第36期 4.1 认识三角形（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（北师大版·新教材）

素养·拓展 数理极 如图1，线段 第35期1版参考答案 =- AB,CD相交于点O, 第一章《整式的乘除》 2 对顶三角 连接AD,BC,我们把 △AOD和△BOC叫 1.B:2.23×10;3.1;4.1;58 19.小颖的观点是对的.理由如下： 因为小明转出的数字共有9种等可能的结 作“对顶三角形”。 6.(1)2a;(2)14m2-5mn-6n2: 果，其中转出的数字小于7共有6种等可能的结 (3)x2-y2+12y-36. 四 7.根据题意得，原多项式为：(8ab-4a+ 果，所以小明转出的数字小于7的概率是：9= 2a)÷20=160-8.2+4a所以正确的结果子因为红色部分所在扇形圆心角的度数是： 雁 图1 是：(16a6-8m2+4n)÷2a=32a26-16a+8 360°-120°=240°，所以小亮转出的颜色是红 娇 根据三角形的 第二章《相交线与平行线》 色的概率是8=子因为号=号所以小频 内角和，得∠A+ ∠D+∠AOD 1.B;2.BD:3.40°；4.38°： 的观点是对的. 180°，∠B+∠C+ 5.北偏东54 20.(1)因为0C平分∠A0F,0D平分 ∠B0C=180°，由对 6.(1)因为0C⊥0D,所以∠C0D=90 顶角相等，得∠AOD=∠BOC,从而有∠B+ 因为∠B0D=40°，所以∠B0C=∠C0D ∠B0F,所以∠C0F=2∠A0P,∠D0F= ∠C=∠A+∠D,这一结论称为“对顶三角形” ∠BOD=50°.所以∠A0C=180°-∠B0C= 的性质 130°.因为OE平分∠A0C,所以∠A0E= 分LB0F所以∠C0D:∠0F+LD0F 利用这一结论可巧妙地解决一些数学问 】 题，下面分类探索它的应用，供同学们参考 2∠A0C=60 2(∠A0F+LB0F)=90.所以0C⊥0D 探索一：求角度 (2)∠A0E与∠B0D不可能成为对顶角.理(2)因为∠C0D=90°，所以∠1+∠B0D 例1如图2，线段 由如下： =180°-∠C0D=90°，即∠1与∠B0D互余 AD,BC交于一点，∠C= 若∠AOE=∠B0D,则∠BOD+∠BOC+又因为LD与∠1互余，所以LD=LBOD.所 ∠A=90°，∠B=25 ∠COE=180°.由(1)知，∠B0D+∠B0C=以DE∥AB. 则∠D的度数是( 图 90°.所以∠C0E=90°.因为0E平分∠A0C,所 A.55° B.35 21.(1)0.25; C.259 D.20° 以∠A0C=2∠C0E=180°，不符合题意所以 (2)60×0.25=15(个)，60-15=45（个） 分析：根据“对顶三角形”的性质求解即 ∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角. 答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有15 可 7.(1)由对顶角相等，得∠BNM=∠AND. 个、45个. 解：设AD,BC交于点O. 因为∠AOE=∠BNM,所以∠AOE=∠AND. (3)设需要往盒子里再放人x个白球根据 由图2知△AOB和△COD是“对顶三角所以OE∥DM, 形” (2)由题意，得AB∥EF,CD∥EF,所以AB 题意，得15+=号(60+.解得：15 根据“对顶三角形”的性质，得∠A+∠B ∥CD.所以∠B0D=L0DC=30°.所以 答：需要往盒子里再放人15个白球， =∠C+∠D,即90°+25°=90°+∠D. ∠A0F=180°-∠B0D=150°.因为0E平分 22.(1)因为x+y=3,x2+y2=5,所以(x 解得∠D=25· 故选C. ∠A0F,所以∠A0E=2∠A0F=75.所以+)°=+2xy+y=5+2xy=32=9.所以 1 探索二：探索角之间的关系 xy=2. ∠BNM=75°.所以∠ANM=180°-∠BNM= (2)①3 例2一副三角板如 105°，即扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度 ②设2026-x=a,2023-x=b,所以a 图3所示摆放，则∠α与 数是105. b=3.因为(2026-x)2+(2023-x)2=2025 ∠B的数量关系为() 第三章 《概率初步》 所以a2+b2=2025.因为(a-b)2=a2-2ab+ A.