第17章 一元二次方程及其应用（含13种题型）（知识清单）数学新教材沪科版八年级下册

第17章 一元二次方程及其应用 一、一元二次方程的概念与一般形式 （一） 一元二次方程的定义 定义：一般地，只含有____________，并且_______________________，这样的____________叫做一元二次方程. 核心特征： 1.只含1个未知数（一元）; 2.未知数最高次数为2（二次）; 3.是整式方程（分母不含未知数，根号不含未知数）. （二）一元二次方程的一般形式 一般形式：______________（其中 a≠0，a,b,c 是常数）. a：二次项系数 b：一次项系数 c：常数项 核心区别： 1.若a=0，方程退化为一元一次方程bx+c=0; 2.若b=0，方程为ax2+c=0（缺一次项）; 3.若c=0，方程为ax2+bx=0（缺常数项）. 二、一元二次方程的解法 （一）直接开平方法 适用方程：形如(x+m)2=n（n≥0）的方程解法：两边______________，得x+m=±n，即x=−m±n. （二） 配方法 步骤： 1.化______________________（若a≠1，方程两边同除以a）; 2.移项：将常数项移到方程_______; 3.配方：方程两边同时加上_______________________; 4.变形：将左边写成完全平方式(x+p)2=q; 5.开方求解：若q≥0，用______________求解. （三） 公式法 求根公式：对于ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式Δ=b2−4ac≥0时，用求根公式______________. 根的判别式：Δ=b2−4ac： 1.Δ>0：方程______________实数根; 2.Δ=0：方程______________实数根; 3.Δ<0：方程________实数根. （四） 因式分解法 适用方程：能因式分解为 (mx+n)(px+q)=0 的形式解法：根据“若两个因式的积为0，则至少一个因式为0”，得______________或______________，分别求解. 三、根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若方程的两根为 x1,x2，则：x1+x2=________,x1⋅x2=________,应用：已知一根求另一根、求代数式的值、构造新方程等. 四、一元二次方程的实际应用 （一）常见应用类型 1.面积问题：根据图形面积公式列方程（如矩形、正方形、三角形面积）; 2.增长率问题：公式a(1±x)n=b（a为基数，x为增长率/降低率，n为次数，b为结果）; 3.利润问题：销售利润=_____________________，根据利润关系列方程; 4.动点/路径问题：结合几何图形，用含未知数的代数式表示边长，再根据勾股定理或面积公式列方程. （二）解题步骤 1.审题：找出______________; 2.设未知数：直接设或间接设; 3.列方程：根据等量关系列出一元二次方程; 4.解方程：选择_________方法求解; 5.检验：检验根是否符合方程及实际意义，舍去不合理解; 6.作答：写出答案. 序号 错误 易错题型 注意 1 忽略一元二次方程二次项系数不为0的条件，直接认为形如ax2+bx+c=0的方程都是一元二次方程 1-3 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）；若题目未明确说明，含参数时需讨论a=0的情况 2 用直接开平方法解方程时，漏掉正负号，只取一个解 4-5 若方程形如x2=p或(mx+n)2=p，当p≥0时，有两个互为相反数的解，不能只写一个 3 用配方法解方程时，配方步骤出错，常数项漏加，或系数化为1时出错 6-8 配方前需先将二次项系数化为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，注意不要漏加常数项 4 用公式法解方程时，未将方程化为一般形式，或代入求根公式时符号出错 9-11 必须先把方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，再确定a,b,c的值；求根公式为，注意符号 5 用因式分解法解方程时，错误地两边同时除以含未知数的公因式，导致漏根 12-13 解方程时，不能直接两边除以含未知数的式子，应先移项使方程右边为0，再因式分解；若两边同除，需先说明该式不为0 6 忽略一元二次方程根的判别式的条件，或在使用时忘记a≠0 14-16 根的判别式Δ=b2−4ac：Δ>0有两个不相等的实数根；Δ=0有两个相等的实数根；Δ<0无实数根；前提是方程为一元二次方程（a≠0） 7 应用韦达定理（根与系数的关系）时，未先验证判别式Δ≥0，或符号处理错误 17-18 对于ax2+bx+c=0(a≠0)，两根之和为，两根之积为；使用前需先确认方程有实数根（Δ≥0） 8 忽略一元二次方程二次项系数不为0的条件，直接认为形如ax2+bx+c=0的方程都是一元二次方程 19-21 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）；若题目未明确说明，含参数时需讨论a=0的情况 1．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若是关于x的一元二次方程，则k的值为______． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 5．（25-26七年级下·新疆阿克苏·期中）计算及解方程 (1)计算：； (2)解方程：． 6．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）一元二次方程配方后，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）用配方法解方程时，若将方程变形为，则____． 8．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）用配方法解方程． 9．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·安徽六安·月考）解方程：． 11．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）解方程： (1)； (2)． 12．（25-26八年级下·安徽池州·期中）解方程：． 13．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）解一元二次方程：． 14．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列一元二次方程中没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级下·安徽池州·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 17．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，其中为实数． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 19．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）若关于的方程是一元二次方程，则________． 20．（25-26八年级上·上海·月考）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值应为（） A． B． C．