第34期 3.2 图形的旋转 3.3 简单的图案设计（答案见36期）-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（北师大版·新教材）

素养·拓展 数理招 本版责任编辑：任小娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 (上接第3版) 数眼看世界 报纸发行质量反馈电话： 0351-5271248 附加题⊙ (上接4版参考答案) （以下试题供各地根据实际情况选用) 图形变换设计乐园 附加题1.当 1.(8分)在棋盘中建立如图1所示的平面 点E移到点C右侧 直角坐标系，三颗棋子A,0,B的坐标分别是 ◎安徽刘珍萍 时， (-1,1),(0,0)和(1,0). 利用平移、轴对称及旋转可以设计出许多 例2用四块如图3所示的正方 因为AD=BE (1)在图1-①中添加一颗棋子C,使得以丰富多彩的图案，请看下面的例题. 形瓷砖拼成一个大正方形，形成轴对称 BC+CE 3CE. 4,O,B,C四颗棋子为顶点的四边形为一个轴对 例1用四块如图1-①所示的正方形瓷图形. 图3 所以CE= 称图形，但不是中心对称图形； 砖拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个 (1)与你的同伴比比，看谁的拼法多； -BC =4 cm. (2)在图1-②中添加一颗棋子P,使得以轴对称图形.请你在图1-②，图1-③，图1一 (2)如果你家新房装修，请你选择(1)中的 所以AD A,0,B,P四颗棋子为顶点的四边形为中心对称④中各画一种拼法（要求三种拼法各不相同，且 一种拼成的大正方形，用四块拼成中心对称图 12cm. 图形，但不是轴对称图形，并直接写出棋子P的其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对 形，扩大规模，以观其效 此时平移的距 坐标 称图形) 解析：(1)以正方形的对称轴作为分类准 离是12cm. 则，可以设计许多不同的轴对称图形，如图4. 当点E在点B, C中间时，因为AD 图田⊕因 BE 3CE. 所以BC=BE ① (2) 3 图1 田田田田 +CE=4CE=8. 解析：拼图时，一要动手操作，仔细观察；二 图4 解得CE = 要善于想象：最后不要忘记应用轴对称图形或中 (2)拼图：①“同花顺”拼法（利用图形的平 2 cm. 所以AD 心对称图形的定义判断所拼图形是否符合题目 移变换，如图5)； 6cm.此时平移的距 要求.拼图如图2所示 离是6cm. 综上所述，平移 图5 到6 的距离是12cm或 6 cm. ②“同花转”拼法（利用图形的旅转变换或 2.s+t的值是 轴对称变换，如图6). 定值，s+t=12. 2.（12分)如图2，将两块全等的直角三角 第33期2版参考答案 第33期3版参考答案 袋 「a+2b+3c=12 形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中 3.1图形的平移 一、 题号12345678 3a-2b+c=4, ∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6,AC=FE= 3.1.1平移现象 答案BBB C CA BD 所以 8,J顶点D是边AB的中点，且CD=BD 基础训练1.C;2.B:3.①③ 得化4。 二、9.3；10.6；11.=；12.4cm; (I)若DE经过点C,DF交AC于点G,求重 4.草地的实际面积为：(18-2)×(10-2) B(a,4-a),C(-a, -a),D(4-a,4 叠部分（△DCG)的面积； =16×8=128(平方米) 13.号；14.15°或45 a). (2)“希望”小组受问题(1)的启发，将 3.1.2平移的性质 三、15.(1)(2)图略 所以AC∥x △DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H, 基础训练1.A;2.A;3.11;4.8. 16.因为△ABC是等边三角形，所以BC= 轴，BD∥x轴. DF交AC于点G,如图2-②，求DH的长 5.(1)图略 AC=2,∠ACB=60°.