∠a+∠B=180 b2,所以32=2025-2ab.所以ab=1008,即 B.∠&+∠B=225 图3 1.；2必然： (2026-x)(2023-x)=1008 C.∠&+∠B=270 3.(1)所填数字为18,0.55；(2)0.55. (3)设OA=OC=x,0B=OD=y.因为三 D.∠a=∠B 4.(1)12÷号=30（个） 角形AOC,三角形BOD均为直角三角形，所以 分析：根据直角三角形的性质、三角形的内 角和与“对顶三角形”的性质即可得到结论 答：袋中原有30个球， Sw=201:0c=2,w=20B 解：如图4. 根据直角三角形的 (2)由题意得0-12+n=子(30+n以.解·00=2.因为Sc+Sw=68,所以 性质，得∠A=90 E30 得n=6. 45 72+72=68所以2+)2=136因为4D= ∠F=60°. 第35期3,4版参考答案 所以∠ACB 16,所以x+y=16.因为(x+y)2=x2+2xy+ = 图4 一、 题号12345678910 y2,所以162=136+2xy.所以xy=60.所以一块 ∠180°-∠A-∠ABC=180°-∠A-(180 ∠a)=∠a-60°. 答案AB B A DD A C B D 直角三角板的面积为：2y=30, 由对顶角相等，得∠ACB=∠DCE. =1.10:123,130 23.(1)∠EPF与∠PEF相等.理由如下： 由图4知△CDE和△EFG是“对顶三角 14.(7ab+3b2);15.60°或120° 因为EP是∠AEF的平分线，所以∠PEA= 形” 三、16.(1)图略，理由：垂线段最短 ∠PEF.因为AB∥CD,所以∠PEA=∠EPF.所 根据“对顶三角形”的性质，得∠DCE+ (2)图略 以∠EPF=∠PEF ∠D=∠F+∠EGF,即∠&-60°+45°=30° 17.(1)-27x;(2)10x2+21xy-10y2; (2)设∠EPF=&,则∠FHG=3∠EPF= +180°-∠B (3)-3 3.由(1)，得∠PEA=∠PEF=∠EPF=a.所 化简，得∠α+∠B=225 以∠AEF=2a. 故选B. 18.原式=x-y当x=-2,y=-}时，原式 2 (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 0351-5271248 羞评橘 2026年3月3日·星期二 初中数学 第 36期总第1180期 北师大 七年级 上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-43 因为AB∥CD,所以 ∠EFD=∠AEF=2a. 本周庄饼 女。☆☆ 名师点睛 因为EF∥GH,所以 ∠EFH+ ∠FHG 4.1认识三角 180°，即2a+3a 学习目标：1.了解三角形的顶点、角、边，会 活学活用三角形的三边关系 180°.解得a=36° 用几何语言描述三角形的高、中线和角平分线 00 以∠EFD=2a=72 2.掌握三角形的三个角、三条边之间的关 (3)设∠EQF 系，会将三角形分类」 ©贵州欧善群 因为∠PEQ-∠EQF 认知重点：1.掌握三角形的内角和为180° 50°，所以∠PEQ 三角形的三边之间存在如下关系：“三角形边AC的长可能是 2会判断三条线段能否构成三角形 50°+B.因为点Q为月 3,会运用三角形“三线”的性质解决相关问 的任意两边之和大于第三边”和“三角形的任意 A.2 B.3 C.4 D.11 线GH上 “点，所以有以 两边之差小于第三边”.利用这个关系可以解决 下两种情况： 解：因为AB=4,BC=7,所以7-4<AC< ①当点Q在 线段 一、自我介绍 与三角形三边有关的题目，现举例剖析如下 7+4,即3<AC<11.所以边AC的长可能是4 GH上时，如图1所示 因为EF∥GH,所以∠1 在三角形中，连接 考点一、判断三条线段能否组成三角形 故选C. 例1 下列长度的三条线段能组成三角形 ∠FQH 因为 QFH 个顶点与它对边中点 温馨提示：由“两边之差的绝对值<AC<两 FOH 所以 /1 的线段，叫作三角形的 的是 边之和”得出AC的取值范围，从而判断各选项是 ∠QFH. 所 以 ∠1 阿导 中线 A.3,3,6 B.3,5,10 ∠EFD 因为EP 例1 如图1，AE是 否满足题意 形来 △ABC的中线，点D是 C.4,6,9 D.4,5,9 考点三、计算等腰三角形的周长 ∠AEF 的平分线，所以 BE上一点.若BD=5 解：因为3+3=6，所以长度为3,3,6的三 例3已知等腰三角形其中两边的长分别 ∠AEF CD=9,则CE的长为 条线段不能组成三角形，故选项A不符合题意； 为2,4，则该三角形的周长是 (2), 得 ∠AEF 胡 因为3+5<10，所以长度为3,5,10的三条 A.6 B.8 EFD. 所以 ∠1 = 线段不能组成三角形，故选项B不符合题意； 2. 所 以PE∥FQ.所 面试 C.10 D.8或10 以∠PEQ ∠EQF 因为4+6>9，所以长度为4,6,9的三条线 + 解：分两种情况讨论： 180°，即50° +B+B 段能组成三角形，故选项C符合题意； 180°.解得B=65°.所 因为4+5=9，所以长度为4,5,9的三条线 若腰长为4，则底边长为2,4+2>4，满足 以∠EQF=B=65 解：因为BD=5, 段不能组成三角形，故选项D不符合题意 三角形的三边关系，则此三角形的周长为：4+4 CD=9,所以BC=BD 故选C. +2=10; +CD=14.因为AE是 温馨提示：判断给定的三条线段能否组成 若腰长为2，则底边长为4,2+2=4，不满 △ABC的中线，所以CE= BC=7.故填7. 三角形，关键是看三条线段是否满足任意两边 足三角形的三边关系，故不能构成三角形 二、能力展示 之和大于第三边.但在实际操作中，不必一一加 故选C ②当点Q在线段 三角形的一条中线分成的两个三角形面积 以验证，只需判断两条较短线段的长度和是否 温馨提示：涉及等腰三角形边的问题时， GH的延长线上时，过点 相等 大于最长线段的长即可 般需要分情况讨论，然后看它们是否满足三角 Q作QR∥CD交EF的 延长线于点R,如图2所 例2 如图2，AD是 考点二、确定三角形的第三边长 形的三边关系，不满足的要舍去，既不能多解， 示.所以∠3=∠QFH △ABC的中线，点E,F分别 例2已知在△ABC中，AB=4,BC=7,则 也不能漏解 因为EF∥GH,所以∠1 为AD,CE的中点.若S△BC ∠FQH.因为∠QFH =4cm,则阴影部分的面积 专题辅导8 ∠FQH,所以∠1 为 cm ∠QFH=∠3. 所以 ∠RFH=2∠1=2∠3. 解：因为AD是△ABC的 中线，SBc=4cm2,所以 三角尺中的内角和 为∠RFH=∠PFE 所以∠PFE=2∠3 S△ABD =S△ACD =2cm2.因为点E为 为EP是∠AEF的平分 山西 赵俊芳 所以∠AEF 5 、一副三角尺重叠 因为AB∥FC 2.因为AB∥CD AD的中点，所以SE=2SAm=1cm,Saae 例1将一副三角尺按 ∠AEF+∠CFE 所以∠BAD=∠EDF=45°. 180°.所以2∠3+2∠2 =2S△AGn=1cm2.所以SABCE=SABe+SACDE 如图1所示方式放置，则 所以∠DAC=∠BAD-LBAC=15 180°.所以∠3+ ∠2 =2cm2.因为F为CE的中点，所以S△EF ∠COD的度数是 故选C 90.因为AB∥CD. A.105° B.1209 例3将一副三角尺 QR∥CD,所以AB S△BcE=1cm2.故填1 OR. 所以∠AEQ 2 C.1359 D.150 按如图3所示的位置摆 EQR=180°，即∠2 三、个人特色 解：由题意，得∠A= 放，其中点O,E,F在直线1 50°+B+∠3+B 三角形三条中线的交点叫作三角形的重 30°，∠DFE=45° 上，点B恰好落在DE边 180°.解得B=20°.所 心.若点O是△ABC的重心，则SAAB=SAORG 所以∠AOF=180°-∠A-∠DFE=105° 以∠EQF=B=20° 上，∠1=20°，∠A=45° SAOAC 由对顶角相等，得∠COD=∠AOF=105 ∠AOB=∠DEF=90 故选A. 则∠ABE的度数为 例3 如图3， 在 △ABC中，∠ACB=90 二、一副三角尺有一个交点 A.60° B.65 C.70° D.75 AC=5cm,BC=7cm,点1 例2一副直角三角 E 解：因为∠1=20°，∠A=45°，∠A0B= 为重心，HI⊥BC于点H, 尺按如图2所示方式放 909 图2 HI cm. 置，点C在FD的延长线 所以∠AB0=90°-∠A=45°，∠B0E= 综上所述，∠EQ 解：如图3，连接C1.因 上，AB∥FC,∠F= 180°-∠A0B-∠1=70° 的度数为65°或20 ∠ACB=90°，则∠DAC 因为∠DEF=90°， (全文完) 为点I为△ABC的重心，所以S△Bc AB 的度数是 所以∠BE0=180°-∠DEF=90°， 因为AC=5cm,BC=7cm,所以2×7H= A.309 B.189 所以∠0BE=90°-∠B0E=20° C.15° D.10° 所以∠ABE=∠AB0+∠OBE=65° ×5×7.解得H= 2 cm.故填？ 解：由题意，得∠EDF=45°，∠BAC=309 故选B. 2 素养专练 数理极 4.1.3三角形的高、中线和角平分线 跟踪训练 垦础训练 genzongXUNLIAN 1.如图1，AD是△ABC的中线，若BC=4,则 4.1认识三角形 BD的长为 4.1.1.1认识三角形 A.1 B.2 C.3 D.4 屋础训练 1.下列选项中都是由三条线段组成的图形， 其中是三角形的是 ( 图2 4.1.2三角形的三边关系 2.如图2，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54° D 屋础训练 AD是△ABC的角平分线，DE∥AB,交AC于点E, C D 则∠ADE的大小是 1.已知在△ABC中，AB=2,BC=6,则边AC A.40°B.43° C.46°D.54° 2.如图1，图中共有 的长可能是 个三角形，其中以BC 3.如图3，在△ABC中，∠C=90°，D,E是BC + A.3 B.4 C.5 D.8 为边的三角形有」 边上的两点，BE=DE,AD平分LCAE,下列说法 个； △BCE中，∠ECB所对的边是 2.在下列长度的各组线段中，能组成三角形不正确的是 () 的是 ( ) ,边BC所对的角是 A.AE是△ABD的中线 图1 A.1,2,4 B.1,4,9 B.∠BAE=∠DAE=∠CAD C.3,4,5 D.50,4,59 3.图2-①是一个三角形，分别连接这个三角 C.AD是△ACE的角平分线 3.已知三角形的三边长分别为2，x,10,若x为 形三边的中点得到图2-②，再分别连接图2-②正整数，则满足条件的三角形有 D.AC是△ABE的高 个 中间的小三角形三边的中点，得到图2一③. 4.在△ABC中，AB=7,BC=2 (1)图2-②有 个三角形；图2-③ (1)求AC长度的取值范围； 有 个三角形； (2)若△ABC的周长为偶数，求△ABC的周 (2)按上面的方法继续下去，第10个图有！长，并判断此时△ABC的形状 B 个三角形，第n个图中有 个三角 D 图3 形（用含n的代数式表示）. 4.如图4，在△ABC中，∠BAC=70°，∠B= 40°，AD为边BC上的高，CE是△ABC的角平分线 交AD于点F,则∠AFE的度数是 5.如图5，在△ABC中， ② 点M是△ABC的重心，连接 图2 AM并延长交BC于点D.已 4.1.1.2三角形的内角和 知DE和DF分别为△ADB 垦四训练 能刀提高 和△ADC的高，若AB=6 AC=8,DF=3,则DE= 1.如图1，三角形有一部分 5.(1)已知等腰三角形的一边长等于8cm, 6.如图6，在△ABC中，AD为BC边上的高，CE 被遮挡，我们可以判断此三角 边长等于9cm,求它的周长； 平分∠ACD交AD于点E,若∠BAC:∠CAD=3: 形的类型为 ( 2,∠DCE=35.求∠CAD和∠B的度数， A.钝角三角形 图1 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 2.在△ABC中，∠A=50°，∠C=60°，则∠B 图 的度数是 ( A.30° B.50° C.60° D.70 3.如图2，在Rt△ABC中，∠B=55°，∠C= 能刀提高 90°.若ED∥AC,则∠BDE的度数为 (2)若等腰三角形的一边长等于6cm,周长等 于28cm,求其他两边的长 7.已知△ABC中，AD为△ABC的高，AE为 △ABC的角平分线，∠B=40°，∠CAD=20°，求 △ABC的高AD与角平分线AE的夹角的度数. 图2 3 4.如图3，将一个三角形剪去一个角后，∠1+ ∠2=230°，则∠A= 5.如图4，在△ABC中，AD平分∠BAC,P为线 段AD上一点，PE⊥AD交BC的延长线于点E.若I 数理报社试题研究中心 ∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 18.(14分)问题情境：如图12-①，△ABC的 同步达标检测题（六） 两条角平分线交于点P, 探索发现：(1)若∠A=60°，则∠BPC的度数 为 ;若∠A=130°，则∠BPC的度数为 ◆ TONG BU DA BIAO JIAN CE TI 【检测范围：4.1】 (2)试猜想∠A与∠BPC之间的数量关系，并 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 说明理由. 题号1234567 8 拓展应用：(3)如图12-②，在△ABC中， ∠ABC和∠ACB的平分线交于点P,∠PBC和 答案 ∠PCB的平分线交于点P,请直接写出∠A与 1.如图1，以点A为顶点的三角形有( 图7 ∠P,之间的数量关系 A.5个 B.4个 C.3个D.2个 11.若等腰三角形的周长为18，一边长为4，则 其腰长是 12.如图8，CD是△ABC的高，且CD平分 ∠ACB,∠BAC=70°，∠CFE=25°，则∠CEF= 13.如图9，在△ABC 图1 图2 中，AD,BE,CF交于点G.若 2.已知三角形的两边长分别是3和8，第三条边点G为△ABC的重心，且 的长是一个偶数，则第三边的长不可能是( )SAc=12cm2,则阴影部分 A.6B.8 C.10D.12 的面积为 图9 3.如图2，在△ABC中，BC边上的高为( 14.若BD,CE都是△ABC的高，BD,CE所在 A.BE B.CF C.BD D.AF 的直线相交所成的角中有一个角的度数为55°，则 4.如果将一副三角板按如图3所示的方式叠 ∠BAC= 放，则∠AEC的度数为 ( 三、耐心解一解（共44分） 附加题⊙ A.105°B.120° C.759 D.45 15.(9分)如图10，已知△ABC,请在图中分 (以下试题供各地根据实际情况选用) 别画出下列线段： 1.(8分)在一个三角形中，如果一个内角是另 (1)△ABC的中线AD: 个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍 (2)△ABD的角平分线DM; 角三角形”.例如：三个内角分别为120°，40°，20° (3)△ACD的高线CN. 的三角形是“三倍角三角形”. (1)在△ABC中，∠A=35°，∠B=40° △ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？ 图3 图4 (2)若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B= 5.如图4，在△ABC中，AD是BC边上的中线 30°，求△ABC中最小内角的度数 △ABD的周长比△ACD的周长多3cm.若AB= 10cm,则AC的长为 ( 图10 A.5 cm B.6 cm C.8 cm D.7 cm 6.在一个三角形中，三个内角之比为1：2：6， 16.(9分)如图11，在△ABC中，AD,AF分别 则这个三角形的形状是 )为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线 A.锐角三角形 B.直角三角形 若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠BAF的大小N C.钝角三角形 D.无法判断 2.(12分)在△ABC中，∠A=80°，BE平分 7.如图5，AD,BE,CF分别是△ABC的中线、 ∠ABC,点P在射线BE上，连接CP,点D在BC的 高和角平分线，∠ABC=90°，CF交AD于点G,交 延长线上 BE于点H,AB=BD.下列结论：①AB=CD:②FG (1)如图，∠ACD=140°. =GC;③LABE=2LFCB;④LBFH=∠BHF, D F ①若CP∥AB,求∠ABC和∠BPC的度数： 其中一定正确的是 图11 ( ②若直线CP与△ABC的一条边垂直，求 A.①③④ B.②③④ ∠ACP的度数 C.①②③ D.①②④ 17.（12分)已知△ABC的三边长分别为a,b, (2)若CP平分∠ACD,请直接写出∠BPC的 c. 度数 (1)若a,b,c满足1a-b1+(b-c)2=0,试 判断△ABC的形状； /H (2)若a=5,b=2,且三角形的周长为奇数 求c的值； 图5 图6 (3)化简：1a-b-c-b-c-a+la+b 备用图 8.小慧一笔画成了如图6所示的图形，若∠A= 60°，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数为( A.180°B.240°C.270°D.300° 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 9.在△ABC中，∠A=110°，∠B=20°，则∠C 的度数为 10.如图7，在△ABC中，CD,BE是△ABC的 两条中线，若CE=了BC=4,BD=4BC,则 数理报社试题研究中心 △ABC的周长是 (参考答案见下期)