第31期 17.2 一元二次方程的解法 (公式法、因式分解法)-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

素养·拓展 数理招 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 巧思妙解 +因式分解三法 对于二次三项式x2+px+q,如果能够把常 报纸发行质量反馈电话 数项g分解成两个因数a,b的积，并且a+b等于 0351-5271248 助解一元二 次方程 次项系数p,那么它就可以分解因式，即x2+p +g=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). (上接4版参考答案 ○江西李慧 16.(1)将x=1 运用因式分解法解一元二次方程的运算量 左边能应用完全平方公式进行因式分解时，要 当q>0时，9分解的因数a,b同号，且a,b 代入原方程得(a- 较小，运算速度较快，所以它是解一元二次方程注意一元二次方程有两个相等的实数根，不要 符号与p符号相同，如x2+14x+45=（x+ 1)-2+a2+1=0, 的首选方法.运用因式分解法解一元二次方程丢掉方程的根 5)(x+9),x2-9x+14=(x-2)(x-7). 整理，得a2+a-2= 主要有三种方法：提公因式法、完全平方公式法 例2解方程：x(x+6)=2x-4. 当q<0时，9分解的因数a,b异号，且其中 和平方差公式法，下面举例分析说明如何运用 分析：将方程右边的多项式移到左边，然后绝对值较大的因数符号与符号相同，如x2- 0,解得a1=1,a2 这三种方法轻松解一元二次方程。 化简和整理，化为一元二次方程的一般形式：x27x-60=(x-12)(x+5),x2+x-72=(x =-2.因为a-1≠ 方法一：提公因式法 +4x+4=0,此时方程左边的多项式就可以利 8)(x+9). 0,所以a≠1，所以a 说明：当遇到方程两边有公因式时，需要先用完全平方公式进行因式分解了， 般地，（a1+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+ 的值为-2. 移项，使方程右边化为零（切勿两边同除以公因 解：原方程可化为x2+4x+4=0. a czx+azc x+ccz=aazx+(a cz+azc)x+ (2)将a=-2 式)，然后通过提公因式将方程左边分解因式 分解因式，得(x+2)2=0. 代入方程得-3x2 例1一元二次方程x2=x的根是 解得x1=x2=-2. 2x+5=0,即x2+ ( ) 方法三：平方差公式法 反过来，就得到a1a2x2+(a192+a29)x+ 2 5 A.x=1 说明：将方程的右边通过移项化为0后，若 CC2=（u1x+c1)(a2x+c2). =3配方，得(x B.x=0 方程的左边符合平方差公式的条件，则可以利 思维拓展 C.x1=1,x2=0 用平方差公式将方程的左边分解为两个一次因 探秘十字相乘法 =开方。 3 式的积的形式 D.x1=-1,x2=0 4 例3解方程：(3x+1)2-25=0. 得x+3=±3，所 分析：先将x移到等号的左边，同时提取公 分析：观察方程可知，等号左边的25可以看 ◎山东李小洁 以方程的解为x1= 因式x即可用因式分解法解方程 作是52，所以可以直接利用平方差公式分解因 我们发现，二次项ax2分解成a1xa2x,常数项 解：原方程变形为x2-x=0. 式. c分解成c1c2,并且把a1x,a2x,C1,2排列如下： 1=-} 分解因式，得x(x-1)=0. 解：原方程可变形为(3x+1)2-52=0. 17.(1)-3,6. 所以x=0或x-1=0. 分解因式，得(3x+1+5)(3x+1-5)=0, (2)当x<2时 解得x1=0,x2=1. C2 即(3x+6)(3x-4)=0. 故选C. 这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 根据x※2=3※x,得 所以3x+6=0或3x-4=0. 方法二：完全平方公式法 解得1=-2，x2=3 4 a1xc2+a2xc1,如果它们正好等于ax2+bx+c的 4-2x=3x-x2.解 说明：一元二次方程化为一般形式后，方程 一次项bx,那么ax2+bx+c就可以分解成(a1x 得x=1,x2=4(舍 +c)(2x+c2),其中ax,c1位于上图的上 去)；当2≤x<3时， 第30期2版参考答案 5.x1=x2=-2. 行，2x,92位于下一行. 根据x※2=3※x,得 17.1一元二次方程 6.（1)x1=-9,x2=-3; 2x-4=3x-x2.解 基础训练1.C;2.A;3.C;4.12; 像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮 (3)x1=2+5,=2-5; 5.(12-x)(8-x)=77; 助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫 (4)x1=1+5,x2=1-5. 得无=1+ ,X2 6.x=1. 做十字相乘法 2 能力提高7.x2+10x+7=x2+10x+25 7.b=1,c=-2. 般地，我们也可以用这种方法解一元二 -25+7=(x+5)2-18,所以代数式x2+10x =1-,而（舍去） 2 能力提高8(I)因为0 b=ad- 次方程，请看下面的例题， e d +7的最小值是-18. 例用十字相乘法解下列方程： 当x≥3时，根据 bc,所以2 4 第30期3版参考答案 (1)x2+6x-7=0:(2)2x2-5x-3=0. x※2=3※x,得2x =2×3-4×(-1)=10. -13 一、题号12345678 解：(1)x2+6x-7=0: 4=x2-3x.解得x x m =1(舍去)，x2=4. (2)因为 答案C DBA A B BC 1-xx+2 =0,所以x(x+2) 7 综上所述，x的值 -m(1-x)=0.又因为方程的一个根为2，所以 二、9.x2-3x-4=0;10.-2; -1 为1或+，厘或4 2×(2+2)-m(1-2)=0,解得m=-8. 11.x1=4,x2=-1;12.1. 因为-x+7x=6x,所以(x+7)(x-1)=0, 2 17.2一元二次方程的解法 三、13.(1)x1=1,x2=-2; 附加题(1)4， 17.2.1直接开平方法 (2)x1=-3+25,2=-3-25; 解得x1=1,2=-7. 2,-1,-7. 基础训练1.D;2.B;3.1: (3)x,=2+6 2 =2-6 (2)2x2-5x-3=0. 4.x1=1,x2=-4. 2 (2)(x-3)(x+ 5.(1)x1=10,x2=-10; 14.(1)等式的基本性质. 1)=5,所以[(x- (2)③，等号右边没有加4. -3 1)+2][(x-1)- (2)x1=-1,x3=-9; (3)x1=2+√13,3=2-13. 因为2x×（-3)+x=-6x+x=-5x, 2]=5,所以(x-1)2 (3)x1=4,x2=-6. 能力提高6.由题意，得a-2≥0,4-2a 15.解不等式k+3≥2k-1,得k≤4.解不 所以(2x+1)(x-3)=0,解得x=-2 -22=5,所以(x ≥0.解得a=2.所以b=-3.因为关于x的一 等式2(k-1)+1≥号(k-1),得≥-5.所 1)2=22+5=9.两 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根 x2=3. 边直接开平方得x 以不等式组的解集为-5≤k≤4.把x=0代入 通过上面的例题，可以将十字相乘法解 是x=1,所以a+b+c=0.解得c=1.所以方 1=±3，解得x1=4, x2+(k-1)x+2+6k=7,得2+6k=7.解 元二次方程分为以下步骤：(1)竖分二次项与 程为4y-1=0.解得=2,2=-2. 得k=1或k=-7(舍去).所以一元二次方程 x2=-2. 常数项；(2)交叉相乘，积相加；(3)检验确定， 17.2.2配方法 存在实数根x=0,且k的值为1. (全文完) 横写结果.即拆两头，凑中间，拆分常数项，验证 基础训练1.D;2.A;3.B;4.3; (下转1,4版中缝) 一次项。 线理柄 2026年1月28日·星期三 初中数学 第31期总第1175期 沪科 八年级(AH) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 名师课堂 选廊法 有策略 $因进人 11111111 17.2一元二次方程的解法（公式法、因式 ◎安徽王海军 分解法】 解一元二次方程时究竟采用哪种解法呢？ 解：移项，得x2+4x=-2,配方，得x2+4x 这就要求同学们仔细观察，捕捉方程的系数特 +22=-2+22,即(x+2)2=2,所以x1=-2 学习目标：理解并掌握公式法、因式分解 点和结构特征，灵活选择适当的方法，力求解题 法解一元二次方程 +2,5=-2-2. 过程简捷明快，也能提高准确率. 认知重点：会选取适当的方法解一元二次 四、以上三种方法都不易求解时，考虑用公 一、方程中无一次项或满足(x+m)2=n结 式法求解 方程 构时优先考虑直接开平方法 例4 方程3x2+1=3√5x的根是 一、注意分清a,b,c 例1解方程：(x-2)2=4. 的符号 解：两边开平方可得x-2=±2，即x=2± 例1解方程x2- 方法指导 2,所以x1=4,x2=0. 解：原方程可化为3x2-35x+1=0, 3x-1=0. 二、方程缺少常数项或方程的两边有公因 由a=3,b=-33,c=1, 分析：该方程已经是 公式法 式时，优先考虑因式分解法 得4=62-4ac=(-35)2-4×3×1= 一般形式，故只需对号入 例2解方程：5(x-1)2=2(x-1). 座地找出a,b,c,此时 15>0, 定要注意不要丢掉a,b,c 解：移项，得5(x-1)2-2(x-1)=0,因式 分解，得(x-1)[5(x-1)-2]=0, 所以x -b±-4ac 本身的符号，再求出2- 2a 4ac的值，最后代入求根 所以x-1=0或5(x-1)-2=0, -(-35)±/5_35±佰 公式即可」 注 方程 所以=1子 2×3 6 解：因为a=1,b -3,c=-1, 三、当方程的二次项系数为1，一次项系数 所以，=33+5 ,5=35-15 6 意 6 所以b2-4ac= 是偶数时，优先考虑配方法 例3解方程：x2+4x+2=0. 故填x,=33+1 ,5=35 (-3)2-4×1×(-1)=13 6 6 所以x -b±√2-4a 十十十…十十十…十十十…十十十十十十…十十十十十十十十 专题辅导。 2a 巧闷一元二次方程妙题 -(-3)±/3=3±☒ 2×1 2 ⊙甘肃欧阳怡 候器：3+=3二石 2 在近几年的数学考试中，常有构造一元二 解：根据题意，得两个单项式为同类项。所 二、注意将方程化为一般形式 次方程求解的问题.若能根据题目特征，巧妙运以2a=2+1.解得a,=a2=1.所以这两个单 例2解方程：3x(x-1)=2x-2 用所学知识构造一元二次方程求解，往往可得项式的和为-2x4y2+3x4y2=xy2 分析：运用公式法解一元二次方程时，只有 到事半功倍的效果.下面举例说明构造一元二 三、利用同类二次根式的定义构造 将原方程化为一般形式，方可确定a,b,c的值， 次方程的方法，供同学们参考. 例3若最简二次根式√5a-2与 再代入求根公式即可. 一、利用相反数的性质构造 解：原方程可化为3x2-5x+2=0 √a+4是同类二次根式，则a= 例1若代数式m2+4与6m+5互为相反 所以a=3,b=-5,c=2. 分析：根据最简二次根式和同类二次根式 数，则m2的值为 所以b2-4ac=(-5)2-4×3×2=1. 的定义得出5a-2=a2+4,再求出方程的解即 分析：根据互为相反数的两个数的和为0构 可 所以x=二b±-4ac。二(5)±」 2a 2×3 造出关于m的一元二次方程，解方程即可得解， 解：因为最简二次根式√5a-2与√a+4 解：由相反数的性质，得m2+4+6m+5= s5±1 是同类二次根式，所以5a-2=2+4.解得a, 6 0,即m2+6m+9=0.所以(m+3)2=0.解得 =2,a2=3.当4=2时，二次根式为√8，不是最 m,=m:=3.所以m=3)=)故填简二次根式，不合题意：当a=3时，二次根式为 1 解得x1=1,女=3 √3，是最简二次根式，符合题意.故填3. 三、注意2-4ac≥0的方程才有实数根 四、利用方程的定义构造 例3 解方程：3x2=5x-4. 分析：先移项，化原方程为一般形式，确定 二、利用同类项的定义构造 例4已知方程(a-5)x21+3=0是关 a,b,c的值，再计算2-4ac的值，若b2-4ac< 例2已知两个单项式-2xy2与3xy21于x的一元二次方程，则a= 0,则方程无实数根 的和仍是单项式，试求这两个单项式的和. 分析：根据一元二次方程未知数的最高次 解：移项，得3x2-5x+4=0 分析：根据两个单项式可以合并可知它们 数是2和二次项的系数不等于0求解即可 所以a=3,b=-5,c=4. 为同类项，然后根据同类项的定义列出关于a的 解：因为(a-5)x21+3=0是关于x的一 所以b2-4ac=(-5)2-4×3×4=-23 一元二次方程，求出a的值后根据单项式的加法元二次方程，所以a-√5≠0且a2-1=2.解得 X <0. 法则计算即可 a=-5.故填-5. 所以原方程无实数根。 2 素养专练 数理极 17.2.4因式分解法 跟踪训练 垦砂训练 GENZONGXUNLIAN 综合集训营 1.一元二次方程x(x-4)=0的解为 17.2一元二次方程的解法 17.2.3公式法 A.x1=0,x2=4 B.x=0 1.用适当的方法解下列方程： C.x1=2,x2=-2 D.x1=0,x2=-4 (1)(x+2)2-4=0; 屋础训练 2.已知x=4和x=-2.5是方程(2x+m)(x 1.用求根公式解一元二次方程3x2-2x=1 -4)=0的解，则m的值为 () 时，a,b,c的值是 ( ) A.-5 B.5 A.a=3,b=-1,c=-2 C.2.5 D.无法确定 B.a=3,b=-2,c=1 3.等边三角形ABC的三边分别为a,b,c,且满 C.a=3,b=-2,c=-1 足方程(a+2b)x2+2cx+(a-b)=0,则方程的 D.a=3,b=2,c=1 两根为 ( ) 2.