第33期 3.1 图形的平移（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（北师大版·新教材）

4 素养·拓展 数理招 本版责任编辑：任小娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 (上接第3版) 2.（10分)在平面直角坐标系中，A(a, 答：文具袋的单价为15元，水性笔的单价为3元. 报纸发行质量反馈电话： a,B(6,c)a,6,c满足0+2b+3c=12,且 (2)①(3x+120),(2.4x+156). 0351-5271248 附加题⊙ ②由y>y,得3x+120>2.4x+156,解得x>60 l3a-2b+c=4, 由yx=yg,得3x+120=2.4x+156,解得x=60: (上接4版参考答案) (以下试题供各地根据实际情况选用) a<0.已知坐标系内有两点C(-b,c-4),D(c, 由yA<yB,得3x+120<2.4x+156,解得x<60. 21.(1)设原计划 1.(10分)如图，在△ABC中，BC=8cm, 4-b),M(m,n)为线段AC上一点，将点M平移 答：当水性笔的购买数量大于60支时，选择B方案 更合算；当水性笔的购买数量等于60支时，两种方案总 每天改造地下管网 将△ABC沿BC所在直线向右平移，所得图形为 至点N(m+h,n+k).若点N在线段BD上，记h费用相同：当水性笔的购买数量小于60支时，选择A方 x米，则实际施工时每 △DEF.若AD=3CE,求平移的距离. +k的最小值为s,最大值为t,当-4≤a≤案更合算. 天改造地下管网(1+ -1时，请判断s+t是否为定值？若是，求出该定 附加夏上版据塑感，得仔：8解特 20%)x米. 根据题意，得10× 值，若不是，试讨论s+t的取值范围. [x =1-3m 7 1-3m>0, (1+20%)x=3600× 7 因为0<x<y,所以 20%」 b=3-2m 1-3m<3-2m 7 7 7 解得x=60.所以 (1+20%)x=72. 解得-2<m<3 答：实际施工时每 2.(1)③， 天改造地下管网的长度 2)解不等式组3+6之十·得-子<￥< 5 是72米. lx>3(x+1), (2)设之后每天需 子所以不等式组的整数解是x=-2把x=-2代入 要改造地下管网a米. x+m=0,得-2+m=0.解得m=2. 根据题意，得(40 (3)不存在.理由如下： 20)a≥3600-72×20. 解方程3=1，得x=-1:解方程“2+1 解得a≥108. 答：之后每天至少需 “7得=2 要改造地下管网108米 五、22.(1)4. 解不等式妇52.得2-m<≤2” (2)3≤x<12 2 (3)由(1)知点B 若方程生3-12+1=号都是关于x的 的坐标为(0,4)，所以 不等式组{+m>2,的关联方程， OB=4.所以CD=2OB 则 l2x+3m≤2 8.因为点C在直线y r2-m<-1, 上，点D在直线y2上，所 数理报社试题研究中心 2,3m≥2.该不等式组无解所以不存在整数m,使 (参考答案见下期) 12 以1(-3m+4)-m=8 第31期2版参考答案 根据题意，得m≥48， 解 得方程3-1和2+1=寸？都是关于x的不等 解得m=-3或m=9. 3 23.(1)设甲型号 2.3一元一次不等式与一次函数 1150m+50(100-m)≤10000. 基础训练1.A;2.C;3.x≤2. 得48≤m≤50.因为m为正整数，所以m可以取48,49， 式组32的关联方程 手机每部的进价为x 4.(1)直线y的函数表达式为y,=x+6. 50.所以共有3种购买方案 第32期综合测评卷参考答案 元，乙型号手机每部的 方案1：购买48个垃圾箱，52个温馨提示牌，所需费 -题号12345678910 进价为y元 (2)解23得三3所以点(-，月为10×8产0×520 根据题意，得 方案2：购买49个垃圾箱，51个温馨提示牌，所需费 答案BBDAC DC CAD 3).所以关于x的不等式x+b<-2x-3的解集为x 2x+y=2800, 用为：150×49+50×51=9900（元）； 3x+2y=4600. <-3. 方案3：购买50个垃圾箱，50个温馨提示牌，所需费 =1l.-7;12.x<-2:13.7;14.300: 5.(1)选择甲种消费卡消费时，y关于x的函数表达 用为：150×50+50×50=10000（元）. 15.-1或2. 解得t=1000, 式为y=20x:选择乙种消费卡消费时，y关于x的函数表 Ly=800. 达式为y=10x+100. 因为9800<9900<10000，所以方案1所需费用 三、16.解集在数轴上表示略.