精品解析：浙江杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2025－2026学年上学期九年级期末数学试卷 一．选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在直角坐标系中，已知抛物线，则顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米．则该自动扶梯的高度等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一．随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力．某城市博物馆今年6月份接待游客10万人，8月份接待游客增加到万人．设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x，则根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（ ） A. 米 B. 4米 C. 米 D. 5米 7. 如图，点A，点B，点C在上，连接，，，连接并延长交于点D．若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若是函数图像上的两点，且，则与的大小关系为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，平分．若，，则（ ） A. 5 B. C. 6 D. 10. 在平面直角坐标系中，点，在二次函数的图象上．若点是该函数图象与x轴的一个交点，且，则a可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. ______． 12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同．通过多次试验，发现摸出红球的频率稳定在左右，则可估计袋子里红球约有__________个． 13. 如图，在中，，若与四边形的面积之比是，则__________． 14. 将一个无底圆锥母线长为，展开得到面积为的扇形，则圆锥的高为__________． 15. 已知二次函数（为实数，），当时，随的增大而增大，则的取值范围是__________． 16. 如图，将菱形（）绕点A逆时针旋转得到菱形，使得点E落在边上，与相交于点H．设，则__________（用含a的代数式表示）． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． （1）以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． （2）点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 18. 一个不透明的盒子中装有4个白球、2个黄球、1个红球，这些球除颜色外无其他区别，方方从盒子中随机摸出1个球． （1）求方方摸到红球的概率． （2）在盒子中再放入n个除颜色外都相同的红球，若方方从盒子中随机摸出1个球，摸到黄球的概率为，求n的值． （3）在（2）的条件下，方方和圆圆利用这个盒子做游戏，规则如下：方方从盒子中随机摸出1个球，若摸到红球，则方方获胜；若摸到白球或黄球，则圆圆获胜．请判断这个游戏是否公平，请说明理由． 19. 如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 20. 如图，一块直角三角形铁皮，,现要从这块铁皮上剪出一个矩形，且满足点D，E，F分别在上． （1）设，请用含x的代数式表示矩形的面积S． （2）当剪出的矩形面积最大时，求的长以及矩形面积． 21. 如图1是一款可折叠学习台灯，图2是其截面结构示意图，已知底座AB放置在水平桌面上，支架厘米，支架底座，灯杆厘米，灯管厘米，灯杆可绕点D旋转，灯管可绕点E旋转（参考数据：，． （1）当，，求点F到桌面的距离（结果精确到厘米）． （2）当灯杆绕点D旋转时，保持，求点F到桌面的最大距离和此时的度数． 22. 如图1，用尺规作图画过圆上一点画圆的切线时，小明有以下作法：如图2，①连接，以点为圆心，为半径画弧交于点；②作射线，以点为圆心，为半径画弧，交射线于点；③连接，直线就是的切线． （1）请判断小明的作法是否正确？并说明理由． （2）在图2上，点在上，的半径为4，弧的度数为，连接，且满足． ①请在图2上标出点的大致位置，连接． ②直接写出的面积． 23. 若抛物线（a是常数，）经过点，． （1）求a与b之间的关系式． （2）若将此抛物线向上平移1个单位长度，该抛物线与x轴没有交点，求a的取值范围． （3）已知点，在抛物线上，满足．当对于任意的，满足时，都有．求证：． 24. 如图，是圆内接三角形，且是圆的直径，的角平分线交于点D，交于点E，过点E作交，于点F，点G． （1）求证：． （2）若的面积为15，，求． （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2025－2026学年上学期九年级期末数学试卷 一．选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，可设，再代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 2. 如图所示，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从几何体的正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的虚线． 故选：D． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键． 3. 在直角坐标系中，已知抛物线，则顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 抛物线顶点式为 ，对应顶点坐标为 . ∴ 抛物线的顶点坐标为. 4. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米．则该自动扶梯的高度等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是理解题意，掌握正弦的定义． 根据题意得，，即可得． 【详解】解：根据题意得，， （米）， 故选：A． 5. 在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一．随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力．某城市博物馆今年6月份接待游客10万人，8月份接待游客增加到万人．设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x，则根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x，今年6月份接待游客10万人，则今年7月份接待游客万人，今年8月份接待游客万人，根据8月份接待游客增加到万人列一元二次方程即可． 