第31期 2.3 一元一次不等式与一次函数 2.4 一元一次不等式组（答案见33期）-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（北师大版·新教材）

4 素养·拓展 数理极 本版责任编辑：任小娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 (上接第3版) 名师点睛 报纸发行质量反馈电话： 0351-5271248 附加题⊙ (上接4版参考答案) (以下试题供各地根据实际情况选用) 不等式组解集的逆用 附加题1.(1)有. 1.(8分)已知方程I2x-3y+11+(3x- ◎江苏贾晨光 (2)解不等式x+2 y+m)2=0的解满足0<x<y,求m的取值范 已知不等式组，求这个不等式组的解集是 三、已知不等式组无解 a,得x> -2+a.解 不等式x-2≤1-2x, 围 常见题型，但有些题目却要求同学们根据不等 式组的解集，求这个不等式组中未知系数的值 例3若关于x的不等式组 2-a>0无 得x≤1.由题意，得-2 +a<1.解得a<3. 或取值范围，现归纳如下，供同学们参考 4-2x≥0 (3)解不等式x-m 解，则a的取值范围是 ≥0，得x≥m.解不等式 一、已知不等式组的解集 2x-1<x+1,得x<2. 因为关于x的不等式x 例1 已知不等式组2x-a<L,的解集 解：解不等式-0>0，得x>2u m≥0与2x-1<x+ Lx-2b>3 解不等式4-2x≥0，得x≤2. 1“没有整数交集”，所以 m>1. 是-1<x<1,则(a+2)(b-2)的值是 因为不等式组无解，所以2a≥2. 2.(1)①(30-x), 解得a≥1. (9000-300x). 故填a≥1. ②根据题意，得 解：解不等式组，得2b+3<x<a+1 9000-300x≤400x.解 2 四、已知不等式组整数解的个数 2.（12分)如果一元一次方程的解也是 对照已知解集，得2b+3=-1,0+1=1. 例4 若关于x的一元一次不等式组 得x≥12 元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为 因为x为整数，所 2 3x-5≥1有且只有3个整数解，则a的取值 以x的最小整数值是 该不等式组的关联方程.例如：方程2x-6=0 解得a=1,b=-2. 2x-a<8 13. 的解是x=3,不等式组x-1>0的解集是1 所以(a+2)(b-2)=3×(-4)=-12. 范围是 答：采摘水果的工 人至少13名. lx<4 故填-12. A.0≤a≤2 B.0≤a<2 (2)根据题意，得 <x<4,因为1<3<4，所以称方程2x-6= C.0<a≤2 D.0<a<2 二、已知不等式组有解 总利润为：4×[400x 解：解不等式3x-5≥1，得x≥2. (9000-300x)1+10× 0是不等式组-1>0，的关联方程 例2 若关于x的不等式组 Ix <4 ∫x-m<0, 解不等式2x-a<8,得x<8+4 (9000-300x) -200x+54000. 有解，则m的取值范围是 2 因为直接出售所获 (1)在方程：①3x-3=0:②子+1=0； 3x-1>2(x-1) 所以不等式组的解集为2≤<8士号 利润不超过总利润的 25%」 ③x-(3x+1)=-9中，不等式组 解：解不等式x-m<0,得x<m. 因为不等式组有且只有3个整数解，即为2， 所以4×[400x (9000-300x)]≤ 2x-9<0, 3,4, 的关联方程是」 （填序 (-200x+54000)× 1-x+8<x+1 解不等式3x-1>2(x-1),得x>-1. 25%. 号)； 因为不等式组有解，所以m>-1. 所以4<8“≤5.解得0<a≤2， 2 解得x≤179又 故填m>-1. 故选C. (2)若不等式组3x+6>x+1,的 个 因为x≥12乡，且x为 Lx>3(x+1) 第30期2版参考答案 第30期3版参考答案 整数，所以x=13,14, 关联方程的解是整数，且这个关联方程是x+m 2.1不等式及其性质 题号12345678 15,16,17. =0,求常数m的值； 基础训练1.B;2.A;3.B; 4.答案不惟一，如x-7<0;5.a<5. 答案BCBADBAB 当x=13时，30-x =17.所以有13名工人 (3)是否存在整数m,使得方程*+3=1和 6.(1)x-y>-4;(2)2a+(-1)<0; 进行水果采摘，17名工 2 (3)h<1.2:(4)2(4+a-3)>20. 二9x<3:10右-9≥-1；1.4；2.< 人进行罐头加工，所获 2+1=十7都是关于x的不等式组 13.21;14.a≥1. 7.解集在数轴上表示略.(1)x≤-1；(2)x≥ 利润为：-200×13+ 2 3 2.2一元一次不等式 三15.解集在数轴上表示略（山）x<子： 54000=51400(元)； 当x=14时，30-x :+m>2,的关联方程？若存在，求所有符合 2.2.1一元一次不等式的解法 (2)x≤3；(3)x≤-4 =16.所以有14名工人 2x+3m≤2 基础训练1.D;2.B;3.-1;4.a≤4. 进行水果采摘，16名工 人进行罐头加工，所获 条件的整数m的值；若不存在，请说明理由. 16.设有m名学生选择坐学生公交，则步行上学的 5解架在数拍上表示路(1<号：2>-3：学生有号名根据题意，得120-受≤120×75%， 利润为：-200×14+ 54000 (3)x≥-4：(4)x≤2. =51200(元)； 6.因为关于x的不等式(a-2)x2-1<5是一元 解得m≥600. 当x=15时，30-x 次不等式，所以a+2=1.解得a=-1. 答：最少有600名学生选择坐学生公交 =15.所以有15名工人 当a=-1时，不等式9ax+3a-4b<0可化为-9x 17.解不等式3x-2>2(2x+7),得x<-3.解不 进行水果采摘，15名工 人进行罐头加工，所获 -3-46<0.解得x>-3。驰，又因为该不等式的解集等式3(：-1)+5>5+2(m+x),得x<【2严，因为 利润为：-200×15+ 2 54000=51000(元)； 为x>合，所以3，的=手解得6=-子 当x=16时，30-义 0 不等式3x-2>2(2x+2)的解集与关于x的不等式 =14.所以有16名工人 2.2.2一元一次不等式的应用 进行水果采摘，14名工 基础训练1.B;2.C;3.275;4.8. 3(x-1)+5>5x+2(m+x)的解集相同，所以，m 人进行罐头加工，所获 5.设要中靶x次. =-3.解得m=7. 利润为：-200×16+ 根据题意，得5x-(10-x)≥35.解得x≥7.5. 18.(1)设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车 54000=50800(元)； 当x=17时，30-x 因为x为整数，所以x的最小值是8. 的售价是y万元 =13.所以有17名工人 答：至少要中靶8次. 根题选，特6择8 进行水果采摘，13名工 6.(1)设购买1根A型跳绳需x元，购买1根B型跳 1y=26. 人进行罐头加工，所获 绳贴元得据题心得的轻号二设 答：每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售 利润为：-200×17+ 价是26万元. 54000=50600(元). 答：购买1根A型跳绳需12元，购买1根B型跳绳需 (2)设购买a辆A型车，则购买(6-a)辆B型车 因为51400 > 15元. 根据题意，得18a+26(6-)≥130.解得a≤3子因 51200>51000> (2)设购买B型跳绳m根，则购买A型跳绳(55 50800>50600,所以所 m)根.根据题意，得12(55-m)+15m≤00.解得m≤为A型车不少于2辆，即a≥2，且a是整数，所以a=2 获最大利润为51400元 或3.所以共有2种购车方案：方案一：购买2辆A型车， (全文完) 数理报社试题研究中心 1B了因为m为整数，所以m的最大值为13. 4辆B型车；方案二：购买3辆A型车，3辆B型车. (参考答案见33期) 答：最多购买13根B型跳绳. （下转1,4版中缝) 线评极 2026年1月28日·星期三 初中数学 31期总第1175期 北师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-204 专题辅导 两个“一次”手牵手 本周主讲 2.3一元一次不等式与一次函数 ◎江西陶姝娜 一、基础知识 b(a≠0)过点A(0,3),B(4,0),当x<4时，y> 2.4一元一次不等式组 1.