第32期 2.2 探索直线平行的条件 2.3 平行线的性质（答案见34期）-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（北师大版·新教材）

素养拓展 数理极 、平行线的性质与折叠联合 名师点晴 例1如图1，在长方 形ABCD中，点E是AD上 强强联合来解题 一点，点F是BC上一点，将 ⊙广东刘静姝 长方形ABCD沿直线EF折 ∠BED=70°，则∠CBF的度数是 因为OT⊥AB, 叠，点D的对应点为点D', 图1 解：因为AB∥CD, 所以∠B0T=90, 点C的对应点为点C'.若∠1=39°，则∠2的度 所以∠ABE=∠BED=70°（两直线平行， 因为∠D0T=60°， 数是 内错角相等) 所以∠BOD=∠B0T-∠D0T=30°. 解：因为∠DEF+∠AEF=180°，∠1= 因为BC平分∠ABD,BF平分∠DBE, 又因为∠EC0=30°， 39°， 2∠ABD,∠DBF 1 所以∠ECO=∠BOD 所以∠DEF+∠D'EF=180°+39°= 所以∠CBD= 所以CE∥AB(同位角相等，两直线平行) 219°. 阴以∠DEF=∠DEF=7x2I9=109,59 3∠DBE 四、平行线的性质与判断联合 例4如图4，直线11和 所以∠CBF=∠CBD -∠DBF 12被直线，和l4所截，∠1- 所以∠AEF=∠D'EF-∠1=70.5°. ∠2=130°，∠3=75°，则 因为AD∥BC,所以∠C'FE=∠CFE= 号（∠AD-∠DB5)=7∠ABs=35 ∠4的度数是 () 图4 ∠AEF=70.5(两直线平行，内错角相等). 故填35 A.75°B.105°C.115°D.130 所以∠2=180°-∠C'FE-∠CFE=39° 三、平行线的判断与垂线联合 解：因为∠1=∠2， 故填39° 例3如图3，直线AB, 所以11∥2（同位角相等，两直线平行）. 二、平行线的性质与角 CD相交于点O,OT⊥AB于 所以∠4+∠5=180°（两直线平行，同旁 平分线联合 点O,CE交CD于点C,若A 内角互补). 例2如图2，已知AB ∠EC0=30°，∠D0T=60°， 由对顶角相等，得∠5=∠3=75° ∥CD,BC平分∠ABD,点E 则CE∥AB吗？请说明理由. 图3 所以∠4=180°-∠5=105° 在CD上，BF平分∠DBE.若 图2 解：CE∥AB.理由如下： 故选B. ++”+”十十十“十 +十n十。十十十++”十n十十十“++”+ 第31期2版参考答案 2.1.3垂直 P→B→A的路线铺设水管，所用的水管最短， 2.1两条直线的位置关系 基础训练1.C;2.B;3.C; 理由是：垂线段最短和两点之间，线段最短， 2.1.1相交线与平行线 4.30°；5.15°. 17.(1)ON⊥CD.理由如下： 基础训练1.C;2.A;3.C; 6.(1)(2)图略； 因为OM⊥AB,所以∠AOM=90°.所以 4.38°；5.40或80. (3)OP: ∠1+∠A0C=90°.又因为∠1=∠2，所以∠2 6.由对顶角相等，得∠A0D=∠B0C= (4)PH<C0.理由如下： +∠A0C=90°，即∠C0N=90°.所以ON⊥ 140°.因为0E平分∠AOD,所以∠AOE= 由垂线段最短，得PH<P0,P0<C0.所CD. ∠D0E=∠A0D=70所以∠B0E=180°以PH<C0 (2)因为0M⊥AB,所以∠B0M=90°.因 7.(1)因为0F⊥0E,所以∠E0F=90. -∠A0E=110°.因为0F平分∠B0E,所以因为∠C0F=54°，所以LD0E=180°- 为∠1=石∠B0C,所以∠1=写LB0L所以 ∠E0F=2∠B0E=559所以∠D0F=∠B0F-∠C0F=36因为∠D0E=∠1=18所以∠B0D=180∠BOM-∠1 2LB0E,所以LB0E=3∠D0E=18° =72°. ∠D0E-∠E0F=15°. 18.(1)因为OD平分∠BOE,所以∠E0D 能力提高7.(1)2,6,12；(2)n(n-1); (2)OB平分∠DOF.理由如下： =∠BOD.因为∠AOC=∠BOD,所以∠EOD (3)10100. 由(1)得，LE0F=90°.所以∠C0F+ 2.1.2补角和余角 ∠D0E=90°.又因为∠C0F=∠D0E,所以 =∠A0C.所以∠F0E=2LA0C=2LE0D. 基础训练1.B;2.D;3.C; 因为OF⊥CD,所以∠FOD=90°.所以∠FOE ∠C0F=∠D0E=45°.因为∠D0E= 4.126°；5.72°. +∠EOD=90°，即3∠E0D=90°.所以∠E0D 2∠BOE,所以∠BOE=22.5°.所以∠D0B= 6.因为∠A0C与∠B0D互余，所以∠A0C =30°.所以∠D0B=∠E0D=30°. ∠D0E+∠BOE=67.5°.因为∠BOF= +∠BOD=90°.因为∠AOB=∠AOC+∠COD (2)由(1)得，∠AOC=∠EOD.因为F01 ∠E0F-∠B0E=67.5°，所以∠D0B= +∠B0D,所以∠A0B=90°+∠C0D.因为∠B0F.所以OB平分∠D0F CD,所以∠FOC=∠FOD=90°.又因为 ∠A0B+∠C0D=180°，所以90°+∠C0D+ ∠FOC=∠AOF+∠AOC,∠FOD=∠FOE+ 第31期3版参考答案 ∠C0D=180°.所以∠C0D=45. -、题号12345678 ∠EOD,所以∠AOF=∠FOE. 能力提高7.(1)因为∠COF=∠BOE= 附加题1.(1)由对顶角相等，得∠A0D 90°，所以∠AOF+∠AOC=90°，∠AOF+ 答案BA D A B CC A =∠B0C=75.因为∠AON:∠N0D=2:3, ∠E0F=90°.所以∠AOC与∠EOF是∠AOE 二、9.对顶角相等；10.4；11.42°； 的余角.由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD.所 12.30°；13.2.4；14.135°或45°. 所以LA0N=号∠A0D=30 以∠BOD+∠AOF=90°.所以∠BOD与 三、15.由题意，得180°-∠1=4(90°- (2)OB是∠COM的平分线.理由如下： ∠A0F互为余角.所以LA0F的余角为∠A0C,∠1).解得L1=60°.由对顶角相等，得∠2= 由(1)知，当∠B0C=75°时，∠A0N= ∠EOF,∠BOD. ∠1=60°. 30°.所以∠B0N=180°-∠A0W=150°.因为 (2)由同角的余角相等，得∠AOC= 16.如图1，过点B作BF A ∠EOF.因为∠AOC+∠AOD=180°，∠EOF= ⊥MW,垂足为P,则点P就 0M平分∠B0N,所以∠B0M=分∠B0N- 4∠A0D,所以5∠A0C=180.所以∠EOF= 是所求抽水站的位置；连接 75°.所以∠BOC=∠BOM,即OB是∠COM的 AB,则线段BA即为自来水厂MP N平分线. ∠A0C=36°. 到村庄的最短距离.所以沿 图1 (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 2026年2月10日·星期= 初中数学 报纸发行质量反馈电话： 兹理柄 第 32期总第1176期 北师大 0351-5271248 七年级 (上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-43 (3) ；LA0C 专题辅导 ∠D0M是定值. 设 66 ∠A0N=2x,则∠N0D 三线八角 ”好识别 本周主讲 =3x.所以∠AOD 2.2探索直线平行的条件 ∠AON+∠DON=5x. ©江西 李欣瑶 学习目标：1.理解平行线的概念，探索并 所以∠A0C=180° 一、明确概念及特征 ∠1与∠2都是内错角： 掌握直线平行的条件 A0D=180°-5x.因 为OM⊥ON,所以 1.同位角：两直线被第三条直线所截，无公 2.能用尺规作图：过直线外一点作这条直 线的平行线」 ∠M0N=90°.所以 共顶点的两个角都在其中一条直线的同侧，并 ∠DOM=∠MON 2.3平行线的性质 且分别在另两条直线的同一个方向上.所以其 ∠NOD=90°-3x.所 图2 学习目标：掌握平行线的性质」 特征是“同旁同侧” 3.同旁内角的形象如字母“U”状.如图3中 以号LA0C-∠DOM 认知重点：灵活运用平行线的性质解题 2.内错角：两直线被第三条直线所截，无公 的∠1与∠2都是同旁内角. 会利用平行线的判断方法进行简单的推理说 =(1800-5x)- 共顶点的两个角都在两条直线之间，并且分别在 明，进一步培养表达能力和推理能力。 90°-3x)=18°. 第三条直线的两侧所以其特征是“内部两旁” 1 2入 一、光线问题 2.(1)135°或108°： 3.同旁内角：两直线被第三条直线所截，无 图3 例1如图1，在地球截 (2)如图2，因为 公共顶点的两个角都在两条直线之间，并且都在 例 如图4，请判断∠1与∠3，∠2与∠4， ∠AOB的“补给线”有 面图中，AB,CD分别表示赤 ∠5与∠6分别是什么位置关系的角 且只有一条，所以OE是 第三条直线的同侧所以其特征是“内部同旁”. 道和南回归线，冬至正午时， 出 ∠AOB的平分线，也是 温馨提示：三种角均是从位置的角度加以 太阳光直射南回归线（太阳 ∠AOB的“补给线”.所 定义和区分的，并且三种角分别是成对出现的 2E 光线MD的延长线经过地心 袋 行线 以∠A0E=∠A0B, 每一对角的顶，点都不相同，且与角的大小无关。 >C 14 O),此时，太阳光线与地面 ∠AOE+ ∠AOB = 二、形象感受三种角 水平线EF垂直，测得∠EDN 图4 图5 =6634',则∠B0D的大小N 180.所以2∠A0B 1.同位角的形象如字母“”状.如图1中的 解：(1)如图5-①，∠1与∠3可以看成直 为 生力 ∠AOB= 所以 ∠1与∠2都是同位角： 180 线DE,BC被直线EC所截形成的同位角； ∠A0B=120°. (2)如图5-②，∠2与∠4可以看成直线 DE,BC被直线BE所截形成的内错角； (3)如图5-③，∠5与∠6可以看成直线 2.内错角的形象如字母“Z”状.如图2中的 BE,DE被直线BD所截形成的同旁内角： 解：因为OM⊥EF,所以∠EDM=90°. 图2 品味方法 因为∠EDN=6634',所以∠NDM=909 (3)如图3，若 ∠EDN=2326' ∠AOC+∠AOB= 180°，∠DOB+∠AOB 判平行有方法 因为AB∥CD,所以∠BOD=∠NDM= =180°，所以∠A0C= 2326'(两直线平行，同位角相等). 故填2326'. ∠BOD,所以∠AOC ©湖北姚辰飞 30°+∠A0C=180° 二、出行问题 ∠AOC,解得∠AOC 方法一：同位角相等，两直线平行 AB⊥AC,试说明：AD∥BC 例2某市为方便市民绿色出行，推出了 50°，所以∠A0B 例1如图1，已知 解：因为AB⊥ 共享单车服务.图2-①是某共享单车放在水 130°： BE⊥MN于点B,DF⊥ AC,所以∠BAC= 平地面上的实物图，其示意图如图2-②所示， MN于点D,∠1=∠2.试 90°. AB,CD都与地面1平行，AM与CB平行.已知 说明：AB∥CD. 因为∠1=30 图 ∠BCD=58°，∠MAC=72°，则∠BAC的度数 B 解：因为BE⊥MN 图1 ∠B=60°， DF⊥MN,所以∠MBE=90°，∠MDF=90°，即 所以∠1+∠BAC+∠B=180°，即∠BAD 图3 ∠ABM+∠1=90°，∠CDM+∠2=90. +∠B=180 若∠AOD+∠AOB 又因为∠1=∠2，所以∠ABM=∠CDM. 所以AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行) 180°，∠B0C 所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行) 方法四：平行于同一条直线的两条直线平行 ∠A0B=180°，所以 方法二：内错角相等，两直线平行 例4如图4，已知∠DAF 图2 ∠AOD=∠BOC,所以 例2如图2，已知∠E =∠AFE,∠EFB=∠FBC,则 ∠A0D+∠A0D-30 解：因为AM∥CB,所以∠ACB=∠MAC =180°-∠A0D,解得 =∠1，∠3=∠2.试说明： AD与BC平行吗？为什么？ =72°（两直线平行，内错角相等）. 32 ∠A0D=70°，所以 AB∥CE. 解：AD∥BC.理由如下： 因为AB∥1，CD∥I,所以AB∥CD(平行 ∠A0B=110°. 解：由对顶角相等，得 因为∠DAF=∠AFE, 于同一条直线的两条直线平行)： 综上所述，∠AOB ∠1=∠2. 所以AD∥EF(内错角相 所以∠BAC+∠ACD=180°（两直线平 的度数为130°或110 又因为∠E=∠1，∠3 图2 等，两直线平行) 行，同旁内角互补) (全文完) =∠2，所以∠3=∠E. 因为∠EFB=∠FBC, 又因为∠BCD=58, 所以AB∥CE(内错角相等，两直线平行) 所以EF∥BC(内错角相等，两直线平行) 所以∠BAC=180°-∠ACB-∠BCD= 方法三：同旁内角互补，两直线平行 所以AD∥BC(平行于同一条直线的两条 50° 例3如图3，已知∠1=30°，∠B=60°， 直线平行). 故填50° 2 素养专练 数理极 2.2.2由内错角、同旁内角判断两直线平行 2.3平行线的性质 跟踪训练 屋础训练 垦础训练 6】 gEnzongXUNLIAN 1.如图1，下列说法错误的 1.如图1，直线a,b被直线c所截，且a∥b.若 2.2探索直线平行的条件 是 ( ) ∠1=45°，则∠2的度数为 2.2.1平行线及由同位角判断两直线平行 A.∠1与∠2是同旁内角 1 2人3 A.45° B.115° B.∠1与∠4是内错角 + C.125 D.135° 屋恐训练 C.∠2与∠5是内错角 C 1.如图1，过点A画直线 D.∠3与∠5是同位角 图1 1的平行线，能画 () 2.如图2，将两个完全 A.两条以上 B.2条 相同的三角尺的斜边重合 C.1条 D.0条 图1 放在同一平面内，可以画出 图1 图2 2.下列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是 两条互相平行的直线这样 图2 画的依据是 2.如图2，AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于 3.如图3，在下列给出的条件中，可以说明AB 点E,F,EG平分∠BEF,若∠EFG=50°，则 ∥CD的是 (填序号) ∠EGF的大小为 A.50° B.60° ①∠1=∠2：②∠1=∠3：③∠2=∠4： C.65° D.75° ④∠DAB+∠ABC=180°；⑤∠BAD+∠ADC= 3.一副直角三角板按如图3所示放置，点A在 3.如图2，若∠D=∠CFE,则 ∥180° 若∠D=∠ABP,则 DE上，若BC∥DE,则∠ACF的度数为 4 图3 图4 4.如图4，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2，是 图3 图4 否能说明AB∥CD? (填“能”或“不 4.如图4，AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A,则 能”). ∠C和∠D的数量关系是 4.如图3，表示钉在一起的木条a,b,c.若测得 5.如图5，已知∠1=∠2，∠3+∠4=180° 5.如图5，已知EF∥CD,∠1+∠2=180° ∠1=50°，∠2=75°，要使木条a∥b,木条a至少 试说明：AB∥EF (1)判断GD与CA的位置关系，并说明理由； A 要旋转 (2)若DG平分∠CDB,∠ACD=40°，求∠A C62 的度数 5.如图4，已知AB⊥BC于点B,EF⊥BC于点F 3 (1)试说明：AB∥EF: 4 (2)过点C作CD∥EF交直线BE于点D,试 图5 判断AB与CD的位置关系，并说明理由 6.如图6，∠DAC是一个锐角，以点B为顶点， ·射线BC为一边，利用尺规作∠EBC,使得∠EBC =∠A. (1)用尺规作出∠EBC(不写作法，保留作图 痕迹)； (2)BE与AD一定平行吗？简要说明理由. 能刀提高 D 6.在如图6所示的螳螂示意图中，AB∥DE 能刀提高 ∠ABC=124°，∠CDE=72°，求∠BCD的度数， B 6.如图5，E,F分别是线段AC,AB上一点，点 图6 D在BC的延长线上，连接BE,CF,DE.若∠1= ∠2，∠ABC=∠ACB,∠EBD=∠D,试说明：CF ∥DE. 能刀提高 7.如图7，AC,BC分别平分∠DAB,∠ABE,且 ∠1与∠2互余，试说明：GD∥HE, 图5 数理报社试题研究中心 (参考答案见34期) 数理极 素养·测评 5 17.(12分)如图16，CD⊥AB,垂足为点D, 同步达标检测题（五）》 FE⊥AB,垂足为点E,∠ACD+∠F=180°. (1)试说明：AC∥FG; (2)若∠F=3∠G,∠BCD:∠ACD=2:3, TONG BU DA BIAO JIAN CE TI 求∠BCD的度数. 【检测范围：2.22.3】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 题号12 34567 9.如图8，小明在纸上画 了两条平行线a,b,又画了一 答案 条直线c,与a相交于点P,小 1.如图1，一条公路的两侧铺设了AB,CD两条 明觉得直线c一定和b相交 图8 平行管道，并有纵向管道AC连通.若∠1=120°， 小明作出这个判断的依据是 则∠2的度数是 10.如图9，要得到AB∥CD,则需要添加的条 A.50° B.609 C.70° D.80° 件是 (写出一个即可) 18.(14分)如图17，已知AB∥CD,∠1= ∠2. (1)试说明：EF∥NP: 1 图2 10 (2)若FH平分∠EFG,交CD于点H,交NP于 2.如图2所示的风筝纸骨架中，与∠1构成同 11.如图10，把装有水的水槽放在水平桌面上 点0，∠1=40°，∠FHG=10°，求∠FGD的度数 位角的是 水面EF与槽底HG平行，一束激光AC从空气斜射 A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5 入水，入射光线AB在水面EF的点B处出现偏折，这 3.如图3，将一张长方形纸对折两次，产生的 种现象在物理上称为光的折射.若∠ABE=45° 0 折痕与折痕之间的位置关系是 ∠CBD=19°，则∠BDH的度数为 CH PG D 12.如图11，已知∠ABD=∠EFD,∠FEC与 图17 ∠ECD互补，当∠FEC=150°，∠ABC=46°时， ∠BCE的度数为 图3 A.平行 B.垂直 3 A、 B C.平行或垂直 D.无法确定 2 4.如图4，已知∠BAE=∠D,∠1=34°，则 ∠2= A.146° B.24° C.56° D.34° 图11 图12 13.如图12是一款手推车的平面示意图，其中 AB∥CD,∠1=24°，∠2=76°，则∠3的度数为 附加题⊙ 14.将一副三角尺按如图 (以下试题供各地根据实际情况选用) 13所示的方式叠放在一起（其 1.(8分)如图1，已知AB∥EF,∠1=∠2 BE,CE分别平分∠ABC和∠BCD,试说明：BE⊥ 图4 图5 中∠A=60°，∠D=30°，∠E =∠B=45),若固定三角形 CE. 5.将文具套尺中的量角器和三角板按照如图 A 5所式摆放，其中∠A=30°，三角板的直角顶点C ACD,改变三角形BCE的位置 与量角器的中心重合，DE为量角器的直径.下列 (其中点C的位置始终不变)， 图13 条件中，不能判断AB∥DE的是 且∠ACE<135°，点E在直线 A.∠ACD=30° AC的上方.当三角形ACD的一边与三角形BCE的 B.∠BCE=609 某一边平行时，则∠ACE的度数为 C.∠B+∠BCD=1809 三、耐心解一解（共44分） D.∠BCE+∠BCD=180 15.(8分)如图14，已知∠B=46°，EF交AB 6.如图6，将长方形ABCD 于点D,DG平分∠ADE,∠ADG=67°，试说明：BC A 沿EF折叠后，EM与BF交于 ∥EF. 点G,若∠EFG=50°，则 ∠BGE的度数为 ( 2.(12分)已知AB∥CD. A.100° B.110 C.120° D.130 图6 (1)如图2，请探索∠A,∠E,∠C三个角之间 的数量关系，并说明理由. 7.某500米短道速滑运动员在一次速滑训练 图14 (2)已知∠A=24° 中，经过两次拐弯后的速滑方向与原来的方向相 ①如图3，若∠F=100°，求∠C+∠E的度数： 反，则两次拐弯的角度可能是 ②如图4，若∠AEF和∠DCF的平分线交于点 A.第一次向左拐52°，第二次向右拐52 B.第一次向左拐48°，第二次向左拐48° 16.(10分)如图15，已知三角形ABC,点P在G,请写出∠EGC与∠F的数量关系，并说明理由. 三角形ABC内，利用尺规在BC上找一点Q,使得直 4 C.第一次向左拐73°，第二次向右拐107 B A- -B D.第一次向左拐32°，第二次向左拐148° 线PQ∥AC(不写作法，保留作图痕迹). 8.如图7，BE平分∠ABF,BC 平分∠ABD,∠1=∠2，∠4+∠2 3 =90°，下列结论：①AB∥CD:②AC 图2 图3 图4 4 ⊥BC;③CD平分∠BCG;④L1= ∠5，其中正确的有 ( C、 D A.4个 B.3个 图15 数理报社试题研究中心 C.2个 D.1个 图7 (参考答案见34期)