因为△DCE由△ABC平 (2)一个图形和它经过平移所得的图形中， 所以AC∥BD 移而成，所以CE=BC=CD=DE=2,∠DCE 因为a<0, 对应点所连的线段平行且相等 =∠CDE=60°.所以BE=4,∠CDB=∠CBD 所以点A在点C 6.(1)10 =30°.所以∠BDE=90°.在Rt△BDE中，由勾 的左侧，点B在点D (2)由平移的性质，得∠ACB=∠A'C'B 的左侧 =70°.所以∠ABC=180°-∠ACB-∠A= 股定理，得BD=√BE2-DE2=2√3 因为点M向右 56°. 17.(1)这块长方形草地的面积为ab平方 平移h个单位长度， 能力提高7.(1)由平移的性质，得CE=米，将小路左边部分的草地向右平移，与小路右 再向上平移k个单 AB=m,AB∥CE.所以∠DCE=∠A0C=60°.边部分对接，得到一个长为(a-x)米，宽为b米 位长度得到点N,且 (2)连接DE,图略.由(1)，得∠DCE=的长方形，所以铺路后剩余草地的面积为(a 点M在线段AC上， 60°，CE=CD=m.所以△CDE是等边三角形.x)b平方米.所以小路的面积为：ab-(a-x)b 点N在线段BD上， 所以DE=m.由平移的性质，得AC=BE.在=bx(平方米). 所以k=4,a≤ △BDE中，BE+BD>DE,即AC+BD>m. (2)当b=10,x=1时，小路的面积为：10 a+h≤4-a或a≤ -a+h≤4-a. 3.1.3坐标与图形的平移 ×1=10(平方米). 解得0≤h≤4 基础训练1.C:2.A;3.D: 18.(1)(5,1). 2a或2a≤h≤4. 4.四；5.7. (2)m=2n.理由如下： 所以2a≤h≤ 6.(1)图略.△DEF各顶点的坐标分别为 根据题意，得3m-m=6n-2n. 4-2a. D(2,9),E(1,5),F(4,6). 解得m=2n 所以2a+4≤h (2)连接AD,图略.由图可知AD= (3)根据题意，得m-(n-1)=2n-5 +k≤8-2a. √32+4F=5.如果将△DEF看成是由△ABC(2m+3),n+1-(n-2)=2m+3-(n+3): 所以s+t=2a 经过一次平移得到的，则这一平移的平移方向解得m=6,n=9.所以点A的坐标为(6,10)， +4+8-2a=12: 数理报社试题研究中心是AD方向，平移距离是5个单位长度 点B的坐标为(8,7). (全文完) (参考答案见36期)+ 能力提高7.(5,6). (下转1,4版中缝) 拨理橘 2026年2月18日·星期三 初中数学 第34期总第1178期 北师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F) 邮发代号：21-204 °名师课堂 本因主讲 旋转作图“两境界 3.2图形的旋转 3.3简单的图案设计 ◎河北 丁艳芳 学习目标：1.熟练掌握旋转的概念和 作出一个图形绕定点旋转某一角度后的图 截取BC'=BC,即得点C的对应点C': 性质，会进行旋转作图 形的关键是抓住图中的每一个点都绕着旋转中 (3)连接A'C',则△A'BC'就是所求作的三 2.熟练掌握中心对称和中心对称图形 心按相同的方向旋转了同样大小的角度，而且角形. 的概念、中心对称的性质，会应用中心对称 对应点到旋转中心的距离相等. 二、三个要素不完整 作图 3.能够利用平移、旋转和中心对称进 因此，要作出旋转后的图形，必须具备三个 例2如图3，△ABC绕点O按顺时针方向 行简单的图案设计. 要素：旋转中心、旋转角和旋转方向.根据题目旋转某个角度后，顶点A的对应点为A',试确定点 认知重点：理解、识别旋转的三 特点，将旋转作图的两种情形解析如下，供同学B,C的对应点的位置，并画出旋转后的三角形 个基本要素，会应用旋转的性质解题」 们参考. 一、三个要素都具备 一、旋转中心 例1如图1，在△ABC中，∠C=90°，以 例1如图1，在平面 点B为旋转中心，按顺时针方向把△ABC旋转 直角坐标系中，△ABC顶 90°，请作出旋转后的三角形. 点的横、纵坐标都是整数 高精讲 若将△ABC以某点为旋 解析：如图4，(1)连接A0和A'0,可得旋转 转中心，旋转得到 △A'B'C',则旋转中心的 角为∠AOA': 坐标是 (2)连接B0,以点O为顶点，在B0的上方， 李希瑶 作∠BOB'=∠AOA',且使OB'=OB: 旋转 (3)连接C0,以点0为顶点，在C0的上方 解析：如图2，(1)过点B作AB的垂线，并在这作∠C0C'=∠A04',且使0C'=0C; 条垂线上截取BA'=BA,即得点A的对应点A'; (4)连接CA',CB',A'B′，则△A'B'C'就 4-3-2-1,01 (2)过点B作BC的垂线，并在这条垂线上 是所求作的三角形 网1 题辅导 解：如图1，连接A4' CC',分别作线段AA'与CC'的垂直平分线，它 聚焦旋转 们的交点0'(1,1)即为旋转中心所在的位置。 灵活计算 故填(1,1). 二、旋转角 宁夏 马艾硕 例2如图2，A0为 一、点的旋转 向旋转105°到线段OA',则此时点A'的坐标为 ∠BAC的平分线，且∠BAC= 例1如图1，在平面直角 50°，将四边形AB0C绕点A逆 时针方向旋转后，得到四边形 坐标系中，点C的坐标为 A.(5,-1) B.(-1,3) AB'0'C',且∠OAC'=100°，则 (-1,0),点A的坐标为(-3， C.(-3,1) D.(1,-5) 四边形ABOC旋转的角度是 3),将点A绕点C顺时针旋转 解：如图2，过点A'作AB⊥x轴于点B.所以 解：因为AO为∠BAC的平分线，∠BAC= 90°得到点B,则点B的坐标为 ∠A'B0=90°.由旋转的性质，得OA'=OA= 50°，所以∠BA0=∠CA0=2∠BAC=25 2,∠A0A'=105°.所以∠A'0B=180°-45°- 由旋转的性质，得∠C'A0'=∠CA0=25°，旋 解：如图1，过点A作AE⊥x轴于点E,过点 105°=30°.在Rt△A'OB中，∠A'0B=30°，所 转角为∠OAO'.所以∠OAO'=∠OAC'- B作BF1x轴于点F,连接AC,BC.所以∠AEC以A'B=0M'=1.由勾股定理，得OB= ∠CA0'=75°.故填75 =∠ACB=∠CFB=90°.所以∠ACE+∠BCF 三、旋转方向 =90°，∠BCF+∠B=90°.所以∠ACE=∠B. √OA2-A'B=5.所以点A'的坐标为(-5 例3如图3，正方形ABCD的边长为 由旋转的性质，得AC=CB.在△AEC和△CFB 1).故选C. 3cm,一个边长为1cm的带箭头的小正方形沿 三、三角形的旋转 着正方形ABCD的边AB一→BC→CD→DA连续 中，因为∠AEC=LCFB,∠ACE=LB,AC= 例3如图3，将△ABC 翻转（小正方形起始位置在AB边上），当这个 CB,所以△AEC≌△CFB(AAS).所以AE= 绕点A逆时针旋转到△ADE 小正方形翻转到DA边的终点位置时，箭头的方 CF,EC=FB.因为A(-3,3),C(-1,0),所以旋转角为α(0°<a<180), 向是 个→← AE=OE=CF=3,OC=1.所以FB=EC=2. 点B的对应点D恰好落在BC 3 B个 所以0F=CF-0C=2.所以点B的坐标为(2， 边上.若DE⊥AC,∠CAD=24°，则旋转角a的 个D 2).故填(2,2) 度数为 ( ←个← 二、线段的旋转 A.24° B.28° C.48° D.66° 图3 图4 解：因为DE⊥AC,∠CAD=24°，所以 A.个 B.→ C. D.臼 例2如图2，在平面直角 ∠ADE=90°-∠CAD=66°.由旋转的性质，得 解：根据题意画出带箭头的小正方形沿着正 坐标系中，线段OA与x轴正方 45° ∠ADE=∠B=66°，AB=AD.所以∠ADB= 方形ABCD的边连续翻转到DA边的终点位置时 向的夹角为45°，且0A=2.若 ∠B=66°.所以a=∠BAD=180°-∠B 一十 的图形（如图4），由此知小正方形翻转到DA边 将线段04绕点0沿逆时针方 ∠ADB=48°.故选C. 的终点位置时，箭头的方向是向下.故选C. 2 素养专练 数理极 2.如图1，已知点A(0,4), 5.如图4，已知△AB0与△CD0关于0点成 跟踪训练 B(2,0),C(6,6),D(2,4),连 中心对称，点E,F在线段AC上，且AF=CE.求 接AB,CD,将线段AB绕着某 证：FD=EB. GENZONGXUNLIAN 点旋转一定角度，使其与线段 3.2图形的旋转 CD重合（点A与点C重合，点B 图1 3.2.1图形的旋转 与点D重合)，则这个旋转中心的坐标为 3.如图2，在平面直角坐标系中，△ABC的三 屋础训练 个J顶点的坐标分别为A(1,1),B(5,1),C(4,4). 1.如图1，△ABC绕点A旋转至△ADE,则旋 (1)按下列要求作图： 转角是 ( ①将△ABC向左平移5个单位长度得到 A.∠BAD B.∠BAC △AB,C1,并写出点A1的坐标； C.∠BAE D.∠CAD ②将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到 △AB,C2,并写出点B2的坐标； (2)△A,B,C,与△A2B2C2重合部分的面积为 3.3简单的图案设计 垦础训练 1.在下列四个标志中，是由某个基本图形经 2.如图2，△A0B绕点0逆时针旋转65°得到 过旋转得到的是 △C0D.若∠COD=30°，则∠B0C的度数是 ( A.30°B.350 C.40° D.45° -6-5-4-3-2-11012.34.56 3.如图3，在Rt△ABC中， B't D ∠C=90°，∠ABC=30°，AC= 2.把如图1中的图案绕着它的中心旋转一定 1,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转 6 角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为 得到Rt△AB'C',使点C'落在边 图2 AB上，连接BB,则BB的长是 A.60° B.909 C.120° D.1809 图3 4.作图： 3.2.3中心对称 /① (1)如图4-①，以点0为中心，把线段AB逆 时针旋转90°； 屋础训练 ④ (2)如图4-②，以点0为中心，把△ABC顺 1 1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今 图1 时针旋转120°. 图2 已有4000多年的历史.以下是在棋谱中截取的四 个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形 3.在方格纸中，选择标有序号的一个小正方 形涂黑，与图2中的阴影部分构成中心对称图形， 的是 则该小正方形的序号是 树糖容辮 4.如图3，在平面直角坐标 系中，△OCD可以看成是△AOB ② 经过若干次图形的变化(“平 移”“轴对称”或“旋转”)得到 2.如图1，△ABC与△A'B'C'关于点0成中心 的，写出一种由△AOB得到 图3 对称，下列结论中不成立的是 5.如图5，在边长为4的正方形ABCD内作 △OCD的过程： A.OB OB' ∠EAF=45°，AE交BC于点E,AF交CD于点F, 5.认真观察图4中阴影部分构成的图案，回 B.∠ACB=∠A'B'C' 连接EF,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到 答下列问题， C.点A的对称点是点A' △ABG. D.BC∥B'C (1)求证：GE=FE; (2)若DF=2,求BE的长 图4 (1)请你写出这四个图案都具有的三个共同 特征； 图1 图2 (2)请在图5中设计出一个图案，使它也具备 3.如图2，在平面直角坐标系中，若△ABC与 你所写出的上述特征 △ABC1关于E点成中心对称，点A,B,C的对应 点分别为A1,B,C,则对称中心E点的坐标是 ( ) 3.2.2坐标系中的旋转 A.(3,-1) B.(0,0) 堡础训练 C.(2,-1) D.(-1,3) 4.如图3，长方形 1.以原点为中心，将点P(3,4)按逆时针方向ABCD和长方形A'B'C'D关 旋转90°，得到的点Q所在的象限为（ 于点D成中心对称已知 A.第一象限 B.第二象限 AB=3,BC=4,则阴影部 数理报社试题研究中心 C.第三象限 D.第四象限 分的周长是 (参考答案见36期) 数理极 素养·测评 ●】 (2)画出△ABC绕点0逆时针旋转90°的图 同步检测 形△A"B"C". TONGBUJIANCE 【检测范围：3.23.3】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） A.24° B.42° C.489 D.669 题号 1 2345 678 8.小明有一个俯视图为等腰三角形的积木 图13 盒，现在积木盒中只剩下如图6-①所示的九个圆 答案 圈空格未放积木，图6-②中有积木的四种搭配方 16.(10分)如图14，在Rt△ABC中，∠C= 1.下列运动形式属于旋转的是 式，其中恰好能放人盒中空格的有 90°，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△FBE,点 ( A.飞驰的动车 C,A的对应点分别为点E,F,点E落在BA上，连接 搭配①搭配②搭配③搭配④ B.匀速转动的摩天轮 AF C.运动员投掷标枪 (1)若∠BAC=20°，求∠BAF的度数； 8 D.乘坐升降电梯 (2)若AC=12,BC=5,求AF的长. ① ② 图6 2.下列四个以航天为主题的图案中，是中心 对称图形的是 A.4种 B.3种 C.2种 D.1种 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 9.如图7，△ABC与△DEC关于点C成中心对 称.若AB=2,则DE= D 3.如图2，将Rt△ABC(其中∠B=34°，∠C= 90)绕点A按顺时针方向旋转到△AB,C,的位置， 使得点C,A,B,在同一条直线上，则旋转角的度数 17.(12分)如图15，在边长为1的正方形网格 ( 中，△ABC的顶点均在格点上. A.34° B.56 C.124° D.145° 10.如图8，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得△A,B,C,: (1)画出△ABC关于原点成中心对称的 到△AED.若线段AB=3,则△ABE的周长为 (2)画出△ABC绕点C顺时针旋转90°得到 的△A,B,C,则B,的坐标为」 11.如图9的图案由三个叶片组成，绕点0旋 (3)在y轴上作点P,使得PA+PC的值最小N 转120°后可以和自身重合.若每个叶片的面积为 2 3 4cm2,∠A0B=120°，则图中阴影部分的面积为 4.如图3，在平面直角坐标系中，△ABC的顶 点都在方格线的格点上，将△ABC绕点A逆时针旋 转90°得到△A'B'C',则点C的对应点C'的坐标是 ( A.(2,-3) B.(-2,3) C.(-2,2) D.(-3,2) 网0 5.下列说法中，正确的是 A.如果把一个图形绕着一定点旋转后和 12.如图10，在△ABC中，AB=3cm,BC= 图15 个图形重合，则这两个图形成中心对称 8cm,∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转 B.如果两个图形关于一点成中心对称，则其 一定角度得到△ADE,当点B的对应点D恰好落在 18.(12分)如图16，已知△ABM与△ACM关 对应点之间的距离相等 BC边上时，则CD的长为 cm 于直线AF成轴对称，△ABE与△DCE关于点E成 C.如果一个旋转对称图形有一个旋转角为 13.如图11，已知AE=√3，AC=1,∠D=中心对称，点E,D,M都在线段AF上，BM的延长线 120°，则它不是中心对称图形 90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则BC交CF于点P. D.如果一个旋转对称图形有一个旋转角为 的长是 (1)求证：AC=CD; 180°，则它是中心对称图形 (2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与 6.如图4，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=6, ∠MCD的数量关系，并说明理由： AB=8.将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到 △AB'C',连接CC',则CC'的长为 ( 11 1 A.102 B.20 14.如图12，在△ABC中，∠C=90°，∠B= C.10 D.3/26 36°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转α(0°<α< 1 180)得到△AB'C',BC交AB'于点F,连接BB',则 当△BB'F是等腰三角形时，旋转角&= 三、耐心解一解（共44分） 图 15.(10分)如图13，正方形网格中，△ABC的 7.如图5，△ABC绕点A顺时针旋转48°得到顶点及点0都在格点上. △ADE,点E落在BC边上，连接BD,当BD⊥BC (1)画出△ABC关于点O成中心对称的对称 时，∠ABC的度数为 )图形△A'B'C'; (下转第4版)