若=6±B6-,4×2×可是一元 A=0=号 B.x1=0,x2=- 2 3 2×2 (2)x2-10+16=0; 二次方程ar2+bx+c=0的根，则a+b+c的值 C=1=子 2 D.01=1,=- 为 () A.5B.7 C.-5D.-7 4.当x= 时，代数式4x2+7x+3与 3.嘉琪准备完成题目：解一元二次方程x2- 3x+2的值相等. 5.对于实数a,b,定义运算“*”： 6x+口=0.若“☐”表示一个数字，且一元二次方 程x2-6x+口=0有实数根，则“口”的最大值为 u*b0-ub(u≥b若，（属1<）是一元 ,此时方程的解为 ab -b2(a b); 4.代数式x2-2x与4x+4的值相等，则x的 二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1*x2= (3)3x2+2x=3; 值为 5.淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2 6.解方程： 的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值 (1)3x(x-2)=6(x-2); 为 6.用公式法解下列方程： (1)2x2+5x+1=0; (2)x2-2x-3=0: (4)(3x-2)2=4x2-4x+1. (2)3x2-2x=1; (3)9x2+6x+1=0. 能刀提高 (3)2x2+3x=22. 7.材料：为解方程x4-x2-6=0,可设x2= 2.定义新运算：对于任意实数a,b,都有a⊕b y,于是原方程可化为y2-y-6=0,解得y1=-2, =a(a-b)+1,等式右边是通常的加法、减法及 2=3.当y=-2时，x2=-2不合题意舍去；当y 乘法运算，比如：2①5=2×(2-5)+1=2× (-3)+1=-6+1=-5. =3时，x2=3,解得x1=5,x2=-5,故原方程 (1)若x①(-2)=4，求x的值； 的根为x1=5,x2=-5. (2)若1<2①a<5,且a是正整数，求关于 能刀提高 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： x的一元二次方程2ax2+3x+1=0的根. (1)(x2+x)2+2(x2+x)-8=0: 7.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2 2mx+m+1=0. 2)2+2=3 (1)求出方程的根； (2)m为何整数时，此方程的两个根都为正 整数？ 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理报 素养·测评 5 16.(10分)如果关于x的一元二次方程ax2+ 同步检 bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比 另一个根大1，那么称这样的方程为“连根方程” TONGBUJIANCE 例如，一元二次方程x2-x=0的两个根是x1=0, x2=1,则方程x2-x=0是“连根方程”. 【检测范围：17.2.3-17.2.4】 (1)通过计算，判断方程4x2-8x+3=0是否 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 12.如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的是“连根方程”； 题号12345678 正半轴，且点A对应的数是2x-1,点B对应的数是 (2)已知关于x的方程x2+(2m-3)x-6m= 答案 x2+x.已知AB=5,则x的值为 0(m是常数)是“连根方程”，求m的值. 1.用公式法解一元二次方程6x-8=5x2时， b的值是 ( A.6 B.-6 三、耐心解一解（共52分） C.-5 D.5 13.(12分)用适当的方法解下列方程： (1)2x2-4x+1=0; 2.方程(x+1)(x-3)=0的解是() A.x1=1,x2=3B.x1=-1,x2=3 C.x1=1,x2=-3D.x1=-1,x2=-3 3.下列一元二次方程中，以x= 1±1)2-4x2×-3)为根的是() 2×2 A.2x2+x-3=0 B.x2-2x-3=0 (2)x(2x+4)=10+5x; 17.（(12分)由多项式乘法：(x+a)(x+b)= C.2x2-x-3=0D.x2+2x-3=0 x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用，即可得 4.已知代数式3-x与-x2+3x的值互为相反 到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+(a+ 数，则(x-3)(x+1)的值是 b)x+ab=(x+a)(x+b).示例：分解因式：x2+5x A.-1 B.3 +6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3). C.1 D.0 (1)尝试：分解因式：x2+6x+8=(x+ 5.已知k,b是一元二次方程(2x+1)(3x-1) (3)-万x-}=0 )(x+ =0的两个根，且k>b,则函数y=kx+b的图象 (2)应用：①请用上述方法解方程：x2-5x-6 不经过 ) =0 A.第一象限 B.第二象限 ②在△ABC中，AB=AC,BC=8,且AB的长 C.第三象限 D.第四象限 是方程x2-9x+20=0的一个根，求等腰三角形 6.若一元二次方程x2+bx+4=0的两个实数 ABC的周长. 根中较小的一个根是m(m≠0)，则b+√2-16 14.(8分)解方程2(x-3)=（x-3)2.下面 的值为 ( 是甲、乙两位同学的部分运算过程。 A.-m B.-2m 甲同学：两边同除以(x-3),得2=x-3.解 C.m D.2m 得x=5. 7.设a,b是两个整数，若定义一种运算“△”， 乙同学：移项，得2(x-3)-(x-3)2=0.提 a△b=a2+b2+ab,则方程(x+2)△x=1的实数取公因式，得(x-3)(2-x-3)=0.所以x-3= 根是 ( )0或2-x-3=0.解得x1=3,x2=-1. A.x1=x2=1 B.x1=0,x2=1 (1)解一元二次方程的基本思想是 附加题⊙ C.x1=x2=-1 D.x1=1,x2=-2 (填“降次”或“消元”)； 8.数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转 (2)甲、乙两位同学的解答过程均有失误，请 (以下试题供各地根据实际情况选用) 化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种你写出正确的解答过程 推理能力有助于形成实事求是的科学态度与 方法，我们可以用因式分解把方程x+x2-2x=0 理性精神.我们知道任何实数的平方一定是一个 转化为x=0或x2+x-2=0,从而求出方程的三 非负数，即(a+b)2≥0.据此，我们可以得到以下 个根：x1=0,x3=1,x=-2,再如，我们可以用两 推理： x2+4x-5=x2+4x+4-4-5=(x+2)2 边平方的方法把方程x+1=2转化为x+1= -9.因为(x+2)2≥0，所以(x+2)2-9≥-9.所 4,从而求出方程的根：x=3,通过转化还可以求出 以代数式x2+4x-5有最小值-9. 方程√2x+3=x的根为 ( 试根据以上方法判断代数式-2x2+x+3是 A.3 B.-1 否存在最大值或最小值？若存在，请求出它的最大 C.3或-1 D.3或1 值或最小值；若不存在，请说明理由. 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 9.若关于x的一元二次方程x2-mx+n=0的 两根为-1和3，则将x2-mx+n进行因式分解的 15.(10分)如果实数x满足(x2+2x)2+4(x2 结果是 +2x)-5=0,求代数式x3+3x2+x的值 10.已知x=-b+yF-4c(62-46≥0)，则 2 式子x2+bx+c的值是 1.若代数式十6的值为0，则x= 1x1-2 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)初中数学·沪科八年级(AH)第27~31期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·沪科八年级(AH) 第27~31期 第27期2版 16.2.2二次根式的除法 16.1二次根式 基础训练1.B;2.A;3.-2. 基础训练1.B:2.B;3.D:4.4<c<12;5.一. 4)式展√展顶 6 6.(1)26; =25; (2)2-√5； (3)3x-10. (2)原式=6×52 3 能力提高7.因为a为正数， 所以23-a<23. -6x5,2 5 因为√23-a为正整数， =10; 所以23-a<√23. (3)原式=√3a×巨×2E √a2a 因为4<23<5， =5×2×5 所以√23-a的最大值为4. =6. 此时23-a=16,即a=7. 5.(1)②： 16.2二次根式的运算（乘除） 11×55 16.2.1二次根式的乘法 ②2元，2525x56 基础训练 1.D:2.A:3.D:4.166:5.16: 第27期3版 6.32 题号12345678 5 9 答案ADA BDBDB 7.(1)原式= 3 ×125×3 二、9.>；10. 2；11.-8;12.35 7 三)原式-√x(~√)×√gx6 1 =5 (2)原式=√0x含x号 112 =√80×号 =-N9 、4 =42; 3 2 (3)原式=3后x65×55 (2)原式=35×二×22 =6×2√2 =54x53 8 =12√2； =1353 4 (3)原式=2x4×:5 3 初中数学·沪科八年级(AH) 第27~31期 =8÷5 2b+2c. 第28期2版 16.2二次根式的运算（加减） 14(1)号 16.2.3二次根式的加减运算 基础训练1.D;2.A;3.C;4.25;5.18. 2 3 8 1 )原武=3迈+号号- 4； ×4×…×9=g 15.(1)因为这个长方体的长、宽、高的比为4：3：1，且高 (2)原式=(26+号-（号-5 为√2cm, =26+号-9+6 所以长方体的长、宽分别为4√2cm,3√2cm. 所以这个长方体的体积为：4√2×3√2×2= =36; 242(cm3). (3)原式=2+9+6√2-(2-9) (2)根据题意，得E0=H0=√24=26cm,G0=F0= =2+9+62+7 /15cm =18+62. 所以留下部分的总面积为：26×5×2= 7.()厄-号万=25-号×35=25-5=5 12√10(cm2). (2)淇淇的说法正确，理由如下： 16.(1)524 厘-2V厚寸万+6-25-2x9寸×35 +6=25-6-5+6=5, 所以x=5. (2规律V瓜+=V产a为正整数≥2》 n 因为48=43， 证明：√n+n (m-1)+n= n 所以x的值能与48合并， n2-1 n2-1 Wn2-1 所以淇淇的说法正确。 n 16.2.4二次根式的混合运算 基础训练1.A；2.C；3.B；4.D; 17.(1)-20. (2)由题意，得2m-4=0,2n+6=0.解得m=2,n= 5.xs-5+3 4 -3.所以m-n=2-(-3)=5. 6.(1)原式=√6-26 (3)根据二次根式的非负性，得-5≥0， 解得y=5.所 =-6; 5-y≥0. 以x2=64.解得x=±8.当x=8时，x+y=13;当x=-8时， (2)原式=35-5+3-5-25 x+y=-3.综上所述，x+y的值是13或-3. =-2； 附加题(1)隐含条件2-x≥0.解得x≤2. (3)原式=3√2-2×26×5-√/⑧ 所以x-3<0.所以原式=3-x-(2-x)=1. =32-122-32 (2)根据数轴，得a<0,a+b<0,b-a>0. =-122. 所以原式=-a-(a+b)-(b-a）=-a-2b. 7.原式=2-2 (3)由三角形的三边关系，得a+b+c>0,a-b-c<0, b-a-c<0,c-b-a<0. 当=5，y=号时，原式-8 5 所以原式=a+b+c-(a-b-c)-(b-a-c)-(c- 能力提高8.D;9.6 b-a)=a+b+c-a+b+c-b+a+c-c+b+a=2a+ 10.根据题意，得正方形①的边长是2，正方形②的边长 初中数学·沪科八年级(AH) 第27~31期 是3 (2)因为x=5-1 2 所以阴影部分的宽是2-5。 所以2x=5-1. 所以阴影部分的长是：5-(2-√3)=25-2. 所以2x+1=5. 所以阴影部分的面积为：(25-2)(2-5)=65-10. 两边平方，得(2x+1)2=5. 第28期3版 所以4x2+4x+1=5. 题号12345678 所以4x2+4x=4. 答案BBC DCADD 所以x2+x=1. 二、9.56；10.x=22;11.365:12.5. 所以x3+2x2=x3+x2+x2=x(2+x)+x2=x+x2= 三、13.(1)原式=32-2 附加题 =25; 2 2(n+2-n) (2)原式=3×22-22+2×32 (1) n+2+元=(n+2+n)(/n+2-万） =62-22+62 n+2-n. =102; (2)4-√15>√17-4.理由如下： (3)原式=[(2+√5)-6][(2+5)+√6] 因为1 4+15 =(V2+3)2-6 纳4-店4-5)4+54+压， 1 17+4 =2+3+26-6 而-4°(m-4)(m+4 =√17+4,4+√5< =-1+26. /7+4, 14.(2,-2)★(5,3-5)=-25-2×(3-5)= 1 -25-6+25=-6. 所以后而4 15.(1)这个长方体盒子的容积为：（√50-22）2×2= 因为4-5>0，√7-4>0， 182(cm2). 所以4-√1>7-4 第29期综合测评卷 (2)这个长方体盒子的侧面积为：(50-22)×2×4 =24(cm2). 题号12345678910 答案DCBCABACA B 16.因为5x-√12>2x-4, 所以(5-2)x>23-4. 二、11.x≥-3；12.0.2ab；13.5;14.7;15.3. 解得x<2. 三、16.(1)原式=55÷5=5： 因为x是正数， (2)原式=号×35-4×25+厅 所以0<x<2. =25-85+5 所以x+1>0,x-2<0. =-55; 所以原式=2√(x+1)7+√(x-2)7=21x+11+ (3)原式=7-5-(7+1+27) 1x-21=2x+2+2-x=x+4. =2-8-27 17.(1)因为x=√0-3， =-6-2万. 所以x+3=√0. 17.原式=(3a-1)a. 两边平方，得(x+3)2=10. 所以x2+6x+9=10. 当。=分时原式=华 所以x2+6x=1. 18因为万”-。：，a5+”马6=2a+ 所以x2+6x-8=1-8=-7. 2-12(2-1)(2+1) 一3 初中数学·沪科八年级(AH) 第27~31期 a-经6=(a-之)万+a=3-25,a6都是正整数。 故填4；-4. (2)当a>0时，因为20+4a+5=3a+4+=3(a+ 所以a-=-2,a=3.解得6=10 a 综上所述，a的值为3，b的值为10. 高)+4=3后-+4+2压， 19.(1)长方形绿地的周长为：(/128+50)×2= 所以当石=√即-否时，女+如+5的最小值 a 262(米). 是4+2√15. (2)通道的面积为：√128×√50-2×（√13+1）× (3)设S△oB为a, (√3-1)=56（平方米）.购买地砖需要花费：6×56= 因为S AAOD:SaA0B=OD:OB=SAcOD:SACOR, 336(元). 6 20(1)原式=5×25-35÷45 所以2：a=S△coo:3,所以S△com= a =2- 所以四边形ABCD的面积为2+3+a+合=(a+合)+ 5=(a-a )2+5+26. 二4 因为a>0, 所以当，石=√：，即a=石时，四边形A6CD的面积的 所÷4= 2 最小值为5+26. 所以“☐”内的符号为“÷” 第30期2版 故填÷ 17.1一元二次方程 (3)因为5<1，厄>1，万>1， 基础训练1.C；2.A;3.C; 4.12;5.(12-x)(8-x)=77;6.x=1. 所以“口”内依次填人“+”“×”计算所得结果最大， 7.原方程可化为2(x2-2x+1)+bx-b+c=0,整理，得 则5+D×7-46=+25×35-45=18 2x2+(b-4)x+2-b+c=2x2-3x-1=0,所以b-4=-3, 3 2-b+c=-1,解得b=1,c=-2. -113 3 a b 能力提高8.(1)因为 =ad-bc,所以 e d 21.(1)当a>0时，因为a+4=(a)2-2a. 2 + =2×3-4×(-1)=10. (2)+26.2=(a-2)2+4, -1 3 a a a m (2)因为 所以当后=2，即a=2时，a+4的最小值为4； =0,所以x(x+2)-m(1-x)= 1-xx+2 a 0.又因为方程的一个根为2，所以2×(2+2)-m(1-2)=0, 当a<0时，因为a+号=-(-a-总， 解得m=-8. 所以-a-4=(02-2:a2 17.2一元二次方程的解法 a 17.2.1直接开平方法 基础训练1.D;2.B;3.1; 4.x1=1,x2=-4. 以-(-。--(a产24-4 5.(1)x1=10,x2=-10: 所以当/a产。即a-2时a+÷的大值为 (2)x1=-1,x2=-9; (3)x1=4,3=-6. 能力提高6.由题意，得a-2≥0,4-2a≥0. 4 初中数学·沪科八年级(AH)第27~31期 解得a=2. (2)将a=-2代人方程得-3x-2x+5=0,即2+子 所以b=-3. 因为关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 3 个根是x=1, 1. 所以a+b+c=0. 配方，得(x+弓》2=开方，得x+行=±手， 解得c=1. 5 所以方程的解为无=1，。=- 所以方程为-1=0 17.(1)-3,6. 解得少=2,5=-2. (2)当x<2时， 17.2.2配方法 根据x※2=3※x,得4-2x=3x-x2. 基础训练1.D;2.A;3.B;4.3; 解得x1=1,x2=4(舍去)； 5.x1=x2=-2. 当2≤x<3时， 6.(1)x1=-9,x2=-3; 根据x※2=3※x,得2x-4=3x-x2. (3)x1=2+5,x2=2-5; 解得=↓+叵。 =1-，而（含去： 2 (4)x=1+5,x2=1-5. 当x≥3时， 能力提高7.x2+10x+7=x2+10x+25-25+7=（x 根据x※2=3※x,得2x-4=x2-3x +5)2-18,所以代数式x2+10x+7的最小值是-18. 解得x1=1(舍去)，x2=4. 第30期3版 综上所述，x的值为1或+，五或4 2 题号12345678 附加题(1)(x+2)(x+6)=5, 答案CDB AABBC 所以[(x+4)-2][(x+4)+2]=5, 所以(x+4)2-22=5, 二、9.x2-3x-4=0;10.-2; 所以(x+4)2=22+5,所以(x+4)2=9. 11.x1=4,2=-1;12.1. 两边直接开平方得x+4=±3，解得x1=-1,2=-7, 三、13.(1)x1=1,x2=-2; 所以a,b,m,n表示的数分别是4,2-1，-7. (2)x1=-3+25,x2=-3-25; 故填4,2，-1，-7. 26=2-6 (3)x=2+6 (2)(x-3)(x+1)=5, 2 所以[(x-1)+2][(x-1)-2]=5, 14.(1)等式的基本性质. 所以(x-1)2-22=5,所以(x-1)2=22+5=9. (2)③，等号右边没有加4. 两边直接开平方得x-1=±3，解得x1=4,x2=-2. (3)x1=2+√13，x2=2-13. 第31期2版 15.解不等式k+3≥2k-1,得k≤4. 17.2一元二次方程的解法 解不等式之(-)+1≥号k-1),得k≥-5 17.2.3公式法 所以不等式组的解集为-5≤k≤4. 基础训练1.C；2.D;3.9,1=x2=3;4.3±√3； 把x=0代人kx2+(k-1)x+2+6k=7,得2+6k= 5.1+2 7 61%=5±厘5-应， 4 4 解得k=1或k=-7(舍去). 所以一元二次方程存在实数根x=0,且k的值为1. (2)=1离=-3 16(1)将x=1代入原方程得(a-1)-2+a2+1=0, 整理，得d2+a-2=0,解得a1=1,a2=-2. (3)x=2=-22 因为a-1≠0，所以a≠1，所以a的值为-2. 能力提高7.(1)根据题意，得m≠1. 5 初中数学·沪科八年级(AH) 第27~31期 因为a=m-1,b=-2m,c=m+1, 三，13.(1)x1=2+2 -2-2 所以62-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4. 2 2； 所议=熟品山 （22=3: (②)由)知兰=1+己因为方程的两个限 3%-:6 2 都为正整数，所以乙是正整数所以m-1=1或m-1 14.(1)降次. (2)移项，得2(x-3)-(x-3)2=0. 2.解得m=2或m=3.所以m为2或3时，此方程的两个根都 提取公因式，得(x-3)[2-(x-3)]=0. 为正整数 所以x-3=0或5-x=0. 17.2.4因式分解法 解得x1=3,x2=5. 基础训练1A:2.B:3.B:4-分：5-3 15.设x2+2x=n,则原方程可化为n2+4n-5=0. 6.(1)x1=x2=2; 整理，得(n-1)(n+5)=0. (2)x1=3,x2=-1; 解得n=1或n=-5. 1 (3)x1=为=-3 当n=-5时，x2+2x=-5无解，舍去. 所以x2+2x=1. 能力提高7.(1)原方程的根为x1=-2,2=1, 所以x3+3x2+x=x(x2+2x+1)+x2=2x+2=1. (2)设+2=，原方程可化为y+2-3=0, 16.(1)因为4x2-8x+3=0, Y y 即y2-3y+2=0,解得y1=1,y2=2. 所以(2x-D(2x-3)=0,解得5=方=多 当)=1时，“士2=1，解得=-1，经控验是原方程的解： 因为，=子=+1， 当y=2时，3x+2=2,解得x=-2,经检验是原方程的解 所以方程4x2-8x+3=0是“连根方程”. 故原方程的根为x1=-1,x2=-2. (2)因为x2+(2m-3)x-6m=0, 综合集训营 所以(x-3)(x+2m)=0,解得x1=3,x2=-2m. 1.(1)x1=6,x2=-10; 因为x2+(2m-3)x-6m=0是“连根方程”， (2)x1=8,x2=2; 所以x1=2+1或x1=x2-1,即3=-2m+1或3= (3)x=1+0 -2m-1, 3 ,两=10 3 所以m=-1或m=-2. 04=子4= 17.(1)2,4. (2)①x1=-1,x2=6. 2.(1)根据题意，得x(x+2)+1=4. ②解x2-9x+20=0,得x1=4,x2=5.由三角形的三边 整理，得X2+2x-3=0. 关系可知x=5,所以AB=AC=5.因为BC=8,所以等腰三 解得x1=1,:2=-3. 角形ABC的周长=AB+AC+BC=18. (2)由题意，得1<2(2-a)+1<5.解得0<a<2. 附加题 代数式-2x2+x+3存在最大值. 因为a是正整数，所以a=1. 所以方程为2x2+3x+1=0. -2++3=-2(x-产+空 解得=-1，名=-今 因为(x-)2≥0， 第31期3版 所以-2x-子°≤0. 题号12345678 答案BBC DBBCA 所以-2(-2+≤ 二9.(x+10(x-3)；10.0:11.-3;12.1-回 2 所以代数式-22+：+3有最大值受 6