【详解】设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x， 今年6月份接待游客10万人，则今年7月份接待游客万人，今年8月份接待游客万人， ∴， 故选：D． 6. 如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（ ） A. 米 B. 4米 C. 米 D. 5米 【答案】A 【解析】 【分析】设拱门的圆心为O，连接，设拱门的半径为r，由垂径定理可得米，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱门的半径r． 【详解】解：如图，设拱门的圆心为O，连接， 设拱门的半径为r， 由题意可得：米，米，点O，D，C三点共线， 米， ， ， ， ． 7. 如图，点A，点B，点C在上，连接，，，连接并延长交于点D．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得出，再根据等腰三角形的性质和邻补角的定义求出，再根据三角形外角性质求出． 【详解】解：∵点A，点B，点C在上，， ∴，， ∵连接并延长交于点D，， ∴， ∴， ∵， ∴． 8. 若是函数图像上的两点，且，则与的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过作差法比较与的大小即可. 【详解】解：∵是函数图像上的两点， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴， 即． 9. 如图，在中，平分．若，，则（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到和，证明，求出，根据相似三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （舍去负值）． 10. 在平面直角坐标系中，点，在二次函数的图象上．若点是该函数图象与x轴的一个交点，且，则a可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把，代入，可求出，，则，分别求出，时，对应y的值，然后根据点是该函数图象与x轴的一个交点，且得出，最后解不等式组即可． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴， 消去c得，即， ∴， 把代入得， ∴， ∴， ∴二次函数可表示为：， 当时，， 当时，， ∵点是函数与x轴的交点，且， ∴， ∴或， 解得， 观察各选项，只有选项B符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直接根据记忆的三角函数值表求解即可，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值，， 故答案为：． 12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同．通过多次试验，发现摸出红球的频率稳定在左右，则可估计袋子里红球约有__________个． 【答案】8 【解析】 【详解】解：根据频率估计概率的知识，摸出红球的频率稳定在0.2， 因此摸出红球的概率为0.2， 则袋子中红球的个数约为． 13. 如图，在中，，若与四边形的面积之比是，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与四边形的面积之比得出与的面积之比，根据相似三角形的判定和性质得出，即可求解． 【详解】∵与四边形的面积之比是， ∴与的面积之比是， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 将一个无底圆锥母线长为，展开得到面积为的扇形，则圆锥的高为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用扇形面积公式求出扇形弧长，该弧长等于圆锥底面圆周长，据此求出底面圆半径，再利用勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】设展开后扇形的弧长为，已知圆锥母线长，扇形面积， 根据扇形面积公式，代入得： ， 解得． 扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为，则 ， 解得． 圆锥的母线，底面圆半径，圆锥的高构成直角三角形，根据勾股定理，圆锥的高为： ． 15. 已知二次函数（为实数，），当时，随的增大而增大，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数单调性结合题目条件推导得到的取值范围． 【详解】解：已知二次函数，， 根据二次函数对称轴公式，其中二次项系数为，一次项系数， ∴对称轴为：， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上，即，此时对称轴右侧，当时，随的增大而增大； ∴． 故答案为：． 16. 如图，将菱形（）绕点A逆时针旋转得到菱形，使得点E落在边上，与相交于点H．设，则__________（用含a的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】熟练掌握旋转的性质、菱形的性质、相似三角形性质和判定、余弦定义并灵活运用是解此题的关键． 分别延长交于点M，作于N．证明，推出，根据菱形性质证明，设，结合相似三角形性质推出，结合等腰三角形性质推出，再证明，利用相似三角形性质推出，进而得到，最后根据余弦定义求解，即可解题． 【详解】解：分别延长交于点M，作于N． 设菱形的边长为x， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ， ∴． 设， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． （1）以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． （2）点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）； 【解析】 【分析】（1）位似中心为点，根据位似比，连接，，，并反向延长一倍，在轴的左侧，即可求解； （2）根据题意求出点，的坐标，再根据位似比，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点的坐标为， ∴点， ∵按放大得到， ∴点的对应点的坐标为：；点的对应点的坐标为：． 故答案为：；． 18. 一个不透明的盒子中装有4个白球、2个黄球、1个红球，这些球除颜色外无其他区别，方方从盒子中随机摸出1个球． （1）求方方摸到红球的概率． （2）在盒子中再放入n个除颜色外都相同的红球，若方方从盒子中随机摸出1个球，摸到黄球的概率为，求n的值． （3）在（2）的条件下，方方和圆圆利用这个盒子做游戏，规则如下：方方从盒子中随机摸出1个球，若摸到红球，则方方获胜；若摸到白球或黄球，则圆圆获胜．请判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】（1） （2）n的值为3； （3）这个游戏对双方不公平． 理由：因为盒子中装有4个白球、2个黄球和4个红球， 所以方方获胜的概率是，圆圆获胜的概率是， 所以这个游戏对双方不公平． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）利用概率公式列方程求解即可； （3）根据概率公式分别求出方方获胜和圆圆获胜的概率，即可得解． 【小问1详解】 解：因为共有个球，其中有1红球， 所以方方摸出红球的概率是； 【小问2详解】 解：∵摸到黄球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴n的值为3； 【小问3详解】 略 19. 如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）9 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证得，即可得出结论； （2）首先，根据，得到，接着，由（1）得，，，得到，进而得，再由及已知数据即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为9． 20. 如图，一块直角三角形铁皮，,现要从这块铁皮上剪出一个矩形，且满足点D，E，F分别在上． （1）设，请用含x的代数式表示矩形的面积S． （2）当剪出的矩形面积最大时，求的长以及矩形面积． 【答案】（1）； （2）当，矩形的面积最大，矩形的最大面积是． 【解析】 【分析】熟练掌握二次函数的最值，勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及矩形的性质是解题的关键． （1）根据矩形性质，直角三角形性质，以及勾股定理求出，进而求出，再结合矩形的面积公式求解，即可解题； （2）根据二次函数的最值情况求解，即可解题． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 则， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ， ∴． ∴矩形的面积； 【小问2详解】 解：∵矩形的面积； ∴当时，矩形的面积最大，矩形的最大面积是． 21. 如图1是一款可折叠学习台灯，图2是其截面结构示意图，已知底座AB放置在水平桌面上，支架厘米，支架底座，灯杆厘米，灯管厘米，灯杆可绕点D旋转，灯管可绕点E旋转（参考数据：，． （1）当，，求点F到桌面的距离（结果精确到厘米）． （2）当灯杆绕点D旋转时，保持，求点F到桌面的最大距离和此时的度数． 【答案】（1）cm； （2）点F到桌面的最大距离是cm，此时的度数． 【解析】 【分析】（1）由题可知四边形是矩形，进而可知，根据锐角三角函数可知，的长度； （2）当F，D，C三点共线时，点F到桌面的距离最大，可知，即可求出． 【小问1详解】 延长交于点G，过点F作，M为垂足，过点D作，与，交于点N，H， ∵支架底座，厘米，灯杆厘米，灯管厘米，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴点F到桌面的距离是cm； 【小问2详解】 连接， 当F，D，C三点共线时，点F到桌面的距离最大， ∵，， ∴，根据勾股定理得， ∴当F，D，C三点共线时，，此时， 故点F到桌面的最大距离是cm， 此时的度数． 22. 如图1，用尺规作图画过圆上一点画圆的切线时，小明有以下作法：如图2，①连接，以点为圆心，为半径画弧交于点；②作射线，以点为圆心，为半径画弧，交射线于点；③连接，直线就是的切线． （1）请判断小明的作法是否正确？并说明理由． （2）在图2上，点在上，的半径为4，弧的度数为，连接，且满足． ①请在图2上标出点的大致位置，连接． ②直接写出的面积． 【答案】（1） 解：正确，理由：连接， 由作法可知， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）①如图， ② 【解析】 【分析】（1）先证明为等边三角形，得到，从而推出，可求出，即可证明； （2）①图见解析②由，得到，，可求得，延长交于，由，，推出，可得平分，即可求出，，，再证明是等边三角形，即可算出的面积为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长交于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积． 23. 若抛物线（a是常数，）经过点，． （1）求a与b之间的关系式． （2）若将此抛物线向上平移1个单位长度，该抛物线与x轴没有交点，求a的取值范围． （3）已知点，在抛物线上，满足．当对于任意的，满足时，都有．求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对于任意的，满足时，都有， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用抛物线与轴的两个交点求得对称轴即可求解； （2）由a与b的关系及经过，可得抛物线解析式为，再由抛物线向上平移1个单位长度，抛物线与x轴没有交点，可得即可求解； （3）由得，则可用表示出，，再代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线（a是常数，）经过点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 将代入得， ∴， ∴抛物线为， 将此抛物线向上平移1个单位长度可得， ∵抛物线与x轴无交点， ∴， ∴或， 解得或无解， ∴． 【小问3详解】 略 24. 如图，是圆内接三角形，且是圆的直径，的角平分线交于点D，交于点E，过点E作交，于点F，点G． （1）求证：． （2）若的面积为15，，求． （3）求证：． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）6 （3） 证明：如图2，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴点A，E，G，D四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得，再根据，易得，进而可证得； （2）首先，连接，根据，平分，，易得，进而得，再根据的面积为15，可得，进而得，然后，由，，得，进而得，解方程即可； （3）首先，连接，根据，得，再根据，得，然后，证得，得到点A，E，G，D四点共圆，进而得出，即，最后，根据等腰三角形的“三线合一”得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图1，连接， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为15， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）； 【小问3详解】 略 【点睛】根据题意证得，掌握相似三角形的性质、圆周角定理的运用及点A，E，G，D四点共圆的特征、等腰三角形的“三线合一”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $