1.3 第2课时 直角三角形全等的判定（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“直角三角形全等的判定”，核心知识点为“斜边、直角边”（HL）判定方法。课堂导入通过回顾已学三角形全等判定方法，结合“两边及对角相等是否全等”的问题，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡到直角三角形的特殊判定。 资料特色在于通过“画一画”操作、推理验证等环节，引导学生经历从具体到抽象的探究过程，培养几何直观与推理意识。分层设计判断、例题、变式及综合应用题，强化HL的应用，提升学生用数学语言表达和解决问题的能力，符合新课标核心素养要求。

第一章 三角形的证明 1.3 直角三角形 第2课时 直角三角形全等的判定 【素养目标】 1. 掌握“斜边、直角边”的判定方法.(重点) 2. 能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等.(难点) 3. 经历探索直角三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程，发展数学思维。 【复习导入】 问题1: 我们学过哪些判定三角形全等的方法？ 问题2: 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角呢？ 【合作探究】 探究点、直角三角形全等的判定 问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即 ， 且 ，现在能判定吗？ 【画一画】 已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形。 已知：如图，线段 ，直角 . 求作： ，使 . 【验证结论】已知：如图，在与中， 求证： 【知识要点】 “斜边、直角边”判定方法 文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言： 在 Rt 和Rt 中， . 判断：满足下列条件的两个三角形是否全等？为什么？ 1. 一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形。 2. 一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形。 3. 两直角边对应相等的两个直角三角形。 4. 有两边对应相等的两个直角三角形。 例1 已知：如图， , 求证： . 变式1：如图，，要证明，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由。 (1) _________________( ) (2) _________________( ) (3) _________________( ) (4) _________________( ) 例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的大小有什么关系？ 【练一练】如图，已知，分别是两个钝角和的高，若 ， ，求证： . 当堂反馈 1.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是(　　) A.HL B.ASA C.SAS D.SSS 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE.若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是______________. 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE.若BD＝4 cm，CE＝3 cm，则DE＝______ cm. 4.如图，点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF＝CE.求证：△ABC是等腰三角形。 5. 如图，有一直角三角形 ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位置时 △ABC 才能和△APQ 全等？ 参考答案 探究点、直角三角形全等的判定 【画一画】 作法：1. 作射线 . 2. 过点作射线 的垂线 . 3. 在射线 上截取 . 4. 以点为圆心，线段的长为半径作弧，交射线于点 . 5. 连接 . 就是所要作的直角三角形。 【验证结论】 证明： 在 中， (勾股定理). 同理， . , . . 判断 1. 全等(AAS) 2. 全等 (ASA) 3. 全等 (SAS) 4. 情况 1：全等 (SAS) 情况 2：全等 (HL) 例1 证明： , 与都是直角。 在 Rt 和 Rt 中， (HL). . 变式1: (1) ( HL ) (2) (HL) (3) (AAS) (4) ∠DBA=∠CAB (AAS) 例2 解： 根据题意， 可知 . (全等三角形的对应角相等). (直角三角形的两锐角互余), . 【练一练】证明： 分别是两个钝角和的高， 且 ， ， ( ). . , ( ). . ，即 . 当堂反馈 1.A. 2.　AC=DE . 3. 7 cm. 4.证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD. ∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴△BDF与△CDE均为直角三角形。 在Rt△BDF和Rt△CDE中， ∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL). ∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形。 5. 解：(1)当 P 运动到 AP＝BC 时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中， ∵ PQ＝AB，AP＝BC， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△QPA (HL). ∴ AP＝BC＝5 cm. (2) 当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中， ∵ PQ＝AB，AP＝AC， ∴ Rt△QAP≌Rt△BCA (HL)， ∴ AP＝AC＝10 cm. ∴ 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $