第30期 17.1 一元二次方程 17.2一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法)-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

素养·拓展 数理极 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 一元二次方程的根 读有所悟 = 报纸发行质量反馈电话 题 根的 是指使方程左右两边相 0351-5271248 等的未知数的值，当已知 给包己插一根 元二次方程的根时，同 第29期综合测评卷 学们要学会利用根的定 重庆刘国栋 参考答案 建 义进行解题，即把根代回 一个年轻人大学毕业后，想尽办法也找不到瓜，受伤的藤怎么能结成瓜呢？年轻人怀疑父亲 -、1.D:2.C: 3.B;4.C;5.A 义是个 郑连智 到原方程中去，这样有利 工作，父亲说：“没事千就跟我去挖沙卖吧.”年轻故意捉弄他，他就把剩下的竹签丢掉了. 6.B;7.A;8.C; 于解与一元二次方程的 人不甘心，说：“我读大学，不是为了挖沙的，我要 插了竹签后的那棵南瓜藤叶子渐渐转黄， 9.A 10.B. 二、11.x≥-3； 根有关的一些问题.下面 等待机会 长势明显赶不上别的南瓜，年轻人好儿次想把 12.0.2ab:13.5: 举例进行说明. 机会不是容易等来的，年轻人在家百无聊 瓜藤上的竹签拔掉，但最终还是没有拔.出人意 14.715.3 赖.他看见父亲种了南瓜却没空管，就想：我管管 三、16.(1)5： 一、求待定字母的值 料的是，这根受伤的南瓜藤结出的南瓜不但不再 (2)-53: 例1已知关于x的 这几棵南瓜吧.从此，年轻人天天去照料南瓜，施 烂掉，而且长得飞快，最后竟有脸盆那么大，足足 (3)-6-2√7. 一元二次方程(a-1)x2 肥、浇水、灭虫、除草，有时还拿着放大镜去观察 17.原式=(3a -2x+a2-1=0有一个根为x=0,则a的值 有人取笑说：“年轻人，人家养儿子都没你种瓜细15公斤重.而那十几棵没有插竹签的南瓜藤，只 为 心.”年轻人说：“我要种出一个特大的南瓜给你长了一堆藤叶，秋天过去了，依然一无所获 瓜.当a=时，原 B.±1 们看！” 年轻人问父亲：“为什么那些好的瓜藤都结 41 A.0 C.1 D.-1 在年轻人的精心照料下，他的南瓜藤长得非不成瓜，这根受伤的瓜藤反而结出了一个大瓜 18.a的值为3，b的 分析：根据一元二次方程根的定义，直接把 值为10. x=0代入已知方程，再结合a-1≠0，进而得 常茂盛，瓜藤粗壮得让人不敢相信是南瓜藤可奇呢？”父亲说：“这有什么好奇怪的瓜和人一样， 19.(1)长方形绿 出答案， 怪的是，那些茂盛的南瓜藤迟迟不结果实.千盼肥料下的足不一定有用，不如受点磨难吃点苦 地的周长为：（√128+ 万盼，终于盼来一个小果实了，立刻重点保护，可更磨练人” √50)×2 = 解：因为关于x的一元二次方程(a-1)x 那个小南瓜却不争气，长到拳头大就不再长了，天 262(米) -2x+a2-1=0有一个根为x=0,所以a2 年轻人恍然大悟，从此，他不再坐等机会， (2)通道的面积 1=0,且a-1≠0.解得a=-1.故选D. 天萎缩，最后在藤上烂掉了年轻人以为是肥力不到省城参加人才见面会，在一次次应聘、面试、 为：128×√/50-2× 足，他又给南瓜重重地施了一次肥施了肥后，结 (13+1)×(13- 二、比较大小 失败中总结经验教训，终于找到了一份属于自 出的瓜依然无一例外地“幼年天折”.年轻人问父 1)=56(平方米).购买 例2若x是方程ax2+2x+c=0(a≠ 己的工作. 地砖需要花费：6×56 亲：“为什么瓜藤那么好，却结不成瓜？”父亲说： =336(元). 0)的一个根，设M=1-ac,N=(a+1)2,则 “你用竹签从瓜藤中间插过去，以后结的瓜就不 是的，在人生的求学、求职路上，肯定不会 M与N的大小关系为 20((2)÷ 会烂了” 人人都那么一帆风顺如学习受到挫折，工作跟 A.M>N B.M=N 年轻人拿一把竹签到瓜地，可刚插了一根就理想不一致等，但只要我们勇于在逆境中磨砺， (3)因为9<1， C.M<N D.无法确定 下不了手了，自己费尽心思种出这么好的南瓜藤，不怕在自己这根“瓜藤”上插上一根竹签，通过 12>1,/27>1, 分析：把x=xo代入方程ax2+2x+c=0, 为什么要刺伤它们呢？再说，完好的藤都结不成不懈地努力，就一定能向自己的目标迈进， ,所以“口”内依次 填人“+”“×”计算所得 得ax+2xo=-c,然后求出M与N的差后，将 其整体代入即可得出差的符号，从而确定M与 第28期2版参考答案 第28期3版参考答案 结果最大，则+厄 N的大小关系. 16.2二次根式的运算（加减） 一、题号12345678 ×27-43= 3 16.2.3二次根式的加减运算 3 解：因为to是方程a.x2+2x+c=0(a≠0)》 答案BB C D C A DD 25×33-43=18- 的一个根，所以ax+2xo+c=0,即ax+2x 基础训练1.D;2.A;3.C;4.25; 二、9.56；10.x=22；11.36√3： 11 =-c.