第35期 期中复习（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（北师大版·新教材）

18.先化简，再求值：[(x+2y)2-(x+y)(3x-y)-5y2]÷ 21.在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共 23.如图13，直线AB∥CD,EF∥GH,∠AEF的平分线交CD于 (-2x),其中x=-2,y=-2 60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子 点P 里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中 (1)∠EPF与∠PEF相等吗？请说明理由. 搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于 (2)若∠FHG=3LEPF,求∠EFD的度数 0.25. (3)点Q为射线GH上一点，连接EQ,FQ.若∠QFH=∠FQH, (1)请估计摸到白球的概率将会接近 且∠PEQ-∠EQF=50°，求∠EQF的度数 (2)盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)如果要使摸到白球的概率为号，需要往盒子里再放入多少 个白球？ 四、耐心解一解（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.如图10是可以自由转动的两个转盘.图10-①被平均分成 9等份，分别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字.转动转盘，当转盘 数理报 停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图10-②被涂上红色与 绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°.转动转盘，当转盘停止后，指 初 针指向的颜色即为转出的颜色.小明转动图10-①的转盘，小亮转 五、耐心解一解（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分 动图10-②的转盘.若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转. 共27分) 中数学·北师大七年 小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色 22.【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以 的概率相同.小颖的观点对吗？为什么？ 表示一些代数恒等式，例如：由图12-①可以得到(a+b)2=a2+ 2ab+b2,基于此，请解答下列问题： (1)【直接应用】若x+y=3,x2+y2=5,求y的值 120°绿 (2)【类比应用】①若(x-3)(x-4)=1,则(x-3)2+(x-4)2 级综合测评卷 ① ② ②若x满足(2026-x)2+(2023-x)2=2025,求(2026- 图1( x)(2023-x)的值. 数理报·初中数学·北师大七年级综合测评卷 (3)【知识迁移】两块完全一样的特制直角三角板（∠AOB= ∠C0D=90°)如图12-②所示放置，其中A,0,D在一条直线上， 连接AC,BD.若AD=16,S=角形4c+S=角BmD=68,求一块直角三角 板的面积. 20.如图11，点0在直线AB上，F是DE上一点，连接0F,0C平 分∠AOF,OD平分∠B0F (1)试说明：0C1OD: (2)若∠D与∠1互余，试说明：DE∥AB. ☒12 (参考答案见下期) 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话： 数评橘 2026年2月24日·星期二 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 35期总第1179期 北师大 0351-5271248 七年级 栏目简介 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-43 入门向导：对课本 中将要学到的新知识 做提示性辅导，引导学 少复习小练 产本周主讲 生快速接受新知识 期中复习 知识梳理：主要围 复习建议：回顾和梳理前三章的基础知 绕学习目标、重点、难 第台章 《整式的乘除》 (2)(2m+n)(7m-6n): 点、典型例题和注意事 识，查漏补缺，对各章的重点知识进行重点复 项四个方面来对某一 1.墨迹覆盖了等式a÷● =a2的一部 习，熟练掌握各章的典型试题， 块知识点或某一个专 分，则覆盖的部分是 题进行归纳梳理，并进 行集中全面的剖析，帮 A.a B.a C.a D.d2 助学生理清知识脉络 2.将数据0.000000023用科学记数法表示 第令章 《概率初步》 构建知识网络，力求使 为 (3)(x+y-6)(x-y+6) 1.如图，是由7个相同的正 学生深刻透彻地把握 3.若a+2b=7,ab=6,则(a-2b)2的值 六边形组成的图案，若向图案中 知识结构，使学生更易 随机掷点，则点落在阴影部分的 于理解、记忆、整体把 4.整式(9x-2y)(2x+y)-2(3x-y)(3x+ 概率为 y)-5x+3y的值与x的取值无关，则y的值为 2.“是有理数，则Ia1≥0”这一事件是 专题辅导：将课本 的相关内容进行提炼 事件（填“必然”“不可能”或“随 5.若(xm-1y1)3=xy’,则nm= 归纳，以专题的形式对 7.小明在做一个多项式除以)a的题时，由机”) 6.计算： 同学们进行辅导」 3.一个木质中国象棋子“兵”，它的正面雕 名师点睛：将每 (1)(2a2)2-a9÷a3+a·(-a)3; 于粗心误以为是乘以a,得到的结果是86- 刻一个“兵”字，它的反面是平的.将它从一定高 节、每章的知识点、重 4a3+2a2,请求出正确的结果. 度下掷，落地后可能是“兵”字面朝上，也可能是 点、难点、考点分类细 “兵”字面朝下由于棋子的两面不均匀，为了估 化，进行精辟分析、讲 计“兵”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子 解，对相应基础知识进 下掷试验，试验数据如下表： 行概括整理，帮助学生 试验次数 20 4060 80 100120 140160 牢固掌握知识点，使学 兵”字面朝 生阅读后能更透彻地 十十十十十十十…十十“十十十十“十十十十十十 14 38 47 55 66 78 88 上的频数 明晰重点、难点，以加 第令章《相交线与平行线》 (2)∠AOE与∠B0D是否有可能成为对顶 相应频率0.700.450.630.590.55 0.560.55 强学生对所学数学知 角？若有可能，请求出∠BOD的度数；若不可能， 识的理解和掌握. 1.若∠A=21°，则∠A的补角为( 请说明理由， (1)请将数据表补充完整； 品味方法：介绍数 A.69° B.159°C.160°D.1699 (2)如果试验继续进行下去，根据上表的数 学题目中常用的、重要 2.如图1，在直角三角形ABC中，∠ABC= 据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请 的、巧妙的解题方法.通 90°，BD⊥AC于点D,DE⊥AB于点E,则点B到 估计这个概率是 过一题多解等方式拓 AC的距离是线段」 的长度 4.一个不透明的口袋中放着若干个红球和 宽同学们的解题思路 黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区 培养同学们思维的灵 别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个 活性」 球，经过很多次试验发现摸到红球的频率逐渐 重点精讲：针对学 生数学学习中易出现 7.如图6-①是一种躺椅，6-②是其结构 的重点、难点进行重点 示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF, 稳定在导 (1)如果袋中原有红球12个，请估计袋中 精讲，使同学们少走弯 3.如图2，∠C=∠3，∠2=80°，∠1+∠3 前支架OE与后支架OF分别交CD于点G,D,AB 原有几个球； 路，更好地把握所学知 =140°，∠A=∠D,则∠B的度数是 与DM交于点N,∠AOE=∠BNM. (2)在(1)的条件下，又放入n个黑球，再 4.如图3，直线AB和CD相交点0，C01 (1)试说明：OE∥DM; 经过很多次试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定 数学诊所：针对学 OE,0F平分∠A0E,∠E0F=64°，则∠B0D的 (2)若OE平分∠AOF,∠0DC=30°，求扶 生在解题过程中出现 大小为 手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数， 在号术n的值 的种种错误，分析其原 因，指出症结所在，并 进行正与误的比较，帮 助学生及时纠正错误. 思维天地：通过实 例深入探讨数学学习 4 中应用到的思想方法 5.如图4，有A,B,C三地，B地在A地北偏西 使同学们掌握解题技 36°方向上，AB1BC,则B地在C地的 巧和方法，提升同学们 方向上. 的思维能力 6.如图5，点0是直线AB上的一点，射线 0C,OD在直线AB的异侧，已知0C⊥0D,OE平 分∠A0C. 数理报社试题研究中心 (1)若∠BOD=40°，求∠AOE的度数； (参考答案见下期) 2 素养专练 数理极 题型空间 C.36 D.62° 详解平行线中的拐点问题 类型3 “靴子”模型 【模型3】如图7，已知AB∥CD,试说明： ⊙山西卫杰辉 ∠APC=∠A-∠C. 在与平行线有关的计算和推理中，常见一类 “折线”“拐角”型问题，解决这类问题的常用方法 是：经过拐点作平行线，使已知角和未知角产生联 系，化未知为可知，从而解决问题现就常见的几 种模型说明如下. 图7 图8 图3 解：如图8，过点P作PF∥AB. 类型 “铅笔”模型 A.180° B.250° C.270° D.3609 所以∠APF+∠A=180° 【模型1】如图1，已知AB∥CD,试说明：∠A+ 类型2 “猪蹄”模型 因为PF∥AB,AB∥CD,所以PF∥CD ∠E+∠C=360°. 所以∠CPF+∠C=∠APC+∠APF+∠C= B 【模型2】如图4，已知AB∥CD,试说明：180°. ∠AEC=∠A+∠C. 所以∠APF+∠A=∠APC+∠APF+∠C. D 所以∠APC=∠A-∠C. 图1 图2 【变式】3.已知AB∥CD,请探 解：如图2，过点E作EH∥AB. 索图9中∠APC与∠A,∠C的关 因为AB∥CD,所以EH∥AB∥CD 系，并说明理由。 所以∠AEH+∠A=180°，∠CEH+∠C= 图9 解：如图5，过点E作EH∥AB. 180°. 因为AB∥CD,所以EH∥AB∥CD V7-07=4dW7-d07=OdW7 所以∠A+∠AEH+∠CEH+∠C=360°，即 所以∠AEH=∠A,∠CEH=∠C 07=1d07M ∠A+∠AEC+∠C=360°. 所以∠AEC=∠AEH+∠CEH=∠A+∠C. a0∥4dM 【变式】1.小林乘车进入车库时仔细观察了车 【变式】2.一块直角三角板 ‘a3∥av'av∥4dg图 库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图3所示 按如图6所示的方式放置在 V7 ddV7 的模型，已知AB垂直于水平地面AE.当车牌被自 张长方形纸条上.若∠1=28°， 蜘图‘aΨ∥4dM平9Od尹d学 动识别后，曲臂直杆道闸的BC段绕点B缓慢向上 ：yL昨甲証V7-O7=Ody7 旋转，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE则∠2的度数为 始终平行)，在该过程中∠ABC+∠BCD始终等于 q乙0嵩号平杀 A.28 B.56° 4十十十“十4十 十十十十十十十十 十“十4十4十“十十4 4十 第34期1,2版参考答案 =、11随机：27：13.8；14.72；152或3 所以所抽取的这名学生最喜欢篮球运动的可能性为： 3.1感受可能性 (12+60)÷200=36%. 基础训练1.D;2.C;3.④；4.乙；5.4. 三、16.小明的说法错误，因为买100张彩票中奖的可 21.(1)因为摸到红、蓝球的概率分别为0.2和0.5，所 能性比买1张中奖的可能性大. 6.(1)是必然事件；(2)(4)是随机事件；(3)(5)是不 以摸到黄球的概率为：1-0.2-0.5=0.3. 小华的说法错误，这两个事件都是随机事件，不能因为 可能事件 所以黄球的数量为：30×0.3=9（个） 事件发生的可能性小就认为它是不可能事件. 3.2频率的稳定性 (2)由题意，得(30+a)=30×0.2+a解得a=6. 17.(1)(3)是随机事件；(2)(4)是确定事件. 基础训练1.C;2.C;3.5.4cm2;4.20. 5.(1)0.59,116;(2)0.6; 18()工好选中小发明的减率是碧：方 五2.(1)分；(2)子 (3)12÷0.6-12=8(个). (2)因为“小发明”的数量有10个，“小制作”的数量 (3)设计九张翻奖牌中有4张写着太阳伞，其他的5张 所以估计袋中除白球外，还有8个其他颜色的球， 有14个，所以这两种作品的数量和为：10+14=24（个）. 写着纸巾、牙刷各1张，谢谢参与3张，图略（答案不惟一）· 3.3等可能事件的概率 以正钉选中小发明的作者能概率为：号=合 5 23.任务1：(1)B;(2)0.25; (3)0.52÷0.25=1(平方米)，即该不规则封闭图形的 基础训练1.C:2.C:3分：4524 四、19.选择摇奖方式一获奖机会更大.理由如下： 面积约是1平方米. 6.(1)袋中红球的个数为：50×5=10（个）.所以袋 方式一：标有数字“4”的面数为：12-1-3-4=4，所 任务2：如图，地面上有一个边 以选择摇奖方式获奖的概率为：青：弓 长为2米的正方形，在此正方形内画 中黄、白球的总个数为：50-10=40（个）.设袋中白球的个 出一个半径为1米的圆.在正方形外 数为x个.由题意，得x+2x-5=40.解得x=15.所以袋 方式二：数字为4的倍数的数有4,8,12,16,20,24，共6 闭上眼睛向正方形内丢掷绿豆（可把 中有15个白球. 个，所以选择辐奖方式二获奖的概率为：会=子 绿豆近似看成点)，大量重复试验记 (2)由(1)知，袋中有25个黄球所以从袋中摸出一个 录如下： 球是发球的率为：莞：士 因为兮>子，所以选择摇奖方式一获奖机会更大 有效丢掷绿豆总次数m 20.由题意，得女生中选择足球的人数为：70-50= 绿豆落在圆内（含圆的边）的次数n (3)从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为：20（名）. 绿豆落在国内（含圆的边）的频奉品 50-9-3=子 10 a 所以女生的人数为：20÷25%=80（名） 所以男生的人数为：200-80=120（名）. 当α很大时，绿豆落在圆内（含圆的边）的频率稳定在 第34期3,4版参考答案 所以女生中选篮球的人数为：80×(1-60%-25%) 么附近，所以如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的 -题号1234567890 =12(名)，男生中选篮球的人数为：120-50-10= 答案BA BBABDCAC 60(名). 边)的概半约为则合-子，所以=“ 8.八卦图是中国古老的科学文化遗产，是 三、耐心解一解（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 期中综合测评卷 我国古代劳动人民智慧的结晶，古人认为，世 16.作图与说理： 间万物皆可分类归至八卦之中，相传，德国数 (1)如图8，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，使李庄的 ◆数理报社试题研究中心 学家莱布尼茨受八卦图的启发而发明了电子 人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站， (时间：120分钟满分：120分) 计算机使用的二进制.八卦图中的每一卦由三 并说明理由. O李庄 号 白 五 总 根线组成如果从图3中任选一卦，那么这一卦 图3 得 分 中恰有2根“”和1根“”的概率是 、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分）》 图8 题号 2 3 4 5 6 7 89 10 Ag B号 c高 D 9.若(x+y+1)(x+y-1)=8,则x+y的值为 答案 A.3 B.±3 C.-3 D.±5 1.计算m2·m的结果是 10.如图4，已知DC∥FP,∠1=∠2， (2)如图9，一辆货车由点A出发沿山路送货，在点B和点C两 A.m B.2m C.m4 D.2m4 ∠FED=32°，∠AGF=76°，FH平分∠EFG, 次转弯后，保持与出发时相同的方向，且点C到终点D的距离与点B 数 2.水是生命之源，水以多种形态存在，在常温常压下为无色无 则∠PFH的度数是 ( ) 到点C的距离相等，请根据所给条件，确定点D的位置. 数 欢理报· 味的透明液体，固态的水即我们熟知的冰，气态的水即我们所说的 A.54° B.44° 理 G 水蒸气，水分子的半径约是0.0000000002米将数据0.0000000002 C.329 D.22 图4 用科学记数法表示正确的是 ) 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 黎 A.0.2×10-9B.2×10-10 C.2×1010 D.2×109 11.若∠1与∠2是对顶角，且∠1+∠2=140°，则∠1的补角 3.如图1，给出下列条件，其中不能判断a∥b的是( 是 图9 A.∠1=∠4 B.∠2=∠3 C.∠1+∠5=180 D.∠2+∠4=180 12.已知4a-3b+1=0,则32×3如÷27的值为 17.计算： 大 13.欧阳修在《卖油翁》中写道： (1)(-3x2y4)3÷x5y6; “(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆 報 餐 其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入， 而钱不湿”，可见卖油的技艺之高 报·初中数学·北师大七年级综合测评卷 测评卷 超.如图5，若铜钱半径为2cm,中间 图5 4.下列成语描述的事件为随机事件的是 有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽 A.守株待兔 B.水涨船高 略不计)，则油恰好落入孔中的概率是 (2)(2x+5y)(5x-2y); C.水中捞月 D.缘木求鱼 14.清明上河园是依照《清明上河图》建造的大型历史文化主题公 5.下列运算正确的是 园，为提升游客游园体验，如图6，公园准备在一个长为(4如+2b)米，宽 A.6x2÷3x2=2x B.(a-1)2=a2-1 为(3a+2b)米的长方形草坪上修建两条宽为b米的绿色观光道路， C.(2a3b)2=2ab2 D.a(2a+1)=2a2+a 则道路的面积为 平方米（要求化成最简形式）， 6.如图2，直线AB与直线CD相交于点O,OE1AB,垂足为点 0,∠E0D=2∠A0C,则∠B0C= ( (3)(3)2+(m-3)°-(-0.125)2s×82 A.150° B.140° C.130° D.120° 4a+2b 7.若(x2+px)(x2-3x+q)乘积中不含x2项和x3项，则p,9的 图6 图7 值为 ( ) 15.如图7，直线AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上，点P为 A.p=3,9=9 B.p=3,9=-9 直线AB与CD间一动点，连接EP,FP,且∠EPF=I20°，∠AEP的 C.p=-3,9=9 D.p=0,g=0 平分线与LPFC的平分线交于点Q,则∠EQF的度数为