第27期 1.1 三角形内角和定理 1.2等腰三角形（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（北师大版·新教材）

刀万列为15,60N口10月，则这二用形 ∠CDE=160,则∠B的 (填“是”或“不是”)“倍余三角形” 度数为 【深入探究】(2)在Rt△ABC中，∠B=90°， A ∠C=36°，点D是边BC上一点，若△ADC是 D 160° “倍余三角形”，求∠ADB的度数. 图2 图1 A.50° B.60° C.70° D.80° 解：因为∠CDE=160 180°-∠CDE=20°. 因为DE∥AB,所以∠A 因为∠C=80°，所以∠ ∠C=80°. 故选D. 二、角平分线 例2如图2，在△ABC 中，∠C=80°，∠CAB,∠CBA 数理报社试题研究中心 的平分线相交于点0，则∠0 （参考答案见下期) 的度数为 ( 题型空间 A.120° 巧用30°角灵活解题 C.130° 解：因为∠C=80°，所 =180°-∠C=100°. ◎浙江李玮琪 因为∠CAB,∠CBA的平 “在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 如图1，过点C作CD⊥AB交AB延长线于 1 那么它所对的直角边等于斜边的一半”，这是解点D,此时∠CBD=∠CAB+∠BCA=30°. 所以∠0BA=2∠ABC,∠C 含30°角的直角三角形中线段问题的常用定理. 所以∠OBA+∠OAB 这个定理可以将特殊直角三角形中的角度关系 所以R△BCD中，CD=2BC=15海里， 转化到边的等量关系上.一般情况下，遇到30° 即该船与灯塔C的最短距离为15海里. ∠CAB)=50°. 角时，常用的方法为直接应用或添加辅助线，其 故选D. 所以∠0=180°-（∠ 中添加辅助线就是作垂线构造直角三角形，进 二、构造含30°角的直角三角形求解 130°. 一步解决线段的相关问题，现举例说明， 例2如图2，△ABC是 故选C. 一、直接应用30°角求解 等边三角形，点E是AC的中 三、全等 例1如图1，灯塔C在海岛A的北偏东75。点，过点E作EF1AB于点 例3如图3，已知 方向，一条船从A岛出发，由西向东航行30海里F,延长BC交FE的延长线于 B 图2 △ABC≌△ADE,延长ED分 到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°点D.若EF=1,则DF的长是 别交AC于点F,∠CAD= 方向，若这条船继续由西向东航行，则该船与灯 分析：连接BE,根据等边三角形的“三线合 10°，∠BAE=120°，∠B= 塔C的最短距离为 一”求得∠ABE和∠CBE的度数，结合三角形内 100°. 角和定理求得∠D的度数，从而得到BE=DE,再 (1)求∠DAE的度数； 根据含30°角的直角三角形的性质即可得解 北 (2)求∠CFE的度数 A B 解：如图2，连接BE. 解：(1)因为∠CAD=1( 图1 因为△4BC是等边三角形，所以∠ABC=60° A.30海里 所以∠BAC+∠DAE=∠ B.25海里 因为点E是AC的中点，所以∠ABE= 110°. C.20海里 D.15海里 分析：结合方向角可得∠CAB和∠ABC的度 ∠CBE=2∠ABC=30 因为△ABC≌△ADE 数，由三角形内角和定理、等角对等边可得BC= 因为EF⊥AB,所以∠BFE=90°. ∠DAE=55. AB,作CD⊥AB交AB延长线于点D,再根据含 所以∠D=180°-∠BFE-∠ABC=30° (2)因为∠CAD=10°， 30°角的直角三角形特征即可得解. =∠CBE ∠CAE=∠CAD+∠DAE= 解：由题意，得∠CAB=90°-75°=15°， 所以BE=DE. 因为∠B=100°，∠BA( 4B=30海里，∠ABC=90°+60°=150°. 因为EF=1,所以DE=BE=2EF=2. =180°-∠B-∠BAC=25 所以∠BCA=180°-∠CAB-∠ABC=15°. 所以DF=DE+EF=3. 因为△ABC≌△ADE,所 所以BC=AB=30海里. 故填3. 所以∠CFE=∠CAE+ A.30° B.50° C.60° D.70° 点C,利用测量仪器测得∠A=60°，∠C=90°， 2.如图1，两位侠客施展“全等剑阵”△ABC AC=300米.由此可求得学校与江景房之间的距 图1 ≌△DEF,剑光总长(CF)为六尺，剑光重叠处 离AB为 ( 2.用反证法证明命 (BE)长四尺.则独属一位侠客的剑光(CE)长为 A.150米 B.600米 有一个锐角不大于45” ( C.800米 D.1200米 A.3尺 B.2尺 A.两个锐角都大于 C.1尺 D.0.5尺 B.有一个锐角小于 C.有一个锐角大于 D 图1 图2 D.两个锐角都小于 3.如图2，过等边 3.如图2，在△ABC中，AB=AC=10,AD是 作AB,BC,AC的垂线M 60° BC边上的高，若BD=8,则BC的长为（ ) 图2 ! △MWG.若AM=2 A.8 B.12 C.16 D.18 3.将一副三角板按如图2方式叠放，则∠1的 4.如图3，在等边△ABC中， 度数是 4.如图3，在等腰 BD⊥AC,BF=BD,则∠CDF的 4.如图3，在△ABC中，AB= 中线，延长DC至点E,有 度数是 AC,点D是BC上一点，且∠EDF B作AC的垂线，垂足为 5.如图4，△ABC是等边三角 =∠B,DE=DF.若BF=4,CE 形，CD是中线，过点B作BE∥ (1)若∠BAC=5 图3 =2,则BC的长为 (2)求证：BF=AE CD,交AC的延长线于点E, 5.如图4，在△ABC中，AD平 D (1)求∠E的度数； 分∠BAC,P为线段AD上一点，PE 图3 (2)求证：BC是△ABE的中线 ⊥AD交BC的延长线于点E,若∠B=35°， ! ∠ACB=85°，求∠E的度数 D 5.某数学社团的 △ABC,并在AC边上取 合) i (1)请在图4中求 能刀提高 在BC边上（尺规作图， 6.如图5，在△ABC中，AC=BC,点D在线段 6.如图5，点P是△ABC的外角∠EAC的平 (2)如图5，点D 分线上任意一点（点P不与点A重合），点D是射 AC上，点E在AC左侧，连接BD,CE,AE,BD=CE DE,以DE为边在其右攸 线AE上一点，且∠EDP+∠ACP=180°， 且∠ADB=∠BCE,延长BD交AE于点F 请写出线段CF,CD,CE (I)求证：△DAP≌△CAP; (1)求证：AE=CD; 理由 (2)判断PB+PC与AB+AC的大小，并说明 (2)若∠FAB=107°，求∠ACB的度数. 理由 图 + + +