第28期 16.2 二次根式的运算(加减)-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

4 素养·拓展 数理招 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 思维天地： 技巧一、运用乘法公式 报纸发行质量反馈电话 千方百计话刮比较 例1若x=3-2026,则代数式x2-6x 0351-5271248 +9的值为 ( 【上接4版参考答案) A.2028 B.-2004 江苏乔世杰 C.2026 D.-2021 比较二次根式的大小是一种常见题型，比b=c+d的二次根式之间的大小比较，判断依据 16(√5 24 较的方法也很多，现介绍四种常用的方法 是：当a>0,b>0时，如果a2>b,则a>b. 解析：因为x2-6x+9=(x-3)2,而x=3 外因内移法、平方法、作差法、倒数法，供同学们 三、作差法 √2026，所以x2-6x+9=(x-3)2=(3 验证：524 参考 √/2026-3)2=2026. /125 52×5 例4比较7-10与12-2√10的大小. W24 =√24 一、外因内移法 分析：代数式7-√10与12-2√10均为整 故选C. 例1比较2√万与72的大小 数减去一个最简二次根式，且这两个最简二次 方法指昂 5N24 分析：将两个二次根式根号外面的因数移根式的被开方数相同，故可选择作差法，根据差 2)规 律 到根号里面作比较，被开方数大的较大 值的正负判断它们之间的大小关系。 二次根式的运算 解：27=√22×7=√/28， 解：因为(7-√0)-(12-2√10)=-5 n+2-1 72=√7×2=√98， +10<0, 技巧多8 √n二(n为正整 n 因为28<98， 所以7-√10<12-2√0. 数，n≥2). 所以√28<√98 温馨提示：此方法适合两个二次根式中出 ⊙山西杨智 证 明： n. 所以2万<72. 现某些被开方数相同的二次根式，判断依据是： 技巧二、逆用幂的运算法则 温馨提示：这种方法适用于两个二次根式若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b; 例2 计算：(5-2)2026(5+2)205= n+2-J n(n-1)+n 的比较或一个二次根式与一个有理数的比较，若a-b=0,则a=b. ( n2-1 依据为：当a>0,b>0,a>b时，√a>√b. 四、倒数法 A.W5+2 B.5-2 n 二、平方法 例5比较5-√4与√4-√3的大小 C.2025 D.2026 Vn2-1 例2比较35与53的大小 分析：此题中被开方数15-14=14-13， 解析：(5-2)26(5+2)225=(5- n n 分析：将两个二次根式作比较，开方数大的故可采用先求倒数后比较的方法 2)225(5+2)205(5-2)=[(5-2)(5+ Vn2-1 1 17.(1)-20. 较大 解： 因为 =1 2)]225(5-2)=(5-4)25(5-2)=W5 (2)由题意，得 解：因为(35)2=32×5=45，(55)2= 5-/4 2 2m-4=0,2n+6= 52×3=75,且75>45 15+14 =5+/4, 0.解得m=2,n= (5-√4)(/+√4) 故选B 所以35<55. -3.所以m-n=2 技巧三、运用因式分解 4+3 -(-3)=5. 例3比较5+√3与5+√T的大小 分桥：此题中被开方教3+135+1，故m-石(m-V(V阳+而 =14 例3已知a=5+3,b=5-3,则a3 (3)根据二次根 6-a2b+ab2= 式的非负性，得 可采用先平方后比较的方法 +3,且5+4>4+13， y-5≥0，解得y 解：因为(3+√3)2=16+239，(5+ 1 1 解析：a3-b3-a2b+ab=a3-a2b+ab2 5-y≥0. 所以5后>后 -b=a2(a-b)+b2(a-b)=(a-b)(a2+ =5.所以x2=64.解 T)2=16+2√55，且16+239<16+ b2)=(a-b)[(a-b)2+2ab]. 得x=±8.当x=8 255, 因为5-√14>0，√14-√3>0， 时，x+y=13;当x= 所以(3+3)2<(5+T)2 所以5-√4<√4-√3. 当a=5+3,b=5-3时，a-b=(5 -8时，x+y=-3. +3)-(5-3)=6,ab=(5+3)(5-3) 综上所述，x+y的值 因为3+√3>0,5+√T>0, 温馨提示：此方法适合对于a-石与- 是13或-3. -4, Va中，a-b=c-d的二次根式之间的大小比 附加题 (1) 所以W3+√13<√5+√11. 所以原式=6×(62-2×4)=6×(36- 隐含条件2-x≥0. 温馨提示：此方法适合形如a6与ca的较，荆断依据是：当a>0,6>0时，若。>方， 1 8)=6×28=168. 解得x≤2. 比较，但主要适合对于a±万与E±a中，a+则a<b. 故填168. 所以x-3<0. 所以原式=3-x 十“十+十十十十。十十十十十十“+“十十 。十“++十+十十十十+ (2-x)=1. 第27期2版参考答案 5.16;6.32 (2)根据数轴， 16.1二次根式 )身 7.()3；(24;(3)=1355 得a<0,a+b<0, 基础训练1.B;2.B;3.D; 4 1 4 9 b-a>0. 4.4<e<12;5.一. (2)原式=√年×√号×√6×× 16.2.2二次根式的除法 所以原式 -a-(a+b)-( 6.(1)26;(2)2-5;(3)3x-10. 基础训练1.B;2.A;3.-2. 641.2 a)=-a-2b. 能力提高7.因为a为正数， 4.(1)25:(2)10:(3)6. (3)由三角形的 15.(1)因为这个长方体的长、宽、高的此为 所以23-a<23. 5.(1)②； 三边关系，得a+b+ 4:3:1,且高为2cm, c>0,a-b-c<0, 因为√/23-a为正整数， 后是6清哈 11×5-5 所以长方体的长、宽分别为42cm, b-a-c<0,c-b- 所以√/23-a</23. a<0. 32 cm. 第27期3版参考答案 所以原式=a+ 因为4</23<5， 所以这个长方体的体积为：42×32×√2 b+c-(a-b-c)- 题号12345678 (b-a-c)-(c-b 所以√23-a的最大值为4. 答案A DABDBD B =24√2(cm3). -a)=a+6+c-a 此时23-a=16,即a=7. (2)根据题意，得E0=H0=√24= +b+c-b+a+c- 16.2二次根式的运算（乘除） =9.>:103:1.-8:1235. 26cm,G0=F0=√/15cm. c+b+a =2a +26+ 2c. 16.2.1二次根式的乘法 所以留下部分的总面积为：26×5×2 （全文完) 基础训练1.D;2.A;3.D;4.166; 三5.()）-4(22万：(3)号 =12√/o(cm2). (下转1,4版中缝) 数评橘 2026年1月14日·星期三 初中数学 第28期总第1172期 沪科 八年级(AH) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 入门向导日 估算在日常生活与数学学习中都有着十分 广泛的应用，培养学生的估算意识，发展学生的 ?三次根式的加减运算“三字诀 估算能力，让学生拥有良好的数感，具有重要的 价值学生掌握了科学、合理的估算方法，对提 ©四川闵雪 高学生的分析、判断能力，培养学生的思维灵活 二次根式的加减运算是本节学习的重点， 解：原式=(2)+1-35-25-22+5 性将起到积极的促进作用。 其关键在于掌握二次根式的加减运算的三个基 一、估算代数式的取值范围 本步骤 =2+1-1-22+3 1.化：将算式中的各项都化成最简二次根 例1 估计(25+5)×√的值应在 =2-22+5 式.这是二次根式的加减运算的关键步骤 2.找：在各项都化为最简二次根式后，找出 例4计第5√ 20+ A.4和5之间 B.5和6之间 5-2 C.6和7之间 D.7和8之间 被开方数相同的二次根式 解：原式×√ -4×5+ 分析：先运用二次根式的混合运算法则进 3.合：将被开方数相同的二次根式合并.合 行运算，再根据估算得出答案。 并时，同整式加减中合并同类项类似，只合并二 √5+2 解：原式=2+10.因为3<10<4，所 次根式前面的“系数”，二次根号及被开方数不 (5-2)(5+2) 以5<2+10<6. 变 =5-25+ 5+2 故选B. (5)2-2 名师点睛日 =5-25+5+2 例1 计算2+32-√⑧的结果是 =2. 算显神通 O辽宁王炳刚 A.0 B.22 意事领 二、表示点的位置 例2如下图，数轴上的点可近似表示 C.4 D.62 1在二次根式的加减运算中，如果有括号， (46-√/30)÷6的值是 解析：原式=2+32-22=22. 可以先化简，再去括号；也可以先去括号，再化 A B C D 故选B. 简注意符号不要出错。 -1 012394→ 2.化简要彻底，化简后，被开方数不同的二 A.点AB.点BC.点CD.点D 例2计算：6×（店6. 次根式不能合并，对于没有合并的二次根式不 分析：根据二次根式的运算法则以及不等 解：原式=1-6=-5. 式的性质即可求出答案！ 能漏掉，它们是结果的一部分 例3计算：2(2+1》 -⑧-⑧ 解：原式=4-5.因为2<√5<3，所以1 3.在运算的过程中，二次根式中根号外的 <4-√5<2.故选A. 数字因数是分数的，不要写成带分数的形式，而 三、确定二次根式的整数部分和小数部分 (22-3) 要写成假分数的形式 例3若3-2的整数部分为a,小数部分 专题辅导 为b,则代数式(2+√2a)·b的值是 强化四种意识解题如虎添翼 分析：先根据不等式的性质确定二次根式的 整数部分和小数部分，再代入代数式求解即可 ©安徽叶知秋 解：因为1<2<2，所以1<3-2<2. 二次根式的混合运算综合性强、灵活性大， =3-25+1+5-9 因为3-万的整数部分为a,小数部分为b,所以a 要想学好这部分内容，必须强化如下四种意识 =-23. =1,b=3-2-1=2-2.所以(2+2a)·b 一、化简意识 变式训练3：计算：(25-32)2 =(2+2)(2-√2)=2. 例1计算：√27+√2-45 故填2 四、分母有理化意识 解：原式=33+25-35=55-35. 变式训练1：计算：5-2√20+√25. 例4计算：厄+05-3√分+后+万 1 1 主进 二、顺序意识 解：原式=2万+ -5+ 16.2二次根式的运算（加减） 例2计算：(2-1)+2÷6. 学习目标：1.理解二次根式的加减运算法 5-2 解：原式=2-1+2=22-1. 则，掌握二次根式的加减运算步骤 (5+2)(5-√2) 变式训练2：计算：(12+18)-（√8 2.能熟练进行二次根式的加、减、乘、除混合 =25+5-5+5-2 /27). 运算 三、运算律意识 =25-2 认知重点：1.会借助完全平方公式和平方差 21 例3计算：(5-1)2+(5+3)×(W5-3). 公式进行二次根式的运算. 解：原式=(5)2-23+1+(5)2-32 变式训练4：计算：万-5,5+20 2能运用二次根式的运算解决实际问题. 5 2 素养专练 数理极 淇的说法正确吗？请说明理由 跟踪训练 3)6-2a)x5-6/ GENZONGXUNLIAN V6 16.2二次根式的运算（加减） ① (2 16.2.3二次根式的加减运算 图2 屋础训练 1.下列二次根式中，与⑧能合并的是( A.5 B.2 C.16 D.√2 2.若2≈1.414，计算22-32-992的 7.先化简，再求值：-上+-2y+y 16.2.4二次根式的混合运算 x+y -√ 结果约是 ( 1 A.-141.4 B.-100 垦础训练 其中x=5,y= C.141.4 D.-0.01414 1.计算：2√0÷2+5= 3.已知32-2=a2-2=b2,则a+ A.35 B.5 b的值是 () A.5 B.6 9 D.10 2 C.7 D.8 4.对于任意正实数a,b,定义一种新的运算： 2.若要在(52-√2)口2的“口”中填上 个运算符号，使计算结果最大，则这个运算符号应 a⑧b=ab-a,如3⑧4=3×4-5= 该填 5.请你计算5⑧9= A.+ B.- 5.如图1，大正方形的面 C.× D.÷ 积为48，小正方形的面积为 3.如图1，甲、乙、丙三 12,则阴影部分的面积是 甲(2-V3)2 人手中各有一张纸质卡片， 卡片的正面分别写有一个算 乙V2(V2-V8) 能刀提高 6.计算： 式，则这三张卡片中，算式的 丙V24-VT-3P -0.5： 图1 8.已知-二=5，则E+二的值为 (1)8+√8 计算结果是有理数的有 x ( ) ( A.0张 B.1张 A.±√5 B.±7 C.2张 D.3张 c.5 D.7 4.若x=2+号2026，y=2- 3 9.已知方程组2压-35=2，那么2E+ 32026,则2+2xy+y的值是 1 ( l4x-9y=12, ) 3万的值是 2(4+)-（√居-6： A.12 B.4 10.如图2，一个长方形被分割成四部分，其中 C.2026 D.8 图形①，②，③都是正方形，且正方形①，②的面 5.不等式5x≥3x+1的解集是 积分别为4,3，求图中阴影部分的面积 6.计算： ③ (1)2×3-24; ② 图2 (3)(2+3)2-(2+3)(2-3). (2)(5+1)(3-5)-√20： 7.如图2，嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏， 在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分 别标有一个数，现从容器中摸取小球，若摸到白色 球，就加上球上的数；若摸到灰色球，就减去球上 的数. (1)若嘉嘉摸到如图2-①所示的两个小球， 请计算出结果； (2)如图2-②，若嘉嘉摸出全部的球，计算 数理报社试题研究中心 结果为x,淇淇说x的值能与√48合并，你认为淇 (参考答案见30期) 数理极 素养·测评 3 16.(10分)已知正数x满足不等式5x-√2 同步检测 >2x-4,试化简：2√/(x+1)7+√-4x+4. TONGBUJIANCE 【检测范围：16.2（加减）】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 10.方程2x+√2=3x-√2的解是 题号12 345 67 8 11.若一个梯形的上底长为√32，下底长为 答案 5,高为√6，则该梯形的面积是 1.计算35+25的值为 12.若a=√7+3，b=3-7,则√a2+6-7 A.5 B.55 的值为■ C.65 D.0 三、耐心解一解（共52分） 2.若最简二次根式√m+2026与2可以合 13.(12分)计算： 17.(12分)请阅读下列材料： 并，则m的值为 ( )⑧-万× 2 问题：已知x=√5+2，求代数式x2-4x-7的 A.2024 B.-2024 值 C.2028 D.-2028 小明的做法是：因为x=√5+2，所以(x-2)2 3.计算(2-1)2的结果正确的是 =5.所以x2-4x+4=5.所以x2-4x=1.所以 A.3+2 B.2-2 x2-4x-7=1-7=-6. C.3-22 D.3+22 仿照上述方法解决问题： 4.若75-/12=ab,则a的值是 (1)已知x=√10-3，求代数式x2+6x-8 (2)38-4 +28: 的值； A.6 B.9 (2)已知x-5,1,求代数式2+2的值 2 C.12 D.27 5.化简13-41-13-√31的结果为 A.-1 B.7 C.7-213 D.2√/13-1 (3)(2+5-6)(2+5+6) 6.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成 二次根式运算，规则是：每人只能看到前一人给的 式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人， 最后完成化简，过程如图1所示： 老师 14.(8分)对于任意四个实数a,b,c,d,都可 V623-VE:2Vs-V2(2-82 .V6 .V6 以组成两个实数对(a,b)与(c,d).我们规定：(a, b)★(c,d)=bc-ad.例如：(1,2)★(3,4)=2× 附加题⊙ 图1 3-1×4=2.根据上述规定计算(2，-2)★(5， (以下试题供各地根据实际情况选用) 接力中，自己负责的一步出现错误的是 3-5). 两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有 二次根式，称这两个代数式互为有理化因式 A.只有乙 B.甲和丁 C.乙和丙 D.乙和丁 例如：5与5,2+1与2-1等都互为有理 7.如图2，数轴上表示 化因式 C A B 1和2的对应点分别为A, 1V2 在进行二次根式的计算时，利用有理化因式 B,点B关于点A的对称点 图2 可以化去分母中的根号. 是C,设C点表示的数为x,则x+√2的值为 例如：尽」 15.(10分)如图4，有一张面积为50cm的正 A.1-2 B.1+√2 方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有 底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等 万- 1 2-1 C.5-1 D.2 1 8.按如图3所示的运算程序，若输入数字“3” 的小正方形，此小正方形的边长为2cm 则输出的结果是 ( (1)求这个长方体盒子的容积； (2)求这个长方体盒子的侧面积 (1)请仿照上述过程，化去下式分母中的根 是 ×(3+V2) 2 号 (n为正整数)； 输入的-V2天子> √n+2+√n 输出 (2)利用有理化因式比较4-15与√17-4 否x(3-V2) 的大小，并说明理由. 图3 图4 A.3√2-1 B.3-52 C.62-3 D.5-42 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 数理报社试题研究中心 9.计算√54+√24的结果是 (参考答案见30期)初中数学·沪科八年级(AH)第27~31期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·沪科八年级(AH) 第27~31期 第27期2版 16.2.2二次根式的除法 16.1二次根式 基础训练1.B;2.A;3.-2. 基础训练1.B:2.B;3.D:4.4<c<12;5.一. 4)式展√展顶 6 6.(1)26; =25; (2)2-√5； (3)3x-10. (2)原式=6×52 3 能力提高7.因为a为正数， 所以23-a<23. -6x5,2 5 因为√23-a为正整数， =10; 所以23-a<√23. (3)原式=√3a×巨×2E √a2a 因为4<23<5， =5×2×5 所以√23-a的最大值为4. =6. 此时23-a=16,即a=7. 5.(1)②： 16.2二次根式的运算（乘除） 11×55 16.2.1二次根式的乘法 ②2元，2525x56 基础训练 1.D:2.A:3.D:4.166:5.16: 第27期3版 6.32 题号12345678 5 9 答案ADA BDBDB 7.(1)原式= 3 ×125×3 二、9.>；10. 2；11.-8;12.35 7 三)原式-√x(~√)×√gx6 1 =5 (2)原式=√0x含x号 112 =√80×号 =-N9 、4 =42; 3 2 (3)原式=3后x65×55 (2)原式=35×二×22 =6×2√2 =54x53 8 =12√2； =1353 4 (3)原式=2x4×:5 3 初中数学·沪科八年级(AH) 第27~31期 =8÷5 2b+2c. 第28期2版 16.2二次根式的运算（加减） 14(1)号 16.2.3二次根式的加减运算 基础训练1.D;2.A;3.C;4.25;5.18. 2 3 8 1 )原武=3迈+号号- 4； ×4×…×9=g 15.(1)因为这个长方体的长、宽、高的比为4：3：1，且高 (2)原式=(26+号-（号-5 为√2cm, =26+号-9+6 所以长方体的长、宽分别为4√2cm,3√2cm. 所以这个长方体的体积为：4√2×3√2×2= =36; 242(cm3). (3)原式=2+9+6√2-(2-9) (2)根据题意，得E0=H0=√24=26cm,G0=F0= =2+9+62+7 /15cm =18+62. 所以留下部分的总面积为：26×5×2= 7.()厄-号万=25-号×35=25-5=5 12√10(cm2). (2)淇淇的说法正确，理由如下： 16.(1)524 厘-2V厚寸万+6-25-2x9寸×35 +6=25-6-5+6=5, 所以x=5. (2规律V瓜+=V产a为正整数≥2》 n 因为48=43， 证明：√n+n (m-1)+n= n 所以x的值能与48合并， n2-1 n2-1 Wn2-1 所以淇淇的说法正确。 n 16.2.4二次根式的混合运算 基础训练1.A；2.C；3.B；4.D; 17.(1)-20. (2)由题意，得2m-4=0,2n+6=0.解得m=2,n= 5.xs-5+3 4 -3.所以m-n=2-(-3)=5. 6.(1)原式=√6-26 (3)根据二次根式的非负性，得-5≥0， 解得y=5.所 =-6; 5-y≥0. 以x2=64.解得x=±8.当x=8时，x+y=13;当x=-8时， (2)原式=35-5+3-5-25 x+y=-3.综上所述，x+y的值是13或-3. =-2； 附加题(1)隐含条件2-x≥0.解得x≤2. (3)原式=3√2-2×26×5-√/⑧ 所以x-3<0.所以原式=3-x-(2-x)=1. =32-122-32 (2)根据数轴，得a<0,a+b<0,b-a>0. =-122. 所以原式=-a-(a+b)-(b-a）=-a-2b. 7.原式=2-2 (3)由三角形的三边关系，得a+b+c>0,a-b-c<0, b-a-c<0,c-b-a<0. 当=5，y=号时，原式-8 5 所以原式=a+b+c-(a-b-c)-(b-a-c)-(c- 能力提高8.D;9.6 b-a)=a+b+c-a+b+c-b+a+c-c+b+a=2a+ 10.根据题意，得正方形①的边长是2，正方形②的边长 初中数学·沪科八年级(AH) 第27~31期 是3 (2)因为x=5-1 2 所以阴影部分的宽是2-5。 所以2x=5-1. 所以阴影部分的长是：5-(2-√3)=25-2. 所以2x+1=5. 所以阴影部分的面积为：(25-2)(2-5)=65-10. 两边平方，得(2x+1)2=5. 第28期3版 所以4x2+4x+1=5. 题号12345678 所以4x2+4x=4. 答案BBC DCADD 所以x2+x=1. 二、9.56；10.x=22;11.365:12.5. 所以x3+2x2=x3+x2+x2=x(2+x)+x2=x+x2= 三、13.(1)原式=32-2 附加题 =25; 2 2(n+2-n) (2)原式=3×22-22+2×32 (1) n+2+元=(n+2+n)(/n+2-万） =62-22+62 n+2-n. =102; (2)4-√15>√17-4.理由如下： (3)原式=[(2+√5)-6][(2+5)+√6] 因为1 4+15 =(V2+3)2-6 纳4-店4-5)4+54+压， 1 17+4 =2+3+26-6 而-4°(m-4)(m+4 =√17+4,4+√5< =-1+26. /7+4, 14.(2,-2)★(5,3-5)=-25-2×(3-5)= 1 -25-6+25=-6. 所以后而4 15.(1)这个长方体盒子的容积为：（√50-22）2×2= 因为4-5>0，√7-4>0， 182(cm2). 所以4-√1>7-4 第29期综合测评卷 (2)这个长方体盒子的侧面积为：(50-22)×2×4 =24(cm2). 题号12345678910 答案DCBCABACA B 16.因为5x-√12>2x-4, 所以(5-2)x>23-4. 二、11.x≥-3；12.0.2ab；13.5;14.7;15.3. 解得x<2. 三、16.(1)原式=55÷5=5： 因为x是正数， (2)原式=号×35-4×25+厅 所以0<x<2. =25-85+5 所以x+1>0,x-2<0. =-55; 所以原式=2√(x+1)7+√(x-2)7=21x+11+ (3)原式=7-5-(7+1+27) 1x-21=2x+2+2-x=x+4. =2-8-27 17.(1)因为x=√0-3， =-6-2万. 所以x+3=√0. 17.原式=(3a-1)a. 两边平方，得(x+3)2=10. 所以x2+6x+9=10. 当。=分时原式=华 所以x2+6x=1. 18因为万”-。：，a5+”马6=2a+ 所以x2+6x-8=1-8=-7. 2-12(2-1)(2+1) 一3 初中数学·沪科八年级(AH) 第27~31期 a-经6=(a-之)万+a=3-25,a6都是正整数。 故填4；-4. (2)当a>0时，因为20+4a+5=3a+4+=3(a+ 所以a-=-2,a=3.解得6=10 a 综上所述，a的值为3，b的值为10. 高)+4=3后-+4+2压， 19.(1)长方形绿地的周长为：(/128+50)×2= 所以当石=√即-否时，女+如+5的最小值 a 262(米). 是4+2√15. (2)通道的面积为：√128×√50-2×（√13+1）× (3)设S△oB为a, (√3-1)=56（平方米）.购买地砖需要花费：6×56= 因为S AAOD:SaA0B=OD:OB=SAcOD:SACOR, 336(元). 6 20(1)原式=5×25-35÷45 所以2：a=S△coo:3,所以S△com= a =2- 所以四边形ABCD的面积为2+3+a+合=(a+合)+ 5=(a-a )2+5+26. 二4 因为a>0, 所以当，石=√：，即a=石时，四边形A6CD的面积的 所÷4= 2 最小值为5+26. 所以“☐”内的符号为“÷” 第30期2版 故填÷ 17.1一元二次方程 (3)因为5<1，厄>1，万>1， 基础训练1.C；2.A;3.C; 4.12;5.(12-x)(8-x)=77;6.x=1. 所以“口”内依次填人“+”“×”计算所得结果最大， 7.原方程可化为2(x2-2x+1)+bx-b+c=0,整理，得 则5+D×7-46=+25×35-45=18 2x2+(b-4)x+2-b+c=2x2-3x-1=0,所以b-4=-3, 3 2-b+c=-1,解得b=1,c=-2. -113 3 a b 能力提高8.(1)因为 =ad-bc,所以 e d 21.(1)当a>0时，因为a+4=(a)2-2a. 2 + =2×3-4×(-1)=10. (2)+26.2=(a-2)2+4, -1 3 a a a m (2)因为 所以当后=2，即a=2时，a+4的最小值为4； =0,所以x(x+2)-m(1-x)= 1-xx+2 a 0.又因为方程的一个根为2，所以2×(2+2)-m(1-2)=0, 当a<0时，因为a+号=-(-a-总， 解得m=-8. 所以-a-4=(02-2:a2 17.2一元二次方程的解法 a 17.2.1直接开平方法 基础训练1.D;2.B;3.1; 4.x1=1,x2=-4. 以-(-。--(a产24-4 5.(1)x1=10,x2=-10: 所以当/a产。即a-2时a+÷的大值为 (2)x1=-1,x2=-9; (3)x1=4,3=-6. 能力提高6.由题意，得a-2≥0,4-2a≥0. 4 初中数学·沪科八年级(AH)第27~31期 解得a=2. (2)将a=-2代人方程得-3x-2x+5=0,即2+子 所以b=-3. 因为关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 3 个根是x=1, 1. 所以a+b+c=0. 配方，得(x+弓》2=开方，得x+行=±手， 解得c=1. 5 所以方程的解为无=1，。=- 所以方程为-1=0 17.(1)-3,6. 解得少=2,5=-2. (2)当x<2时， 17.2.2配方法 根据x※2=3※x,得4-2x=3x-x2. 基础训练1.D;2.A;3.B;4.3; 解得x1=1,x2=4(舍去)； 5.x1=x2=-2. 当2≤x<3时， 6.(1)x1=-9,x2=-3; 根据x※2=3※x,得2x-4=3x-x2. (3)x1=2+5,x2=2-5; 解得=↓+叵。 =1-，而（含去： 2 (4)x=1+5,x2=1-5. 当x≥3时， 能力提高7.x2+10x+7=x2+10x+25-25+7=（x 根据x※2=3※x,得2x-4=x2-3x +5)2-18,所以代数式x2+10x+7的最小值是-18. 解得x1=1(舍去)，x2=4. 第30期3版 综上所述，x的值为1或+，五或4 2 题号12345678 附加题(1)(x+2)(x+6)=5, 答案CDB AABBC 所以[(x+4)-2][(x+4)+2]=5, 所以(x+4)2-22=5, 二、9.x2-3x-4=0;10.-2; 所以(x+4)2=22+5,所以(x+4)2=9. 11.x1=4,2=-1;12.1. 两边直接开平方得x+4=±3，解得x1=-1,2=-7, 三、13.(1)x1=1,x2=-2; 所以a,b,m,n表示的数分别是4,2-1，-7. (2)x1=-3+25,x2=-3-25; 故填4,2，-1，-7. 26=2-6 (3)x=2+6 (2)(x-3)(x+1)=5, 2 所以[(x-1)+2][(x-1)-2]=5, 14.(1)等式的基本性质. 所以(x-1)2-22=5,所以(x-1)2=22+5=9. (2)③，等号右边没有加4. 两边直接开平方得x-1=±3，解得x1=4,x2=-2. (3)x1=2+√13，x2=2-13. 第31期2版 15.解不等式k+3≥2k-1,得k≤4. 17.2一元二次方程的解法 解不等式之(-)+1≥号k-1),得k≥-5 17.2.3公式法 所以不等式组的解集为-5≤k≤4. 基础训练1.C；2.D;3.9,1=x2=3;4.3±√3； 把x=0代人kx2+(k-1)x+2+6k=7,得2+6k= 5.1+2 7 61%=5±厘5-应， 4 4 解得k=1或k=-7(舍去). 所以一元二次方程存在实数根x=0,且k的值为1. (2)=1离=-3 16(1)将x=1代入原方程得(a-1)-2+a2+1=0, 整理，得d2+a-2=0,解得a1=1,a2=-2. (3)x=2=-22 因为a-1≠0，所以a≠1，所以a的值为-2. 能力提高7.(1)根据题意，得m≠1. 5 初中数学·沪科八年级(AH) 第27~31期 因为a=m-1,b=-2m,c=m+1, 三，13.(1)x1=2+2 -2-2 所以62-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4. 2 2； 所议=熟品山 （22=3: (②)由)知兰=1+己因为方程的两个限 3%-:6 2 都为正整数，所以乙是正整数所以m-1=1或m-1 14.(1)降次. (2)移项，得2(x-3)-(x-3)2=0. 2.解得m=2或m=3.所以m为2或3时，此方程的两个根都 提取公因式，得(x-3)[2-(x-3)]=0. 为正整数 所以x-3=0或5-x=0. 17.2.4因式分解法 解得x1=3,x2=5. 基础训练1A:2.B:3.B:4-分：5-3 15.设x2+2x=n,则原方程可化为n2+4n-5=0. 6.(1)x1=x2=2; 整理，得(n-1)(n+5)=0. (2)x1=3,x2=-1; 解得n=1或n=-5. 1 (3)x1=为=-3 当n=-5时，x2+2x=-5无解，舍去. 所以x2+2x=1. 能力提高7.(1)原方程的根为x1=-2,2=1, 所以x3+3x2+x=x(x2+2x+1)+x2=2x+2=1. (2)设+2=，原方程可化为y+2-3=0, 16.(1)因为4x2-8x+3=0, Y y 即y2-3y+2=0,解得y1=1,y2=2. 所以(2x-D(2x-3)=0,解得5=方=多 当)=1时，“士2=1，解得=-1，经控验是原方程的解： 因为，=子=+1， 当y=2时，3x+2=2,解得x=-2,经检验是原方程的解 所以方程4x2-8x+3=0是“连根方程”. 故原方程的根为x1=-1,x2=-2. (2)因为x2+(2m-3)x-6m=0, 综合集训营 所以(x-3)(x+2m)=0,解得x1=3,x2=-2m. 1.(1)x1=6,x2=-10; 因为x2+(2m-3)x-6m=0是“连根方程”， (2)x1=8,x2=2; 所以x1=2+1或x1=x2-1,即3=-2m+1或3= (3)x=1+0 -2m-1, 3 ,两=10 3 所以m=-1或m=-2. 04=子4= 17.(1)2,4. (2)①x1=-1,x2=6. 2.(1)根据题意，得x(x+2)+1=4. ②解x2-9x+20=0,得x1=4,x2=5.由三角形的三边 整理，得X2+2x-3=0. 关系可知x=5,所以AB=AC=5.因为BC=8,所以等腰三 解得x1=1,:2=-3. 角形ABC的周长=AB+AC+BC=18. (2)由题意，得1<2(2-a)+1<5.解得0<a<2. 附加题 代数式-2x2+x+3存在最大值. 因为a是正整数，所以a=1. 所以方程为2x2+3x+1=0. -2++3=-2(x-产+空 解得=-1，名=-今 因为(x-)2≥0， 第31期3版 所以-2x-子°≤0. 题号12345678 答案BBC DBBCA 所以-2(-2+≤ 二9.(x+10(x-3)；10.0:11.-3;12.1-回 2 所以代数式-22+：+3有最大值受 6