(1)x>1: 最少，最少是9800元. 答：甲型号手机每 (2)-1≤x<3. (2)点B的坐标为(10,200).点B的实际意义是当去 17.(1)①不等式的基本性质2； 部的进价为1000元，乙 游乐场消费10次时，两种消费卡消费一样，都是200元. 第31期3版参考答案 ②五，不等号的方向未改变 型号手机每部的进价为 (3)选择乙种消费卡划算. -、题号12345678 (2)x≥3 800元. 2.4一元一次不等式组 答案CADC C BAD (2)设购进甲型号 基础训练1.B:2.C;3.A:4.m≥5；5.-2. 二、9.x≥3；10.答案不惟一，如1-x<2: (3)答案不惟一，如：去分母时，注意不要漏乘不含 手机a部，则购进乙型 6.(1)x>2;(2)x<-2; 1.x=-;2子<x<1:1B.5；14.0或6 分母的项；移项时，注意变号；去括号时，若括号前是负 号手机(20-a)部. (3)-2<x≤2；(4)无解 号，括号内各项要变号 7.(1)当a=-2时， 根据题意，得 三、15.(1)x<1;(2)无解： 18.设需要把m吨龙眼加工成桂圆肉，(21-m)吨 ① 1000a+800(20-a)≤18000 r1+5x>3(x-1), 这个不等式组为行≤8-子4 (3)-1<x≤2. 龙眼加工成龙眼干 100a+800(20-a)≥17400. E 16根裙题意，得3544解得三9 根据题意，得10×0.2m+3×0.5(21-m)≥39. 解得7≤a≤10， 解得m≥15. 解不等式①，得x>-2. 因为a为整数，所以a可 解不等式②，得x≤2. 17.(1)2a+b=k, 答：至少需要把15吨龙眼加工成桂圆肉. la-2b=3. ③ 四、19.解不等式2(x+1)-1≤3，得x≤1. 取7或8或9或10.所以 所以这个不等式组的解集是-2<x≤2. ①+②，得3a-b=k+3, 解不等式x-a≥0，得x≥a. 有4种进货方案. (2)解不等式1+5x>3(x-1),得x>-2 因为该方程组的解a,b满足3a-b>4, 因为该不等式组无解，所以a>1. (3)设总获利为w 解不等式7x≤8-x+2a,得x≤4+a 所以k+3>4.解得k>1. 0{22am ② 元，购进甲型号手机a部 =2+3 ② 根据题意，得w= 所以不等式组的解集是-2<x≤4+a. (2)解方程组20+6=，得 5 ①+②，得2x+2y=1-m. 1000×40%a+(1280 因为这个不等式组恰有两个整数解， 所以不等式组的整数解是-1,0. 1a-2b=3,b=-6 以+，=” -800-m)(20-a)= 5 所以0≤4+a<1.解得-4≤a<-3, (m-80)a-20m+ 因为该方程组的解a,b均为正数， 8.(1)设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价 9600. 是y元. ,2k+3>0, 因为x+y≥0，所以1，m≥0. 5 解得m≤1. 当m=80时，w的 所以 k6 解得k>6. 根据灵意得±30解得行设 >0 (1)因为m为非负整数，所以m的值是0或1. 值与a的取值无关，故 Ly =3x. (2)因为关于x的不等式m(x+1)>0的解集是 (2)中所有方案的获利 答：温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是 18.(1)设水性笔的单价为m元，则文具袋的单价>-1，所以m>0. 相同 150元. 为5m元. 因为m≤1，所以0<m≤1. (全文完) (2)设购买m个垃圾箱，则购买(100-m)个温馨 根据题意，得5m+3×5m=60. 所以符合条件的整数m的值是1. 提示牌 解得m=3.所以5m=15. (下转1,4版中缝) 兹理极 2026年2月11日·星期三 初中数学 第33期总第1177期 北师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-204 品味方法 本周主讲 平移作容 法点拨 3.1图形的平移 学习目标：1.通过具体实例 ⊙东株苏 认识图形的平移，并理解其基本性质」 平移作图是几何作图中的常考题型，现就平 解：如图2，分别过点B,C,D作线段BB1, 2.能按要求作出简单的平面图形平移后 移作图的一般步骤和一般类型做一个简单介绍，CC1,DD1,使BB,∥CC,∥AA1,CC,与DD在 的图形. 供同学们参考 条直线上，且BB,=CC,=DD1=AA,依次连 3理解并掌握平面直角坐标系中的平移 一、平移作图的一般步骤 接AB1,B,C1,C,D1,DA1,四边形A,B,C,D,即 规律，会用相应的知识解题， 般来说，简单的平移作图有以下四个步骤： 为四边形ABCD平移后的图形 认知重点：1.