2 D．不能确定 21．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 重难点01 一元二次方程的定义判断 1．（25-26八年级下·安徽六安·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽六安·月考）下列是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 重难点02 由一元二次方程的定义求参数 5．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）若关于的方程是一元二次方程，则的值为____________． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·山东东营·月考）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 重难点03 由一元二次方程的解求参数 9．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）已知是方程的解，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·安徽六安·月考）若是关于的一元二次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 11．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）已知t是方程的一个根，求代数式的值． 12．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若是关于x的一元二次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C．3 D．6 13．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）已知m是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 重难点04 一元二次方程解的估算 14．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）根据下列表格对应值，判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） x A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 16．（24-25九年级上·安徽宣城·月考）观察下面的表格： 0 0.5 1 5 2.75 1 判断方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 重难点05 直接开平方法——解一元二次方程 17．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）方程的根为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 19．（24-25八年级下·安徽亳州·月考）解方程：． 重难点06 配方法——解一元二次方程 20．（25-26八年级下·安徽池州·期中）用配方法将方程化成的形式，则的值是（    ） A． B． C．4 D．1 21．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级下·安徽六安·期中）将方程配方成的形式，则_________． 23．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点07 配方法的应用 24．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读材料． 把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：． ， ， 代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若代数式的最小值为2，求的值； 25．（2026·安徽合肥·一模）已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是__________ ． 27．（2025九年级·安徽·专题练习）阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则，∴，已知，求x，y的值，则有，∴，解得．解方程，则有，∴，解得． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求a的值； (2)若，求的值； (3)若，求a的值； (4)若a，b，c表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 重难点08 公式法——解一元二次方程 28．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的较小的实数根应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 29．（2026·安徽合肥·一模）解方程：． 30．（2026·安徽芜湖·一模）解方程：． 重难点09 因式分解法——解一元二次方程 31．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解方程： (1) (2) 32．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）解方程： (1)； (2)． 33．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解下列方程： (1) (2) 34．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解下列方程： (1)； (2) 重难点10 一元二次方程根的判别式判断根的情况 35．（2026·安徽阜阳·二模）下列方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 36．（2026·安徽铜陵·二模）下列方程中，无实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 37．（2026·安徽芜湖·二模）关于x的一元二次方程，则（   ） A．该方程没有实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程有两个相等的实数根 D．无法判断 38．（2026·安徽滁州·一模）下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D．． 重难点11 由一元二次方程根的情况求参数 39．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 40．（2026·安徽池州·二模）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以为（    ） A．4 B． C．2 D． 41．（2026·安徽·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 42．（2026·安徽合肥·一模）关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值为（   ） A． B． C． D． 重难点12 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 43．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若、是方程的两个根，则____． 44．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若一元二次方程的两根分别为．则（    ） A．2 B． C．6 D． 45．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 46．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 重难点13 一元二次方程的实际应用 47．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）某农户计划利用现有的一道墙（墙长为米），另三边用总长为米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为平方米． (1)当时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少? (2)若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长的取值范围； (3)若农户想将养鸡场面积扩大到平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现?若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 48．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）某高科技公司今年1月份的产值是2000万元，3月份的产值是4500万元，如果之后每月的增长率都与1月到3月的月平均增长率相同，月产值首次突破1亿元的月份是（    ） A．4月份 B．5月份 C．6月份 D．7月份 ． 49．（25-26八年级下·安徽池州·期中）某文体“网红”商店购进一批文创笔记本，该笔记本每本进价8元，物价部门规定每本笔记本的利润率不得超过，在销售过程中发现，每天销售量y（本）与每本售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每本售价为12元时，每天销售量为100本；当每本售价为14元时，每天销售量为90本． (1)求与x之间的函数关系式； (2)若该商店销售这种笔记本每天能获得400元的利润，则每本笔记本的售价为多少元？ (3)若该商店每天的固定成本为240元，那么每天销售这种笔记本能否获得500元的纯利润？若可以，请求出此时每本笔记本的售价为多少元，若不能，则说明理由． 50．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）综合与实践 【项目背景】 某乡村合作社现有10公顷种植基地计划全部种植花生，品种可选传统花生或新品种花生，土地不允许空置． 传统花生：每公顷产量，出油率，种子、农资等种植成本约为每公顷9000元． 新品种花生：每公顷可产花生油，出油率的增长率是产量增长率的，种子、农资等种植成本比传统品种增加． 【项目准备】 当前市场花生油收购价为20元/千克，无论哪个品种产出的花生油收购价格一致．若改种新品种，每改造一公顷土地需要一次性投入固定改造费用1100元．合作社本次可用于土地改造与全年农资种植的总预算为万元． 【项目实施】 任务1：基础计算 (1)计算新品种花生的种子、农资等种植成本每公顷为__________元． (2)求出新品种花生产量的增长率，并求出新品种花生每公顷的产量． 任务2：成本与收益建模 (3)设合作社安排公顷种植新品种，剩余土地种植传统花生，用含的代数式表示第一年总净收益．（总净收益花生油总销售额种植与土地改造总投入） 任务3：最优方案 (4)在预算不超过万的前提下，如何安排种植，才能实现第一年总净收益最大?并求出最大净收益． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 一元二次方程及其应用 一、一元二次方程的概念与一般形式 （一） 一元二次方程的定义 定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程. 核心特征： 1.只含1个未知数（一元）; 2.未知数最高次数为2（二次）; 3.是整式方程（分母不含未知数，根号不含未知数）. （二）一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2+bx+c=0（其中 a≠0，a,b,c 是常数）. a：二次项系数 b：一次项系数 c：常数项 核心区别： 1.若a=0，方程退化为一元一次方程bx+c=0; 2.若b=0，方程为ax2+c=0（缺一次项）; 3.若c=0，方程为ax2+bx=0（缺常数项）. 二、一元二次方程的解法 （一）直接开平方法 适用方程：形如(x+m)2=n（n≥0）的方程解法：两边直接开平方，得x+m=±n，即x=−m±n. （二） 配方法 步骤： 1.化二次项系数为1（若a≠1，方程两边同除以a）; 2.移项：将常数项移到方程右边; 3.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方; 4.变形：将左边写成完全平方式(x+p)2=q; 5.开方求解：若q≥0，用直接开平方法求解. （三） 公式法 求根公式：对于ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式Δ=b2−4ac≥0时，用求根公式：. 根的判别式：Δ=b2−4ac： 1.Δ>0：方程有两个不相等的实数根; 2.Δ=0：方程有两个相等的实数根; 3.Δ<0：方程没有实数根. （四） 因式分解法 适用方程：能因式分解为 (mx+n)(px+q)=0 的形式解法：根据“若两个因式的积为0，则至少一个因式为0”，得mx+n=0 或px+q=0，分别求解. 三、根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若方程的两根为 x1,x2，则：x1+x2=,x1⋅x2=,应用：已知一根求另一根、求代数式的值、构造新方程等. 四、一元二次方程的实际应用 （一）常见应用类型 1.面积问题：根据图形面积公式列方程（如矩形、正方形、三角形面积）; 2.增长率问题：公式a(1±x)n=b（a为基数，x为增长率/降低率，n为次数，b为结果）; 3.利润问题：销售利润= (售价-进价) ×销售量，根据利润关系列方程; 4.动点/路径问题：结合几何图形，用含未知数的代数式表示边长，再根据勾股定理或面积公式列方程. （二）解题步骤 1.审题：找出等量关系; 2.设未知数：直接设或间接设; 3.列方程：根据等量关系列出一元二次方程; 4.解方程：选择合适方法求解; 5.检验：检验根是否符合方程及实际意义，舍去不合理解; 6.作答：写出答案. 序号 错误 易错题型 注意 1 忽略一元二次方程二次项系数不为0的条件，直接认为形如ax2+bx+c=0的方程都是一元二次方程 1-3 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）；若题目未明确说明，含参数时需讨论a=0的情况 2 用直接开平方法解方程时，漏掉正负号，只取一个解 4-5 若方程形如x2=p或(mx+n)2=p，当p≥0时，有两个互为相反数的解，不能只写一个 3 用配方法解方程时，配方步骤出错，常数项漏加，或系数化为1时出错 6-8 配方前需先将二次项系数化为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，注意不要漏加常数项 4 用公式法解方程时，未将方程化为一般形式，或代入求根公式时符号出错 9-11 必须先把方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，再确定a,b,c的值；求根公式为，注意符号 5 用因式分解法解方程时，错误地两边同时除以含未知数的公因式，导致漏根 12-13 解方程时，不能直接两边除以含未知数的式子，应先移项使方程右边为0，再因式分解；若两边同除，需先说明该式不为0 6 忽略一元二次方程根的判别式的条件，或在使用时忘记a≠0 14-16 根的判别式Δ=b2−4ac：Δ>0有两个不相等的实数根；Δ=0有两个相等的实数根；Δ<0无实数根；前提是方程为一元二次方程（a≠0） 7 应用韦达定理（根与系数的关系）时，未先验证判别式Δ≥0，或符号处理错误 17-18 对于ax2+bx+c=0(a≠0)，两根之和为，两根之积为；使用前需先确认方程有实数根（Δ≥0） 8 忽略一元二次方程二次项系数不为0的条件，直接认为形如ax2+bx+c=0的方程都是一元二次方程 19-21 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）；若题目未明确说明，含参数时需讨论a=0的情况 1．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足四个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：方程中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故A错误； 对于选项B：方程中未说明，当时，方程不是二次方程，故B错误； 对于选项C：整理，得，符合一元二次方程的定义，故C正确； 对于选项D：整理，得，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，故D错误． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，满足所有条件，是关于的一元二次方程； 选项B：是分式方程，不是整式方程，不符合定义，排除； 选项C：中，未说明，当时不是二次方程，排除； 选项D： 化简，得， 整理得，是一元一次方程，不符合定义，排除． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若是关于x的一元二次方程，则k的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得到未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，且， 解得：或，， ． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接开平方解一元二次方程； （2）直接开平方解一元二次方程． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 5．（25-26七年级下·新疆阿克苏·期中）计算及解方程 (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据绝对值的化简，平方根的计算，以及二次根式的运算计算即可； （2）直接开平方求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 或． 6．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）一元二次方程配方后，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过配方法将一元二次方程左边转化为完全平方形式，具体步骤为移项后两边加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， ∴ 两边加9得 ， 即 ． 7．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）用配方法解方程时，若将方程变形为，则____． 【答案】 【分析】先对原方程进行配方，得到的形式后确定与的值，再代入计算即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理，得， 对比，可得，， ∴． 8．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）用配方法解方程． 【答案】， 【分析】先将二次项系数化成，然后两边同时加上变形后，开方即可求出解． 【详解】解：方程两边同时除以，得， 方程两边同时加上，得， ， ， ，． 9．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 10．（25-26八年级上·安徽六安·月考）解方程：． 【答案】， 【分析】用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， ， ，． 11．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： ，， 解得，． 12．（25-26八年级下·安徽池州·期中）解方程：． 【答案】， 【详解】解： 或 ∴， 13．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】先移项将方程右边化为，再提取公因式进行因式分解，最后根据“两数乘积为则至少一个数为”求出方程的解． 【详解】解：移项，得， 因式分解，得， 即或． 解得，． 14．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列一元二次方程中没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项，， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B选项，， 方程没有实数根，符合题意； C选项，， 方程有两个相等的实数根，不符合题意； D选项，， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 15．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根，计算判别式即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程，若方程有两个相等的实数根，则需满足， A项：方程为，可得，，， ∵， ∴该方程有两个相等的实数根，符合题意； B项：方程为，可得，，， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C项：方程为，可得，，， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D项：方程为，可得，，， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 16．（25-26八年级下·安徽池州·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】计算判别式的值，根据的符号即可判断根的情况． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程没有实数根． 17．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，分别求得和的值即可． 【详解】解：因为是一元二次方程的根，可得 ． 变形，得 ． 由一元二次方程根与系数的关系，得 ． 所以． 18．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，其中为实数． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由根与系数的关系得，，结合已知的，即可求得，的值，代入即可求得的值； （2）由根与系数的关系得，，对所求代数式先通分，再利用完全平方公式变形，代入所求代数式的值求解即可． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，， ， ， ， ， ； （2）解：， 一元二次方程为， ，， ， ． 19．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程 ∴ 由得：或 解得或 由，∴ ∴． 20．（25-26八年级上·上海·月考）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值应为（） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为，且二次项系数不为，列方程求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 由得或， 当时，，不符合条件， 当时，，符合条件， ． 故选：B． 21．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，说明该方程为一元二次方程，因此需满足二次项系数不为0，且根的判别式，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴的取值范围是且． 重难点01 一元二次方程的定义判断 1．（25-26八年级下·安徽六安·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2． 【详解】解：选项A：含有两个未知数，不符合一元要求，A错误； 选项B：中不是整式，方程不是整式方程，B错误； 选项C：，展开整理得：，移项合并得，未知数最高次数为1，不是一元二次方程，C错误； 选项D：，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义，D正确． 2．（25-26八年级上·安徽六安·月考）下列是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程需同时满足三个条件：是整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程． 对选项逐一判断： A选项：整理得，满足一元二次方程的定义，是一元二次方程． B选项：方程中含有分式，不是整式方程，不符合要求． C选项：未知数最高次数为，是一元三次方程，不符合要求． D选项：展开方程右侧：， 对原方程整理得：， 化简得：，未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合要求． 故选：． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项，方程的未知数最高次数为，不符合一元二次方程的定义； 选项，方程含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； 选项，方程含有分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义； 选项，方程只含有个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，整理为，符合一元二次方程的定义，符合题意． 4．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件，是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵ 选项A 中，未知数最高次数为1，是一元一次方程． ∴ A不符合要求． ∵ 选项B 中，含有和两个未知数． ∴ B不符合要求． ∵ 对选项C整理得 ，即 ，未知数最高次数为1． ∴ C不符合要求． ∵ 对选项D整理得 ，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． ∴ D符合要求． 重难点02 由一元二次方程的定义求参数 5．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，可得且，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为3． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）若关于的方程是一元二次方程，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 即． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 8．（25-26八年级下·山东东营·月考）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，据此列式方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：且， ∴m的值为5． 重难点03 由一元二次方程的解求参数 9．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）已知是方程的解，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程解的定义得到所求部分的值，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·安徽六安·月考）若是关于的一元二次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由一元二次方程解的定义，将代入方程，整理变形即可求出的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴将代入方程得， 即， ． 11．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）已知t是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】根据方程根的定义得出，然后化简求值即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 将代入上式得， 原式． 12．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若是关于x的一元二次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此将代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：因为是一元二次方程的解， 将代入原方程得， ， 化简得， 整理得 解得． 13．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）已知m是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】由m是方程的一个根可得，，，然后逐步代入求解即可． 【详解】解：m是方程的一个根， ∴． ∴，， ∵时，方程左边等于1，不等于右边， ∴， 把的两边都除以得，． ∴． 重难点04 一元二次方程解的估算 14．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）根据下列表格对应值，判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程的根．根据表格得到当时，，当时，，即可得到在时，存在一个的值，使，即可． 【详解】解：由表格可知：当时，， 当时，， ∴当时，存在一个的值，使， 即：方程的一个解的范围是； 故选：C． 15．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断有一个根满足． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴，在内有一个解， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·安徽宣城·月考）观察下面的表格： 0 0.5 1 5 2.75 1 判断方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键． 根据的值由正到负时，即可估算该方程的解． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，； ∴当时，， 故选：B． 重难点05 直接开平方法——解一元二次方程 17．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，若一个数的平方等于0，则这个数为0，即可求出方程的根． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 18．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，利用平方根的定义将原方程转化为两个一元一次方程，进而求解． 【详解】 由平方根的意义，得 所以 ， 故选：C 19．（24-25八年级下·安徽亳州·月考）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： 或， 解得：或， ∴原方程的根为：，． 重难点06 配方法——解一元二次方程 20．（25-26八年级下·安徽池州·期中）用配方法将方程化成的形式，则的值是（    ） A． B． C．4 D．1 【答案】A 【分析】把常数项移到方程右边，得到，等式两边加上一次项系数一半的平方，得到，从而确定和的值，所以再代入计算的值． 【详解】移项，得 ， 配方，得 ， 整理，得 ， ∴，， ∴． 21．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将二次项系数化为1，再根据完全平方公式进行配方，计算后即可得到正确结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ， 整理得． 22．（25-26八年级下·安徽六安·期中）将方程配方成的形式，则_________． 【答案】 【分析】将原方程的常数项移到等号右侧，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程整理为的形式，确定与的值后，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴，， ∴． 23．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】移项，配方，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， ． 重难点07 配方法的应用 24．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读材料． 把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：． ， ， 代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若代数式的最小值为2，求的值； 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据配方法得到，即可得到答案； （2）根据配方法得到，即可得到，求出答案即可． 【详解】（1）解： ， 代数式的最小值为1； （2）解： 代数式的最小值为． 由题可知： 解得． 25．（2026·安徽合肥·一模）已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知求出，再代入，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴s的值最大为3． 26．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是__________ ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，通过配方法将二次代数式转化为完全平方式与常数项的和，利用完全平方式的非负性求最小值． 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 27．（2025九年级·安徽·专题练习）阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则，∴，已知，求x，y的值，则有，∴，解得．解方程，则有，∴，解得． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求a的值； (2)若，求的值； (3)若，求a的值； (4)若a，b，c表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)4或 (4)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查配方法的应用及三角形的分类，熟练掌握配方法的应用及三角形的分类是解题的关键； （1）先对方程左边按完全平方公式进行因式分解，再根据乘方的意义将二次方程转化为一元一次方程进行解答； （2）用完全平方公式对方程左边进行因式分解，再根据非负数和为0的性质求得x、y，再代值计算便可； （3）仿样例，先配方化成完全平方等于一个非负数的形式，再开方求解； （4）先将方程两边都乘以2，再把方程左边分解成几个完全平方式之和，进而根据非负数和为0的性质得出，再由此判定三角形的形状． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 即， ∴， ∴； （4）解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 重难点08 公式法——解一元二次方程 28．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的较小的实数根应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】利用一元二次方程求根公式得到较小的根的表达式，再通过估算无理数的大小，确定较小根所在区间； 【详解】解：将原方程两边同乘，整理得 ，，， 判别式， 由求根公式得 ， ， 较小的实数根为， 又，，且， ，即， 不等式同减得； 因此较小的实数根在2和3之间． 29．（2026·安徽合肥·一模）解方程：． 【答案】， 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：方程可化为， ，，， ， ， 解得：，． 30．（2026·安徽芜湖·一模）解方程：． 【答案】 【分析】先求出a，b，c的值，再求出，然后根据求根公式解答． 【详解】解：， 由， ∵， ∴， ∴． 重难点09 因式分解法——解一元二次方程 31．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 32．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）将看作整体，利用完全平方公式进行因式分解，再解方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得，； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 化简，得， 解得． 33．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 34．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可； （2）先移项，再根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴ （2）解：， ， ， 或， ∴． 重难点10 一元二次方程根的判别式判断根的情况 35．（2026·安徽阜阳·二模）下列方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可求解． 【详解】解：选项A、方程的判别式为， 则方程没有实数根，不符合题意； 选项B、方程的判别式为， 则方程有两个相等的实数根，符合题意； 选项C、方程的判别式为， 则方程没有实数根，不符合题意； 选项D、方程的判别式为， 则方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 36．（2026·安徽铜陵·二模）下列方程中，无实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用判别式逐一判断即可． 【详解】解：A、由题意得， ∴ 方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； B、由题意得， ∴ 方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； C、由题意得，， ∴方程无实数根，故此选项符合题意； D、由题意得， ∴ 方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； 37．（2026·安徽芜湖·二模）关于x的一元二次方程，则（   ） A．该方程没有实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程有两个相等的实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】先将原方程整理为一般形式，再计算判别式的值，根据判别式的符号判断根的情况. 【详解】解：∵， ∴ ∴，，， ∴ ∵对任意实数，都有， ∴，即， ∴该方程有两个不相等的实数根. 38．（2026·安徽滁州·一模）下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可判断． 【详解】选项A：∵，，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项B：∵，，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项C：∵，，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项D：∵，，，， ∴， 方程有两个相等的实数根，符合题意． 重难点11 由一元二次方程根的情况求参数 39．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题需要同时满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个实数根要求根的判别式，求解两个不等式后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，即， 又∵方程有两个实数根， ∴，即， 解得：， 综上，的取值范围是且． 40．（2026·安徽池州·二模）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可得判别式大于零，解出m的取值范围，再对比选项得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 其中，，，代入得：， 即，得， 故选：D． 41．（2026·安徽·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根时，代入系数计算即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 计算得， 整理得， 解得， ∴的取值范围是． 42．（2026·安徽合肥·一模）关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程有两个相等实数根的条件得出判别式为0，再代入方程系数求出m的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 重难点12 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 43．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若、是方程的两个根，则____． 【答案】2028 【分析】根据题意得，，变形计算即可； 【详解】解：根据题意得，， 故， ． 44．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若一元二次方程的两根分别为．则（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵方程为，且其两根分别为， ∴． 45．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ； （2）解：，，， ， 整理得， 解得或， ， ． 46．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)的取值范围是； (2)． 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后由，再代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴即， 解得：， ∴的取值范围是； （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∴ ， ∴， 解得：，， ∵， ∴舍去， ∴． 重难点13 一元二次方程的实际应用 47．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）某农户计划利用现有的一道墙（墙长为米），另三边用总长为米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为平方米． (1)当时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少? (2)若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长的取值范围； (3)若农户想将养鸡场面积扩大到平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现?若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当时，养鸡场平行于墙的一边的长是米； (2)墙长的取值范围是； (3)不能实现，理由见解析． 【分析】（）设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由（）得平行于墙的一边的长是米或是米，然后分当时；当时；当时，进行讨论即可； （）设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米，根据题意得，整理得，由即可判断． 【详解】（1）解：设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米， 根据题意得， 整理得：， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长是，不符合题意； 当时，平行于墙的一边的长是，符合题意； 答：当时，养鸡场平行于墙的一边的长是米； （2）解：由（）得平行于墙的一边的长是米或是米， 当时，两边都不超过墙长，有种围法； 当时，两边都不超过墙长，有种围法； 当时，两边都超过墙长，无法围成； ∴墙长的取值范围是； （3）解：不能实现，理由， 设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米， 根据题意得， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 即围成养鸡场的面积不能达到平方米， ∴不能实现． 48．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）某高科技公司今年1月份的产值是2000万元，3月份的产值是4500万元，如果之后每月的增长率都与1月到3月的月平均增长率相同，月产值首次突破1亿元的月份是（    ） A．4月份 B．5月份 C．6月份 D．7月份 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程与实际问题，设月平均增长率为，可得方程，解方程求得月平均增长率，然后逐月判断即可． 【详解】解：设月平均增长率为． 根据题意，得 ． 解方程，得 ，． 根据题意可知，月平均增长率大于零，故不符合题意，应当舍去，符合题意． 4月份产值为（万元）． 5月份产值为（万元）． 所以，月产值首次突破1亿元的月份是5月份． 49．（25-26八年级下·安徽池州·期中）某文体“网红”商店购进一批文创笔记本，该笔记本每本进价8元，物价部门规定每本笔记本的利润率不得超过，在销售过程中发现，每天销售量y（本）与每本售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每本售价为12元时，每天销售量为100本；当每本售价为14元时，每天销售量为90本． (1)求与x之间的函数关系式； (2)若该商店销售这种笔记本每天能获得400元的利润，则每本笔记本的售价为多少元？ (3)若该商店每天的固定成本为240元，那么每天销售这种笔记本能否获得500元的纯利润？若可以，请求出此时每本笔记本的售价为多少元，若不能，则说明理由． 【答案】(1) (2)每本笔记本的售价为12元． (3)不能，见解析． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据该商店销售这种笔记本每天能获得400元的利润列出一元二次方程，解方程即可； （3）根据题意列出一元二次方程，判断方程有无实数解即可． 【详解】（1）解：设与间的函数关系式为，依题意得： ， 解得：， ∴； （2）由题意得： 解得：，（舍去） ∵， ∴． 故，， 答：每本笔记本的售价为12元． （3）由题意得： 整理得： ∵ ∴方程无解，故不能． 50．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）综合与实践 【项目背景】 某乡村合作社现有10公顷种植基地计划全部种植花生，品种可选传统花生或新品种花生，土地不允许空置． 传统花生：每公顷产量，出油率，种子、农资等种植成本约为每公顷9000元． 新品种花生：每公顷可产花生油，出油率的增长率是产量增长率的，种子、农资等种植成本比传统品种增加． 【项目准备】 当前市场花生油收购价为20元/千克，无论哪个品种产出的花生油收购价格一致．若改种新品种，每改造一公顷土地需要一次性投入固定改造费用1100元．合作社本次可用于土地改造与全年农资种植的总预算为万元． 【项目实施】 任务1：基础计算 (1)计算新品种花生的种子、农资等种植成本每公顷为__________元． (2)求出新品种花生产量的增长率，并求出新品种花生每公顷的产量． 任务2：成本与收益建模 (3)设合作社安排公顷种植新品种，剩余土地种植传统花生，用含的代数式表示第一年总净收益．（总净收益花生油总销售额种植与土地改造总投入） 任务3：最优方案 (4)在预算不超过万的前提下，如何安排种植，才能实现第一年总净收益最大?并求出最大净收益． 【答案】(1)元 (2)，； (3)元 (4)合作社安排6公顷种植新品种，4公顷种植传统花生，总净收益最大，最大为万元． 【分析】（1）根据题意，得求解即可． （2）设出油率的增长率是，则产量增长率是，根据题意，得，求解即可； （3）设合作社安排公顷种植新品种，种植传统花生的土地有公顷，根据净收益的定义列式计算即可； （4）根据题意，得，设总净收益为y元，根据题意，得，利用一次函数的性质，不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得（元）； （2）解：设出油率的增长率是，则产量增长率是， 根据题意，得， 整理，得， 解得或，增长率不能是负数，故舍去； 故出油率的增长率是， 故产量增长率是， 新品种花生每公顷的产量为． （3）解：设合作社安排公顷种植新品种，种植传统花生的土地有公顷，新品种花生每公顷可产花生油，传统花生每公顷可产花生油， 花生油收购价为20元/千克，花生油的总销售额为：（元）； 传统花生种植，种子、农资等种植成本约为每公顷9000元． 新品种花生种植，种子、农资等种植成本为每公顷9900元，且每改造一公顷土地需要一次性投入固定改造费用1100元． 故种植与土地改造总投入为：（元）； 故第一年总净收益为：（元）． 故第一年总净收益为元． （4）解：根据题意，得， 整理，得， 解得， 设总净收益为y元， 根据题意，得， 因为， 故y随x的增大而增大， 故当时，y取得最大值，且最大值为（万元）， 此时，传统花生种植面积为：公顷， 答：合作社安排6公顷种植新品种，4公顷种植传统花生，总净收益最大，最大为万元． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $