2+x1x2=0, 题号12345678910 所以2×2+m=0, 答案ADBCDACD CB 解得m=-4. 17.(1)依题意，得四边形ABCD是长方形，四边形ABFE 二、11.3；12.0（答案不惟一，k≥0即可）；13.5； 是正方形， 14.1;15.4或-2. 所以四边形EFHG,四边形CDGH,四边形CWMH均为长方 三、16.x1=-3,x2=1. 形， 17.因为关于x的一元二次方程ax2-4x+2=0有两个相 所以AB=BF=EF=AE=GH=CD=45cm,DG=MN 等的实数根， 所以△=（-4)2-4a×2=0,解得a=2, =CH =40 cm,EG FH. 因为长方形置物架ABCD是用，总长为4O0cm的木板制作 此时x=二)±6=1，即1==1 2×2 的， 18.(1)）设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑， 所以EG+FH=400-(6×45+3×40)=10(cm), 根据题意，得2(1+x)+2(1+x)x=288, 所以EG=FH=5cm. 整理，得(1+x)2=144,解得x1=11,x2=-13(舍去). 故填5. 答：每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑. (2)因为AB=BF=EF=AE=GH=CD=xcm,DG= (2)由题意可知，288×(1+11)=3456（台）. MN CH =40 cm,EG FH, 答：三轮传播后，被感染的电脑共有3456台. 所以EG+FH=400-(6x+3×40)=(280-6x)cm, 19.(1)解方程x2=2x得x1=0,2=2. 所以EG=FH=(140-3x)cm, 因为x1≤2，所以P(0,2). 所以AD=AE+EG+DG=x+140-3x+40=(180- (2)设方程x2-(k+1)x+k=0的两根为x1和2(x1≤ 2x)cm x2),则P(1,x2) 故填(180-2x). 因为点P在直线y=-x上， (3)依题意，得AB=AE=xcm,由(2)可知AD=(180- 所以x1+2=0,即k+1=0,解得k=-1 2.x)cm,EG=(140-3x)cm, 20.(1)设每件商品的售价为x元，则每件的利润为(x- 因为长方形ABCD的面积为4000cm2, 40)元，销售量为200-10(x-50)=(700-10x)件， 所以AB·AD=4000,即x(180-2x)=4000, 依题意，得(x-40)(700-10x)=2250,整理，得x2-110x 整理得x2-90x+2000=0, +3025=0,解得x1=x2=55. 解得1=40，x2=50, 答：每件商品的售价为55元. 当x=40时，EG=140-3×40=20(cm), (2)涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到 因为EG的高度不小于18cm, 2500元.理由如下： 所以x=40符合题意 设每件商品的售价为y元，则每件的利润为(y-40)元，销 当x=50时，EG=140-3×50=-10(cm),不合题意， 售量为200-10(y-50)=(700-10y)件， 舍去 依题意，得(y-40)(700-10y)=2500,整理，得y2-110y 所以x的值为40. +3050=0. 附加题(1)2s或4s后，△PBQ的面积等于8cm2. 因为4=(-110)2-4×1×3050=-100<0，所以方 (2)△PBQ的面积不能等于10cm2,理由如下： 程无实数根， 设AP=xcm,则PB=(6-x)cm,BQ=2xcm, 所以涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到 根据题意，得}×2x(6-)=10 2500元. 21.(1)①不是“差1方程”；②是“差1方程” 整理，得2-6x+10=0. (2)整理方程得(x-m)(x+1)=0,所以x=m或x= 因为4=(-6)2-4×1×10=-4<0， -1.因为方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“差1方 所以方程没有实数根， 程”，所以m=-1+1或m=-1-1,所以m=0或-2. 所以△PBQ的面积不能等于10cm. (3)由题可得4=b2-4a×1=b2-4a≥0，所以解方程 (3)号e后，P0的长度等于6cm 得x=二b±公二40因为关于x的方程ar2+b加+1=0(a, 2a -2 初中数学·沪科八年级(AH) 第32~35期 b是常数，a>0)是“差1方程”，所以二6+√公-4a 所以△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°. 2a (2)由(1)得AC2=144,所以AC=12. -b-F-40=1,所以=d2+4a.因为t=10a-B,所 2a 所以Snm=Sa版+Sa=乃4C,BC+7AC,AD 以t=6a-a2=-(a-3)2+9≤9，所以t的最大值为9. =7x12x9+分x12x5=84 第34期2版 6.(1)因为AB+BC2=202+152=625,AC2=252= 18.1勾股定理 625,所以AB+BC2=AC. 18.1.1认识勾股定理 所以△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°. 基础训练1.B;2.18;3.1. (2)设AD=x米，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，则 4.(1)16+x2. CD=AD=x米，BD=(20-x)米 (2)因为BD=3,CD=x,所以BC=BD+CD=3+x 在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD=BD+BC,即x2= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+AC=BC2 (20-x)2+152. 又因为AB=5,AC2=16+x2,所以52+16+x2=(3+ x)2 解得x-125 8 解得x=白 答：这架无人机向下飞行的距离(AD的长)为2米 Q 能力提高5.55或55. 第34期3版 18.1.2勾股定理的验证 基础训练1.D;2.4. 题号12345678 3.连接BF,图略。 答案A CCABDA D 因为AC=b,所以S正方形AE=. 二、9.9；10.3cm;11.12；12.8,10. 由题易得，△BAF为等腰直角三角形. 三、13.因为m,n为整数，且m>n>1,a=m2-n2,b= 所以5ar=Sar+5ar=72+之(b-a)(a+ 2mn,c=m2+n2,所以a,b,c均为正整数.因为(m2-n2)2+ (2mn)2=m-2m2n2+n+4m2n=m+2m2n2+n,(m2+ n2)2=m4+2m2n2+n.所以a2+2=c2.所以a,b,c为勾股 又因为S正方形ACDE=S回边形ABF, 数. 所以8=2+8-2 14.(1)由勾股定理，得c2=a2+=92+402=412,所 以c=41. 所以20+28=2 (2)因为a:b=3:4,所以设a=3k,b=4k(k>0). 由勾股定理，得c2=a2+6=(3k)2+(4k)2=252= 所以a2+62=c2. (5k)2. 18.1.3勾股定理的应用 又因为c=10,所以5k=10, 基础训练1.C;2.B;3.4m;4.10. 解得k=2. 5.在Rt△ABC中，AB=2米，BC=1.5米，由勾股定理，得 所以a=6,b=8. AC2=AB2+BC2=6.25. 15.△ABC为直角三角形.理由如下： 所以AC=2.5米. 因为CD是△ABC的高，所以∠ADC=∠BDC=90°.在 在Rt△DEC中，DE=2.4米，EC=AC=2.5米，由勾股定 Rt△ACD中，由勾股定理，得AC=AD+CD2=42+22=20. 理，得CD2=EC2-DE=0.49. 在Rt△CBD中，由勾股定理，得CB2=BD2+CD2=12+22= 所以CD=0.7米. 5.因为AB=AD+BD=4+1=5,所以AC2+CB2=20+5 所以BD=CD+BC=2.2米 =25=AB2.所以△ABC为直角三角形. 答：小巷的宽度为2.2米. 16.连接AB,过点C作CD⊥AB于点D,图略. 18.2勾股定理的逆定理 由题意可得，BC=30km,AC=40km,∠ACB=90° 基础训练1.C；2.D；3.60;4.2. 由勾股定理，得AB2=AC2+BC. 5.(1)在Rt△ABC中，AB=15,BC=9,由勾股定理，得 所以AB=50km. AC2=AB2-BC2=144. 因为AD=5,DC=13,所以AD2+AC2=169=DC2. 因为saAB=4C;BC=4B;CD,所以40X30-0GD, 2 2 21 一3 初中数学·沪科八年级(AH) 第32~35期 解得CD=24km, 所以该车符合安全标准。 因为24>23，所以这艘轮船沿着直线AB返航至港口B,没 18.补充过程如下：所以S四边形BDE=S△ABc+S△EF+ 有触礁的危险 S张E元=分ab+2b+6(b-a）=公，S随版=Sar+ 1 17.因为点W是FG的中点，FG=BC=6cm,所以FN= 之FG=3cm因为AB=9cm,AM=3cm,所以BM=AB-AM S△DE= 2+26+a)(6-a)=2+2-2,所以 =6cm.当展开图如图1所示时，因为BF=5cm,所以BW= 公=+28-2所以公+公=2 BF+FN=8cm由勾股定理，得MW2=BM2+BW2=100.所 19.(1)如图3所示，点P即为所求 以MW=10cm (2)如图3，过点B作BE垂直于AC于 H 点E.由题意，得A1C=AC=2cm,BE= 10cm,CE=BD=26-4=22(cm).所以 E A,E=A1C+CE=24cm.在Rt△ABE中， 图3 由勾股定理，得A1B=AE2+BE=676, M B P 所以A1B=26cm,即蚂蚁爬行的最短路径长是26cm 图1 图2 当展开图如图2所示时，过点N作NP⊥BC于点P,则BP 20.(1)因为AB=20,AC=16,BC=12,所以AC2+BC =162+122=400,AB2=202=400, =FN=3cm,NP=BF=5cm.所以PM=BM+BP=9cm. 由勾股定理，得M2=PM+PN2=106.因为100<106，所以 所以AC+BC2=AB2. 它需要爬行的最短路程是10cm. 所以△ABC是直角三角形 附加题(1)方法一：以c为边的正方形的面积+两个直 (2)连接BE,图略. 角三角形的面积，即最后化简为c2+ab; 因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD,AE=BE. 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积和+两个直 由(I)可得△ABC是直角三角形，且∠ACB=90° 角三角形的面积，即最后化简为a2+b2+ab.根据面积相等，直 设CE=x,则BE=AE=AC-CE=16-x. 接得等式c2+ab=a2+b2+ab,所以a2+b2=c2 在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE+CB2=BE2,即x2+ (2)因为HB=4千米，设CA=AB=x千米，则AH=(x- 12=(16-x)2,解得x=2 7 4)千米，在Rt△ACH中，CH=6千米，由勾股定理，得CA2=C +AH,即x2=62+(x-4)2,解得x=6.5,即CA=6.5千米 所以SaE=Sae-SCE=之AC·BC-2CE·BC= 答：原路CA长6.5千米. 75 第35期综合测评卷 所以5w=宁m-空 题号1 2345678910 21.(1)点M,N不是线段AB的“勾股分割点”.理由如下： 答案CBAACDBA CC 因为AM=2,MN=3,NB=4, 所以AM2+MW2=22+32=13≠NB2, 二、11.6；12.4（答案不惟一）；13.北偏西60°； 所以以AM,MW,NB为边的三角形不是一个直角三角形， 14.4.1米；15.2s或2 所以点M,N不是线段AB的“勾股分割点”. 三、16.因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90° (2)①因为点M,V是线段AB的“勾股分割点”，MW为以 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2=AB2-AD2=172- AM,MN,NB为边的三角形的最长边，且AM=0.7,BN=2.4, 82=225,所以BD=15. 所以MW2=AM2+NB=0.7+2.42=2.52, 所以CD=BC-BD=21-15=6. 所以MN=2.5.所以AB=AM+BW+MN=5.6. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=AD+CD2=82+6 ②设BW=x,则MW=AB-AM-BW=12-4-x=8-x. =100,所以AC=10. 因为点M,V是线段AB的“勾股分割点”，AM为以AM, 17.在△ABD中，∠ABD=90°，由勾股定理，得BD2=AD MW,NB为边的三角形的直角边，且AM=4, -AB2=902-602=4500, 所以当BW为直角三角形的斜边时，BN2=MW2+A, 在△BCD中，BC2+CD2=302+602=4500. 即x2=(8-x)2+42,解得x=5,此时BN=5; 所以BC+CD2=BD 当BN为直角三角形的直角边时，M2=AMP+BN2, 所以△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°. 即(8-x)2=42+x2,解得x=3,此时BN=3. 所以BC⊥CD, 综上所述，BW的长为3或5. 4