如图1，一次函数y=kx+b的图象与x轴0，所以不等式ax+b>0的解集是x<4.故填 学习目标：1.理解一次函数图象与一 交于点(x,0),其图象在x轴上方的部分，对应x<4. 元一次不等式的关系，能够用图象法解 的不等式为kx+b>0,其解集为x>x0;其图象 例2某通讯公司 元一次不等式 2.掌握一元一次不等式与一次函数的 在x轴下方的部分，对应的不等式为x+b<0, 推出①，②两种通讯收 关系，会运用不等式解决函数有关问题 其解集为x<xo 费方式供用户选择，其 3会解由两个一元一次不等式组成的 中一种有月租费，另 不等式组，并能用数轴求得解集，能运用 v=kx+b 种无月租费，且两种收 2 不等式组解决简单的实际问题 费方式的通讯时间 0100200300400500x/分 x(分)与费用y(元)之 图4 在不等式与不等式组 图1 图2 间的函数关系如图4所示 的学习中，有时会遇到确 2.如图2，在同一直角坐标系中，一次函数 (1)有月租的通讯方式是 (填“①' 定连写不等式的解集问 y1=kx+b,与为2=k2x+b2的图象的交点的横 或“②”)，月租费是 元； 题解答时，要注意因题而 坐标为xo·当一次函数y2=k2x+b2的图象在 (2)分别求出①，②两种通讯方式中y与x 之间的函数表达式，并选出经济实惠的方式. 异，学会活用如下“两 次函数y1=kx+b的上方时，对应的不等式为 招”. kx+b2>kx+b1,其解集为x>0;当一次函 解：(1)①，30： (2)设y1=k1x+30,y2=k2x 第一招、性质变形法东 数为=k2x+b2的图象在一次函数y=k1x+b 根据图象将(500,80)，(500,100)分别代 例1不等式组-3 康 连 解 的下方时，对应的不等式为2x+b2<kx+b1, 入表达式，得500k1+30=80,500k2=100.解得 <2-5x≤7的解集是 其解集为x<xo k,=0.1,k,=0.2.故所求的函数表达式为y,= 二、典例分析 0.1x+30;y2=0.2x 分析：在本题的连写 例1如图3，直线y= 令y1=y2,则0.1x+30=0.2x.解得x= 不等式中，第一个不等号 ax+b(a≠0)过点A(0,3), 300.由图象可知当通讯时间在300分钟内时，选 的左边和第二个不等号的 B(4,0),则不等式ax+b>0 择通讯方式②实惠；当通讯时间超过300分钟 右边都不含有未知数x, 的解集是 时，选择通讯方式①实惠；当通讯时间为300分这种连写不等式的解集的 解：因为直线y=ax 钟时，两种通讯方式一样实惠 确定，可利用不等式的基 本性质，将左边、中间和右 归纳总结 边这三端中的各项进行相同的变形. 巧用“口决”妙解题 解：连写不等式的各端都减去2，得 -3-2<2-5x-2≤7-2. 力河北 王 智 连写不等式的各端去括号、合并同类项，得 如何正确快速地确定出不等式组的解集 解：解不等式①，得x<1. -5<-5x≤5. 呢？下面教你利用“口决”确定不等式组的解集。 解不等式②，得x<-6. 连写不等式的各端都除以-5，得 -5 不等式组类 因为-6<1，所以根据口诀“同小取小”，得 数轴表示 解集 口诀 >≥5即1<1 型(a<b) 原不等式组的解集为x<-6. 故填-1≤x<1. x a, x>b 同大取大 三、大小小大中间找 第二招、分拆转化法 >b 5 x≥3(x-1), ① <u, 例2不等式组1-1≤x+2<4的 x≤a 同小取小 t <b 例3 解不等式组：2x-1_5x+1<1.② 2 解集是 x a, 大小小大 t 3 2 a≤x<0 分析：在本题的连写不等式中，第一个不等 x<b 中间找 解：解不等式①，得x≤2. 大大小小 号的左边含有未知数x,这种连写不等式的解 无解 解不等式②，得x>-1. 