所以N-M=(ax+1)2-(1-ac)= 5.18. 3 axo+2axo+1-1 ac a(axo +2xo)ac 6.(1)1 12.5. 4；(2)36;(3)18+62. 21.(1)4,-4. 三、13.(1)22；(2)10√2；(3)-1+26. (2)当a>0时，因 -ac+ac=0.所以M=N. 故选B. 7.(1)D-3v27=25-3×35= 14.(2,-2)★(5,3-5)=-25-2× 为30+4n+5=3a+ (3-5)=-25-6+25=-6. 5 三、求代数式的值 25-3=5. 4+-30a++4 15.(1)这个长方体盒子的容积为：（√50 例3已知m是方程x2-2026x+1=0 3 的一个根，则m+ -2025+m (2)淇淇的说法正确，理由：2-2√322)2×2=182(cm). 3-原+ *1的值为 (2)这个长方体盒子的侧面积为：（√50- +2/15,所以当√a= m 即。=时 ( ) 含万+6-28-2x9日×3a+,622)24424 N3a 3 A.2026 B.2025 =23-6-3+6=3,所以x=5.因为 16.因为3x-√12>2x-4,所以(3- 3a2+4a+5的最小值 c28 D.0z √48=43，所以x的值能与√48合并，所以淇2)x>23-4.解得x<2.因为x是正数，所以 是4+215. 淇的说法正确. 0<x<2.所以x+1>0,x-2<0.所以原式 (3)设S△AOB为a, 分析：把x=m代入方程x2-2026x+1= 16.2.4二次根式的混合运算 基础训练1.A;2.C;3.B;4.D: =2√(x+1)7+(x-2)7=21x+11+ 因为S AAODSa40B OD:OB SACOD 0有m2-2026m+1=0,变形得m2+1= 5.x≤-5+3 |x-2|=2x+2+2-x=x+4. S△coB,所以2：a= 2026m,再将其代入所求代数式即可求出结果 SAcn:3,所以SAcm= 4 17.(1)x2+6x-8=-7. 6 解：因为m是方程x2-2026x+1=0的 ,所以四边形ABCD 6.(1)-6;(2)-2;(3)-12W2. (2)因为x=5,1,所以2x=5-1.所 a 个根，所以m2-2026m+1=0,m≠0.所以m 7.原式=2在-2.当=5，y=时，以2x+1=5两边平方，得(2x+1)=5所以 2 的面积为2+3+4+6 +1=2026m.所以m+ =2026.所以原式 m 原式=85 4x2+4x+1=5.所以4x2+4x=4.所以x2+x =(a+6)+5=(a a =2026-2025+ 2026m2026故选C m 2027 5 =1.所以x3+2x2=x3+x2+x2=x(x2+x)+ 能力提高8.D;9.6. x2=x+x2=1. √P+5+2.6因 为a>0,所以当a= 练一练： 10.根据题意，得正方形①的边长是2，正方 附加题 (1) 若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+ 形②的边长是3.所以阴影部分的宽是2-√3· n+2+n ,即a=6时，四 a m2-3m+2=0的一个根是0，则m的值是 所以阴影部分的长是：3-(2-√3)=25-2. 2(n+2-√n) 边形ABCD的面积的最 =n+2-n. 所以阴影部分的面积为：(2W3-2)(2-(√n+2+n)(n+2-√n) 小值为5+26. 参考答案：2. 3)=63-10. (2)4-√5>√17-4.理由略 数理根 2026年1月28日·星期三 初中数学 第 30期总第1174期 沪科 八年级(AH) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 入们向得 如：方程(x-1)2=0的根不能写为x=1,而应 写为x,=x,=1,即写成两个相等的实数根的形 元二次方程知识乐园 式 2.一元二次方程若无实数根时，要正确叙 ⊙安徽王思杰 述.如：方程x2+3=-2,说它无解或无根均不 元二次方程的概念是学习一元二次方程 解：A选项中，因为a可能为0，所以不一定 严谨，而应说“无实数解或无实数根” 的前提和基础，同学们在学习时，容易产生一些是一元二次方程，故此选项错误；B选项中，因为 3.在解方程时，要防止丢根的情况.在解 模糊的认识，现讲解如下，供同学们参考， 含有分式，所以不是一元二次方程，故此选项错 元二次方程时，若在方程两边同时除以一个含 一、基本概念 误；C选项符合一元二次方程的定义，故此选项 未知数的代数式就可能丢根.如：解方程x2=x 一元二次方程是只含有一个未知数，并且正确：D选项中，因为最高次数是3，所以不是一 时，若等号两边同时除以x,则得x=1,但这样 未知数的最高次数是2的整式方程这个概念告 元二次方程，故此选项错误.故选C. 做就造成了丢根，即方程x2=x的根应是1= 诉我们： 二、相关概念 1,x2=0,要防止丢掉x=0这个根. 1.一个方程是不是一元二次方程，不能光 一元二次方程的相关概念主要是指一元 例3形如(ax+b)2=p(a≠0)的方程， 看其表面形式，要根据整理以后的结果来定.但 次方程的各项及其系数，我们必须全面认识它 下列说法正确的是 需要注意的是：对方程的整理变形一般只限于 1.在指明一元二次方程各项及其系数时， A.当p>0时，原方程有两个相等的实数根 “去括号、移项、合并同类项”这样的恒等变形 定要先化为一般形式后再确定.如：方程22=3x B.当p=0时，原方程有两个相等的实数根 如：方程}=x+1去分母后进行整理可化为x2 +2先化为一般形式为2x2-3x-2=0,那么它的 C.当p<0时，原方程无根 二次项为2x2,一次项为-3x,常数项为-2. +x-1=0,但不能说原方程是一元二次方程 2.一元二次方程中的“一元”指的是一个未 2.对于形式不完全的（即缺一次项或常数 D.原方程的根为x=-b±互 知数，“二次”指的是该未知数的最高次数是2， 项)一元二次方程的各项及其系数需正确叙述： 分析：根据直接开平方法和一元二次方程 如：方程xy+y2=7和方程x3-x2=1均不是 当缺一次项时，如：方程3x2-12=0,要指出其根的情况的叙述方式即可得出答案。 一元二次方程.这里还要强调二次项系数一定 一次项时，可以说一次项为0x或无一次项，但不 解：当p<0时，该方程无实数根，而非无 不能为零 能说一次项为0；当缺常数项时，如：3x2+2x=根；当p>0时，该方程有两个不相等的实数根， 例1 下列方程是一元二次方程的是 0,可以说常数项为0，也可以说无常数项 ( 例2将一元二次方程x2+5x=7化为 分别为1=二b+正E,=-b-亚，当p=0 a a 1 般形式后，其中二次项系数为1，则一次项系数、 时，该方程有两个相等的实数根.故选B, A.ax2+bx+c=0 B.x+ =2 X 常数项分别为 C.2(x-1)2=4 D.x3+x=1 分析：将一元二次方程化为一般形式后，找 分析：根据一元二次方程必须同时满足三 出一次项系数与常数项即可 恋周 个条件：①整式方程，即等号两边都是整式，方 解：整理方程，得x2+5x-7=0.所以一次 17.1-元二次方程 程中如果有分母，那么分母中无未知数：②只含项系数、常数项分别为5，-7.故填5，-7. 有一个未知数：③未知数的最高次数是2，且二 三、一元二次方程的根 学习目标：理解并掌握一元二次方程及其 次项系数不能为零，据此进行分析判断即可. 元二次方程不存在只有一根的情况， 根的概念 重点精进 17.2一元二次方程的解法（直接开平方 配方法二微猓堂 法、配方法】 学习目标：理解直接开平方法、配方法，并 ○湖南陈逸帆 会利用这些方法解一元二次方程， 配方法是解一元二次方程的基本方法，也得x2-4x+(- -1+( 4)2,即(x 认知重点：熟练运用直接开平方法、配方法 是解决代数中有关二次式最值问题的常用方法 解一元二次方程 之一.配方是通过“加上”并且“减去”相同的 2)2=3: 项，把代数式中的某些项配成完全平方式，达到 (3)开方：根据平方根的意义，直接开平方 巧解的目的.下面就让我们走进一元二次方程 得到两个一元一次方程，从而达到“降次”的目± 系以与=1+竖=1温 2 的解法，一起来体会配方法的无限魅力吧！ 的，由此可得x-2=√3或x-2=-3; 三、配方法的应用 一、配方法的基本思路 (4)求解：解两个一元一次方程，得x,=2 配方法不仅用来解一元二次方程，还能巧 用配方法解一元二次方程的基本思路是将+√3，x,=2-3. 解数学中的很多问题，下面我们就一起欣赏如 方程转化为(x+m)2=n的形式，然后利用开平 例1将一元二次方程x2-8x-5=0化成何巧用“配方法”解题吧！ 方达到降次的目的.当n≥0时，根据平方根的(x+a)2=b(a,b为常数)的形式，则a= 例3已知代数式2x2-8x+9,试说明无论 意义可求出它的根为x=-m±√n, ,b= 二、配方法的步骤 解：移项，得x2-8x=5.配方，得2-8x+ x取何实数，代数式的值恒大于零，并求代数式 如果方程的二次项系数是1，且一次项系数 16=5+16,即(x-4)2=21.所以a=-4,b= 的最小值. 解：原式=2(x2-4x)+9=2(x2-4x+4 是2的整数倍，比如x2-4x+1=0,那么一般可 21.故填-4,21. 按以下步骤解方程： 例2用配方法解方程：2x2-4x+1=0.-4)+9=2(x-2)2+1. (1)移项：使方程的左边为含有未知数的项 解：一次项系数化为1，得2-2x+7=0. 因为(x-2)2≥0，所以2(x-2)2+1≥1. (即二次项与一次项)，右边为不含未知数的项 所以无论x取何实数，代数式2x2-8x+9的值恒 (即常数项)，得x2-4x=-1; 移项，得x2-2x=- 分配方，得2-2x+1=大于 (2)配方：在方程的两边都加上一次项系数 1 由上可得，当x=2时，代数式2x2-8x+9 半的平方，把方程左边写成完全平方的形式， +1,即(x-1)2=2开方，得x-1= 有最小值，最小值为1. 2 素养·专练 数理极 17.2一元二次方程的解法 17.2.2配方法 跟踪训练 17.2.1直接开平方法 垦础训练 GENZONGXUNLIAN 屋盈训练 1.用配方法解一元二次方程x2-8x+10= 17.1一元二次方程 1.如果关于x的一元二次方程(x-4)2=m 0,下列变形正确的是 垦础训练 +2可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 A.(x-8)2=54 B.(x-8)2=6 ( C.(x-4)2=-6D.(x-4)2=6 1.一元二次方程5x2-3x+2=0的一次项系 A.m>2 B.m≥2 2.若存在m使得x2-4x+m=(x-2)2+1 数 ( C.m>-2 D.m≥-2 成立，则m的值为 () A.5 B.5x2 C.-3D.3x2 2.一元二次方程x2-16=0的解是（) A.5B.-5C.3 D.-3 2.下列方程中是一元二次方程的是( A.x1=2,2=-2 B.x1=4,x2=-4 3.已知方程x2-6x+n=0可以配方成(x A.x2-1=0 B.y2+x=1 () C.x1=8,x2=-8 D.x1=16,x2=-16 m)2=7,则(m-)1o0的值为 D.x+=1 A.0 B.1 C.-1D.21w C.2x+1=0 3.若x=1是关于x的方程x2-c=0的一个 4.将一个关于x的一元二次方程配方为(x+ 实数根，则c= 3.把方程(x+3)(x-5)=2(x+5)2化为 4.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x m)2=P,若2±5是该方程的两个根，则p的值是 般形式后是 =3,x2=-2(a,b,m均为常数，a≠0)，则方程 A.x2-3=0 B.-x2-20x+53=01 a(x+m+2)2+b=0的解是 5.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a C.x2+20x+53=0D.x2+20x+47=0 5.用直接开平方法解下列方程： ≠0)时，只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根 4.若x=a是方程2x2-x-6=0的一个解， 是x=-1.他核对时发现所抄c的值比原方程的c 则代数式4a2-2a的值为 (1)=25: 值小1，则原方程的根为 5.如图，在块长12m, 6.用配方法解下列方程： 宽8m的矩形空地上修建 (1)x2+12x+27=0: 同样宽的两条道路，剩余 部分栽种花草，且栽种花 草的面积为77m2.设道路 的宽为xm,根据题意，可列方程为 6.已知关于x的方程x2+bx+a=0中满足 a+b=-1,则方程必有一根为 (2)(x+5)2=16: 7.关于x的一元二次方程2(x-1)2+b(x- (2)-2x= 2 1)+c=0化为一般形式后为2x2-3x-1=0,试 求b,c的值， (3)2(x+1)2-49=1. (3)(x+1)(x-3)=1. 能刀提高 8.定义新运算：对于任意实数a,b,c,d有 =ad-bc,其中等式右边是常用的乘法 d 和减法运算如： 4 3 能刀提高 =4×2-3×1=5. 12 能刀提高 7.阅读材料：我们可以用配方法求一个二次 (1)求/2 4的值： 6.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a 三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2-2a -13 ≠0)的一个根是x=1,且a,b满足b=√a-2 +5的最小值.方法如下： (2)已知关于x的方程xm =0 因为a2-2a+5=a2-2a+1+4=(a-1)2 1-xx+2 +V4-2a-3,求关于y的一元二次方程42-c +4,由(a-1)2≥0，得(a-1)2+4≥4，所以代 的一个根为2，求m的值， =0的根. 数式a2-2a+5的最小值是4. 请仿照上述方法，求代数式x2+10x+7的最 小值 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 5 16.(10分)已知关于x的一元二次方程(a- 同步检 1)x2-2x+a2+1=0. (1)若该方程的一个根是1，求a的值； (2)在(1)的条件下，用配方法解该方程。 TONGBUJIANCE 【检测范围：17.1~17.2.2】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 三、耐心解一解（共52分） 题号12345678 13.(12分)用适当的方法解下列方程： 答案 (1)(2x+1)2=9; 1.方程-x2+5x-2=0的二次项系数、一次 项系数和常数项分别是 ( A.1,-5,-2 B.1,5,2 C.-1,5,-2 D.-1,-5,-2 2.方程(x+1)2=1的解为 (2)x2+6x=3; A.x1=x2=0 17.(12分)对于实数a,b,新定义一种运算 B.x1=x2=-1 “※”：a※b=b-(a≥b)例如：因为4>1， C.x1=0,x2=-1 162-ab(a b). D.1=0,2=-2 所以4※1=4×1-1=3. 3.用配方法解方程2x2-12x=5时，先把二次 (1)计算：2※(-1)= ,(-1)※2= (3)2x2-4x=1. 项系数化为1，然后方程的两边都应加上( A.4 B.9 (2)若x※2与3※x的值相等，求x的值 C.25 D.36 4.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x +m2-m=0有一根为x=0,则m的值是 14.(8分)阅读下列解题过程，在横线上填入 A.0 B.1 适当的内容 C.0或1 D.0或-1 解方程：2x2-8x-18=0. 解：移项，得2x2-8x=18. 5.若关于x的一元二次方程ax2+bx+2= ① 两边同除以2，得x2-4x=9. 0(a≠0)有一根为x=2026,则一元二次方程a(x ② -1)2+b(x-1)=-2必有一根为 ( 配方，得x2-4x+4=9,即(x-2)2=9.③ 所以x-2=3或x-2=-3. A.2027 B.2026 ④ C.2025 D.2024 解得x1=5,x2=-1. ⑤ 附加题⊙ 6.某公司去年的产值为200万元，现计划扩大 (1)步骤②的依据是 (以下试题供各地根据实际情况选用) 生产，使今明两年的产值都比前一年增长一个相 (2)上述解答过程从步骤 （填序号) 某同学在解一元二次方程时，发现有这样一 同的百分数，这样三年（包括去年）的总产值就达 开始出错，错因是 ； 种解法： 到了1400万元，设这个百分数为x,则可列方程为 (3)请直接写出该方程的根. 例：解方程：x(x+4)=6. 解：原方程可变形为[(x+2)-2][(x+2)+ A.200(1+x)2=1400 21=6, B.200+200(1+x)+200(1+x)2=1400 所以(x+2)2-22=6,所以(x+2)2=6+22, C.200(1+2x)=1400 所以(x+2)2=10. D.200(1+x)3=1400 直接开平方并整理，得x1=-2+√10，x2= 7.已知m为方程x2+3x-2026=0的根，则 2-10. m3+2m2-2029m+2026的值为 ( 我们称该同学的这种解法为“平均数法”. A.-2026 B.0 (1)下面是该同学用“平均数法”解方程(x+ C.2026 D.4052 15.(10分)当k满足条件 2)(x+6)=5时写的解题过程： 8.若a+b+c=0,4a-2b+c=0,则关于x 解：原方程可变形为[(x+a)-b][(x+a)+ rk+3≥2k-1, 的一元二次方程a(x-1)2+bx=b-c的解为 b]=5, () 分k-)+1≥3- ,、时，关于x的一元二 所以(x+a)2-b2=5,所以(x+a)2=5+b2. A.x=-1 B.=0 次方程x2+(k-1)x+2+6k=7是否存在实数 直接开平方并整理，得x,=m,x2=n. C.x=-1或x=2D.x=-2或x=0 根x=0?若存在，求出k的值，若不存在，请说明理 上述过程中a,b,m,n表示的数分别是 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 由 9.关于x的一元二次方程(x+2)(x-2)-3x (2)请用“平均数法”解方程：(x-3)(x+1) =0的一般形式是 5. 10.若关于x的方程(m-2)x2-2+2x-3=0 是一元二次方程，则m= 11.李伟同学在解关于x的一元二次方程x2 3x+m=0时，误将-3x看作+3x,结果解得x1= 1,,=-4,则原方程的解为 12.如果方程x2+4x+n=0可以配方成(x+ 数理报社试题研究中心 m)2=3,则(n-m)226= (参考答案见下期)初中数学·沪科八年级(AH)第27~31期 发理极 答案详解 2025~2026学年 初中数学·沪科八年级(AH)第27~31期 第27期2版 16.2.2二次根式的除法 16.1二次根式 基础训练1.B;2.A;3.-2. 基础训练1.B;2.B;3.D;4.4<c<12;5.一 4原赋=严-√展：厄 √6 6.(1)26; =25; (2)2-3: (3)3x-10. (2)原式=6×52 3 能力提高7.因为a为正数， 所以23-a<23. 6 ×52 5 因为√23-a为正整数， =10: 所以√23-a<23. (3)原式=30×2×23 √a”2a 因为4<√23<5， =5×2×5 所以√23-a的最大值为4. =6. 此时23-a=16,即a=7. 5.(1)②： 16.2二次根式的运算（乘除） 16.2.1二次根式的乘法 基础训练1.D;2.A;3.D;4.166;5.16; 第27期3版 6.32. 一、 题号12345678 ,(原武=√/含×品×3 答案ADABDBDB 二、9.>； 9 10.子： 11.-8;12.315. =2 3 三.)原武=√x(√/骨)×√g×6 /3.8.56 (2)原式=√60x令×号 =√4x3x9 112 =√50x号 =-N9 47 =42; 3； (3)原式=3v5×65×5,5 (2)原式=35×2×22 8 3 =54×53 =6×22 8 =122; =1353 4 (3)原式=2万x4×5 2 初中数学·沪科八年级(AH)第27~31期 =8÷5 2b+2c. 第28期2版 16.2二次根式的运算（加减） 14.()9 16.2.3二次根式的加减运算 基础训练1.D;2.A；3.C;4.25;5.18. 2 3 8 1 0)原武=32+竖-号-"2 4 15.(1)因为这个长方体的长、宽、高的比为4：3：1，且高 (2)原式=26+号)-（停-6 为，√2cm, =26+号-号+6 所以长方体的长、宽分别为42cm,3,2cm. 所以这个长方体的体积为：4√2×32×2= =36; 242(cm3). (3)原式=2+9+6√2-(2-9) (2)根据题意，得E0=H0=√24=26cm,G0=F0= =2+9+62+7 √5cm. =18+62. 所以留下部分的总面积为：26×√5×2= 7.(0V厄-号2万=25-号x35=25-5=5. 12√10(cm2). (2)淇淇的说法正确，理由如下： 16.(1)524 5 D-2V月+6=2.5-2x9寸×3 +6=25-6-5+6=3, 所以x=√3. n 2)规律n+”√”m为正整数，n≥2 因为√48=45， 证明：√+n” n(n2-1)+n n 所以x的值能与√48合并， n2-1 n2-1 Wn2-1 所以淇淇的说法正确。 n NR -I 16.2.4二次根式的混合运算 基础训练1.A；2.C;3.B;4.D; 17.(1)-20. (2)由题意，得2m-4=0,2n+6=0.解得m=2,n= 5.xs-5+3 4 -3.所以m-n=2-(-3)=5. 6.(1)原式=√6-26 (3)根据二次根式的非负性，得-5三0，角 解得y-5.所 =-6: l5-y≥0. 以x2=64.解得x=±8.当x=8时，x+y=13;当x=-8时， (2)原式=35-5+3-5-25 x+y=-3.综上所述，x+y的值是13或-3. =-2; 附加题(1)隐含条件2-x≥0.解得x≤2. (3)原式=32-2×26×3-18 所以x-3<0.所以原式=3-x-(2-x)=1. =32-122-32 (2)根据数轴，得a<0,a+b<0,b-a>0. =-122. 所以原式=-a-(a+b)-(b-a）=-a-2b. 7.原式=2-2√. (3)由三角形的三边关系，得a+b+c>0,a-b-c<0, b-a-e<0,c-b-a<0. 当=5y-写时，原式=8 所以原式=a+b+c-(a-b-c)-(b-a-c)-(c- 能力提高8.D;9.6. b-a)=a+b +c-a+b+c-b a+c-c+b a 2a+ 10.根据题意，得正方形①的边长是2，正方形②的边长 初中数学·沪科八年级(AH) 第27~31期 是5. (2)因为x=5-1 2 所以阴影部分的宽是2-√3. 所以2x=√5-1. 所以阴影部分的长是：3-(2-√5)=25-2. 所以2x+1=5. 所以阴影部分的面积为：(25-2)(2-√3)=63-10. 两边平方，得(2x+1)2=5. 第28期3版 所以4x2+4x+1=5. 一、 题号12345678 所以4x2+4x=4. 答案BB CDC AD D 所以x2+x=1. 二9.56；10.x=22;11.363:12.5. 所以x3+2x2=x3+x2+x2=x(x2+x)+x2=x+x2= 三、13.(1)原式=32-2 附加题 =22: 2(n+2-n) (2)原式=3×22-22+2×32 (1)2 n+2+后(n+2+n(m+2-m =62-22+62 √n+2-√m. =102: (2)4-√15>√17-4.理由如下： (3)原式=[(2+3)-6][(2+3)+√6] 因为1 4+15 =(2+3)2-6 的4-店4-5)4+5=4+， 1 7+4 =2+3+26-6 =7+4,4+15< 17-4(√17-4)（√17+4） =-1+26. 7+4, 14.(2,-2)★(5,3-5)=-25-2×(3-5)= -25-6+25=-6. 所以4厉-4 15.(1)这个长方体盒子的容积为：（√50-22）2×2= 因为4-√15>0，√17-4>0， 18√2(cm3). 所以4-√15>√7-4. 第29期综合测评卷 (2)这个长方体盒子的侧面积为：（√50-22）×2×4 一、 =24(cm2). 题号12345678910 答案DCBC ABAC A B 16.因为5x-√12>2x-4, 所以(5-2)x>23-4. 二11.x≥-3；12.0.2ab;13.5;14.7；15.3. 解得x<2 三16.(1)原式=55÷5=5； 因为x是正数， (2)原式=号×35-4×25+5 所以0<x<2. =25-85+5 所以x+1>0,x-2<0. =-53; 所以原式=2√(x+1)2+√(x-2)7=21x+11+ (3)原式=7-5-(7+1+27) 1x-21=2x+2+2-x=x+4. =2-8-27 17.(1)因为x=√10-3， =-6-27. 所以x+3=√10. 17.原式=(3a-1)√a. 两边平方，得(x+3)2=10. 所以x2+6x+9=10. 当0=分时原式=华 41 所以x2+6x=1. 8因为”△：a2+D马6=2a+ 所以x2+6x-8=1-8=-7. 2-12(2-1)(2+1)2 3 初中数学·沪科八年级(AH) 第27~31期 。-6=(0-宁b)2+a=3-220,6都是正整数。 故填4；-4. (2)当a>0时，因为30+4+5=3a+4+三=3(4+ 所以u-=-2,a=3解得6=10 a 综上所述，a的值为3，b的值为10. 高)+4=3a-√原P+4+2v压， 19.(1)长方形绿地的周长为：（√128+√50）×2= 所以当石=√即a=否时，对+如+5的最小值 3 a 262(米). 是4+2√15. (2)通道的面积为：√128×√50-2×（√13+1）× (3)设S△A0B为a, (√13-1)=56（平方米）.购买地砖需要花费：6×56= 因为SAA0D:SAAOR=0D:OB=S△cOn:SAcOB, 336(元) 201)原式=夏x25-35÷45 所以2：a=S0w:3,所以SAom=6 =2- 所以四边形ABCD的面积为2+3+e+吾=(a+名)+ a )2+5+26. 二4 5=(a-√a 因为a>0, 所以当石=√，即a=6时，四边形A8CD的面积的 所以吗445=令 最小值为5+26. 所以“口”内的符号为“÷” 第30期2版 故填÷ 17.1一元二次方程 (3)因为号<1，厘>1，v万>1 基础训练1.C;2.A;3.C; 4.12；5.(12-x)(8-x）=77;6.x=1. 所以“☐”内依次填入“+”“×”计算所得结果最大， 7.原方程可化为2(x2-2x+1)+bx-b+c=0,整理，得 则+vD×y7-45=号+25×35-45=18 2x2+(b-4)x+2-b+e=2x2-3x-1=0,所以b-4=-3, 3 2-b+c=-1,解得b=1,c=-2. 113 3 a b 能力提高8.(1)因为 =ad-bc,所以 e d 21.(0当a>0时，因为a+4=(a)2-2·a, a 4 =2×3-4×(-1)=10. (2)+2a2=(a-2)2+4, -1 3 a a a m (2)因为 所以当石=2，即a=2时，a+4的最小值为4： =0,所以x(x+2)-m(1-x)= 1-xx+2 a 0.又因为方程的一个根为2，所以2×(2+2)-m(1-2)=0, 当a<0时，因为a+4=-(-a-年， 解得m=-8. 17.2一元二次方程的解法 17.2.1直接开平方法 基础训练1.D;2.B;3.1; a 4.x1=1,x2=-4. 所以-(-a-=-(a-名2-4≤-4， -a1 5.(1)x1=10,2=-10; 所以当V口产。即。=-2时a+的最大值为 (2)x1=-1,x2=-9: (3)x1=4,32=-6 能力提高6.由题意，得a-2≥0,4-2a≥0. 初中数学·沪科八年级(AH)第27~31期 解得a=2. (2)将0=-2代人方程得-32-2x+5=0,即2+子 所以b=-3. 因为关于x的一元二次方程ax2+br+c=0(a≠0)的一 3 个根是x=1, 配方，得（任+兮2=5开方，得+号=±告 1 4 所以a+b+c=0. 解得c=1. 所以方程的解为：1=1，k3=-3 5 所以方程为好-1=0 17.(1)-3,6. 解得y1=2,2=-2. (2)当x<2时， 17.2.2配方法 根据x※2=3※x,得4-2x=3x-x2 基础训练1.D;2.A;3.B;4.3; 解得x1=1,x2=4(舍去)； 5.x1=2=-2. 当2≤x<3时， 6.(1)x1=-9,x2=-3; 根据x※2=3※x,得2x-4=3.x-x2. (3)x1=2+5,x2=2-5; 解得=1+，五，=1-，而（合去： 2 2 (4)x1=1+5,x2=1-5. 当x≥3时， 能力提高7.x2+10x+7=x2+10x+25-25+7=(x 根据x※2=3※x,得2x-4=x2-3x +5)2-18,所以代数式x2+10x+7的最小值是-18. 解得x1=1(舍去)，x2=4. 第30期3版 综上所述，x的值为1或+，或4 2 题号12345678 附加题(1)(x+2)(x+6)=5, 答案CDBAABBC 所以[(x+4)-2][(x+4)+2]=5, 所以(x+4)2-22=5, 二、9.x2-3x-4=0;10.-2; 所以(x+4)2=22+5,所以(x+4)2=9. 11.x1=4,x2=-1;12.1. 两边直接开平方得x+4=±3，解得x1=-1,x2=-7, 三、13.(1)x1=1,x2=-2: 所以a,b,m,n表示的数分别是4,2-1，-7. (2)x1=-3+25,x2=-3-23; 故填4,2，-1，-7. 26=2-v6 (3)x=2+6。 (2)(x-3)(x+1)=5, 2 所以[(x-1)+2][(x-1)-2]=5, 14.(1)等式的基本性质 所以(x-1)2-22=5,所以(x-1)2=22+5=9. (2)③，等号右边没有加4. 两边直接开平方得x-1=±3，解得x1=4,x2=-2. (3)x1=2+√13，x2=2-√13. 第31期2版 15.解不等式k+3≥2k-1,得k≤4. 17.2一元二次方程的解法 解不等式号(k-1)+1≥写(k-),得k≥-5。 17.2.3公式法 所以不等式组的解集为-5≤k≤4. 基础训练1.C2.D;3.9,x1=x2=3:4.3±√3； 把x=0代入kx2+(k-1)x+2+6k=7,得2+6k= 5.1+2. 个 解得k=1或k=-7(舍去) 1=54=5: 4 所以一元二次方程存在实数根x=0,且k的值为1. (2=1=g 16.(1)将x=1代入原方程得(a-1)-2+2+1=0, 整理，得a2+a-2=0,解得a1=1,2=-2. (3)x=72=-22 因为a-1≠0，所以a≠1，所以a的值为-2. 能力提高7.(1)根据题意，得m≠1. 初中数学·沪科八年级(AH)第27~31期 因为a=m-1,b=-2m,c=m+1, 三13.(1)x=2+2 21 2-2 所以b2-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1）=4. 2； 所以=0品-=山 2-2=3: ②)由1知=只=1+0 m二因为方程的两个根 (3)x=②+3。 2k=2-3 2 都为正整数.所以2是正整数所以m-1=1或m-1= 14.(1)降次. (2)移项，得2(x-3)-(x-3)2=0. 2.解得m=2或m=3.所以m为2或3时，此方程的两个根都 提取公因式，得(x-3)[2-(x-3)]=0 为正整数 所以x-3=0或5-x=0. 17.2.4因式分解法 解得x1=3,x2=5. 基础训练A:2.B:3.B:4-分5.-3. 15.设x2+2x=n,则原方程可化为n2+4n-5=0. 6.(1)x1=x2=2; 整理，得(n-1)(n+5)=0. (2)x1=3,x2=-1; 解得n=1或n=-5. 1 当n=-5时，x2+2x=-5无解，舍去. (3)x1=2=-3 所以x2+2x=1. 能力提高7.(1)原方程的根为x1=-2,x2=1. 所以x3+3x2+x=x(x2+2x+1)+x2=2x+x2=1. (2)设3x+2=,原方程可化为y+2-3=0, 16.(1)因为4x2-8x+3=0, 所以(2x-1)(2x-3)=0,解得，= 2,= 3 即y2-3y+2=0,解得y1=1,2=2. 2 当y=1时，x十2=1，解得x=-1,经检验是原方程的解； 因为与=多=出+山， 当y=2时，3+2=2，解得x=-2,经检验是原方程的解 所以方程42-8x+3=0是“连根方程”. 故原方程的根为x=-1,2=-2. (2)因为x2+(2m-3)x-6m=0, 综合集训营 所以(x-3)(x+2m)=0,解得x1=3,x2=-2m 1.(1)x1=6,x2=-10: 因为x2+(2m-3)x-6m=0是“连根方程”， (2)x1=8,x2=2; 所以x1=x2+1或x=七2-1，即3=-2m+1或3= (3)x=-1+10 2,x=1-10 -2m-1, 3 3 所以m=-1或m=-2. 4=景= 17.(1)2,4. (2)①x1=-1,x2=6. 2.(1)根据题意，得x(x+2)+1=4. ②解x2-9x+20=0,得x1=4,x2=5.由三角形的三边 整理，得x2+2x-3=0. 关系可知x=5,所以AB=AC=5.因为BC=8,所以等腰三 解得x1=1,x2=-3. 角形ABC的周长=AB+AC+BC=18. (2)由题意，得1<2(2-a)+1<5.解得0<a<2. 附加题 代数式-2x2+x+3存在最大值. 因为a是正整数，所以a=1. 所以方程为2x2+3x+1=0. -22++3=-2x-2+空 解得1=-1，西=-2 因为(-子尸≥0， 第31期3版 所以-2(x-子)2≤0， 题号12345678 答案BB C DBBCA 所以-2(-子2+≤ 二9.(x+1)(x-3)；10.0:11.-3;12.1-7 2 所以代数式-2+x+3有最大值写