第28期 1.2 整式的乘法（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（北师大版·新教材）

素养拓展 数理极 在我们的日常生活里，整式乘法有着许多 初学整式的乘法时，部分数学诊所 巧妙且实用的“表演”，它就像一把隐藏在幕后 同学由于对运算法则理解不 的神奇钥匙，默默解决着各种实际问题 透，方法掌握不牢，解题时一 整式乘法误中“ 一、种植基地的数量计算 不留神，就会陷入错解的“误 区”.下面举例予以剖析，希望 ◎福建肖竣怀 例1某种植基地有大、小两块长方形实 剖析：此题中含有积的乘方运算、单项式乘 验田，大长方形实验田每排种植(3a+2b)棵樱 帮助同学们彻底走出学习的“误区”， 以单项式的乘法运算，运算时要注意单项式中 桃树苗，种植了(3a-b)排，小长方形实验田每 误区一、漏乘因式 系数的正负.因为第一个单项式的系数为正，第 排种植(a+b)棵樱桃树苗，种植了(a-b)排， 例1 计算：-2a6·obc 二个单项式的系数为正，所以积的系数为正， 其中a>b>0. 正解： (1)大长方形实验田比小长方形实验田多 错解：原式=(-2×子)(a:0)(6:) 误区四、运算顺序混乱 种植多少棵樱桃树苗？ =-6 例4计算：(-5a-6b+c)(3a-6b) (2)当a=5,b=3时，两块试验田一共种 错解：原式 植多少棵樱桃树苗？ 剖析：在进行单项式乘法运算时，对于只在 =-15a2+30ab+36b2-18ab+3ac 解：(1)由题意得， 个单项式里含有的字母，应连同它的指数不 =-15a2+36b2+12ab+3ac. (3a+2b)(3a-b)-(a+b)(a-b) 变，作为积的因式错解就因漏掉了第二个单项 剖析：多项式与多项式相乘时，要按照一定 =(9a2-3ab+6ab-2b2)-(a2-ab+ab 式中独有的字母c而致错， 的顺序进行，错解在相乘时因为顺序混乱，而发 正解： -b2) (此处填正解，请同学生漏乘错误在计算时，应随时检查是否有漏乘 们自行完成) =9a2+3ab-2b2-a2+ 现象，其方法是：在未合并同类项之前，积的项 误区二、忽视常数项“1” 数应等于两个多项式项数的积， =8a2+3ab-2, 例2计算：3x(2x2-x+1). 正解： 即大长方形实验田比小长方形实验田多种 错解：原式=3x·2x2-3x·x=6x3-3x2 误区五、结果不化简 植(8a2+3ab-b2)棵樱桃树苗 剖析：根据单项式与多项式相乘的法则，积 例5计算：x(x2-y+y2)-y(x2+y+ (2)(3a+2b)(3a-b)+(a+b)(a-b) 的项数与原多项式的项数相同.错解中忘记将y2) =9a2-3ab 6ab -2b2 +a2 ab ab -b2 多项式2x2-x+1中的1与3x相乘， 错解：原式=x-x2y+2-yx2-xy2-y. =10a2+3ab-3b2, 正解： 剖析：错解在于计算结果不是最简形式当 当a=5,b=3时，10a2+3ab-3b2=10 误区三、忽视符号 结果中含有同类项时，应合并同类项，以得到最 ×52+3×5×3-3×32=268, 例3计算：3ab·(-2a)2 简结果 即两块试验田一共种植268棵樱桃树苗： 错解：原式=3ab·（-4a2)=-12ab. 正解： 数眼看世泉 整式乘法，， 第27期2版参考答案 1.1幂的乘除 5.(1)-8x;(2)-点 (3)-2x ,”,生活秀 1.1.1同底数幂的乘法 能力提高6.(1)因为2m=3,2”=5,所以23m= 基础训练1.A;2.C;3.10; (2)3=32=27,22=(2”)2=52=25.所以2m-2= 4.9.6×1012:5.64. ⊙山西刘子瑜 6.(1)-y;(2)(-a)7;(3)y;(4)am3 22- 二、绿化工程的成本计算 能力提高7.(1)因为x*y=3×3,所以2*5= (2)因为10°=20,10=5，所以10-◆=10°÷10° 32×35=37=2187. 例2如图，某市有 (2)因为1*(4-3)=81，所以3×33=32=20÷5=10=102.所以a-b=2.所以25”÷52 -块长为(3a+b)米 =3头所以4x-2=4解得x=多 =(52)0÷520=5÷524=5a-2h=54=625. 宽为(2a+b)米的长方 1.1.4.2科学记数法 (3)x*(y+z)=(x+y)*云.理由如下： 形地块，规划部门计划 因为x*（y+2)=3*×3:=3*,(x+y）*z= 基础训练1.C;2.A 3.(1)0.43=6.4×10-2(m3), 将阴影部分进行绿化， 3y×3=3y,所以x*(y+z)=(x+y)*z 所以这个盲盒的体积是6.4×102m, 1.1.2幂的乘方 中间将修建一座雕像. (2)6.4×102÷(1×103)3=6.4×10(个)， 基础训练1.D;2.C; 所以需要6.4×10？个这样的小立方块才能将盲盒 (1)绿化的面积是多少平方米（用含a,b 3.(1)m6,(2)-x8,(3)x0,(4)64;4.8. 装满 5.(1)x14;(2)-x6m 的代数式表示)？ 能力提高6.(1)由题意，得a+3b+2z=3,所以 第27期3版参考答案 (2)若a,b满足(x+1)(x+2)=x2+ax 30×27×9=3”×34×32=3+36+2=33=27. 题号12345678 +b,且绿化成本为40元/m2,则完成绿化工程 (2)因为22=3，所以(21)2-2“=22-2= 答案B C DDD C B C 4×(22)3-(22)2=4×3°-32=108-9=99. 共需要多少元？ 1.1.3积的乘方 二9.(a-6)；10.18;118；12.4； 解：(1)由题意，得 基础训练1.D:2.B: (3a+b)(2a+b)-(a+b)(a+b)=6a 3.（1)9x2,(2)25ab0,(3)-8y,(4)6.4× 13.1025;14.3或7 27 三、15.(1)x°；(2)-4x";(3)6a +3ab +2ab +b2-(a2 abab b2)6a 102:4.15. 16.R=2×667×10-×9×10∞ (3×10)2 =1.334× +5ab+b2-a2-2ab-b2=5a2+3ab, 5.1)原武=（号）×(-子)0×(-子)= 104(m) 即绿化的面积是(5a2+3ab)平方米， [专×(-)]×(-子)=-1×(-)=子 答：该恒星的施瓦氏半径为1.334×104m. (2)因为(x+1)(x+2)=x2+ax+b,所 17.(1)因为2*3×3*3=36-2，所以(2×3)*+3= 以x2+3x+2=x2+ax+b.所以a=3,b=2. （②)原武=管x管严x(受”×(-8)=-25×66以6=6所议r+3=2-4 解得x=7. 所以5a2+3ab=5×32+3×3×2=45 停×多)"=-25. (2)因为10“=3,109=5，所以10=3,10 +18=63. 1.1.4.1同底数幂的除法 因为绿化成本为40元/m2,所以63×40= 基础训练1.C;2.D; =5.所以1020-9=102÷1029=1024÷(10)2=号÷ 2520(元)，即完成绿化工程共需要2520元 3.(1,(2)-2,3)-27:4.25. (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 数评橘 2026年1月13日·星期二 初中数学 28期总第1172期 北师大 0351-5271248 七年级 上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-43 1ǒ.(1) 16m×32m=227 ÷8 ÷23 入门向导 所以(2)m 本周住讲 (24)m×(2)m=22 所以2m ×24m×2 聚焦整式的乘法 2 22 ,所以 1.2整式的乘法 ◎江西王清瑞 12m=24.解得m 学习目标：1经历探索整式乘法法则的过程， 整式的乘法运算不仅是本章的重点，还是 （32)因为.=3 (2)原式= 4ty.(-8xy) 并掌握法则 同学们今后学习其他知识的基础.整式的乘法 9 273 2.能进行简单的整式乘法运算， ,6 (42)3 =16 运算在整个初中代数中起着承上启下的作用. =(- 认知重点：1.能借助图形解释整式的乘法法 5 又因为27>16 5,所以27≥16 上我们一起来学习整式的乘法吧！ 则，发展几何观念 a x b x e. 一、单项式乘单项式 2.体会乘法分配律在整式乘法运算中的作 附加题1.小张 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同 整，完 二、单项式乘多项式 用，发展运算能力 时程如下 字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用 因为a°=1(a≠0) 变，作为积的因式 +c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分 所以x+1=0且x1 单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. ,4≠0，所以x= 单项式与单项式相乘，主要是利用乘法交 单项式与多项式相乘，应注意： 别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个 因为1"=1，所以 当1x1-4=1时，解得 换律和结合律，在运用单项式与单项式相乘的 运算时，要注意积的符号，若将多项式中的 多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每 5 法则时，要注意以下几点： 因为(-1)2m 每一项前面的“+”“_”号看作是性质符号，则 一项相乘，然后把所得的积相加.即(m+n)(a 所以当x-4=-1 1.积的系数等于各因式系数的积，先确定 b+c)ma mb mc na nb nc. 单项式乘以多项式各项的结果要用“+”号连 时，解得x 符号，再计算绝对值. (2)在相乘时要防止漏项，检查有无漏项的 =(-1)1 接，最后要写成省略加号的代数和的形式， 或(-1)2，其结果都为 2.相同字母的幂相乘，需运用同底数幂的 方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之 例2计算-x(x3-1)的结果是( 乘法法则进行计算 前，积的项数应是这两个多项式项数的积.例 A.-x4-1 B.- 综上所述，x的值 如：(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3= 可以为-1 ±3，±5. 3.只在一个单项式里含有的字母，要连同 C.-x+x D.xx 2.(1)3 (2)因为(5,3) 它的指数作为积的一个因式 6项 解析：原式=-x4+x 例3 计算：(a-2b)(a2-3ab+b2)= (5,8)=b,(5,24) 4.单项式乘法法则对于三个及三个以上的 房以由新定义可 故选C 得：54 =3,56 =8,5 单项式相乘同样适用 三、多项式乘多项式 24.因为3×8=24.所 5.单项式与单项式相乘，结果仍是单项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 以5×5=5，所以a+ 例1计算： 每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的 解析：(a -2b) 3ab +b2) =C. (3)(8,125)+(4 (1)2x·(-3x2y); 积相加 64 )=(23,53)+[22 (2)1 y(-22)3()2 多项式与多顶式相乘，应注意：(1)运用多 =a3-3m2b+ab2-2a2b+6ab2-2b )2]=(2,5)+(2 项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相 =a3-5a2b+7ab2-2b3. 解：(1)原式=(-2×3)x+2y3=-6x3y3. 乘时要按一定的顺序进行.例如：(m+n)(a+b 故填a3-5a26+7ab2-2b ).设(2,5)=，(2 )=b,c=a+b= 学习了整式的乘法后，对于求待定字母值 名师点睛 (2,5)+(2,8 ),所以 的问题、较大数的计算问题以及比较大小问题 2.5x号)=2 等，巧用字母表示数，进行以“式”代“数”，可巧 式乘法显身手 8).因为23=8，所以 妙地利用整式的乘法提高解题效率.下面举例 东 齐文斌 =3. 所以(8,125)+ 说明 4 =2x2+（2-m)x-m. 三、作差比较大小 (4,25 ）=3. 一、妙求待定字母 因为原式的运算结果是关于x的二次二项 例4设A=(x-3)(x-7),B=(x (全文完 例1若(x+2)(x-n)=x2+mx+2,求 式，所以2-m=0或-m=0. 2)(x-8),则A,B的大小关系为 本期1版《整式 m-n的值 解得m=2或m=0. A.A>B B.A<B 乘法显身手》 牛刀 小试参考答案 分析：利用多项式与多项式相乘的法则计 故选B C.A=B D.无法确定 1.原式=x 3x 算等式左边，再利用多项式相等的条件求出m, 分析：此题可以先分别计算出A,B的值，然 x+px-3px+pox 二、巧设用于计算 后运用作差法比较大小 +-3=+ n的值即可 例3计算：3.78×2.78×5.78-3.783- 解：因为(x+2)(x-n)=x2+(2 n)x 解：A=(x-3)(x-7)=x2-10x+21 (p-3)x3+(g-3p 1.782 )x2+(p9+1)x 2n=x2+mx+2, B=(x-2)(x-8)=x2-10x+16. 分析：此题若直接计算，则运算量很大，由 所以2-n=m,-2n=2, 因为A-B=x2-10x+21-(x2-10x+ 34根据题意，得p-3 =0,pq+1=0.解得 解得m=3,n=-1. 于题目中数字的小数部分相同，若设3.78为a,16)=5>0, 所以m-n=4. 则其他数都可以用含α的代数式表示，然后运用 =3,9=-3 所以A>B. 例2若(2x-m)(x+1)的运算结果是关 整式的乘法计算即可. 故选A. 2.设A=x2+3x,B =3x2+4x,则原式= A+1)(B+ 11 (A- 于x的二次二项式，则m的值是 解：设3.78=a,则2.78=a-1,5.78=a 牛刀小试 1)(B-1)=AB+A+B A.-2或0 B.2或0 +2,1.78=a-2. +1-AB+A+B-1= 2A+2B=2(x2+3x)+ C.-2或2 D.2或-2或0 所以原式=a(a-1)(a+2)-d-(a-2)2 1.若(x2+px 3)(x-3x+g)的积中不 2(3x2+4x）=8x2 14x. 分析：先利用多项式与多项式相乘的法则 =a3+a2-2a-a3-a2+4a-4 含x项和x项，求p,9的值 进行计算，再根据一次项的系数或常数项为0计 =2a-4 2.计算：(x2+3x+1)(3x2+4x+1)-(x2 算m的值 因为a=3.78, +3x-1)(3x2+4x-1) 解：(2x-m)(x+1)=2x2+2x-mx- 所以原式=2a-4=2×3.78-4=3.56 (参考答案见本期1,4版中缝)》 2 素养专练 数理极 1.2.2单项式乘多项式 1.2.3多项式乘多项式 跟踪训练 屋础训练 tt 厚础训练 】 GENZONGXUNLIAN 1.计算-3mn(m-2m)的结果是 1.计算(2x+1)(x-3)的结果为( ( 1.2整式的乘法 A.2x2+5x+3 B.2x2+5x-3 3 1.2.1单项式乘单项式 A.3m'n mn B.-3min -2mn C.2x2-5x+3 D.2x2-5x-3 2.若(x-3)(2x2+mx-5)的计算结果中x 3 垦础训练 C.-3m2n+之mn D.3m'n 2mn 项的系数为-3，则m的值为 () 1.计算2x·x26的结果是 ( 2.一个木制的长方体箱子的长、宽、高分别为 A.-3 B.3 C.-9 D-号 A.3x20B.2x27 C.2.x2026 D.x402 2x+5,x,2x,则这个木制的长方体箱子的体积为 3.从前，一位庄园主把一块长为a米、宽为 2.下列计算正确的是 ( A.6x2.3xy=9x3y3 A.4x3+10x B.4x3+10x b米(a>b>100)的长方形土地租给租户张老 C.4x2+10x D.4x2+10x3 汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加 B.(2ab2)·(-3ab)=-6a2b 10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没 C.m2n·(-m2n)=-m3n2 3.若要使(x2+ax+5)·(-6x3)+6x的展开 D.(-3x3y)·(-3xy）=9xy2 式中不含x4项，则常数a的值为 有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租 地面积会 () 3.若(mx3)·(2x)=-8x8,则等式中的m= a ,k= 4.定义三角 表示3abc,方框 A.变小了 B.变大了 e 表 + C.没有变化 D.无法确定 4.如图1，计算图中阴影部分的面积为 4 n 4.若(x-3)(x+m)=x2-nx-3,则n= 示x这+wy, 则 /n3 52m 的结果为 .5 5.在综合与实践课上，小明设计了如下运算： 5.计算： a⑧b=(ax+2b)(bx-a),则1⑧2经过运算可 (1)-3b(2a+b); 化简为 rar 2a 2aT 2a 6.计算： 图1 5.计算： (1)(x+5y)(2x-y); (1)(-3xy4)·(- (2)2xy2(-x2+2y2+1); (2)(-2x2)·(-3x2y2)2; (3)(- (2)(2a-3b)(2a2+6ab+52) 2x2+ 3 2- )·(-2xy2)3 1 (3）-2x(-6ya)·(9): 6.某同学计算一个多项式乘-3x2时，因抄错 符号，算成了加上-3x2,得到的答案是x2-2x+1. (1)求这个多项式； (2)求正确的计算结果 能刀提高 (4)(-ab2)3+ab2·(ab)2.(-2b)2. 7.计算下列各式，然后回答问题： (a+5)(a+2)= (a+5)(a-2)= (a-5)(a+2)= (a-5)(a-2)= (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示 能刀提高 为：(x+p)(x+q)= 6.如图2，王老师把家里的WFI密码设置成 能刀提高 (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： 了数学问题.小明同学来王老师家做客，看到WFI ①(x+10)(x-23)= 图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了 7.已知ab2=-1,求-ab(a2b-3ab3-2b)的 ②(x-25)(x-20)= 王老师家里的网络，那么他输入的密码是值 (3)已知x2-8x-3=0,求(x-1)(x-3)(x -5)(x-7)的值. 账号：Mr·Wang's house 王⑧[xyz]=0ang1314 浩⑧[xy5·x2.0]=hao31520 阳⑧[(x2y)4.(y2#)2]=密码 数理报社试题研究中心 图2 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 5 18.(14分)设a5是一个两位数，其中a是十 同步达标检测题（二） 位上的数字(1≤a≤9).例如：当a=4时，a5表 示的两位数是45. ◆ TONG BU DA BIAO JIAN CE TI (1)尝试： 【检测范围：12】 ①当a=1时，152=225=1×2×100+25； 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 14.小林计算(x+ay)(x+by)(其中a,b是不 ②当a=2时，252=625=2×3×100+25； 为零的整数)时发现，合并同类项后会得到整式 ③当a=3时，352=1225=3×4×100+25： 题号12345678 -cy(c为不大于10的整数)，则c的值为 ④当a=4时，452=2025= 答案 (2)归纳：(a5)2与100a(a+1)+25有怎样 1.计算3y2·(-y)的结果是 ( 三、耐心解一解（共44分） 的大小关系？试说明理由。 A.3y B.-3yC.3y3 D.-3y 15.(12分)计算： (3)运用：若(a5)2与100a2的差为525，求a 2.数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学 (1)3x2y·(-2y)3; 的值 回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题： -4xy(3y-2x-3)=-12xy☐+12xy,“☐”的地 方被墨水弄污了，你认为“口”内应填写( A.+8x2y B.-8x2y C.+8xy D.-8xy2 (2)4xy(3x2+2xy-1); 3.在展开多项式(x2+x-3)(x2-2x+2a) 中，常数项为-30，则a等于 A.3 B.4 C.5 D.6 4.现有如图1所示 的正方形卡片A类，B类 (3)2(x+2)(2x+3)-3(1-x)(x+6). 和长方形卡片C类若干 图1 张，如果要拼一个长为3a+b,宽为a+3b的大长 方形，则需要C类卡片的张数为 ( 附加题⊙ A.6 B.8C.10 D.12 (以下试题供各地根据实际情况选用) 5.若-2x(x2+ax+5)-6x2的计算结果中不 16.(8分)小明在计算代数式x2(3x+2) 1.(10分)定义：L(A)是多项式A化简后的项 含x2项，则a的值为 3x(+号)+6（父-学）的值时，发现当 数，例如多项式A=x2+2x-3,则L(A)=3.一个 A.-3 B- C.0 D.3 多项式A乘多项式B化简得到多项式C(即C=A 2025和x=2026时，它们的值是相等的.小明的 ×B),如果L(A)≤L(C)≤L(4)+1,则称B是A 6.若n为整数，则代数式(3n+3)(n+3)+3 发现正确吗？说明你的理由. 的“好多项式”；如果L(A)=L(C),则称B是A的 的值一定可以 “极好多项式” A.被2整除 B.被3整除 (1)若A=x-2,B=x+3,则B是不是A的 C.被5整除 D.被9整除 “好多项式”？请说明理由. 7.若M=x(2x-7),N=(x+1)(x-8),则 (2)若A=x-3,B=x2-ax+9均是关于x M与N的大小关系是 ( 的多项式，且B是A的“极好多项式”，求a的值. A.M<N B.M=N C.M>N D.M与N的大小由x的取值而定 8.已知a2-a-3=0,则a2(a-4)的值为 17.(10分)为了提升居民的幸福指数，某居民 A.-9B.9C.-8D.8 小组规划将一长为(9a+1)米、宽为(36-4)米的 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 长方形场地打造成居民健身场所，如图2所示，具 9.计算：2x(3x-1)= 体规划为：在这个场地中分割出一块长为(3a+1) 10.如果单项式-2x2”y3与xy+的差仍是 米、宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方 个单项式，则这两个单项式的积是 安装各种健身器材. 11.若(x+a)(x-2)=x2+5x+b,则a+b (1)求安装健身器材的区域面积： (2)当a=9,b=15时，求安装健身器材的区 2.(10分)已知6=192,32'=192，求 12.老师在黑板上书写了一个正确的演算过 域面积！ 9a+1 (-6)-)-)+2的值. 程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： :(-之)=-6x+2y-1,则手掌指住的 多项式为 13.将a,b,c,d4个数排成2行2列，两边各加 条竖线记作。拼定义“ad-c, c d 述记号叫作二阶行列式若x+2x-3引 x+1x-2 数理报社试题研究中心 5x,则x的值为 (参考答案见下期)