0 找不到 集的确定问题，可利用分拆的方法，将已知连写 因为-1<2，所以根据口诀“大小小大中 、同大取大 不等式转化为由第一个不等号组成的不等式和 间找”，得原不等式组的解集为-1<x≤2 X 由第二个不等号组成的不等式构成的不等式 例1 解不等式组：x+1≥2， 3(x-2)>2-x.② 四、大大小小找不到 烫 解：解不等式①，得x≥1. 2x+1≥x+4,① 解：连写不等式可转化为不等式组 解不等式②，得x>2. 例4 解不等式组： xx-2≥1. ② x+1≤x+2, ① 2 3 因为2>1，所以根据口诀“同大取大”，得原 x+2<4. ② 不等式组的解集为x>2. 解：解不等式①，得x≤-1. 解不等式①，得x≥-1. 二、同小取小 解不等式②，得x≥2. 解不等式②，得x<2. 例2解不等式组： 3x-2<x ① 因为-1<2，所以根据口诀“大大小小找 所以原不等式组的解集是-1≤x<2. 2x<-12. ②不到”，得原不等式组无解 故填-1≤x<2 2 素养专练 数理极 2.4一元一次不等式组 5 跟踪训练 4) 3x-1<3-3x 垦础训练 GENZONGXUNLIAN ≥2 8 1.下列不等式组中，属于一元一次不等式组 2.3一元一次不等式与一次函数 的是 ( 基础训练 A.x+1>0, Ly-1<0 1.已知一次函数y=x+b的图象如图1所 B.2x-3>0, 示，则不等式x+b<4的解集为 ( x<-3 A.x>-1 B.x<-1 r3x>0, C.x<4 D.x>4 e{g10 D.3x-2>0, 7.已知关于x的一元一次不等式组 r1+5x>3(x-1), ((x-2)(x+3)<0 2.一元一次不等式组>-2，的解集在 分≤8-+2m l2x-1≤5 (1)当a=-2时，求这个不等式组的解集： 图1 数轴上表示正确的是 (2)若这个不等式组恰有两个整数解，求实 2.已知一次函数y=-x+2与y=mx+n(m, 数a的取值范围. n为常数，m≠0)的图象如图2所示，则关于x的 20 20 不等式-x+2>mx+n的解集在数轴上表示正 A 确的是 ( -203 -20 10分 0 -2-10123 A B 3.已知平面直角坐标系上有一点P(m+2,5 +m)位于第二象限，则m的值可能是( -2-101234 A.-3 B.-2 C D C.-5 D.-6 3.如图3，一次函数y=kx+ y i b的图象与y轴、x轴分别交于点 4.如果一元一次不等式组<5，无解，则m Ix m A,B,与正比例函数y=的图 的取值范围是 2x-1<3, 象相交于点C,则关于x的不等式 2 5.一元一次不等式组 1 的最小 约3 2x-1≤0 kx+b-2x≥0的解集为 8.在我市创建全国卫生城市活动中，某小区 整数解是 4.如图4，直线y=x+b经过点A(-6,0), 积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提 6.解下列不等式组： B(-1,5),直线2=-2x-3与直线y1相交于点M. 示牌和垃圾箱.若购买1个温馨提示牌和2个垃圾 r3x-7>-1, (1)求直线y的函数表达式； (2)根据图象，求关于x的不等式x+b< + 箱共需350元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单 价的3倍. -2x-3的解集。 (1)温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果 B 5 购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超 过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪 种方案所需费用最少？最少是多少元？ (2)x-3(x-2)≥4， l2x+1<x-1: 5.为庆祝六一儿童节，某儿童游乐场推出了 甲、乙两种消费卡.设消费次数为x时，所需费用 为y元，且y与x的函数关系如图5所示. (1)分别求出选择甲、乙两种消费卡消费时， y关于x的函数表达式； (2)求点B的坐标，并说明点B的实际意义； (3)洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游 乐场的消费，选择哪种消费卡划算？ 3x-4>2(x-3), ↑/元 乙 (3)+4≥x 300 3 100 5 20 图5 数理报社试题研究中心 (参考答案见33期) 数理极 素养•测评 ● 16.(10分)定义新运算：对于任意实数a,b, 同步检测 都有a①b=3a-4b+4(等式右边是通常的加、减 法及乘法运算).若3①x的值小于4，且x①6的值 不小于7，求x的取值范围. TONGBUJIANCE 【检测范围：2.3~2.4】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 题号123456 9.若关于x的不等式组的解集在数轴上的表示 如图4所示，则这个不等式组的解集是 答案 1.下列各式不是一元一次不等式组的是( 54321012545→ A.x>3, 图4 3x<5, B. lx <1 2x-1<9 10.若一元一次不等式组2：<4,0的解集 l… ② e D.-1>3, 是-1<x<2,则不等式②可以是 lx-3<2 2.如图1，直线y=x+b交 1.已知不等式组化+1<2a,的解集是2< x-6>1 坐标轴于A,B两点，则不等式x+ <3,则关于x的一元一次方程ax+b=0的解是 17.(10分)已知关于a,b的二元一次方程组 b>0的解集是 () A/ A.x>-2 B.x>4 2a+b=k,其中k为常数 20 12.如图5，在平面直角坐标 a-2b=3.1 C.x<-2 D.x<4 图1 系xOy中，函数y1=kx+b(k> (1)若该方程组的解a,b满足3a-b>4,求k 3.若x=2是下列四个选项中的某个不等式 组的一个解，则这个不等式组是 ( 0)过点（号，0），函数为=mx+ 的取值范围； (2)若该方程组的解a,b均为正数，求k的取 A.x<1, B.x<1, n(m<0)的图象过点(2,0)，两 值范围. lx<-1 x>-1 函数图象交点A的横坐标为1， 图 C.x>1, D.>1, 则满足0<y1<y2的x的取值范围为 lx<-1 lx>-1 13.有一家人参加登山活动，他们要将矿泉水 4.满足不等式组2x≤1，的整数解为 分装在旅行包内带上山，若每人带2瓶，则剩余 (x+2>1 3瓶；若每人带3瓶，则有一人带了矿泉水，但不足 2瓶，则这家人参加登山的人数为 A.-2 B.-1 14.已知关于x的一元一次不等式组 C.0 D.1 7x-a≥1， 5.若点P(2x+6,x-4)在平面直角坐标系的十5≥x- 有且仅有4个整数解，且关于m,n 3 第四象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为 的二元一次方程组m+2”=3,的解是整数，则 18.(12分)某校准备购买一批文具袋和水性 2m-2n a 笔，已知文具袋的单价是水性笔单价的5倍，购买5 30 所有满足条件的整数α的值是 -30 支水性笔和3个文具袋共需60元. 三、耐心解一解（共44分） (1)求文具袋和水性笔的单价 304 15.(12分)解下列不等式组： 30 (2)学校准备购买文具袋10个，水性笔若干 C (1)3m-2<1, 支（超过10支）.文具店给出两种优惠方案：A:购 6.如图2，直线y=kx+b lx+1<3; T 买一个文具袋，赠送1支水性笔：B:购买水性笔 经过点A(m,-2)和点B(-2, 10支以上，超过10支的部分按原价的八折优惠， 0),直线y=2x过点A,则不等 文具袋不打折 式(k-2)x+b>0的解集为 ①设购买水性笔x支，方案A的总费用为 () 元，方案B的总费用为 元； 图2 A.x<-2 ②该学校选择哪种方案更合算？请说明理由。 B.x<-1 「x+3<2, C.-2<x<-1 (2)X2x-1≥1； 13 D.-1<x<2 7若关于x的不等式组0-≥0， 3 3-2(x-1)≤3x 实数范围内有解，则a的取值范围是 ( A.a≥0 B.a≤0 C.a>0 D.a<0 r-4≥x-3 (3)2 8.如图3是一个运算程序，若需要经过两次运 1-(6-x)<3(x-1). 算才能输出结果，则x的取值范围是 可一@明 图3 A.x>8 B.8<x≤13 C.8≤x≤13 D.8≤x<13 (下转第4版)