会用平移的性质解题，理解 (1)定：确定平移的方向和距离； 2.已知原图形和一对对应边，求作平移后 平移的基本内涵。 (2)找：找出构成图形的关键点； 的图形 2.会解平面直角坐标系中的平 (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得 当已知原图形和一对对应边，求作平移后 移问题」 到关键点的对应点； 的图形时，可根据这对对应边上的两个端点确 (4)连：按原图形的顺序连接关键点的对应点 定平移的方向和距离，利用平移的性质“平移不平移后的图形时，可直接根据平移方向和平移 二、平移作图的一般类型 改变图形的形状和大小”及“对应线段平行且相距离，分别找出能够确定图形形状的一些对应 1.已知原图形和一对对应点，求作平移后 等”，分别找出能够确定图形形状的另一些对应点，然后作出平移后的图形。 的图形 点，作出平移后的图形， 当已知原图形和一对对应点，求作平移后 例3在如图5所示的方格纸中，每个小正 例2如图3，经过平移，△ABC的边AB移 的图形时，可根据这对对应点所确定的方向和 方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点 到了EF的位置，作出平移后的图形 距离，利用平移的性质“经过平移，对应点所连 上，画出将△ABC沿直线AB的方向向右平移2 的线段平行（或在一条直线上）且相等”，分别 格得到的△A,B,C1: 找出能够确定图形形状的另一些对应点，作出 平移后的图形 图3 图4 例1如图1，点A,是四边形ABCD的顶点 解：如图4，分别过点E,F作出与AC,BC平 A平移后的对应点，作出平移后的四边形， 行的射线EG,FG,两条射线相交于点G,△EFG 即为△ABC平移后的图形 图5 图6 3.已知原图形、平移方向和平移距离，求作 解：如图6，分别作点A,B,C沿直线AB的方 平移后的图形 向向右平移2格后得到的对应点A1,B,C,然后 图1 当已知原图形、平移方向和平移距离，求作将其顺次连接，即可得到所求作的△A,B,C,。 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会 专题轴号导析 得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和 大小完全相同.新图形中的每一点，都是由原图 移的性质 形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应 用途 点.各组对应点所连的线段平行（或在一条直线 江西 何光征 上)且相等，对应角相等，通常称之为平移的性 质.利用平移的性质可以巧妙地解决许多数学 =∠1=60°，从而可得∠2的度数 +BF+AB+DF=1O.因为BF=BE+EF=1 解：如图2，记AB与EF交于点M.因为平移+EF,所以1+1+EF+AB+DF=10,即EF 问题，现举例分析如下，供同学们参考 直线AB至CD,所以AB∥CD.所以∠BMF=+AB+DF=8.又因为DF=AC,EF=BC,所 用途一、求长度 ∠2.由对顶角相等，得∠BMF=∠1=60°.所以BC+AB+AC=8,即△ABC的周长为8.故 例1如图1，将△ABC 以∠2=60°.故选B. 选A. 沿BC向右平移得到△DEF, 用途三、求周长 若BC=5,BE=2,则CF的 用途四、求面积 长是 例3如图3，把 例4如图4，将 △ABC沿BC方向平移1个 A.2 B.2.5 C.3 D.5 Rt△ABC沿AB方向平移得 分析：利用平移的性质，找出对应点，即可 单位长度得到△DEF,若 到Rt△DEF.已知BE=4. 进行计算. 四边形ABFD的周长为 EF=8,CG=2,则图中阴 解：由平移的性质可知CF=BE=2.故选A. 10,则△ABC的周长为 )影部分的面积为( 用途二、求角度 A.8 B.10 C.12 D.14 A.12B.16C.28 D.32 例2如图2，平移直线 分析：根据平移的性质可得AD=BE=1, 分析：由平移的性质可得阴影部分的面积 R AB至CD,直线AB,CD被直 △ABC≌△DEF,再由四边形ABFD的周长为=梯形EFGB的面积，由此即可解答. 线EF所截，∠1=60°，则∠2 10,可得EF+AB+DF=8,再根据DF=AC,EF 解：由平移的性质可知S AARC=SADEF,BC= 的度数为 图2 =BC即可求出结果， EF=8.因为CG=2,所以BG=BC-CG=6. A.30° B.60° C.100°D.120° 解：因为把△ABC沿BC方向平移1个单位 分析：根据平移的性质可得AB∥CD,所以长度得到△DEF,所以AD=BE=1,△ABC≌ 所以SE=Sm=(BG+EF)·BE- ∠BMF=∠2，再根据对顶角相等得到∠BMF△DEF.因为四边形ABFD的周长为10，所以AD28.故选C. 2 素养专练 人 数理极 3.如图3，已知AB=4cm,BC=5cm,AC= 3.1.3坐标与图形的平移 跟踪训练 2cm,将△ABC沿BC方向平移acm(0<a<5) 得到△DEF,连接AD,则阴影部分的周长是 垦础训练 gEnzoNGXUNLIAN cm. 1.在平面直角坐标系中，将点(-1，-3)向 3.1图形的平移 右平移2个单位长度，所得到的点的坐标是 3.1.1平移现象 ( A.(-1,-5) B.(-3,-3) 垦础训练 3 C.(1,-3) D.(-1,1) 4.如图4，△ABC的边AB 1.下列运动属于平移的是 2.使△ABC的三个顶点A,B,C的横坐标保 长为4cm,将△ABC沿着BB A.滚动的足球 持不变，纵坐标都分别加上2得到△A'B'C',则 方向平移2cm得到△A'B'C B.转动的电风扇叶片 △ABC与△A'B'C'相比，其变化是 () 且BB'⊥AB.则阴影部分的面 C.急刹车时，汽车在地面上的滑动 A.向上平移了2个单位长度 积是 cm. 图4 D.地球绕着太阳转 B.向下平移了2个单位长度 5.如图5，平移线段AB,使点A移动到点A'的 2.下列各组图形中，可由一个图形平移得到 位置 C.向左平移了2个单位长度 另一个图形的是 D.向右平移了2个单位长度 1)尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； 3.四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A(0 (2)作图的依据是 3),B(-1,0),C(1,0),D(2,1),琪琪把四边形 ABCD平移后得到了四边形A'B'C'D',并写出了它 A- 的四个顶点的坐标A'(1,0),B'(0,-3),C(2 -3),D(1,-2),琪琪所写的四个顶点坐标错误 的是 ( A.(1,0) B.(0,-3) B 3.如图1中的4根火柴棒形成象形汉字 C.(2,-3) D.(1,-2) 图5 4.在平面直角坐标系中，点P(1,2)向下平移 “口”，平移火柴棒后，能变成图2中象形汉字的是 5个单位长度后的点在第 (填序号) 象限 5.在平面直角坐标系中，把点P(-1,5)向 6.如图6，△ABC沿着直线l向右平移4cm得 左平移3个单位得到点Q(2b,5),则a-2b+3的 到△A'B'C' 值是 (1)若BC=6cm,则BC'= cm; 图1 图2 6.如图1，△ABC各顶点的坐标分别为 (2)若∠A=54°，LA'C'B'=70°，求∠ABC 4.某小区有一块长方形的草地（如图3），长 的度数 A(-2,6),B(-3,2),C(0,3),将△ABC先向右 18米，宽10米，空白部分为两条宽度均为2米的 平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得 小路，求草地的实际面积 到△DEF. (1)画出平移后的△DEF,并写出其各顶点 10 的坐标； 18米 (2)如果将△DEF看成是由△ABC经过一次 图 平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移 距离。 能刀提高 3.1.2平移的性质 7.线段AB与CD的位置关系如图7-①所 堡训练 示，AB=CD=m,AB与CD的交点为O,且∠A0C ,如图L,△ABC沿射线BC方向平移到三60°，分别将AB和AC平移到CE,BE的位置（如 图7-②). 能刀提高 △DEF(点E在线段BC上).如果BC=10cm,EC (1)求CE的长和∠DCE的度数； =6cm,则平移的距离是 7.如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标 (2)求证：AC+BD>m. A.4 cm B.6 cm 为(0,6)，点B的坐标为(2,4)，将△OAB沿x轴向 C.10 cm D.16 cm 右平移得到△EDF,点B的对应点F是一次函数y 4 =x上的一点，则点A的对应点D的坐标为 图 图2 2.如图2，将△ABC沿AB方向平移后，到达 △BDE的位置.若∠CAB=50°，∠ABC=100°， 则∠CBE的度数是 ( 数理报社试题研究中心 A.30° B.40° C.50° D.60° (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 (2)如图13，经过平移，小船上的点A移到了 同步检测 点B的位置，请画出平移后的小船 TONGBUJIANCE 【检测范围：3.1】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 8.如图7是一副重叠放置的三角板，其中 题号1 234567 8 ∠ABC=∠EDF=90°，BC与DF共线，将△DEF 沿CB方向平移，当EF经过AC的中点O时，直线 图13 答案 EF交AB于点G.若BC=4,则此时OG的长度为 16.(10分)如图14，△ABC是边长为2的等边 1.下列图形中，能由图1通过平移得到的是 三角形，将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位 A.3 B.4 C.3② D.22 置，连接BD,求BD的长 2 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 图1 A B 9.已知线段AB的长度为3厘米，现将线段AB 2.在平面直角坐标系中，点A(2,3)向上平移 向左平移4厘米得到线段CD,那么线段CD的长度 厘米 6个单位后的坐标是 ( A.(2,-3) B.(2.9) 10.在平面直角坐标系中，将点M(a-3,2a+ C.(-4,3) D.(8.3) 1)向左平移3个单位长度后恰好落在y轴上，则a 3.如图2，将△ABC沿射线AC平移得到 的值是 △DEF,下列线段的长度表示平移距离的是 11.如图8，甲、乙两只蚂蚁以相同的速度沿两 ( 条不同的路径，同时从A出发爬到B.若甲、乙两只 A.AC B.AD C.DC D.AF 蚂蚁所用时间分别为t与tz,则它们的大小关系 17.(10分)如图15，在一块长为a米，宽为b 是t甲 t2(填“>”“<”或“=”). E D 米的长方形草地上，铺一条弯曲的游览小路，小路 1234 A甲- 5678 的左边线向右平移x米就是小路的右边线. C (1)求铺路后剩余草地的面积和小路的面积； 图2 图3 B (2)若b=10,x=1,计算小路的面积 4.如图3，一把直尺沿直线断开并发生平移 图8 图9 点E,D,B,F在同一条直线上.若∠DBC=60°，则 12.如图9，将△ABC沿BC方向平移6cm得 ∠ADE的度数为 ()到△DEF.若BF=5CE,则BC的长是 A.60°B.110° C.120° D.150 13.如图10，在平面直角坐标系中，点A,B分 5.如图4，△ABC的周长为30cm,将△ABC沿 别是坐标轴上的点，将△OAB沿x轴正方向平移氵 射线CB向右平移得到△DEF,若平移的距离是 4cm,则四边形ACED的周长是 个单位长度得到△FDE.若A(0,3),OG= 304. A.34 cm B.36 cm 5OE=30F,则△OEG的面积是 C.38 cm D.40 cm Y y↑ 18.(14分)在平面直角坐标系中，将线段AB 平移得到的线段记为线段A'B',点A的对应点为 B 图10 图11 A',点B的对应点为B' 图4 图5 14.如图11，点B,C在直线l上，直线1外有一 6.如图5，在平面直角坐标系中，点A,B,C的 (1)如果点A(-2,-1),B(1,-3),A'(2,3), 坐标分别为(4,6)，(4,0)，(-2,3)，将点C向右平 点A,连接AB,AC,∠BAC=45°，∠ACB是钝角，将则点B'的坐标为 ； 移n个单位后得到点C'.若点C'落在△AOB内（包 △ABC沿着直线l向右平移得到△A,B,C1,连接 (2)已知点A(m,n),B(2n,m),A'(3m,n), ) AB,在平移过程中，当∠AB,A,=2∠CAB,时，B'(6n,m),m和n之间满足怎样的数量关系？请说 括边界)，则n的取值范围是 ( ∠CAB,的度数是 明理由. A.4≤n≤6 B.4≤n≤7 三、耐心解一解（共44分） C.5≤n≤6 D.5≤n≤7 (3)已知点A(m,n+1),B(n-1,n-2), 7.如图6，两个形状、大小完全相同的△ABC 15.(10分)(1)如图12，在平面直角坐标系A'(2n-5,2m+3),B'(2m+3,n+3),求点A,B的 和△DEF重叠在一起，固定△ABC不动，将△DEF 中，已知点A(-3,3),B(-4,-1),C(-2,1),把坐标 △ABC向右平移5个单位长度，再向下平移2个单 向右平移，当点E和点C重合时，停止移动.设DE 交AC于点G,给出下列结论： 位长度得到△A,B,C,请在图中画出△A,B,C. ①四边形ABEG的面积与四边形CGDF的面 积相等；②AD∥EC,且AD=EC,则 A.①，②都正确 B.①正确，②错误 C.①，②都错误 D.①错误，②正确 5 212345宝 B 2617 CD FB 图12 图G 图 (下转第4版)