第27期 16.1 二次根式 16.2 二次根式的运算(乘除)-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

4 素养·拓展 数理极 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 品味方法 在化简二次根式时，很 过 留 报纸发行质量反馈电话 0351-5271248 ◆闪耀在二次根式中的数学思想 多同学不仔细审题，往往一 拿到题目就开方，造成无法 2025~2026学年 山西叶城 化简或化简错误现介绍几© 八年级数学沪科(AH)】 一、数形结合思想助力二次根式的化简 值 种二次根式的化简方法，供江 第二学期编辑计划 例1实数a,b,c在数轴上对应点的位置 解：因为x2-3x+1=0,所以x-3+ 同学们参考. 第27期 如图1所示，化简(a)2+√(a-b-c)7-1b 一、先化成因数的乘 将 16.1二次根式；16.2二次 -aI的结果是 0,即x+1 Wx+)2-2 积，再开方 =3,所以原式= 破= 根式的运算（乘除）》 当被开方数是整数时， 6o 第28期 图1 应先化成几个因数的乘积 16.2二次根式的运算（加 A.a-2b-c B.c-a 再开方 减) C.-a+2b+c D.a-c 变式训练2：已知a-b=-√2，ab= 则 例1 化简12的结 简 第29期 解析：由题意得a>0,c<b<0,1c1> 果是 ( 第16章小结与复习 1al>1b1,所以a-b-c=a+(-b)+(-c) 代数式√a+b-2ab+a2+b+ab的值等于 A.23 B.3 C.22 第30期 D.2 >0,b-a<0 17.1一元二次方程；17.2 所以(a)2+√(a-b-c)7-lb-al=a 三、分类讨论思想在二次根式计算中的应 分析：将被开方数12写成平方数4与3的 一元二次方程的解法（直 乘积，再将平方数4开方即可. (a-b-c)-(a-b)=a+a-b-c-a+ 接开平方法，配方法) b=a-c.故选D. 解：2=√4×3=25. 第31期 例3化简：√02-2x+1= 变式训练1：实数在数轴上的位置如图2所 故选A 17.2一元二次方程的解 二、先化成分数形式，再开方 示，则化简√a2+4a+4-(a-5)2的结果 解析：因为/x2-2x+1=/(x-1)2, 法（公式法，因式分解法 当被开方数是小数或带分数时，应先将其 为 当x>1时，x-1>0,所以√2-2x+1= 第32期 化成分数或假分数的形式，再开方 17.3一元二次方程根的 -3a-2 -1 0 x-1. 判别式：17.4一元二次方 图2 当x<1时，x-1<0,所以√2-2x+1= 例2化简：1)0丽：2)√2于 4 程的根与系数的关系 A.7 B.-7 1-x. 分析：(1)0.03是小数，在化简时应先将其 17.5一元二次方程的应 C.-2a+7 D.2a-7 化为分数，然后再根据二次根式的性质进行化 二、整体思想巧妙解决二次根式求值问题 故填|x-11. 简； 第33期 例2已知x2-3x+1=0,求/x2+之的 变式训练3：化简：3x-2 (2)2是带分数，不能直接进行开方运算， 第17章小结与复习 3x-2 第34期 应先将带分数化为假分数后，再根据二次根式的 18.1勾股定理：18.2勾股 题型空间· 定理的逆定理 解密二次根式的题型 性质进行化简」 第35期 3 5 第18章小结与复习 44 解：(1)0.03=√100 √/100 :=10 ©广东郝文静 第36期 一、开放型 故填66 3 期中复习 例1如果一个无理数a与⑧的积是一个 小结：此类题型注重知识的应用.解题时， 第37期 有理数，写出a的一个值是 特别要注意实际情况 三、先化成平方形式，再开方 19.1多边形 解析：因为8=22，(2)2=2，所以a是 三、规律型 当被开方数是单项式时，应先将被开方数 第38期 例3观察下列各式： 写成含有平方的形式，再开方 19.2平行四边形 化简成最简二次根式后含有2的数.故填 例3若y>0,则√x可化简为 第39期 √2（答案不惟一）. 0+写2√ 19.3矩形、菱形、正方形 小结：此类题不仅能巩固知识，形成技能， 分析：先判断x,y的正负，再根据二次根式 一矩形 而且能启发思维，培养能力.解题时，既要考虑问 g+-3 的性质进行化简， 第40期 题及明确的条件，又要考虑隐藏的条件 ③3+5=45… 1 19.3矩形、菱形、正方形 二、实际应用型 解：因为xy>0,所以x,y同号，且均不为0. 二)月 一菱形 例2秦九韶公式是 (1)请观察规律，并写出第④个等式： 又因为√x有意义， 第41期 我国南宋数学家秦九韶曾 所以-x2y>0.所以x<0,y<0. 19.3矩形、菱形、正方形 经提出的利用三角形的三 (2)请用含n(n≥1)的式子写出你猜想的 所以原式=√2·√y=-x√y (三)一正方形 边求面积的计算公式，如 A 规律 故填-x√一y. 第42期 果一个三角形的三边长分别是a,b,c,记p= (3)请证明(2)中的结论 四、先计算出结果，再开方 第19章小结与复习 a+b+c 2 那么三角形的面积为S= 解：0)√4+石=5， 当被开方数是数的和（或差）的形式时，应 第43期 V6 20.1数据的频数分布： √p(p-a)(p-b)(p-c),这个公式在西方也 先计算出其和（或差），再开方 1 1 20.2数据的集中趋势； 被称为海伦公式.如图，在△ABC中，∠A,∠B, (2)n+ +2=(n+1), +2 例4与√ㄕ-6-Σ结果相同的是( 20.3数据的离散程度 ∠C所对的边分别为a,b,c.若a=5,b=6,c= A.7-6+2 B.7+6-2 1 n2+2n+1 第44期 7,则△ABC的面积为 (3) /n+ n+2 Vn+2 C.7+6+2 D.7-6-2 20.4四分位数和箱线图； 解析：根据题意，得p=0+b+c=9. 分析：被开方数是三个数的平方差的形式， 20.5数据分组； 2 /n+1)2 1 Wn+2=(n+)√n+2 不能直接开方得7-6-2，而应该先计算，再开方 第20章小结与复习 所以SaAc=√p(p-a)(p-b)(p-c) 小结：此类题型考查归纳总结能力.解题 解：√7-62-22=√49-36-4=5 第45~52期 =√9×(9-5)×(9-6)×(9-7) 时，要专注细节，重视变形和转化，多方位地分=3.结合选项可知A为正确答案 升级突破（合刊） =6√6. 析观察 故选A. 数评橘 2026年1月7日·星期三 初中数学 第 27期总第1171期 沪科 八年级(AH) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 入门向导 + 求解二次根式的问 聚焦三次根式的双重非负性 题时，灵活运用不等式、 不等式组、分式的相关知 ⊙安徽庄成锐 识，可找到很好的解题途 观 ,二次根式的被开方数的非负性 故选B. 径.下面举例说明，供同 例1若式子a-b+1 二、二次根式的非负性 学们参考. 有意义，则 四 ab 实验室一、一元一次 例3若√(a-b)7=b-a,则( ) 点P(a,b)在第 象限. 不等式参与 A.axb B.a<b 凌 解析：由题意可得-a-b≥0，ab>0. 例1 若a-4有 的 C.a≥b D.a≤b 羽 因为ab>0,所以a,b同号. 意义，则a的值可以是 解析：因为√(a-b)7=b-a≥0，所以b 又因为-a-b≥0，所以a+b≤0， ≥a. A.-1 所以a<0,b<0,所以点P(a,b)在第三象 实验 B.0 限 故选D 例4实数a,b在数轴上对应的点的位置 C.2 故填三 例2若二次根式-3·+有意如图所示，则化简V瓜+2b+6-(-a)2 D.6 解析：因为√a-4有意义，所以a-4≥0. 义，则x的取值范围在数轴上可以表示为 +√a得 ( 解得a≥4.所以a的值可以是6. a 06→ 故选D. A.a-2b B.-a-2b 实验室二、一元一次不等式组加入 C.-2a-b D.a+2b 例2已知2,5，m是某三角形三边的长， 解析：由数轴得a<0,b>0,1a1>1b1, 则√(m-2)2+√(m-8)7= ( 所以a+b<0,b-a>0. A.2m-10 B.10-2m 所以√a2+2ab+F-(√6-a)2+√a园 C.10 D.6 解析：由题意得-3≥0，① =√(a+b)7-(b-a)2+√a=la+b1- 解析：根据三角形的三边关系，得3<m< 【x+1≥0，② Ib-al +lal=-(a+b)-(b-a)+(-a) 7.所以m-2>0,m-8<0.所以√(m-2)7 由①得x≥3，由②得x≥-1， =a-b-b +a-a =-a-2b +√(m-8)7=m-2+8-m=6. 所以不等式组的解集为x≥3. 故选B 故选D. 实验室三、分式介入 专题辅导 例3若a2-3ab+b2=0,且a>b>0, 次根式的乘除运算直通 喝的值为 ©江苏纪伟光 在利用二次根式的乘、除法法则进行计算 A. 以先类比分数的基本性质用仁，石·6变形， 时，需要根据题目类型灵活选用法则或其逆变 b·B C、 D.√2 5 形进行计算，下面举例说明. 然后用（√a)2=a进行化简. 解析：因为a2-3ab+b2=0,所以(b-a)2 一、a·b型式子的计算方法 =2-2ab+b2=ab,(b+a)2=a2+2ab+b2 当a,b都不是平方数或者a,b相乘可以约 =5ab.因为a>b>0,所以b-a=-ab,b 分时，使用法则a石=√a6计算；当a,b中有 3 V20÷5 +a=5ab.所以2-a 平方因数时，则可以先利用√=1a1化简，然 "b a /5ab 后再求积 3 20×5= 故 故选C. 例1 计算× 例4计算：32 恋周 解析：8×√2 /1 16.1二次根式 =4=2.故填2. 解析：35=35×5=6.故填6 学习目标：理解二次根式的概念和性质。 3 3×3 例2计算：√8×√2= 认知重点：1.会确定二次根式的被开方数 三、二次根式的乘除混合运算 中字母的取值范围 解析：√8×√2=√9×2×√4x3= 在进行二次根式的乘除混合运算时，有括 2.探索二次根式的性质，理解含字母的二 32×23=66.故填66 号的，先算括号里的，然后按照从左到右的顺序 次根式的化简 二、型式子的计算方法 进行，注意结果要写成最简二次根式的形式， 16.2二次根式的运算（乘除） 计：西3×侣 学习目标：掌握二次根式的乘法法则、除 例5 当6是a的约数时，可用凭=√号选行计 法法则和最简二次根式的概念」 认知重点：能够熟练地进行二次根式的乘 算；当b不是a的约数且a,b都不是平方数时，可 解：原式=45÷35×_23 6 9 除混合运算，会化二次根式为最简二次根式。 2 素养专练 数理极 16.2二次根式的运算（乘除） 16.2.2二次根式的除法 跟踪训练 16.2.1二次根式的乘法 垦础训练 GENZONGXUNLIAN 厚础训练 1.若a·23=6,则a的值为 16.1二次根式 1.等式“m÷8=√2”中，m的值为( A.2 B.5 c D. 屋础训练 A.2 B.45C.25D.4 1.下列式子中，是二次根式的是 2.若·x-6=√-6x,则( 2化简√/分+写的结果是 ( A.x≥6 B.x≥0 A.12 B.3 C.0≤x≤6 D.x为一切实数 430 B.630 6 c.5 D.n-4 3.下列运算正确的是 ( ) 2.若√/(3a-1)了=1-3a,则a的取值范围 A.2×5=万 D.65 ( 3.若二次根式√2x+7是最简二次根式，则x A.a<3 1 B.a≤3 B8反×信-1 可取的最小整数是 C.2×6=12 4.计算： C.n> Da会号 E×吾-3 (1)√72÷6； 1 3.要把(2-)√一2中根号外的因式移入 4.王明的奶奶家有一块长为24米，宽为 根号内，下面式子正确的是 ( ) 8米的长方形田地用来种植蔬菜，则该长方形田 地的面积为 平方米 A.x-2 B.2-x 5.若44=2a,√50=b2,则a+b= C.-√2-x D.-√x-2 4.若实数a,b,c分别表示△ABC的三条边， 6.将1,2,5,6按下列方式排列.若规定 (2)6×50÷5; 且a,b满足Ia-41+b-8=0,则△ABC的 (m,n)表示第m排从左向右第n个数，则(15,7) 第三条边c的取值范围是 与(100,9)表示的两数之积是 5.若y=√3-x+√2x-6+5,则点P(x, 第一排 y)在第象限 第二排 6.计算： 6 1 2 第三排 (1)√(-26)2： 56 1 岭 第四排 561 B第五排 Ba … 7.计算： (2)√(5-2)2： 0得x层×： 9 5.阅读材料，并回答问题： (3)√9-6x+x+(√2x-7)2. 小君在学习二次根式时，化简√2 的过程如 下： (2②)0×号×4： 解V后= T 第①步 2 s、1 第②步 能刀提高 4,5 =1×45 7.若a为正数，且√23-a为正整数，求 第③步 45×45 √23-a的最大值及此时a的值. -9 第④步 (1)上述解答过程中，从第 步开始 ax3Dx 出现了错误（填序号）； (2)在下面的空白处，写出正确的解答过程 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 5 把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有 同步检测 许多如34层等等 (1)请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； TONGBUJIANCE (2)你能只用一个正整数n(n≥2)来表示含 【检测范围：16.116.2（乘除）】 有上述规律的等式吗？证明你找到的规律 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 三、耐心解一解（共52分） 题号1 234567 8 13.(12分)计算： 答案 1.若二次根式√a-2在实数范围内有意义， 则a的取值范围是 A.a≥2 B.a≤2 C.a>2 D.a<2 2.化简，√25于等于 (2)V27÷5x22: 17.（12分)二次根式a的双重非负性是指被 开方数a≥0，其化简的结果a≥0，利用a的双 A57 B.±101 2 重非负性解答以下问题： (1)已知√a-2+5+b=0,则2ab的值为 3 D.107 2 3.下列二次根式中，是最简二次根式的是 (3)×4√2 ÷(5)2 (2)已知实数m,n满足I2m-4|+2n+6 =0,求m-n的值； (3)若x,y为实数，且x2=√y-5+5-y A.6 B.√0.3 c√ D.√45 +64,求x+y的值. 4.已知a=√2，b=0,用含a,b的代数式 表示√20，则这个代数式是 ( 14.(8分)数学活动课上，陈老师出示了一组 A.a+bB.ab C.2a D.26 5.若2<a<3,则√(2-a)7-√(3-a) 的值为 7 93 √1-16=√6=4… A.5-2a B.1-2a C.2a-1 D.2a-5 计算一 6.如图1，将一个小正方形放 附加题⊙ 入一个大正方形中，阴影部分的面 (以下试题供各地根据实际情况选用) 积等于小正方形的面积，则大正方 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条 形与小正方形的边长之比为 :件，并解答下面的问题： 图1 ( 化简：（√个-3x)2-11-x1. A.2:1B.2:1C.4:1 D.√3：1 7.下列计算正确的是 解：隐含条件1-3x≥0.解得x≤了所以1- A.52+122=17 B.2a.3,a=6a x>0.所以原式=1-3x-(1-x)=-2x 【启发应用】 C4万÷25=22DA.23 3 (1)按照上面的解法，化简：√(x-3)了- 8.如果ab>0,a+b<0,那么下面各式：① 15.（10分)解答下列问题： (2-x)2: (1)已知一个长方体的长、宽、高的比为4：3： 【类比迁移】 a √b1,且高为2cm,求这个长方体的体积； (2)实数a,b在数轴上的 =-b,其中正确的是 (2)如图2，从正方形ABCD中裁去两个面积位置如图3所示，化简：√辰+。06 图3 A.①② B.②③ 分别为24cm2和15cm2的正方形BH0E和0FDG, /(a+b)2-lb-a1: G C.①③ D.①②③ 求留下部分的总面积 (3)已知a,b,c为△ABC的三边长，化简： cm 二、细心填一填（每小题4分，共16分） √(a+b+c) + √(a-b-c) 9.比较大小32 17(填“>”“<” b-a-c)F+√(c-b-a). 或“=”) 10.若√24与最简二次根式√2-I可以合 并，则t的值为 11.若2×√20=2×m5=m√n,则m 16.(10分)先来看一个有趣的现象：√2 2 n= 12.对于正整数a,b定义新运算“⊙”，规定 2-2√停，这里根号里的因数2经 /2 a06三V3a·6,则1503的运算结果为：3=√37 数理报社试题研究中心 过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨 (参考答案见下期)初中数学·沪科八年级(AH)第27~31期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·沪科八年级(AH) 第27~31期 第27期2版 16.2.2二次根式的除法 16.1二次根式 基础训练1.B;2.A;3.-2. 基础训练1.B:2.B;3.D:4.4<c<12;5.一. 4)式展√展顶 6 6.(1)26; =25; (2)2-√5； (3)3x-10. (2)原式=6×52 3 能力提高7.因为a为正数， 所以23-a<23. -6x5,2 5 因为√23-a为正整数， =10; 所以23-a<√23. (3)原式=√3a×巨×2E √a2a 因为4<23<5， =5×2×5 所以√23-a的最大值为4. =6. 此时23-a=16,即a=7. 5.(1)②： 16.2二次根式的运算（乘除） 11×55 16.2.1二次根式的乘法 ②2元，2525x56 基础训练 1.D:2.A:3.D:4.166:5.16: 第27期3版 6.32 题号12345678 5 9 答案ADA BDBDB 7.(1)原式= 3 ×125×3 二、9.>；10. 2；11.-8;12.35 7 三)原式-√x(~√)×√gx6 1 =5 (2)原式=√0x含x号 112 =√80×号 =-N9 、4 =42; 3 2 (3)原式=3后x65×55 (2)原式=35×二×22 =6×2√2 =54x53 8 =12√2； =1353 4 (3)原式=2x4×:5 3 初中数学·沪科八年级(AH) 第27~31期 =8÷5 2b+2c. 第28期2版 16.2二次根式的运算（加减） 14(1)号 16.2.3二次根式的加减运算 基础训练1.D;2.A;3.C;4.25;5.18. 2 3 8 1 )原武=3迈+号号- 4； ×4×…×9=g 15.(1)因为这个长方体的长、宽、高的比为4：3：1，且高 (2)原式=(26+号-（号-5 为√2cm, =26+号-9+6 所以长方体的长、宽分别为4√2cm,3√2cm. 所以这个长方体的体积为：4√2×3√2×2= =36; 242(cm3). (3)原式=2+9+6√2-(2-9) (2)根据题意，得E0=H0=√24=26cm,G0=F0= =2+9+62+7 /15cm =18+62. 所以留下部分的总面积为：26×5×2= 7.()厄-号万=25-号×35=25-5=5 12√10(cm2). (2)淇淇的说法正确，理由如下： 16.(1)524 厘-2V厚寸万+6-25-2x9寸×35 +6=25-6-5+6=5, 所以x=5. (2规律V瓜+=V产a为正整数≥2》 n 因为48=43， 证明：√n+n (m-1)+n= n 所以x的值能与48合并， n2-1 n2-1 Wn2-1 所以淇淇的说法正确。 n 16.2.4二次根式的混合运算 基础训练1.A；2.C；3.B；4.D; 17.(1)-20. (2)由题意，得2m-4=0,2n+6=0.解得m=2,n= 5.xs-5+3 4 -3.所以m-n=2-(-3)=5. 6.(1)原式=√6-26 (3)根据二次根式的非负性，得-5≥0， 解得y=5.所 =-6; 5-y≥0. 以x2=64.解得x=±8.当x=8时，x+y=13;当x=-8时， (2)原式=35-5+3-5-25 x+y=-3.综上所述，x+y的值是13或-3. =-2； 附加题(1)隐含条件2-x≥0.解得x≤2. (3)原式=3√2-2×26×5-√/⑧ 所以x-3<0.所以原式=3-x-(2-x)=1. =32-122-32 (2)根据数轴，得a<0,a+b<0,b-a>0. =-122. 所以原式=-a-(a+b)-(b-a）=-a-2b. 7.原式=2-2 (3)由三角形的三边关系，得a+b+c>0,a-b-c<0, b-a-c<0,c-b-a<0. 当=5，y=号时，原式-8 5 所以原式=a+b+c-(a-b-c)-(b-a-c)-(c- 能力提高8.D;9.6 b-a)=a+b+c-a+b+c-b+a+c-c+b+a=2a+ 10.根据题意，得正方形①的边长是2，正方形②的边长 初中数学·沪科八年级(AH) 第27~31期 是3 (2)因为x=5-1 2 所以阴影部分的宽是2-5。 所以2x=5-1. 所以阴影部分的长是：5-(2-√3)=25-2. 所以2x+1=5. 所以阴影部分的面积为：(25-2)(2-5)=65-10. 两边平方，得(2x+1)2=5. 第28期3版 所以4x2+4x+1=5. 题号12345678 所以4x2+4x=4. 答案BBC DCADD 所以x2+x=1. 二、9.56；10.x=22;11.365:12.5. 所以x3+2x2=x3+x2+x2=x(2+x)+x2=x+x2= 三、13.(1)原式=32-2 附加题 =25; 2 2(n+2-n) (2)原式=3×22-22+2×32 (1) n+2+元=(n+2+n)(/n+2-万） =62-22+62 n+2-n. =102; (2)4-√15>√17-4.理由如下： (3)原式=[(2+√5)-6][(2+5)+√6] 因为1 4+15 =(V2+3)2-6 纳4-店4-5)4+54+压， 1 17+4 =2+3+26-6 而-4°(m-4)(m+4 =√17+4,4+√5< =-1+26. /7+4, 14.(2,-2)★(5,3-5)=-25-2×(3-5)= 1 -25-6+25=-6. 所以后而4 15.(1)这个长方体盒子的容积为：（√50-22）2×2= 因为4-5>0，√7-4>0， 182(cm2). 所以4-√1>7-4 第29期综合测评卷 (2)这个长方体盒子的侧面积为：(50-22)×2×4 =24(cm2). 题号12345678910 答案DCBCABACA B 16.因为5x-√12>2x-4, 所以(5-2)x>23-4. 二、11.x≥-3；12.0.2ab；13.5;14.7;15.3. 解得x<2. 三、16.(1)原式=55÷5=5： 因为x是正数， (2)原式=号×35-4×25+厅 所以0<x<2. =25-85+5 所以x+1>0,x-2<0. =-55; 所以原式=2√(x+1)7+√(x-2)7=21x+11+ (3)原式=7-5-(7+1+27) 1x-21=2x+2+2-x=x+4. =2-8-27 17.(1)因为x=√0-3， =-6-2万. 所以x+3=√0. 17.原式=(3a-1)a. 两边平方，得(x+3)2=10. 所以x2+6x+9=10. 当。=分时原式=华 所以x2+6x=1. 18因为万”-。：，a5+”马6=2a+ 所以x2+6x-8=1-8=-7. 2-12(2-1)(2+1) 一3 初中数学·沪科八年级(AH) 第27~31期 a-经6=(a-之)万+a=3-25,a6都是正整数。 故填4；-4. (2)当a>0时，因为20+4a+5=3a+4+=3(a+ 所以a-=-2,a=3.解得6=10 a 综上所述，a的值为3，b的值为10. 高)+4=3后-+4+2压， 19.(1)长方形绿地的周长为：(/128+50)×2= 所以当石=√即-否时，女+如+5的最小值 a 262(米). 是4+2√15. (2)通道的面积为：√128×√50-2×（√13+1）× (3)设S△oB为a, (√3-1)=56（平方米）.购买地砖需要花费：6×56= 因为S AAOD:SaA0B=OD:OB=SAcOD:SACOR, 336(元). 6 20(1)原式=5×25-35÷45 所以2：a=S△coo:3,所以S△com= a =2- 所以四边形ABCD的面积为2+3+a+合=(a+合)+ 5=(a-a )2+5+26. 二4 因为a>0, 所以当，石=√：，即a=石时，四边形A6CD的面积的 所÷4= 2 最小值为5+26. 所以“☐”内的符号为“÷” 第30期2版 故填÷ 17.1一元二次方程 (3)因为5<1，厄>1，万>1， 基础训练1.C；2.A;3.C; 4.12;5.(12-x)(8-x)=77;6.x=1. 所以“口”内依次填人“+”“×”计算所得结果最大， 7.原方程可化为2(x2-2x+1)+bx-b+c=0,整理，得 则5+D×7-46=+25×35-45=18 2x2+(b-4)x+2-b+c=2x2-3x-1=0,所以b-4=-3, 3 2-b+c=-1,解得b=1,c=-2. -113 3 a b 能力提高8.(1)因为 =ad-bc,所以 e d 21.(1)当a>0时，因为a+4=(a)2-2a. 2 + =2×3-4×(-1)=10. (2)+26.2=(a-2)2+4, -1 3 a a a m (2)因为 所以当后=2，即a=2时，a+4的最小值为4； =0,所以x(x+2)-m(1-x)= 1-xx+2 a 0.又因为方程的一个根为2，所以2×(2+2)-m(1-2)=0, 当a<0时，因为a+号=-(-a-总， 解得m=-8. 所以-a-4=(02-2:a2 17.2一元二次方程的解法 a 17.2.1直接开平方法 基础训练1.D;2.B;3.1; 4.x1=1,x2=-4. 以-(-。--(a产24-4 5.(1)x1=10,x2=-10: 所以当/a产。即a-2时a+÷的大值为 (2)x1=-1,x2=-9; (3)x1=4,3=-6. 能力提高6.由题意，得a-2≥0,4-2a≥0. 4 初中数学·沪科八年级(AH)第27~31期 解得a=2. (2)将a=-2代人方程得-3x-2x+5=0,即2+子 所以b=-3. 因为关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 3 个根是x=1, 1. 所以a+b+c=0. 配方，得(x+弓》2=开方，得x+行=±手， 解得c=1. 5 所以方程的解为无=1，。=- 所以方程为-1=0 17.(1)-3,6. 解得少=2,5=-2. (2)当x<2时， 17.2.2配方法 根据x※2=3※x,得4-2x=3x-x2. 基础训练1.D;2.A;3.B;4.3; 解得x1=1,x2=4(舍去)； 5.x1=x2=-2. 当2≤x<3时， 6.(1)x1=-9,x2=-3; 根据x※2=3※x,得2x-4=3x-x2. (3)x1=2+5,x2=2-5; 解得=↓+叵。 =1-，而（含去： 2 (4)x=1+5,x2=1-5. 当x≥3时， 能力提高7.x2+10x+7=x2+10x+25-25+7=（x 根据x※2=3※x,得2x-4=x2-3x +5)2-18,所以代数式x2+10x+7的最小值是-18. 解得x1=1(舍去)，x2=4. 第30期3版 综上所述，x的值为1或+，五或4 2 题号12345678 附加题(1)(x+2)(x+6)=5, 答案CDB AABBC 所以[(x+4)-2][(x+4)+2]=5, 所以(x+4)2-22=5, 二、9.x2-3x-4=0;10.-2; 所以(x+4)2=22+5,所以(x+4)2=9. 11.x1=4,2=-1;12.1. 两边直接开平方得x+4=±3，解得x1=-1,2=-7, 三、13.(1)x1=1,x2=-2; 所以a,b,m,n表示的数分别是4,2-1，-7. (2)x1=-3+25,x2=-3-25; 故填4,2，-1，-7. 26=2-6 (3)x=2+6 (2)(x-3)(x+1)=5, 2 所以[(x-1)+2][(x-1)-2]=5, 14.(1)等式的基本性质. 所以(x-1)2-22=5,所以(x-1)2=22+5=9. (2)③，等号右边没有加4. 两边直接开平方得x-1=±3，解得x1=4,x2=-2. (3)x1=2+√13，x2=2-13. 第31期2版 15.解不等式k+3≥2k-1,得k≤4. 17.2一元二次方程的解法 解不等式之(-)+1≥号k-1),得k≥-5 17.2.3公式法 所以不等式组的解集为-5≤k≤4. 基础训练1.C；2.D;3.9,1=x2=3;4.3±√3； 把x=0代人kx2+(k-1)x+2+6k=7,得2+6k= 5.1+2 7 61%=5±厘5-应， 4 4 解得k=1或k=-7(舍去). 所以一元二次方程存在实数根x=0,且k的值为1. (2)=1离=-3 16(1)将x=1代入原方程得(a-1)-2+a2+1=0, 整理，得d2+a-2=0,解得a1=1,a2=-2. (3)x=2=-22 因为a-1≠0，所以a≠1，所以a的值为-2. 能力提高7.(1)根据题意，得m≠1. 5 初中数学·沪科八年级(AH) 第27~31期 因为a=m-1,b=-2m,c=m+1, 三，13.(1)x1=2+2 -2-2 所以62-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4. 2 2； 所议=熟品山 （22=3: (②)由)知兰=1+己因为方程的两个限 3%-:6 2 都为正整数，所以乙是正整数所以m-1=1或m-1 14.(1)降次. (2)移项，得2(x-3)-(x-3)2=0. 2.解得m=2或m=3.所以m为2或3时，此方程的两个根都 提取公因式，得(x-3)[2-(x-3)]=0. 为正整数 所以x-3=0或5-x=0. 17.2.4因式分解法 解得x1=3,x2=5. 基础训练1A:2.B:3.B:4-分：5-3 15.设x2+2x=n,则原方程可化为n2+4n-5=0. 6.(1)x1=x2=2; 整理，得(n-1)(n+5)=0. (2)x1=3,x2=-1; 解得n=1或n=-5. 1 (3)x1=为=-3 当n=-5时，x2+2x=-5无解，舍去. 所以x2+2x=1. 能力提高7.(1)原方程的根为x1=-2,2=1, 所以x3+3x2+x=x(x2+2x+1)+x2=2x+2=1. (2)设+2=，原方程可化为y+2-3=0, 16.(1)因为4x2-8x+3=0, Y y 即y2-3y+2=0,解得y1=1,y2=2. 所以(2x-D(2x-3)=0,解得5=方=多 当)=1时，“士2=1，解得=-1，经控验是原方程的解： 因为，=子=+1， 当y=2时，3x+2=2,解得x=-2,经检验是原方程的解 所以方程4x2-8x+3=0是“连根方程”. 故原方程的根为x1=-1,x2=-2. (2)因为x2+(2m-3)x-6m=0, 综合集训营 所以(x-3)(x+2m)=0,解得x1=3,x2=-2m. 1.(1)x1=6,x2=-10; 因为x2+(2m-3)x-6m=0是“连根方程”， (2)x1=8,x2=2; 所以x1=2+1或x1=x2-1,即3=-2m+1或3= (3)x=1+0 -2m-1, 3 ,两=10 3 所以m=-1或m=-2. 04=子4= 17.(1)2,4. (2)①x1=-1,x2=6. 2.(1)根据题意，得x(x+2)+1=4. ②解x2-9x+20=0,得x1=4,x2=5.由三角形的三边 整理，得X2+2x-3=0. 关系可知x=5,所以AB=AC=5.因为BC=8,所以等腰三 解得x1=1,:2=-3. 角形ABC的周长=AB+AC+BC=18. (2)由题意，得1<2(2-a)+1<5.解得0<a<2. 附加题 代数式-2x2+x+3存在最大值. 因为a是正整数，所以a=1. 所以方程为2x2+3x+1=0. -2++3=-2(x-产+空 解得=-1，名=-今 因为(x-)2≥0， 第31期3版 所以-2x-子°≤0. 题号12345678 答案BBC DBBCA 所以-2(-2+≤ 二9.(x+10(x-3)；10.0:11.-3;12.1-回 2 所以代数式-22+：+3有最大值受 6