精品解析：浙江省杭州市拱墅区2021-2022学年九年级上学期数学期末模拟卷

2021-2022学年杭州市拱墅区第一学期九年级期末模拟卷 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试试卷100分钟． 2．答题前，必须在答题卡上填写校名，班级，姓名，座位号． 3．不允许使用计算器进行计算，凡题目中没有要求取近似值的，结果应保留根号或 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 同位角相等 B. 打开电视，正在播出特别节目《战疫情》 C. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 D. 长度为4，6，9的三条线段可以围成一个三角形． 2. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则BC的值为（ ） A. 3﹣ B. 1＋ C. ﹣1 D. ﹣2 3. 下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（　　） A. y＝（x﹣1）（x+3） B. y＝x2﹣x3 C. y＝2x﹣3 D. y＝+1 4. 如图，把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转至如图△EBD，使BC在BE上，延长AC交DE于F，若AF＝8，则AB的长为（　　） A. 4 B. 4 C. 4 D. 6 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 三个点确定一个圆 C. 三角形外心到三边距离相等 D. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠ADC＝3∠BAD，BD＝4，DC＝3．则AB的值为（　　） A. 5+3 B. 2+2 C. 7 D. 7. 一只不透明袋子中装有1个绿球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验，将口袋中的球拌匀，从中随机摸出个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到黑球的频数 142 186 260 668 1064 1333 摸到黑球的频率 0.7100 0.6200 0.6500 0.6680 0.6650 0.6665 该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，由此估计这个口袋中黑球有（　　）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过⊙O2的圆心，则∠O1AB的度数为（　　） A. 45° B. 30° C. 20° D. 15° 9. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，AC为边在△ABC外部作正方形ADEB，CBFG，ACHI．将正方形ABED沿直线AB翻折，得到正方形ABE'D'，AD'与CH交于点N，点E'在边FG上，D'E'与CG交于点M，记△ANC的面积为S1，四边形的面积为S2，若CN＝2NH，S1+S2＝14，则正方形ABED的面积为（　　） A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 10. 已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）． ①二次函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上 ②当x＜2时，y随x的增大而增大，则m=2 ③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分） 11. 某校准备从A，B两名女生和C，D两名男生中任选2人代表学校参加沈阳市初中生辩论赛，则所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是 _______． 12. 点P到上各点的最大距离为5，最小距离为1，则的半径为 ___________ ． 13. 如图，一张扇形纸片OAB，，，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为__________． 14. 已知是二次函数，求m＝_____． 15. 在五个完全相同的小球上分别写有﹣2，﹣1，0，1，2五个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从口袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y，则在坐标平面内，点P（x，y）落在坐标轴上的概率为_____． 16. 已知菱形的边长为2，=60°，对角线，相交于点O．以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，„，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点，，，．．．．．．，，则点的坐标为________． 三、解答题（本大题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，将绕点逆时针旋转得到，且，两点分别与，两点对应，延长与边交于点，求的度数． 18. 已知一个关于x的二次函数，当x分别为1，2，3时，对应函数值分别为3，0，4，求这个二次函数的表达式． 19. （1）已知线段线段c是线段和b的比例中项，求线段c的长． （2）如图所示，在和中，． ①写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）． ②请写出其中一对三角形相似理由． 20. 某出版社对其发行的杂志的质量进行了5次“读者调查问卷”，结果如下： 被调查人数n 1001 1000 1004 1003 1000 满意人数m 999 998 1002 1002 1000 满意频率 （1）计算表中各个频率； （2）读者对该杂志满意的概率约是多少？ （3）从中你能说明频率与概率的关系吗？ 21. 如图，点A、B、C在⨀O上，∠ACB＝125°．请仅用无刻变的直尺分别按下列要求作图． （1）在图（1）中，作一个度数为55°的圆周角； （2）在图（2）中，作一个度数为35°的圆周角． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点坐标为点D，连接CD、BC、BD． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求证：△DCB∽△AOC； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E是平移后的抛物线与原抛物线的交点，点F是原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点P，使得以点B、E、F、P为顶点的四边形是矩形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，﹣2），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x 的代数式表示）； （3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年杭州市拱墅区第一学期九年级期末模拟卷 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试试卷100分钟． 2．答题前，必须在答题卡上填写校名，班级，姓名，座位号． 3．不允许使用计算器进行计算，凡题目中没有要求取近似值的，结果应保留根号或 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 同位角相等 B. 打开电视，正在播出特别节目《战疫情》 C. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 D. 长度为4，6，9的三条线段可以围成一个三角形． 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的概念即可得出答案． 【详解】解：∵同位角不一定相等，为随机事件， ∴A选项不合题意， ∵打开电视，不一定正在播出特别节目《战疫情》，为随机事件， ∴B选项不合题意， ∵车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，为随机事件， ∴C选项不合题意， ∵4+6＞9， ∴长度为4，6，9的三条线段可以围成一个三角形为必然事件，． ∴D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查必然事件的概念，必然事件是指一定会发生的事件，关键是要牢记必然事件的概念． 2. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则BC的值为（ ） A. 3﹣ B. 1＋ C. ﹣1 D. ﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长度即可． 【详解】解：由于点C为线段的黄金分割点， 且是较长线段； 则， ∴BC=AB-AC=2-（）=3-． 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算． 3. 下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（　　） A. y＝（x﹣1）（x+3） B. y＝x2﹣x3 C. y＝2x﹣3 D. y＝+1 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义（一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数）进行判断． 【详解】解：A. 可化为，符合二次函数的定义，故本选项正确； B. ，该函数等式右边最高次数为3，故不符合二次函数的定义，故本选项错误； C. y＝2x-3，属于一次函数，故本选项错误； D. ，该函数等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，化简后最高次必须为二次，且二次项系数不为0． 4. 如图，把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转至如图△EBD，使BC在BE上，延长AC交DE于F，若AF＝8，则AB的长为（　　） A. 4 B. 4 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到AB＝BE，∠A＝∠E＝30°，设BC＝x，根据直角三角形的性质得到AB＝DE＝2x，根据勾股定理得到AC＝，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：∵把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD， ∴AB＝BE， ∴∠A＝∠E＝30°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠EDF＝90°， 设BC＝x， ∴AB＝BE＝2x， ∴CE＝x，AC＝， ∵∠ECF＝90°，∠E＝30°， ∴CF＝EF， ∵CE＝x， ∴CF＝， ∵AF＝8， ∴， ∴x＝ ∴AB＝2x＝， 故选：C 【点睛】本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 三个点确定一个圆 C. 三角形外心到三边距离相等 D. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 【答案】D 【解析】 【分析】根据等弧的定义对进行判断；根据三角形外心的定义对进行判断；根据确定圆的条件对进行判断． 【详解】解：、能够完全重合的弧叫等弧，所以选项错误，不符合题意； 、不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以选项错误，不符合题意； 、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，所以选项错误，不符合题意； 、不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，三角形的外心，等弧的定义，解题的关键是掌握圆可以看做是所有到定点的距离等于定长的点的集合，掌握与圆有关的概念． 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠ADC＝3∠BAD，BD＝4，DC＝3．则AB的值为（　　） A. 5+3 B. 2+2 C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长CB到E，使得BE＝BA．设BE＝AB＝a．利用相似三角形的性质，勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，延长CB到E，使得BE＝BA．设BE＝AB＝a． ∵BE＝BA， ∴∠E＝∠BAE， ∵∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝2∠E+∠BAD＝3∠BAD， ∴∠BAD＝∠E， ∵∠ADB＝∠EDA， ∴△ADB∽△EDA， ∴， ∴AD2＝4（4+a）＝16+4a， ∵AC2＝AD2﹣CD2＝AB2﹣BC2， ∴16+4a﹣32＝a2﹣72， 解得a＝2+2或2﹣2（舍弃）． ∴AB＝2+2， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7. 一只不透明袋子中装有1个绿球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验，将口袋中的球拌匀，从中随机摸出个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到黑球的频数 142 186 260 668 1064 1333 摸到黑球的频率 0.7100 0.6200 0.6500 0.6680 0.6650 0.6665 该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，由此估计这个口袋中黑球有（　　）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，这个常数约为0.667，据此知摸出黑球的概率为0.667，继而得摸出绿球的概率为0.333，求出袋子中球的总个数即可得出答案． 【详解】解：该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，这个常数约为0.667， 估计摸出黑球的概率为0.667， 则摸出绿球的概率为， 袋子中球的总个数为， 由此估出黑球个数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 8. 如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过⊙O2的圆心，则∠O1AB的度数为（　　） A. 45° B. 30° C. 20° D. 15° 【答案】B 【解析】 【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可得△AO2O1是等边三角形，再根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：连接O1O2，AO2，O1B， ∵O1B= O1A ∴ ∵⊙O1和⊙O2是等圆， ∴AO1=O1O2=AO2， ∴△AO2O1是等边三角形， ∴∠AO2O1=60°， ∴∠O1AB=∠AO2O1 =30°． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△AO2O1是等边三角形是解题关键． 9. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，AC为边在△ABC外部作正方形ADEB，CBFG，ACHI．将正方形ABED沿直线AB翻折，得到正方形ABE'D'，AD'与CH交于点N，点E'在边FG上，D'E'与CG交于点M，记△ANC的面积为S1，四边形的面积为S2，若CN＝2NH，S1+S2＝14，则正方形ABED的面积为（　　） A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，证明，得出，根据，再证明，得出，可以得出，得出等式，求解即可得到． 【详解】解：设，则， 由题意知：， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中由勾股定理得： ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、三角形相似、三角形全等、勾股定理，解题的关键是掌握相应的判定定理，通过转化的思想及等量代换的思想进行求解． 10. 已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）． ①二次函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上 ②当x＜2时，y随x的增大而增大，则m=2 ③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】①由顶点坐标（m，-m+1），可得x=m，y=-m+1，即可证明顶点在直线y=-x+1上； ②根据二次函数的性质，当时，y随x的增大而增大，可知； ③由，根据已知可以判断，即可判断． 【详解】解：①证明： 图象的顶点为（m，-m+1），设顶点坐标为（x，y），则x=m，y=-m+1， ∴y=-x+1，即顶点始终在直线y=-x+1上， ①正确； ②，对称轴， 当时，y随x的增大而增大， 时，y随x的增大而增大， ， ②不正确； ③ 与点 在函数图象上， ， ， ， ∵x1＜x2，x1+x2＞2m， ， ， ∴， ③不正确． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图像和性质，函数值大小比较等，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系及做差法比较大小． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分） 11. 某校准备从A，B两名女生和C，D两名男生中任选2人代表学校参加沈阳市初中生辩论赛，则所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】先列表求解所有的等可能的结果数，再得到所选代表恰好为1名女生和1名男生的结果数，再利用概率公式进行计算即可. 【详解】解：列表如下： 所以：所有的可能的结果数有种，刚好是1名女生和1名男生的结果数有8种， 所以所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是： 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率，掌握“画树状图或列表的方法”是解本题的关键. 12. 点P到上各点的最大距离为5，最小距离为1，则的半径为 ___________ ． 【答案】3或2##2或3 【解析】 【分析】当点在圆内时，最大距离与最小距离之和就是圆的直径，可以求出圆的半径．当点在圆外时，最大距离与最小距离之差就是圆的直径，可以求出圆的半径． 【详解】解：当点在圆内时，因为点到圆上各点的最大距离是5，最小距离是1，所以圆的直径为6，半径为3． 当点在圆外时，因为点到圆上各点的最大距离是5，最小距离是1，所以圆的直径为4，半径为2． 故答案为：3或2． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆上各点的最大距离和最小距离，可以得到圆的直径，然后确定半径的值． 13. 如图，一张扇形纸片OAB，，，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积等于S扇形OBD面积减去S弓形OD面积计算即可． 【详解】解：由折叠可知， S弓形AD＝S弓形OD，DA＝DO， ∵OA＝OD， ∴AD＝OD＝OA， ∴△AOD为等边三角形， ∴∠AOD＝60°，∠DOB＝60°， ∵AD＝OD＝OA＝6， ∴CD＝3， ∴S弓形AD＝S扇形ADO﹣S△ADO6×36π﹣9， ∴S弓形OD＝6π﹣9， 阴影部分的面积＝S扇形BDO﹣S弓形OD（6π﹣9， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积与等边三角形的性质，熟练运用扇形公式是解题的关键． 14. 已知是二次函数，求m＝_____． 【答案】-1 【解析】 【分析】直接利用二次函数的定义得出关于m的等式求出即可． 【详解】解：由题意得：， ， 解得：m1=2（不合题意舍去），m2=-1， 所以m的值为-1． 故答案为：-1 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确解一元二次方程是解题关键． 15. 在五个完全相同的小球上分别写有﹣2，﹣1，0，1，2五个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从口袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y，则在坐标平面内，点P（x，y）落在坐标轴上的概率为_____． 【答案】； 【解析】 【分析】根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意列表如下： -2 -1 0 1 2 -2 （-2，-2） （-1，-2） （0，-2） （1，-2） （2，-2） -1 （-2，-1） （-1，-1） （0，-1） （1，-1） （2，-1） 0 （-2，0） （-1，0） （0，0） （1，0） （2，0） 1 （-2，1） （-1，1） （0，1） （1，1） （2，1） 2 （-2，2） （-1，2） （0，2） （1，2） （2，2） 共有25种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有9种，则点P（x，y）落在坐标轴上的概率为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了列举法求概率，解题关键是熟练运用列表法表示出所有等可能的情况数，根据概率公式准确计算． 16. 已知菱形的边长为2，=60°，对角线，相交于点O．以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，„，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点，，，．．．．．．，，则点的坐标为________． 【答案】（3n－1，0）． 【解析】 【详解】试题分析：∵菱形的边长为2，=60°，∴=2，∴=1，∴点A1的坐标为（1，0），∵=1，∴=，∴=3，点A2的坐标为（3，0），即（32－1，0）， 同理可得： 点A3的坐标为（9，0），即（33－1，0）， 点A4的坐标为（27，0），即（34－1，0）， ……… ∴点An的坐标为（3n－1，0）．故答案为（3n－1，0）． 考点：1．相似多边形；2．菱形的性质；3．规律型． 三、解答题（本大题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，将绕点逆时针旋转得到，且，两点分别与，两点对应，延长与边交于点，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，根据平角的度数，等量代换得到，结合四边形内角和的计算即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 在四边形中，． 18. 已知一个关于x的二次函数，当x分别为1，2，3时，对应函数值分别为3，0，4，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】将x与y的三对值代入二次函数解析式求出a、b、c的值，即可确定出解析式． 【详解】解：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c， 将x=1，y=3；x=2，y=0；x=3，y=4代入得： ， 解得： ， 则二次函数解析式为y=x2-x+13． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 19. （1）已知线段线段c是线段和b的比例中项，求线段c的长． （2）如图所示，在和中，． ①写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）． ②请写出其中一对三角形相似理由． 【答案】（1）6cm；（2）①△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；②见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段比例中项的概念得出a：c=c：b，再根据a=4cm，b=9cm，求出c的值，注意把负值舍去． （2）①根据有两组对角对应相等的三角形相似可得出△ABC∽△ADE，再由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得出△ABD∽△ACE； ②由①中可得对应线段成比例，又根据其对应角相等，即可判定其相似． 【详解】解：（1）∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm， ∴c2=ab=36， 解得：c=±6， 又∵线段是正数， ∴c=6cm． （2）①由题意可得：△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE； ②证明：∵， ∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE， 又∵， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∴AB×AE=AC×AD， ∴， ∵∠BAD=∠CAE， ∴△ABD∽△ACE． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 20. 某出版社对其发行的杂志的质量进行了5次“读者调查问卷”，结果如下： 被调查人数n 1001 1000 1004 1003 1000 满意人数m 999 998 1002 1002 1000 满意频率 （1）计算表中各个频率； （2）读者对该杂志满意的概率约是多少？ （3）从中你能说明频率与概率的关系吗？ 【答案】（1）见解析；（2）0.998；（3）见解析 【解析】 【分析】(1)频率就是满意的人数与被调查的人数的比值； (2)根据题目中满意的频率估计出概率； (3)从概率与频率的定义分析得出即可． 【详解】（1）由表格数据可得： ≈0.998， =0.998， ≈0.998， ≈0.999， =1.000， 所以表如下： 被调查人数n 1001 1000 1004 1003 1000 满意人数m 999 998 1002 1002 1000 满意频率 0.998 0.998 0.998 0.999 1.000 （2）由第(1)题的结果知出版社5次“读者问卷调查”中，收到的反馈信息是：读者对该杂志满意的概率约是0.998； （3）频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小，尽管每进行一连串(n次)试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的，因此，概率是可以通过频率来“测量”的，频率是概率的一个近似，概率是频率稳定性的依据，是随机事件规律的一个体现，实际中，当概率不易求出时，人们常通过作大量试验，用事件出现的频率去近似概率． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:频率=所求情况数与总情况数之比． 21. 如图，点A、B、C在⨀O上，∠ACB＝125°．请仅用无刻变的直尺分别按下列要求作图． （1）在图（1）中，作一个度数为55°的圆周角； （2）在图（2）中，作一个度数为35°的圆周角． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）在优弧上任意取一点D，连接DA，DB即可； （2）作圆的直径BF，连接CF即可． 【详解】（1）如图(1)，在优弧上任意取一点D， 连接DA，DB， 则∠BDA即为所求； （2）如图(2)，作圆的直径BE， 连接CE， 则∠ECA即为所求． 【点睛】本题考查了圆中的基本作图，熟练掌握圆的内接四边形性质，直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点坐标为点D，连接CD、BC、BD． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求证：△DCB∽△AOC； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E是平移后的抛物线与原抛物线的交点，点F是原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点P，使得以点B、E、F、P为顶点的四边形是矩形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）证明见解析；（3）存在，点P的坐标为（2，）或（4，1）或（4，2）． 【解析】 【分析】（1）把A（−1，0）、C（0，3）代入y＝−x2＋bx＋c，列方程组求出b、c的值即可； （2）先分别求出CD、CB、BD的长，再根据勾股定理的逆定理证明△DCB是直角三角形，且∠DCB＝90°，再求出Rt△DCB和Rt△AOC的直角边的比，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△DCB∽△AOC； （3）存在以B、E、F、P为顶点矩形，分三种情况，即以BE为一边的矩形PBEF和以BE为对角线的矩形BPEF，前者可通过作辅助线构造相似三角形和全等三角形，求出点P的坐标；以BE为一边的矩形PFBE，此时点P在y轴上；以BE的中点Q为圆心，以BE为直径作⊙Q交直线x＝1于点F，先作出矩形BPEF，再求出点F的坐标，根据点P与点F关于点Q成中心对称求出点P的坐标． 【详解】解：（1）把A（﹣1，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得，解得， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）证明：如图1，连结AC， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的顶点D的坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1， ∵点B与点A（﹣1，0）关于直线x＝1对称， ∴A（3，0）， ∴CD2＝12+（4﹣3）2＝2，BC2＝32+32＝18，BD2＝（3﹣1）2+42＝20， ∴CD，CB＝3，CD2+BC2＝BD2＝20， ∴△DCB是直角三角形，且∠DCB＝90°， ∵OA＝1，OC＝3， ∴，， ∵∠DCB＝∠AOC，， ∴△DCB∽△AOC． （3）存在．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴将该抛物线向右平移两个单位得到的抛物线为y＝﹣（x﹣3）2+4， 即y＝﹣x2+6x﹣5， 由得， ∴E（2，3）， 设点F的坐标为（1，m）， 如图2，四边形PBEF是矩形， 设PF交x轴于点K，抛物线平移后点A的对应点为L，则L（1，0）， ∴L在抛物线的对称轴直线x＝1上， 过点E、P分别作直线x＝1的垂线，垂足分别为点G、T，作EH⊥x轴于点H， 则G（1，3），H（2，0）， ∴EG＝LH＝BH＝1，EH＝3， ∵∠EGL＝∠GLK＝∠EHL＝90°， ∴四边形EGLH是矩形， ∴∠GEH＝∠FEB＝90°， ∴∠FEG＝∠BEH＝90°﹣∠FEH， ∵∠EGF＝∠EHB＝90°， ∴△FEG∽△BEH， ∴， ∴FGBH1， ∴m＝3， ∵PT∥x轴，PF∥BE， ∴∠FPT＝∠FKL＝∠EBH， ∵∠FTP＝∠EHB＝90°，PF＝BE， ∴△FPT≌△EBH（AAS）， ∴PT＝BH＝1，FT＝EH＝3， ∴xP＝1+1＝2，yP＝yT3， ∴P（2，）； 如图3，以BE的中点Q为圆心，以BE为直径作⊙Q交直线x＝1于点F、F′， 过点F作直径为FP，作四边形BPEF、四边形BP′EF′， ∵QP＝PF，PB＝PE， ∴四边形BPEF是平行四边形， ∵PF＝BE， ∴四边形BPEF是矩形，∵QF＝QB， ∴QF2＝QB2，∵Q（，）， ∴（m）2+（1）2＝（）2+（3）2，解得m1＝1，m2＝2， ∴F（1，1），F′（1，2）， ∵点P与点F（1，1）关于点Q（，）成中心对称， ∴P（4，1），同理可得P′（4，2）． 综上所述，点P的坐标为（2，）或（4，1）或（4，2）． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平移的性质、中心对称的性质、用待定系数法求函数解析式等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题． 23. 已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，﹣2），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x 的代数式表示）； （3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标． 【答案】（1）y=（x﹣1）2﹣2；（2）PE=﹣x2+x；（3）P点坐标为（﹣1，）或（1+，﹣1）． 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式.(2)先求出直线AB方程，再求出PE长.(3)利用相似的性质，列比例式，再代入，解方程，可求出P点坐标. 【详解】（1）设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2， ∵A（3，0）在抛物线上， ∴0=a（3﹣1）2﹣2 ∴a=， ∴y=（x﹣1）2﹣2， （2）抛物线与y轴交点B的坐标为（0，）， 设直线AB的解析式为y=kx+m， ∴, ∴, ∴直线AB的解析式为y=. ∵P为线段AB上的一个动点， ∴P点坐标为（x， x﹣.）．（0＜x＜3） 由题意可知PE∥y轴，∴E点坐标为（x，x2﹣x﹣）， ∵0＜x＜3， ∴PE=（.）﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+. （3）由题意可知D点横坐标为x=1，又D点在直线AB上， ∴D点坐标（1，﹣1）． 当∠EDP=90°时，△AOB∽△EDP， ∴. 过点D作DQ⊥PE于Q， ∴xQ=xP=x，yQ=﹣1， ∴△DQP∽△AOB∽△EDP， ∴, 又OA=3，OB=，AB=, 又DQ=x﹣1， ∴DP=（x﹣1）， ∴, 解得：x=﹣1±（负值舍去）． ∴P（﹣1，）（如图中的P1点）； ②当∠DEP=90°时，△AOB∽△DEP， ∴. 由（2）PE=﹣x2+.，DE=x﹣1， ∴ 解得：x=1±，（负值舍去）． ∴P（1+，﹣1）（如图中的P2点）； 综上所述，P点坐标为（﹣1，）或（1+，﹣1）． 【点睛】1.求二次函数的解析式 （1）已知二次函数过三个点，利用一般式，y＝ax2＋bx＋c（）.列方程组求二次函数解析式. (2)已知二次函数与x轴的两个交点(，利用双根式，y=（）求二次函数解析式,而且此时对称轴方程过交点的中点,. (3)已知二次函数的顶点坐标，利用顶点式,（）求二次函数解析式. （4）已知条件中a，b，c，给定了一个值，则需要列两个方程求解. (5)已知条件有对称轴，对称轴也可以作为一个方程；如果给定的两个点纵坐标相同(，则可以得到对称轴方程. 2.处理直角坐标系下，二次函数与一次函数图像问题：第一步要写出每个点的坐标（不能写出来的，可以用字母表示），写已知点坐标的过程中，经常要做坐标轴的垂线，第二步，利用特殊图形的性质和函数的性质，找出不同点间的关系.如果需要得到一次函数的解析式，依然利用待定系数法求解析式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $