第27期 1.1 幂的乘除（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（北师大版·新教材）

素养拓展 A 数理极 思维天 比较幂的大小是一种常见题型，由于这类 逆用法则轻松解题 题目的结构比较复杂，不宜按常规方法求解，所 以很多同学在处理此类型题目时，常感到束手 无策.现介绍几种方法，供同学们参考 ⊙湖南何超 一、计算比较法 逆向，思维是体现发散思维的重要内容，是问题转化为两个简单的分数相乘。 先计算出幂的结果，再比较大小，从而 培养同学们思维品质的重要方法，现就幂的运 确定幂的大小 算法则的逆用举例说明如下，供同学们参考. 解原式=-（各×号“ 十十十十十十++++十++十+十+十人 一、逆用同底数幂的乘法 =-(-1)124 例1若am=2,a”=3,则am+"的值为 =-1. 例1 已知a=(子b=(-7 4 ( 四、逆用同底数幂的除法 c=0.8,则a,b,c按从小到大的顺序排列是 A.5 B.6 C.8 D.9 例4若3m=4,9”=5,则3m-2的值为 分析：为了能使待求式直接运用已知条件 分析：由于所给的暴比较容易计算，因此可 可以逆用同底数幂的乘法法则将待求式变形， B c D. 5 逐一计算后，再比较大小 即am+n=am·a”, 分析：因为待求式的底数为3，而9=32，所 解：因为。=(-子)=6 3 解：因为am=2,a”=3, 所以a*n=am·a”=2×3=6. 以可先把9”转化成底数为3的形式，再逆用同 底数幂的除法法则求解即可 (、 故选B. 4°=1，e=0.8=又因为1< 4 解：因为9”=5， 二、逆用幂的乘方 =5. 例2已知xm=3,x”=2,那么x2m+ 所以(32)”=5，即32m ,所以b<c<,故填b<e<m 又因为3m=4, ( 品味方法 A.17B.54 C.72 D.81 所以3m-2=3m÷32m=4÷5= 分析：逆用同底数幂的乘法法则及幂的乘 故选B. 巧妙比较幂的大 方法则对式子进行整理，再代入相应的值运算 五、综合逆用幂的运算法则 ⊙浙江应思涵 即可. 例5若103x=125,则10x= 解：因为xm=3,x”=2, 分析：根据已知条件逆向运用幂的乘方法 二、指数比较法 所以x2m+3”=x2m·”=(x)2.(x)3=32则，将103r转化为(10)3求出10的值，然后逆 十十十十十 先把底数化为相同的数，然后比较指 ×23=9×8=72. 用同底数幂的乘法法则将10+x转化为10×10 故选C. 即可得解 !数的大小，从而确定幂的大小、 十十十“十 三、逆用积的乘方 解：因为10x=125, 例2若a=8131,b=2741,c=91,则a 例3计算：-(-)“×(2号) 所以(10)3=53. b,c的大小关系为 所以10=5. 分析：本题直接计算不仅计算量大，而且容 所以10w=10×10*=10×5=50. 分析：本题所给的幂直接计算比较复杂.经 观察，可发现所给的幂都可以写成3”的形式， 易出错，若逆用积的乘方的运算法则，则可以将 故填50 十4十十“一 故将各数的底数都化为3后，再比较其指数的 专题辅导 大小，这样可以简化运算 要结论伴你行 解：因为a=8131=(34)31=324,b=27 =(33)1=323,c=961=(32)61=32,又因 重庆 李旭峰 为124>123>122，所以324>323>32.所 若am=a"(a>0,a≠1，m,n都是正整数)，则 相同的幂，列方程求出n的值，代入所求式计算 以a>b>c.故填a>b>c m=. 即可 三、底数比较法 十十十4十 若=c(x为正整数)，则 解：因为16”=84， 「b=c(x为奇数) 所以(24)”=(23)4. 先把指数化为相同的数，然后比较底 所以2=22. t数的大小，从而确定幂的大小 Lb1=1c1(x为偶数) 这两个结论应用非常广泛，下面举例说明， 所以4n=12. 例3比较30,440,50的大小 解得n=3. 供同学们参考. 分析：由于题目中所给的幂的指数较大，显 所以-3”-4×(-2")+5=-33-4×(-2) 一、求字母的值 然不能迅速求解.观察发现，指数500,400,300 +5=10. 例1若2×4"×16”=29，求n的值. 具备一个特点，那就是它们都是100的倍数.因 例3已知27=a°=9，求2a2+2ab的值 分析：先运用幂的乘方法则将式子转化为 此可逆用幂的乘方的性质，把指数化为相同的 分析：先把已知条件转化为底数相同或者 同底数幂的乘法运算，然后运用同底数幂的乘指数相同的幂，求出，b的值，再代入所求式计 数后，再比较其底数的大小 法法则转化为am=a”的形式，解方程即可. 算即可. 解：因为350=(35)0=2431m,440= (44)10=256m,530=(53)10=1250,又因为 解：因为2×4”×16”=29 解：由272=a,得(33)2=a,即36=a 所以a=3或a=-3. 256>243>125,所以256100>243100>125100. 所以2×22n×24n=219. 所以2+2+4m=29. 由272=9，得(33)2=(32)，即36=32. 所以440>3500>530. 所以2+6m=29. 所以2b=6. 例4已知a3=3,b=4,比较a,b的大小 解得b=3. 分析：先将a与b各自乘方，使乘方后的 所以1+6n=19. ①当a=3,b=3时 幂的指数为原来各指数的最小公倍数，即将指 解得n=3. 2a2+2ab=2×32+2×3×3=36: 数化为相同的数，然后再比较乘方所得的数的 二、求代数式的值 ②当a=-3,b=3时， 大小即可. 例2若16”=84，求-3m-4×（-2)+ 2a2+2ab=2×(-3)2+2×（-3)×3 解：因为(a3)5=a5=3=243,(b)3= 5的值. =0. 5=43=64,又因为243>64，所以a5>b5 分析：将等式16”=84的左右两边化为底数 综上所述，2a2+2ab的值为36或0. 所以a>b. 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话： 2026年1月6日·星期二 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 羞理极 27期总第1171期 北师大 0351-5271248 七年级 20252026学年 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 邮发代号：21-43 七年级数学北师大 入门向 本周住讲 第二学期编辑计划 伴你学幂的运算 1.1幂的乘除 27期 1.1幂 ◎山西 程彦英 的乘除 同底数幂的乘法、除法、幂的乘方与积的乘 解：由题意，得2x=8,所以x= 学习目标：1.清晰掌握幂的乘除、乘方与 28期1.2整 方是整式乘除运算的基础，也是进行整式乘除 三、积的乘方 式的乘法 积的乘方的运算法则，并会进行相关计算。 运算的依据，所以学好幂的有关运算十分重要 (ab)”=a”b(n是正整数) 29期1.3乘 法公式；1.4整式的 一、同底数幂的乘法 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘 2.了解零指数幂和负整数指数幂的意义， 除法 a"·a”=am+"(m,n都是正整数)： 方，再把所得的幂相乘 会用科学记数法表示绝对值较小的数， 30期《整式的 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 注意：①具体运算时，一定要将积中的每 乘除》复习与小结 注意：①在这个表达式中，等式左边的两个 个因式都乘方，不要漏乘 认知重点：能准确理解幂的运算法则，学 31期2.1两 幂的底数相同，且是乘积的关系，而右边是一个 ②三个或三个以上的积的乘方也具有这 会法则的逆用，并能解决一些实际问题 条直线的位置关系 幂，与左边相比，底数不变，指数是由左边的两性质，如(abc)”=abc"(n是正整数) 32期2.2探 个指数相加而得到的. 例3计算：(2a4)3. 科学记数法在数学领 索直线平行的条件； ②三个或三个以上的同底数幂相乘，也具 解：原式=2·(a4)3=8a2 域占据着重要地位，它的 2.3平行线的性质 有这一性质，如a·a·d=a+n+P(m,n,p都是 四、同底数幂的除法 魅力不仅在于其简洁性， 33期 《相交线 学 正整数) am÷a”=am-"(a≠0，m,n都是正整数，且 更在于其广泛的应用性 与平行线》复习与小 ③注意分清底数和指数，把同底数幂的乘m>n) 让我们通过具体的例子来 法与合并同类项区分开 同底数幂相除，底数不变，指数相减 进一步感受一些绝对值较 34期3.1感 受可能性；3.2频率 例1计算a2·a的结果为 小的数的科学记数法的魅 ( 注意：①和同底数幂的乘法类似，被除式 亚 的稳定性；3.3等可 A.a B.3a C.2a2 D.a' 除式和商都是幂的形式且底数一定相同，商中 力吧！ 能事件的概率；《概 解析：原式=a21=a3.故选D. 幂的指数是被除式的指数与除式的指数之差， 般地，一个小于 率初步》复习与小结 二、幂的乘方 ②表达式中的“a”不为0. 1的正数可以表示为a 35期 期中复 (a")”=a"(m,n都是正整数)） ③三个或三个以上的同底数幂相除，也具 ×10”的形式，其中1≤ 幂的乘方，底数不变，指数相乘 有这一性质，如a”÷a”÷ad=am-P(a≠0，m, a<10,n是负整数，这 36期 4.1认 注意：①幂的乘方和同底数幂的乘法的区 n,p都是正整数，且m>n+p). 种记数方法也是科学 识三角形 别：前者是指数相乘，后者是指数相加， 例4计算u3÷a得a’,则“？”是( 记数法. 37期4.2全 ②多重乘方也具有这一性质，如[(a“)]P A.0 B.1 C.2 D.3 等三角形；4.3探索 =a心(m,n,p都是正整数). 解析：因为a3÷a=a=a2,所以“？”的 例1宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十 三角形全等的条件 (1) 例2 计算(a)2的结果为a,求x的值. 值为2.故选C 日红，此花无日不春风.一尖已剥胭脂笔，四破 犹包翡翠茸.”描绘了月季花的季节特征与月 38期 4.3探 知识梳理 季花开放时的形态和色泽.月季被誉为“花中 索三角形全等的条 皇后”，也是南阳市的市花，具有非常高的观赏 件(2)；4.4利用三 两种特殊指数幂 形全等测距离 价值.某品种的月季花粉直径约为0.0000352 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 39期 《三角 ◎江西魏梦语 米，数据0.0000352用科学记数法表示为 形》复习与小结 零指数幂：a=1(a≠0) -3 40期 5.1轴 A.3.52×10-5 B.0.352×10- 负整数指数幂：aP= (a≠0，p是正整 (1 8 对称及其性质 -125 C.3.52×10-6 D.35.2×10-6 41期5.2简 数 以上是严格按照公式的正常计算方法计算 分析：本题考查用科学记数法表示较小的 单的轴对称图形 很多同学对这两个知识点理解不透，我们的，较繁琐，现介绍一种简单的方法， 数，一般形式为a×10,其中1≤a<10,n为负 42期《图形的 可以利用“假设同底数幂的除法法则a"÷α”= 整数.n的绝对值等于将原数写成科学记数法a× 轴对称》复习与小结 am”对m≤n时仍然成立”来说明这一规定的 因为aP= -(a≠0，p是正整数)，所以有 10”时，小数点移动的位数 43期6.1现 合理性. 例如，由于103÷103=1，借助同底数幂的 ap=(a1)P=( 解：0.0000352=3.52×105 实中的变量；6.2用 L)P(a≠0，p是正整数)，总结 除法法则，可得103÷103=103-3=10°，因此可 故选A. 表格表示变量之间 口诀为“底倒指反，幂值不变”，即底数变为原底 例2一个数用科学记数法表示为5.01× 的关系；6.3用关系 1 以规定10°=1；由于1÷10=0，借助同底数幂 数的倒数，指数变为原指数的相反数，幂的值不 102,则这个数是 ( 式表示变量之间的 的除法法则，可得1÷10=10°÷10=10°-1= 会改变，运用这个变形公式，可以大大简化运 A.5.01 B.0.501 关系 10',因此可以规定10=1 算，提高解题效率 C.0.0501 D.0.00501 44期6.4用 ,当底数变为其他 刚才的三道题目，也可以这样求解： 分析：本题考查写出用科学记数法表示的 图象表示变量之间 不为0的数时，也有类似的结论 原数.将科学记数法a×10”表示的数，“还原” 的关系；《变量之间 有些同学在计算负整数指数幂时容易出 ()3=2=8： 成通常表示的数，就是把a的小数，点向左移动 的关系》复习与小结 错，尤其是当底数是分数的时候，现举例说明. ||位所得到的数.把一个数表示成科学记数 45~52期 升 例如：() 1 1 级突破（合刊） =8; (0)2=102=10, 法的形式和把用科学记数法表示的数还原，是 -)3 1 2 8 (-)=-3》- 两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记 1 数法表示一个数是否正确的方法 10 =100; 1 需要注意的是，在运用这个公式时，幂的底 12 解：5.01×10-2=0.0501. 10 100 数和指数要同时改变，否则就会出现错误 故选C. 2 素养专练 数理极 5.计算： 3.计算： 跟踪训练 (1)(x2)2.(x2)5; (1)(-a)9÷(-a)3= (2)-x÷(-x)2= 】 GENzoNGXUNLIAN (3)(-3)2÷(-3)5= 1.1幂的乘除 4.若a-b=2,则5”÷5=_ 1.1.1同底数幂的乘法 (2)(x)3·(x3)m-2(x2)3m 5.计算： (1)(-2x)5÷(-2x)2; 堡础训练 1.计算m2·m3的结果是 A.m B.2m3 C.m5 D.2m5 能刀提高 2.下列运算正确的是 (2)(-2)3+(m-4)°-(3)2 A.a3·a5=a5 B.a4·a4=2a4 6.(1)若a+3b+2z-3=0,求3×27×9 C.a7·a=a8 D.2m·3n=6m+n 的值； 3.若a=2,a'=5,则a+y= 4.宇宙空间的年龄通常以光年作单位，1光年 是光在一年内通过的距离，如果光的速度为每秒 3×10千米，一年约为3.2×10秒，那么1光年约 (2)若224=3，求(231)2-2“的值. (3)x2·x-(2x3)2+x÷x3. 为千米 5.已知a+2b-3=0,则4°×424= 6.计算： (1)-y3·y; (2)(-a)2·(-a)3; 1.1.3积的乘方 能刀提高 垦础训练 6.(1)已知2m=3,2”=5,求23m-2m的值； 1.计算：(-2m4)3= ( ) (3)y·(-y）2·y;(4)a·a2m·a2-m A.-6m7B.-8m7C.-2m2D.-8m2 2.若(2x°y*)3=8xy5成立，那么a,b的值 为 ( ) A.a=3,b=6 B.a=3,b=2 X C.a=6,b=2 D.a=3,b=5 (2)已知10=20,10=号，求25÷52的值 能刀提高 3.计算： (1)(3x6)2= ； 7.规定：x*y=3×3 (2)(-5ab5)2= (1)求2*5的值： (2)若1*(4x-3)=81,求x的值； (3(-子v- (3)判断x*(y+z)与(x+y)*z的值是否相 (4)(4×10)3= (结果用科学记数 1.1.4.2科学记数法 等，并说明理由. 法表示) 垦恐训练 4.已知5m=3,4”=5,则20m= 5.下面是东东同学完成的一道作业题： 1.英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功 东东的作业 地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学 计算：45×(-0.25)5. 奖.石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材 解：原式=(-4×0.25)5=(-1)5=-1. 料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅 0.00000000034米，将0.00000000034用科学记 请你参考东东的方法计算下列各题： （1(号)×(-125) 数法表示为 ( A.0.34×10-9 B.3.4×10- 1.1.2幂的乘方 垦础训练 (2)(3g)x(第)"x(-2 C.3.4×10-10 D.34×10-1 2.与-1.27×10-4相等的数是 ( A.-0.000127 B.0.000127 1.下列计算中，结果等于的是 ( C.-0.0000127 D.0.0000127 A.a2·a B.(a3) 3.一个正方体盲盒的棱长为0.4m(以下各题 C.a+a D.(a)2 的结果均用科学记数法表示). 2.若一个正方体的棱长为102mm,则它的体 1.1.4.1同底数幂的除法 (1)这个盲盒的体积是多少？ 积是 ( 屋础训练 (2)若有一个小立方块的棱长为1×103m, A.102mm B.105mm3 则需要多少个这样的小立方块才能将盲盒装满？ C.105 mm D.108 mmi 1.下列运算结果为a°的是 3.计算： A.a3÷a B.a÷a (1)(m3)2= C.a8÷a2 D.a9÷a6 (2)-(x)2= 2.若(x-4)°-(2x-6)2有意义，则x需满足 (3)[(x2)3]5= 的条件是 (4)[(-2)2]3= A.x>4 B.x<3 数理报社试题研究中心 4.若3a+b=3,则(2)3×2= C.x≠4或x≠3 D.x≠4且x≠3 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 18.(12分)数学探究活动课上，七年级的同 同步达标检测题（一） 学发现由幂的运算逆向思维可以得到am+n=am a,am-"=a”÷a”,am=(a)”=(a)m,在解题 ◆ TONG BU DA BIAO JIAN CE TI 过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算 法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙解 【检测范围：1.1】 决 一、精心选一选（每小题4分，共32分） (2)(-2x2")3+4(x2)3; (1)若8"×16”×32m=22”÷8,求m的值； 题号12345678 (2)若a=3”,b=46,c=53,试比较a,b,c 答案 的大小 1.计算x3·x3的结果是 A.2x3 B.x C.2x6 D.x 2.祖国主权，寸土不让.钓鱼岛列岛是我国固 (3)a.a3+(-a)2÷(-a)-6+(2a4)2. 有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑 岛，面积约为0.0008平方公里，将0.0008用科学 记数法表示为 A.8×10-3 B.0.8×10-3 C.8×104 D.0.8×10-4 3.已知(2P)2=2,则“口”内应填( A.6 B.5 C.4 D.3 16.(8分)“黑洞”是恒星演化的最后阶段.根 4.下列各图中，能直观解释“(3a)2=9a2”的据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料 是 (氢)已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍 附加题⊙ 缩，直到最后形成体积小、密度大的星体如果这一 (以下试题供各地根据实际情况选用) 星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另 3□ 3 1.(8分)已知(1x1-4)1=1,求整数x的 aaa aaa 次大坍缩当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏值.小张同学是这样解答的：因为°=1(a≠0)， A B （Schwarzschild))半径后，其引力就会变得相当强所以x+1=0且1x1-4≠0，所以x=-1, 5.下列计算正确的是 大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见 你认为小张同学的解答完整吗？若不完整，请 A.x4·x4=x16 的星体一黑洞.施瓦氏半径（单位：m)的计算公 求出所有的整数x的值 B.(a3)2·a4=a2 式是R=2GW,其中G=6.67×10"N·m2/g,为 C.(-2a)2=-4a2 D.(a3)2÷(a2)3=1 引力常量；M表示星球的质量（单位：kg);c=3× 6.若x=2,x=3,则x3a-6的值为( 103m/s,为光在真空中的速度.已知某恒星的质量 为9×10"kg,请计算该恒星的施瓦氏半径. A.1 B.-1 D.6 7.已知a=(分)9,6=(-2)，6=(m 2026)°，则a,b,c的大小关系是 ( A.b a<c B.c <b a C.b<c<a D.a<c<b 8.已知9=a,3=b,27=ab,那么x,y,z满 2.(12分)规定两数a,b之间的一种运算，记 足的等量关系是 ( A.2x+y= B.xy =3z 作(a,b):如果a=b,那么(a,b)=c.例如：因为 17.(12分)解答下列各题： C.2x +y =3z D.2xy =z (1)若2*3×3x*3=36-2,求x的值； 23=8,所以(2,8)=3. 二、细心填一填（每小题4分，共24分） (1)根据上述规定填空：(4,64)= 9.计算：(b-a)2(a-b)3= ,-27)=3 （结果 用幂的形式表示) (2)若(5,3)=a,(5,8)=b,(5,24)=c,请 10.如果(a3)2·a=a24,则x= 尝试运用上述规定说明：a+b=c; 11.若m=n+3,则2m÷2”= (3)当x,y均为正数，进一步探究这种运算时 12.计算：24050×(-0.25)2026= 发现一个结论：(x”,y)=(x,y),理由如下： 13.已知x2”=5,则(3x3")2-4(x2)2”的值为 设(x”,y)=m,所以(x)m=y. 所以(x)”=y八. 14.已知27”=9×32m-3,m6=64n6,则m+n 所以x=y,即(x,y)=m. 的值是 (2)已知10=3.109=5求10-的信 所以(x,y）=(x,y) 三、耐心解一解（共44分） 结合(2)(3)探索得到的结论，计算：(8,125) 15.(12分)计算： +4 (1)-x2.(-x)3·(-x)4; 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)