专题06 期中真题易错百练通关（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材北师大版

命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 专题06期中真题易错百练通关 真题实战，百练通关 选填易错题 解答易错题 题型1 含零负指数计算比较大小问题 题型5幂的逆运算 题型2整式乘法中不含某项参数问题 题型6整式的乘法与几何图形 题型3点到直线的距离问题 题型7整式乘法中的新定义型问题 题型4几何概率问题 题型8“平行线的判定与性质 题型一含零负指数计算比较大小问题（共3小题） 1.(25-26八年级上湖南永州期中)若a=-22,b=(-2)2,c=(-2°，则（） A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.b<a<c 2.(25-26八年级上湖南郴州期中)若a=-22, e=( 则a,b,c的大小关系为(). A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b 3.(25-26八年级上·广西桂林期中)在0， (),(那，202四个数中，设大的数E) A.0 B. c.(-3 D.(-2025)° 题型二整式乘法中不含某项参数问题（共3小题） 4.(25-26八年级上湖南衡阳期中)若5x+2-5x(x2+ax)的结果中不含x4项，则a= 5.（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中)若(x+m)与7x-7)的乘积中不含x的一次项，则m的值为 6.(24-25八年级上重庆月考)要使(x2+ax+1(x-2)的结果中不含x2项，则a为 题型三点到直线的距离问题（共3小题） 7.(25-26七年级上·上海·期中)如图，直线AB、CD相交于点E,∠AED=130°，则直线AB、CD的夹 角是·若BM⊥CD于点M,MN⊥AB于点N,则线段的长度表示点E到直线MB的距离. 1/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 8.(24-25七年级下山东青岛期中)如图，在△ABC中，AB=9,BC=8,AE为BC边上的高，AE=7 ,P为AB上一动点，则PC的最小值为· B E C 9.(24-25七年级下.宁夏吴忠期中)如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D, AC=10,AB=6,BC=8,则点A到BC的距离为 ,点B到直线AC的距离为· D B 题型四几何概率问题（共3小题） 10.(25-26九年级上·江苏无锡·期中)如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.假设飞镖击 中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖 1次，飞镖击中阴影区域的概率是 11.(24-25九年级上江苏盐城期中)如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.若某人向如 图所示的游戏板投掷飞镖一次（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重新投掷一次），则击中阴影 区域的概率是 2/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12.(24-25七年级下·河南郑州期中)第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至14日在哈尔滨举行， 其会徽为“超越”.如图，是一幅印有哈尔滨亚冬会会微且长为2m,宽为1.5m的长方形宣传画，通过精确 测量计算，会徽图案面积约为0.8，如果现在一片雪花飘落在宣传画上，则雪花落在会徽图案上的概率 约为 HARBIN 2025 ASIAN WINTER GAMES 题型五幂的逆运算（共3小题） 13.(24-25七年级下·安徽滁州期中)已知：5=3,5=8,5=72. (1)求5-+c的值； (2)试说明2a+b=c. 425七年级下江西九江期中)已知a=5,。°)，求a产 (2)已知9"×27”=27，求(-22m+3m的值. 15.(24-25八年级上广西贵港期中)(1)己知2"=3,32”=5，m,n为正整数，求22m10m的值； (2)已知2,4=5,8°=7，求8+c-2b的值. 题型六整式的乘法与几何图形（共3小题） 16.(24-25七年级下·河北唐山期中).如图，小红用长为120cm,宽为30cm的宣纸书写了一副毛笔字 参加书法大赛，根据大赛要求需对作品进行装裱，装裱后作品的长上下各增加了aCm,宽左右各增加了 2acm. 3/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 acm 書寶 120cm acm 10c 2acm Tacm (1)装裱后的书法作品的长是 cm,宽为 cm(用含a的代数式表示)； (2)求装裱后的书法作品的面积是多少cm2(结果用含a多项式表示)； (3)若a=2cm计算装裱后的书法作品增加的面积. 17.(24-25七年级下·浙江金华期中)用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动.请解决以下问题： (1)若要拼成一个长为3x+2,宽为x+3的长方形，则需要A型纸片一张，B型纸片一张，C型纸片一张. (2)现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数 (3)现有A,B,C三种型号的纸片共8张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为 x+1,则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况） 18.(24-25七年级下·广东佛山期中)教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算， 学会了研究运算的方法.现定义了一种新运算“⑧”，对于任意有理数a,b,c,d规定 (a,b)⑧(c,d)=ad-bc.例如：(1,3)⑧(2,4)=1×4-2×3=-2. 请解答下列问题： S2 G S b a B 图1 图2 图3 (1)填空：(（-3,5)⑧(6,2)=- 41/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若(x+1,x+2)⑧(4，x+1)的代数式中不含x的一次项时，求的值； (3)如图1，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G,当四边形ABGF和四边形CDEG都为正 方形时，设正方形ABGF和正方形CDEG的边长分别为a,b,若BE=9,(a+1,b2+1)⑧(-1，a-1)=40, 求出阴影部分的面积. (4)如图2，小长方形长为Q,宽为b,用5张图2中的小长方形按照图3方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，其中AB=5,大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为S,右上 角长方形的面积为S2,当2S-3S2=5时，求(2a+b,b)⑧(-4b+3,2a-4b)的值. 题型七整式乘法中的新定义型问题（共3小题） 19.(24-25七年级下.甘肃兰州期中)定义：L(A)是多项式A化简后的项数，例如多项式A=x2+2x-3, 则(A)=3.一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C(即C=A×B),如果L(A)≤L(C)≤L(A)+1, 则称B是A的“好多项式”，如果L(A)=L(C),则称B是A的“极好多项式” (I)若A=x-2,B=x+3均是关于x的多项式，则B 选填“是”或“不是”)A的“好多项式”； (2)若A=x-2,B=x2+ax+4均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则a= (3)若A=x2-x+3m,B=x2+x+m均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值 20.(24-25七年级下·四川成都期中)定义：整式A乘以整式B,得到整式C,如果整式C的项数正好比 整式A的项数多1，那么我们称整式B是整式A的“相邻增项式”. (1)如果A=x-2,B=2x+5,判断B是否是A的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知A=x-3,B=x2+2x+n都是关于x的整式且m、n均为不等于0的有理数. ①当n=1时，如果B是A的“相邻增项式”，求m的值. ②设D=B(A+2),若关于x的整式D中不含x的二次项，是否存在的值，使得整式D是整式A的“相邻 增项式” 21.(25-26八年级上·北京期中)小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多 项式x2-2x+3,由于x2-2x+3=(x-1)+2,所以当x-1取任意一对互为相反数的数时，多项式 x2-2x+3的值是相等的，例如，当x-1=±1，即x=2或x=0时，x2-2x+3的值均为3；当x-1=±2， 即x=3或-1时，x2-2x+3的值均为6. 于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x一取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相 等，就称该多项式关于x=t对称.例如x2-2x+3关于x=1对称. 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： 5/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (1)多项式x2-6x+10关于x= 对称： (2)若关于x的多项式x2+2bx+3关于x=4对称，则b的值为 (3)整式x2+6x+9(x2+2x+1关于x= 对称. 题型八平行线的判定与性质（共3小题） 22.(24-25七年级下山东德州期中)在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB,CD和一块含 60°角的直角三角尺EFG(∠EFG=90°，∠EGF=60°)”为主题开展数学活动. 图(1) 图(2) 图(3) (1)如图(1)，若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠1的度数： (2)如图(2)，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与 ∠FGC间的数量关系； (3)如图(3)，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上.若 LAEG=a,LCFG=B,则LAEG与LCFG的数量关系是什么？用含a,的式子表示. 23.(24-25七年级下·广东广州·期中)灯光秀是广州珠江夜游的靓丽风景线，假定河两岸EF∥GH,桥 OA⊥EF,横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯.灯A射线从AF开始绕 点A顺时针旋转至AE立即回转，灯O射线从OG开始绕点O顺时针旋转至OH立即回转，两灯不停旋转 交叉照射.若灯A、灯O转动的速度分别是1度秒、3度/秒 E E 0 H G 图1 图2 A F E O H G O H 图3 备用图 (1)若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达O之前，两灯射出的光束交于点C 6/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①如图1，若LAC0=90°，则需要 秒： ②如图2，在射线AF线上取一点D,且∠ACD=k·∠AOC,则在转动过程中，是否存在实数k使得∠OCD 为定值？若存在，请求出实数k的值及∠OCD的度数；若不存在，请说明理由； (2)若灯A射线先转动30秒后，灯O射线才开始转动，在灯A射线第一次到达AE之前，求灯O射线转动 多少秒，两灯的光束互相平行. 24.(24-25七年级下，浙江杭州期中)如图1，小明将一个含30°的直角三角板P0M(其中∠M0P=90° ,∠OPM=30°)按图1所示放置，使得直角三角板的一边MO落在直线AB上，过顶点P作直线 EF∥AB.作直线CD∥MP,分别交直线AB,EF于点G,H. M (图1 (图2) (1)如图1，求∠CGB的度数为°； (2)如图2，将直角三角板P0M绕顶点M逆时针旋转，旋转角为B,且0°<阝<135°.在旋转过程中，直 线AB,CD位置保持不变，直线EF随着点P的运动位置发生变化， ①当点P在直线AB下方时，试猜想∠OPF和∠OMB的数量关系，并说明理由； ②当直角三角板的一边与直线CD平行时，直接写出旋转角B的度数. 2 考题猜想·高分必刷 一、单选题 1.(25-26七年级下·陕西咸阳·月考)若关于x的多项式x2+ax+2与2x-4的乘积中不含x2项，则乘积的 一次项系数为() A.0 B.-4 C. D.-2 7/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2.(24-25七年级下江苏苏州月考)将 3 ，(-3)°，（一2）这三个数按从小到大的顺序排列，正确的顺 序是() A. <(-3)°<(-2 B.2<-<) D.(-<-2 二、填空题 3.(24-25七年级下河北廊坊·月考)点P是直线AB外一点，A,B,C分别是直线上三点，己知PA=3 ,PB=2,PC=5,若点P到直线AB的距离记为m,则m的取值范围为 4.(2023九年级山东济南·专题练习)小华在如图所示的4×4正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖 均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等)，则飞镖落在阴影区域的概率是 三、解答题 5.(25-26八年级上福建漳州期末)为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为(a+4b)米， 宽为2a+3b)米的长方形地块进行规划改造.如图，学校准备在该地块内修一条宽为α米的小路，并计划 将阴影部分改造为种植区. a+4b 2a+3b (1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S;(请将结果化为最简) (2)若a=1,b=3,求出此时种植区的总面积S的值. 8/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(21-22七年级下江苏扬州周测)若am=a”(a>0且a≠1，m、n是正整数)，则m=n.利用上面结 论解决下面的问题： (1)如果2÷8.16=2，求x的值； (2)若x=5",y=4-25",用含x的代数式表示y. 7.(25-26八年级上·全国课后作业)定义：若A-B=1,则称A与B是关于1的单位数. (1)3与 是关于1的单位数，x-3与 (填一个含x的式子)是关于1的单位数： (②若4=3x(x+2)-(2x-,B=2x3x+3x-1, 2 判断A与B是否是关于1的单位数，并说明理由 8.(25-26七年级上江苏无锡期末)动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有 趣的结论。 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板ABC与三角板DEF如图1所示摆放，其中∠ACB=∠EDF=90°，∠BAC=30°，∠DEF=45°， GH∥MN,点A,B在直线GH上，点E,F在直线MN上. G B H G H G M M 图1 备用图 备用图 【操作一】小宁固定三角板ABC不动，小周将三角板DEF绕点E以每秒3°的速度逆时针旋转，设时间为 t秒，且0≤1≤60. (1)当DF与AB平行时，则t的值为 (2)当DF与AC平行时，求t的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板DEF绕点E以每秒3°的速度逆时针旋转，小 宁将三角板ABC绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且0≤1≤60，当DF与BC平行时， 则t的值为 9/9 专题06 期中真题易错百练通关 选填易错题 解答易错题 题型1 含零负指数计算比较大小问题 题型5 幂的逆运算 题型2 整式乘法中不含某项参数问题 题型6 整式的乘法与几何图形 题型3 点到直线的距离问题 题型7 整式乘法中的新定义型问题 题型4 几何概率问题 题型8 平行线的判定与性质 题型一 含零负指数计算比较大小问题（共3小题） 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘方，零次幂，负整数指数幂．分别计算a、b、c的值，a为负数，b和c为正数，再比较大小．即可作答． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：A 2．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方运算，负整数指数幂，零指数幂等知识，根据相关知识分别计算出，，，再比较大小，问题得解． 【详解】解：，，， ∴． 故选：B． 3．（25-26八年级上·广西桂林·期中）在0，，，四个数中，最大的数是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方计算；计算各数的值后比较大小，即可求解． 【详解】∵； ∵； ∵（任何非零数的0次幂等于1）； ∴四个数分别为、、、； ∵， ∴最大的数是，即选项B． 故选：B． 题型二 整式乘法中不含某项参数问题（共3小题） 4．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）若的结果中不含项，则________ 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0． 将表达式展开并合并同类项，令项的系数为零，求解的值． 【详解】解： ， ∵的结果中不含项， ∴， 解得：． 故答案为：1． 5．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为_____________ 【答案】1 【分析】本题考查多项式乘以多项式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过展开乘积后，令一次项系数为零，求解m的值． 【详解】解： ， 由于不含 的一次项， 则 ， 解得 ． 故答案为 ：1． 6．（24-25八年级上·重庆·月考）要使的结果中不含项，则为______. 【答案】 【分析】本题是对整式乘法的考查，熟练掌握多项式乘多项式是解决本题的关键． 先计算多项式乘多项式，再使项系数为即可． 【详解】解：原式， ∵不含项， ∴， 解得． 故答案为：． 题型三 点到直线的距离问题（共3小题） 7．（25-26七年级上·上海·期中）如图，直线、相交于点，，则直线、的夹角是____．若于点，于点，则线段______的长度表示点到直线的距离． 【答案】 /度 / 【分析】本题考查的是邻补角的含义，点到直线的距离，根据邻补角与点到直线的距离的含义可得答案． 【详解】解：直线、相交于点，，则直线、的夹角是： ， ∵于点， ∴线段的长度表示点到直线的距离． 故答案为：， 8．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短．过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：在中，，，为边上的高，，如图，过点作于点， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则点到的距离为_______，点到直线的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．根据垂直的定义以及点到直线的距离的定义，结合等面积法，即，求出的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴点到的距离为的长，即点到的距离为6 ∵， ∴点B到直线的距离为的长； ∵ ∴， ∴点B到直线的距离为； 故答案为：；． 题型四 几何概率问题（共3小题） 10．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影区域的概率是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，掌握击中黑色小正方形的概率等于黑色小正方形与正方形总面积之比是解题的关键． 直接用涂有黑色的小正方形个数除以小正方形的总个数即可解答． 【详解】解：∵大正方形等分为25个小正方形，其中涂有黑色的小正方形有9个，且每个小正方形被击中的概率相同， ∴任意投掷飞镖1次，击中黑色区域的概率是． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重新投掷一次），则击中阴影区域的概率是__________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是几何概率，解题关键是理解飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值． 根据几何概率的定义：飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值． 【详解】解：总面积为， 其中阴影部分的面积为， 飞镖停留在阴影部分的概率是． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·河南郑州·期中）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至14日在哈尔滨举行，其会徽为“超越”．如图，是一幅印有哈尔滨亚冬会会徽且长为，宽为的长方形宣传画，通过精确测量计算，会徽图案面积约为，如果现在一片雪花飘落在宣传画上，则雪花落在会徽图案上的概率约为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率的计算，由会徽图案的面积除以长方形的面积即可． 【详解】解：由题意可得：长方形的面积为， ∴会徽图案的面积为：， ∴雪花落在会徽图案上的概率约为， 故答案为：． 题型五 幂的逆运算（共3小题） 13．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)试说明． 【答案】(1)27 (2)见解析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法的逆用，幂的乘方逆用，掌握这些法则并灵活应用是关键； （1）逆用同底数幂的乘法与除法即可求解； （2）逆用同底数幂的乘法及幂的乘方，计算出，即可证明． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，， ， 所以． 14．（24-25七年级下·江西九江·期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）200；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法，逆用幂的乘方和同底数幂的除法法则是解题的关键． （1）逆用幂的乘方和同底数幂的除法法则可得，再整体代入求值即可； （2）逆用幂的乘方法则得到，再利用同底数幂的乘法得到，得出，再整体代入求值即可． 【详解】解：（1），， ； （2）， ， ． 15．（24-25八年级上·广西贵港·期中）（1）已知，，，为正整数，求的值； （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方， （1）逆向运用同底数幂的乘法法则以及利用幂的乘方运算法则计算即可； （2）逆向运用同底数幂的乘除法法则以及利用幂的乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）解：∵，，、为正整数， （2）∵， ； 题型六 整式的乘法与几何图形（共3小题） 16．（24-25七年级下·河北唐山·期中）．如图，小红用长为，宽为的宣纸书写了一副毛笔字参加书法大赛，根据大赛要求需对作品进行装裱，装裱后作品的长上下各增加了，宽左右各增加了． (1)装裱后的书法作品的长是________，宽为________（用含a的代数式表示）； (2)求装裱后的书法作品的面积是多少（结果用含a多项式表示）； (3)若计算装裱后的书法作品增加的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了整式乘法的应用． （1）根据题意即可求解； （2）根据长方形的面积公式求解即可； （3）先求得增加的面积为，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：装裱后的书法作品的长是，宽为， 故答案为：，； （2）解：装裱后的书法作品的面积： ； （3）解：原来的书法作品的面积：， 增加的面积：， 当， 原式． 17．（24-25七年级下·浙江金华·期中）用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题： (1)若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A型纸片 张，B型纸片 张，C型纸片 张． (2)现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数． (3)现有A，B，C三种型号的纸片共8张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况） 【答案】(1)要A型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张； (2)4 (3)方案1：A纸片1张，B纸片4张，纸片3张；方案2：A纸片2张，纸片4张，纸片2张；方案3：A纸片3张，纸片4张，纸片1张 【分析】本题考查的是多项式乘法与图形，掌握多项式乘法法则和正确理解题意是解题关键， （1）先求出长方形面积，根据面积即可确定结论； （2）根据完全平方公式确定即可； （3）设这边的邻边长为，根据面积可得出，根据正整数解即可解决． 【详解】（1）解：， 要A型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张； （2）解∶ 设型纸片有张， 则该正方形的面积可表示为， 解得； （3）解∶ 根据题意，这个长方形一边长为，设这边的邻边长为， 则长方形的面积为：， 则有张A纸片，张纸片，张纸片， ∵拼成这个长方形恰好用8张纸片， 所以，即， 因为和都是正整数， 则只有三组正整数解：，；，；，． 所以只有下列三种情形： 方案1：A纸片1张，纸片4张，纸片3张 方案2：A纸片2张，纸片4张，纸片2张 方案3：A纸片3张，纸片4张，纸片1张 ． 18．（24-25七年级下·广东佛山·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，规定．例如：． 请解答下列问题： (1)填空： = ； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为，，若，，求出阴影部分的面积． (4)如图2，小长方形长为，宽为，用张图中的小长方形按照图方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分，设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题通过新定义运算将代数运算与几何图形问题巧妙结合，既考查了对新定义的理解和运用能力，又综合考查了整式运算、方程求解以及图形面积计算等知识点，对综合运用能力要求较高． （1）直接根据新运算定义代入计算即可； （2）先根据新运算得出代数式，再通过合并同类项，根据一次项系数为求解； （3）利用新运算得到等式，结合已知线段长度，通过完全平方公式变形求阴影部分面积(即两个正方形面价和)； （4）先根据图形表示出、，结合已知等式得出 和关系，再代入新运算式子求值． 【详解】（1）解：根据新运算， 对于； 故答案为：． （2）， ∵代数式中不含x的一次项， ∴一次项系数， ∴解得； （3）， 可得：， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 阴影部分面积为两个三角形面积和； （4）∵， ∴，， ∵ ∴， 即， ∴ ． 题型七 整式乘法中的新定义型问题（共3小题） 19．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则_________选填“是”或“不是”）的“好多项式”； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则__________； (3)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）先计算出，则，，即可得到，由此即可得到结论； （2）先计算出，再根据题意得到，则，即可求出； （3）先求出当时，则，，此时B是A的“郡园志勤多项式”，符合题意；当时， 则，即可得到，则，综上所述，或． 【详解】（1）解：B是A的“好多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴B是A的“好多项式”； 故答案为：是． （2）解：∵，， ∴ ， ∵，B是A的“极好多项式”， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）解：∵，， ∴ ， 当时，则，，此时B是A的“极好多项式”，符合题意； 当时，， ∵B是A的“极好多项式”， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①当时，如果是的“相邻增项式”，求的值． ②设，若关于的整式中不含的二次项，是否存在的值，使得整式是整式的“相邻增项式” 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①或；②不存在，见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，多项式的项的概念理解，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． （1）根据多项式乘法算出，再根据“相邻增项式”的定义判断即可． （2）①当时，算出，根据是的“相邻增项式”，得出或，解答即可． ②根据，算出，根据关于的整式中不含的二次项，得出，求出，从而得出，算出，即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②不存在， ∵， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∴ 当，即时，，而，故不符合题意，舍； 当，即时，，而，故不符合题意，舍 综上所述， 故不存在． 21．（25-26八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于____________对称； (2)若关于的多项式关于对称，则的值为_________； (3)整式关于____________对称． 【答案】(1) 3 (2) (3) 【分析】本题主要考查多项式的配方以及根据新定义判断多项式的对称轴，解题的关键在于将多项式通过配方转化为完全平方式的形式，再根据定义确定对称轴． （1）首先对多项式进行配方，化成完全平方的形式，求解对称轴即可． （2）先对多项式进行配方，在根据多项式关于对称，求解的值即可． （3）先对整式中的两个多项式分别进行因式分解，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式关于对称 故答案为：3； （2）解：∵， ∴关于对称， ∵关于对称， ∴， ； 故答案为：； （3）解：， ， ∴原式， ∵当取相反数时，相等，故原式值相等， ∴关于对称． 故答案为：． 题型八 平行线的判定与性质（共3小题） 22．（24-25七年级下·山东德州·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动． (1)如图（1），若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数； (2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系； (3)如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上．若，则与的数量关系是什么？用含α，β的式子表示． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质求角度以及探究角度之间的关系，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由得到，再由平角的意义结合得到，再解方程即可； （2）过点F作，则，那么，，故； （3）由，则． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为，， 所以，解得． （2）解： 如图，过点F作． 因为， 所以， 所以，， 所以． 因为， 所以． （3）解：．理由如下： 因为， 所以， 即， 整理可得． 23．（24-25七年级下·广东广州·期中）灯光秀是广州珠江夜游的靓丽风景线，假定河两岸，桥，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯O转动的速度分别是1度/秒、3度/秒． (1)若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点 ①如图1，若，则需要______秒； ②如图2，在射线线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k使得为定值？若存在，请求出实数k的值及的度数；若不存在，请说明理由； (2)若灯A射线先转动30秒后，灯O射线才开始转动，在灯A射线第一次到达之前，求灯O射线转动多少秒，两灯的光束互相平行． 【答案】(1)①45；②， (2)15或秒 【分析】本题主要考查了角的计算以及平行线的性质，正确的用运动时间表示角的大小是本题解题的关键． （1）先计算t的取值范围， ①确定的次数，用t表示出和，根据两角互余求出t值即可； ②延长交于M，延长交于N，用t表示出和，用k和t表示出，根据与t无关，求出k值以及的度数； （2）先确定t的取值范围，确定开始开始运动时的位置，然后根据平行线的性质，依次判断当两射线平行时的t值． 【详解】（1）解：当灯O射线第一次到达时，秒， ， ①当灯O射线到达时，， 当，C在右侧，且只有一种情况， 运动过程中，，， ， ，， ，， ， 即， 解得：； 故答案为：45； ②延长交于N，如图： ，， ， ， ， ， 为定值， ， ，； （2）当开始运动时，， 设运动了a秒，灯A射线第一次到达时，， 设灯A射线为，灯O射线为， 当时，在右侧，如图： ， ， ， ， 即， 解得：； 当时，在左侧，如图： ， ， ， 即， 解得：； 当时，在左侧，如图， 同理可得，， 即， 解得：，不符合题意； 综上所述，灯O射线转动15或秒，两灯的光束互相平行． 24．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图1，小明将一个含的直角三角板（其中，）按图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上，过顶点作直线．作直线，分别交直线，于点，． (1)如图1，求的度数为_____°； (2)如图2，将直角三角板绕顶点逆时针旋转，旋转角为，且．在旋转过程中，直线，位置保持不变，直线随着点的运动位置发生变化． ①当点在直线下方时，试猜想和的数量关系，并说明理由； ②当直角三角板的一边与直线平行时，直接写出旋转角的度数． 【答案】(1) (2)①，证明见解析 ②或 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）直接利用平行线的性质即可求解； （2）①利用三角板可知，则，由平行性质得出，再利用平角即可求解； ②分情况讨论：当时；当时；当时；三种情况分别得出结论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①，理由如下： ∵直角三角板中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故； ②当时，如图所示， ∵， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， 由（2）①可知， ∴， 解得：， 即； 当时，如图所示， ∵， ∴， ∴； 当时，（舍）， 综上，或． 一、单选题 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）若关于x的多项式与的乘积中不含项，则乘积的一次项系数为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，然后根据不含二次项，得到关于待定字母的方程求解． 【详解】解：由题意得 ， ∵关于x的多项式与的乘积中不含项， ∴， 解得， ∴乘积的一次项系数为． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，计算出三个数的结果，再比较大小得到正确排序． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴. 二、填空题 3．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）点是直线外一点，，，分别是直线上三点，已知，，，若点到直线的距离记为，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握相关知识是解决问题的关键．利用点到直线的距离定义求解即可． 【详解】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， 点到直线的距离， 的取值范围为． 故答案为：． 4．（2023九年级·山东济南·专题练习）小华在如图所示的4×4正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是_______． 【答案】 【分析】根据阴影区域的面积正方形网格纸板的面积计算即可． 【详解】解：正方形网格纸板的面积为， 阴影区域的面积为， 则飞镖落在阴影区域的概率是． 三、解答题 5．（25-26八年级上·福建漳州·期末）为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积S的值． 【答案】(1)阴影部分的面积为平方米 (2)此时种植区的总面积S为130平方米 【分析】（1）把两个阴影长方形拼成一个长为米，宽为米的长方形，根据长方形面积公式列式，再进行多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）把，代入即可求解． 【详解】（1）解： ∴阴影部分的面积为平方米； （2）解：当，时， （平方米）． 答：此时种植区的总面积S为130平方米． 6．（21-22七年级下·江苏扬州·周测）若 (且，、是正整数)，则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将等式的左边化为，根据已知结论，即可求解； （2）根据，得出，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 【答案】(1)4或2；或 (2)A与B是关于1的单位数．理由见解析 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵或， ∴3与4或2是关于1的单位数； ∵，， ∴与或是关于1的单位数， 故答案为：4或2；或； （2）解： ； 故与是关于1的单位数． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【分析】操作一： （1）利用和推出，结合三角板的内角得，根据旋转性质得旋转角，再由平行线的内错角相等建立方程求解； （2）通过延长线段、作平行线构造平行关系，利用平行线的同位角、内错角相等，结合三角板的固定角度算出旋转角的度数，进而建立关于的方程求解； 操作二：分与反向平行、同向平行两种情况，先作平行线构造平行关系，结合旋转性质表示出相关角度，再利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出． 【详解】操作一： （1）解：∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴， 由旋转可知，绕点逆时针旋转的角度为，即． ∴， 解得； （2）解：如图，延长线段，交直线于点，过点作直线，使，过点作，由平行公理的推论可得． ∵， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵绕点逆时针旋转的角度为，即， ∴，解得． 操作二： 解：①如图，当时，与反向平行，过点作直线，交于点，延长，交于点，过点作，则． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， 又∵，， ∴， 解得； ②如图，当时，与同向平行，过点作直线，交于点，交于点，则． 同理，． ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $