专题05 期中真题压轴百练通关（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材北师大版

专题05 期中真题压轴百练通关 选填小压轴 解答压轴 题型1 乘法公式与几何图形问题 题型5 平方差与几何图形问题 题型2 零指数多解问题 题型6 完全平方公式与几何图形问题 题型3 平行线的判定和性质多结论问题 题型7 平行线中的拐点问题 题型4 利用平行线的性质求解多解问题 题型一 乘法公式与几何图形问题（共3小题） 1．（25-26七年级下·全国·期中）如图1，将一个底边为，高为的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是解决问题的关键． 根据图1和图2用代数式分别表示（1）（2）两部分的面积和，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论． 【详解】解：图1是由（1）（2）两部分拼成的底为，高为的平行四边形，因此面积为， 图2中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即， 因此有， 故选：D． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，将一个边长为的大正方形一边增加，另一边减少，根据图形的变化可以验证下列哪一个等式成立（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，根据题意可得变化后的长方形的长为，宽为可得． 【详解】解：根据题意得变化后的长方形的长为，宽为， 故：． 故选：C． 3．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出两个图形阴影部分的面积，进而根据两个图形阴影部分面积相等即可得出等式，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，第一个图形阴影部分的面积为，第二个图形阴影部分的面积为， ∵两个图形阴影部分面积相等， ∴等式为， 故选：D． 题型二 零指数多解问题（共3小题） 4．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，的值是_________． 【答案】或0或 【分析】题目主要考查有理数的乘方运算，方程成立需考虑三种情况：底数为1；指数为0且底数不为0；底数为且指数为偶数，即可求解． 【详解】解：当底数时， 解得，此时指数为，得到，等式成立； 当指数时， 解得，此时底数为，得到，等式成立； 当底数时， 解得，此时指数为，为偶数，得到，等式成立； 其他情况均不满足等式， 故答案为：或0或． 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，则的值为_______． 【答案】，， 【分析】本题考查零指数幂的性质，负整数指数幂，正确分类讨论是解题的关键．当成立时，利用的偶次幂等于1，1的任意次幂等于1，任意非零数的零次幂等于1，可知或或，进一步可求出x的值． 【详解】解：若，则或或， ∴或或， 当时，，满足等式， 当时，，满足等式， 当时，，满足等式， ∴可能是，，， 故答案为：，，． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·期中），则m的值为_______． 【答案】1或0或 【分析】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据1的任何次幂都是1，的偶次幂都是1，零指数幂的运算法则分别计算即可． 【详解】解：当，即时，，； 当，即时，，； 当，，即时，； 综上，的值为1或0或， 故答案为∶ 1或0或． 题型三 平行线的判定和性质多结论问题（共3小题） 7．（24-25七年级下·天津·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分 ．其中正确结论的是_________． 【答案】② 【分析】延长，交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答． 【详解】解：延长，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①错误；②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 可见，的值未必为，只要和为即可， 故③④不一定正确． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，下列四个结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是__________． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，根据，可得；据此可判断①；根据三角形内角和定理可得，再由平角的定义可得，则可得到，再根据，可得，据此可判断③；，过点E作，则，由平行线的性质可得，，则，即可得到，同理可得，则，据此可判断④；根据现有条件无法证明，据此可判断②． 【详解】解；∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②错误； 故答案为：①③④． 9．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，折线交于E，交于F，点C、D的落点分别是、,交于G，再将四边形沿FG折叠，点、的落点分别是、，交于H，下列四个结论： ①；②；③；④其中正确的结论是______（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是平行线性质的熟练掌握．根据平行线的性质得到，根据折叠性质得到，即可得到，故①正确；根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可求出，故②正确；先证明，根据折叠性质得，结合，得到当时，，故③错误；根据，即可得到，故④正确，符合题意． 【详解】解：∥， 根据折叠的性质得，， 故①正确，符合题意； ∥， ， 根据折叠的性质得，， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 根据折叠的性质得，， ， 当时，， 故③错误，不符合题意； ， 故④正确，符合题意； 故答案为：①②④． 题型四 利用平行线的性质求解多解问题（共3小题） 10．（24-25七年级下·山东威海·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，当且点E在直线的上方，当的度数为 _______________ 时，三角板的直角边与边平行． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，分两种情况：当时；当时，然后分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：分两种情况：当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴； 当时，如图： ∵， ∴； 综上所述：如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为或， 故答案为：或． 11．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与边重合，，接着如图2，三角板绕着点点C不动按逆时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒；三角板绕着点点C不动按顺时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒，且a、b满足，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中，旋转______秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 【答案】10或15或25 【分析】易得，，分别判断出，，时的度数，根据的度数，列出方程求得t的值即可．画出相关图形，得到三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行时的情形是解决本题的易错点． 【详解】解：， ，， 设旋转t秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行， ①，如图2： 由题意得：， ， ， ， 解得：； ②，如图3： 由题意得：， ， ， ， 解得：； ③，如图4， 作， ， ， ， ， ， ， 解得：； ④若继续旋转，，如图5，此时超过，这种情况不存在． 综上：t的值为10或15或 故答案为：10或15或 12．（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过_______秒边与三角板的一条直角边（边，）平行． 【答案】或或或 【分析】延长交于P点，根据平行线的性质可得，然后分四种情况解答即可． 【详解】解：如图，延长交于P点， ∵，， ， ， ， ①如图， 当时，， 此时D旋转的度数为，； ②如图 当时，， ， 此时D旋转的度数为，； ③如图 当时，， ， 此时D旋转的度数为，； ④如图 当时，， ， 此时D旋转的度数为，； 综上所述：经过15或60或105或150秒边与三角板的一条直角边（边，）平行． 故答案为：15或60或105或150 题型五 平方差与几何图形问题（共3小题） 13．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）综合与实践 【观察】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②的长方形. 【总结】 （1）请你分别表示出这两个图形中的阴影部分的面积： 图①：_______________； 图②：_______________； （2）比较两图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式：_________； 【应用】请应用这个公式计算：； 【拓展】计算的结果的个位数字为________. 【答案】总结：（1），；（2）；应用：；拓展： 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，平方差公式与几何图形，数字类规律探索，解题关键是掌握题意根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式求解． （1）根据图写出阴影部分的面积即可； （2）利用两个面积相等列式即可；利用探究中的公式计算即可；算式乘以，再利用探究中的公式计算即可． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即；图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，其面积为． 故答案为：，； （2）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式，， 故答案为：； [应用] [拓展] ∵，，，，，… 以2，4，8，6，四个为一个循环， ， ∴与的末位数相同，即为6． 故答案为：6． 14．（24-25七年级下·河北保定·期中）某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图9的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______；（填序号） (2)【应用】利用“平方差公式”计算： (3)【拓展】计算： 【答案】(1)①③ (2)16 (3) 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，利用平方差公式进行简算，熟练掌握平方差公式，是解题的关键： （1）用两种方法表示出阴影部分的面积，进行判断即可； （2）利用平方差公式进行简算即可； （3）先求出的值，再用原式除以，进行计算即可． 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分的面积，右图阴影部分的面积可以表示为，故图②不能验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 故答案为：①③ （2）解： ； （3）解：∵ ∴原式 ． 15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【方法回顾】在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次． 【方法应用】（1）在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1），沿虚线将阴影部分剪开拼成图2所示的长方形，由上述操作可以得到等式___________． （2）如图3是一张“”形的纸片，其面积为27，各边长度如图所示，则___________． 【方法迁移】（3）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图4是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式是___________．（等号两边需化为最简形式） ②已知，利用上面的知识，计算的值 【答案】（1）；（2）9；（3）①② 【分析】此题考查了完全平方公式的拓展应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识和数形结合思想． （1）分别根据两个正方形面积做差和直接求所拼接长方形面积两个方法进行列式、表示； （2）运用以上所归纳的等式进行求解； （3）①通过正方体体积的直接求解和所分割各部分的体积求和两个方式列式、求解； ②把代入上面公式进行计算、求解． 【详解】（1）由题意得，用大正方形面积剪去小正方形面积后的面积是， 沿虚线将阴影部分剪开拼成图2所示的长方形的面积为， ∴可得公式为：， 故答案为： ； （2）由题意得， 解得， ∴ 故答案为： 9 ； （3）①∵该正方体的体积可表示为，其被分成 8 部分的体积之和可表示为： ， ∴可得等式， 故答案为：； ②当时，将代入等式可得： ， 即， ， 解得． 题型六 完全平方公式与几何图形问题（共3小题） 16．（25-26八年级上·福建泉州·期中）（1）如图1，线段AB上有一点C，以AC、CB为直角边在上方分别作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形CBF，已知，，的面积为9，设，，求与的面积之和． （2）如图2，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两条边的交点分别为M、N．AB的延长线与FG交于点Q，CB的延长线与EF交于点P，已知，，阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为30，则正方形ABCD和EFGH的重叠部分的长方形BMHN的面积为多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查完全平方公式变形应用，掌握公式变形应用的方法，数形结合，是解决问题的关键． （1）根据等腰直角三角形和，得出，根据，得出，，利用公式变形得出，即可求解； （2）设，则，根据，得，结合题意知，利用公式变形得出，即可求解． 【详解】解：（1）∵等腰直角三角形和， ∴，， ∵， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴， ∴与的面积之和为： ． （2）设，，则，， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为30， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形BMHN的面积为：． 17．（25-26八年级上·福建厦门·期中）【阅读理解】 在学习《整式的乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． （1）根据上面的信息回答：若，，则的值为 ． 【知识延伸】 若x满足，求的值．我们可以作如下解答： 设，，则，， 所以． 请根据你对上述内容的理解，解答问题： （2）若x满足，求的值． 【拓展探索】 （3）如图2，将正方形叠放在正方形上，与相交于点E，与相交于点G，重叠部分是面积为32的长方形，延长线段，分别交，于点Q，P，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长． 【答案】（1）62 （2） （3）12 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，算术平方根的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据代入计算即可； （2）设，，由题意得，，由代入计算即可； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据代入计算即可． 【详解】解：（1），，而， ， 故答案为：62； （2）设，， 由题意得，， ， ， ； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 由题意知， ，即， 长方形的面积为32， ， ， ， 该正方形的边长为． 18．（25-26八年级上·福建泉州·期中）【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ， ． 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)若满足，则 ； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，点，是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和S． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握运用公式解题的关键． （1）设，，仿照示例解答即可； （2）设，， 仿照示例解答即可； （3）根据前面的方法解答即可． 【详解】（1）解：设，， 则， ． 即， 故答案为：15． （2）设，， 则， ， ， ； ； ； （3）由题意得：，， 设，， 则， 长方形的面积为300， ， ， 图中阴影部分的面积和 ． 答：图中阴影部分的面积和为． 题型七 平行线中的拐点问题（共3小题） 19．（24-25七年级下·江西抚州·期中）小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： （1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明； （2）如图2所示，已知，点E为、之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分，与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系______； 【答案】（1），证明见解析；（2）；【类比迁移】 【分析】（1）如图：过E作，结合，根据平行线的性质、角的和差以及等量代换即可解答； （2）如图：作，，利用平行线性质、三角形外角性质、角的平分线定义，解答即可． 类比迁移：如图：过E作，过G作，然后利用平行线的判定和性质，三角形外角性质解答即可． 【详解】解． （1）猜想：， 证明：过E点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图2，作，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵和的平分线相交于F， ∴，， ∴， ∴； 类比迁移： ．理由如下： 如图3，过E作，过G作， ∵， ∴， ∴，，， ∵平分与的平分线相交于点G， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、角的平分线等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 20．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）【感知】如图1，已知，，求的度数． 小马同学的思路是：过点P作，通过平行线的性质求．按照小马同学的思路，易求得______； 【迁移】如图2，点P是所在直线上方的一点，且，连接．若，求的度数； 【应用】如图3是一盏可以伸缩的台灯示意图，已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．求灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】感知：70；迁移：；应用： 【分析】本题考查了平行线的性质内容，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 迁移：根据平行线的性质得到，求出即可解答； 迁移：过点P作，得到，，由即可求解； 应用：过点C作，得到，从而求出，易证，推出，再根据，推出，由即可求解． 【详解】解：迁移：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 迁移：如图，过点P作，则， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； 应用：如图，过点C作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（24-25七年级下·广东梅州·期中）（1）如图1，点A是直线上一点，点C是直线上一点，点B是直线，之间的一点，，与平行吗？为什么？ （2）如图2，在（1）的条件下，作，与的平分线交于点F．若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件和结论下，若点P是上一点，Q是上一点，平分，，平分．有以下结论：①的值不变；②的度数不变．其中，有且只有一个是正确的，请你找出正确的结论并求其值． 【答案】（1），理由见解析（2）（3）正确的结论是②，值为． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，解题的关键是过拐点构造平行线： （1）过B作，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论； （2）过点作，过点作，设，，由平行线的性质可得，，再由，列方程求解即可； （3）根据两直线平行，内错角相等可得，然后根据，列式表示出，从而判定②正确． 【详解】解：（1）， 理由：过B作，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作，过点作， 设，， ，与的平分线交于点， ，，，， ，，， ， ，，，， ，， ， ， 解得：， ； （3）解：由（1）可知， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵点P是上一点， ∴， ∴； ∴的值随的变化而变化；的度数为不变． 一、单选题 1．（25-26七年级下·山东枣庄·月考）如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形先求出拼接后大正方形的边长和小正方形的边长，再由阴影部分的面积关系建立等式即可； 【详解】解：由图可知，拼接后大正方形的边长为，小正方形的边长为， 阴影部分的面积， 阴影部分的面积是4个小长方形的面积和， 阴影部分的面积， ． 2．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴；故④错误； 设，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 二、填空题 3．（24-25七年级下·广东揭阳·月考）若，则x的取值为________． 【答案】0或3 【分析】根据1的任何次幂都等于1，的偶次幂等于1，进行解答即可． 【详解】解：当，即时，，故符合题意； 当，即时，，故不符合题意； 当时，，，故符合题意， 综上，x的取值为0或3． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，分别交直线于点E，F，且，点P是位于直线之间且在直线左侧的一点，连接，作射线关于的对称射线，作射线关于的对称射线，若，则的度数为______________． 【答案】45°或135°/135°或45° 【分析】分、在左侧和右侧两种情况，过作，利用得，将转化为（设为），结合对称（对称射线与原射线夹角相等）、垂直、平行线同旁内角互补等性质，建立角度和差方程，求解（即）． 【详解】解： 关于的对称射线．作射线关于的对称射线， 当，，在左侧时： 过作， 因为， 所以，． 设，，由对称可知，． 因为， 所以； 因为， 所以． 所以， 设，交于点G， 所以， 所以， 因为 所以， 即， ， 所以即， 当．，在右侧时 过作， 因为， 所以． 设，，由对称可知，． 因为， 所以；同理，． 所以， 设，交于点G， 所以， 因为， 即， ， 所以即， 综上：或． 三、解答题 5．（25-26八年级上·江苏南通·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，将四个这样的长方形拼成如图2所示的“回”字形图其中四边形是正方形，中间的四边形也是正方形． (1)观察图2，直接写出，，之间的等量关系式：____________； (2)如果长方形的两条边，满足：，，求的值； (3)将两个正方形，如图3摆放，是边上任意一点，若两个正方形面积之和为34，，求图中阴影部分面积之和． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到，之间的等量关系式是解题的关键. （1）根据大正方形的面积等于个小长方形和小正方形面积之和，可得结论； （2）利用（1）中关系式计算可得结论； （3）设两个正方形，边长分别为，，先根据完全平方公式的变形求出，利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可. 【详解】（1）解：∵大正方形的面积等于个小长方形面积和小正方形面积之和， ， ； 故答案为：； （2）解：由（1）得， 又∵， ∴； （3）解： 设两个正方形，边长分别为，， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ． 6．（25-26七年级下·陕西榆林·开学考试）阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)130 (2)16 (3)28 【分析】（1）设，由已知条件得，根据即可求解； （2）设，结合已知可得，将两边分别平方，然后整体代换即可求解； （3）观察图形，根据线段的构成将，用含x的代数式表示出来，根据阴影部分的面积，根据（2）的方法计算即可． 【详解】（1）解：设，则 ， ∴． （2）解：设， 则 ， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． （3）解：∵正方形的边长为x，， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为28． 7．（25-26七年级下·吉林四平·月考）小明同学在完成七年级下册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，，则______； (2)如图②，已知，平分平分所在直线交于点． ①若，求的度数； ②将图②中的点移到点的右侧得到图③，其他条件不变，若，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质，得到，根据平行线的传递性，可得，从而可得，即得答案； （2）①过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案； ②设，，则由题意得，，过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点E作， ， ， ， ， ． （2）解：①过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； ②设，，则由题意得，， 过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ∵， ∴， 解得， ． 8．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，已知，，分别是直线，上一点，点在直线，之间． (1)如图1，探究，，之间的数量关系（有证明过程） (2)如图2，延长交于点，连接，恰有，若，的平分线与直线交于点，且，求的度数． (3)把一副标准三角板如图放置，三角板顶点和顶点重合，且、、、位于同一直线上，将三角板，三角板分别以每秒，每秒绕点和点顺时针旋转，三角板运动20秒后立即以原速返回，设运动时间为，当时求出值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）过点作直线，利用平行线的性质求解； （2）设，则可得，列方程求得，根据平行线的性质可得，再利用平行线的性质求得即可； （3）分类讨论，画出图形，利用平行线的性质，逐一列方程求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图，过点作直线， ， ， ， ． ， ； （2）解：设， 则， ， ， （对顶角相等）， ， 解得， ， ， ， ， 如图，过点作， ， ， ， ， ， 的平分线与直线交于点， ， ， ， （3）解：如图，过点作，过点作，过点作， 当时，延长交于点， 根据题意可得，， ， ， ， ， ， 可得， 解得； 当时，延长交于点， 此时，， ， ， ， ， ， 可得， 解得； 当时，延长交于点， 此时，， ， ， ， ， ， ， 可得， 解得； 综上，当时，或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05期中真题压轴百练通关 真题实战，百练通关 选填小压轴 解答压轴 题型1乘法公式与几何图形问题 题型5平方差与几何图形问题 题型2零指数多解问题 题型6完全平方公式与几何图形问题 题型3平行线的判定和性质多结论间题 题型7平行线中的拐点间题 题型4利用平行线的性质求解多解问题 题型一乘法公式与几何图形问题（共3小题） 1.(25-26七年级下.全国期中)如图1，将一个底边为a+b,高为a-b的平行四边形纸片，沿虚线剪开， 把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式(） Q b a-b (2) 1) ia-b (2) b a-b 图1 图2 A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.a2+b2=(a+b)(a-b) D.(a+b)(a-b)=a2-b2 2.(25-26八年级上·贵州遵义·期中)如图，将一个边长为m的大正方形一边增加bm,另一边减少bm, 根据图形的变化可以验证下列哪一个等式成立() A.a(a+b=a2+ab B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.(a-b)(a+b)=a2-b2 D.（a+b)=a2+2ab+b2 3.(25-26八年级上·云南昆明·期中)如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形a>b), 1/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是() a 6 a-l A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.(a-b)2=a2-b3 C.a2-ab=a(a-b) D.a2-b2=(a-b)(a+b) 题型二零指数多解问题（共3小题） 4.(25-26七年级上·上海杨浦·期中)己知(x+1)+6=1,x的值是 5.(24-25七年级下·浙江绍兴期中)己知(x+3)=1,则x的值为 6.(24-25七年级下江苏无锡期中)（2m+1)=1,则m的值为 题型三平行线的判定和性质多结论问题（共3小题） 7.(24-25七年级下·天津期中)如图，AB∥CD,F为AB上一点，FD∥EH,且FE平分∠AFG,过点 F作FG⊥EH于点G,且LAFG=2LD,则下列结论：①∠D=40°；②2LD+∠EHC=90°；③FD平分 ∠HFB;④FH平分∠GFD·其中正确结论的是 F B D 8.(24-25七年级下·湖北武汉·期中)如图，AG∥DF,将一副直角三角板作如下摆放，∠EDF=30°， ∠BAC=45°，下列四个结论：①AB∥EF;②LAED=60°；③LCAE=LAEF-135°；④若 ∠AED=∠GAE,则∠BAE=15°.其中正确的是 G 2/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.(23-24七年级下·湖北武汉·期中)如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，折线EF交AD于E,交BC 于F,点C、D的落点分别是C、D,ED'交BC于G,再将四边形C'D'GF沿FG折叠，点C、D的落点 分别是C"、D”,GD"交EF于H,下列四个结论： ①LGEF=LGFE;②2LEFC=∠EGC+180°；③LEGD"=2LEFG;④LEHG=3∠EFB.其中正确的结论 是 (填写序号) D D 题型四利用平行线的性质求解多解问题（共3小题） 10.(24-25七年级下山东威海·期中)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方 式叠放在一起，其中∠A=60°，∠D=30°，∠B=∠E=45°，当0<∠ACE<180°且点E在直线AC的上方， 当∠ACE的度数为 时，三角板BCE的直角边与边AD平行. 11.(24-25七年级下·安徽宿州期中)如图，两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与A'C'边重合， ∠BAC=45°，∠DAC=30°.接着如图2，三角板ABC绕着点C(点C不动)按逆时针（如图标示方向）旋转， 旋转速度为a°/秒；三角板ACD绕着点C(点C不动)按顺时针（如图标示方向）旋转，旋转速度为b°/秒， 且a、b满足(a-1)2+b-2=0,在旋转的过程中，∠ACA'逐渐增大，当∠ACA'第一次等于90时，停止 旋转，在此旋转过程中，旋转秒时，三角板ACD有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行. 3/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 12.(24-25七年级下·全国期中)如图，直线GH∥MN，一副三角板按如图1摆放，其中 ∠EDF=LACB=90°，∠E=45°，∠BAC=30°.保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒 2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且0≤1≤180，则经过 秒边BC与三角板的一条 直角边（边DE,DF)平行. B DP DP 图1 图2 题型五平方差与几何图形问题（共3小题） 13.(24-25七年级下，贵州黔东南期中)综合与实践 【观察】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b(b<a)的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开， 拼成如图②的长方形 b a b 图1 图2 【总结】 (1)请你分别表示出这两个图形中的阴影部分的面积： 图①： ； 图②： (2)比较两图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式： 4/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【应用】请应用这个公式计算：(2a+b-c(2a-b+c); 【拓展】计算(2+1)×22+1)×2+1×2+1×.…×22+1)+1的结果的个位数字为 14.(24-25七年级下…河北保定期中)某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图9的四种图 形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”： b 图1 图2 图3 图4 (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 (填序号) (2)【应用】利用平方差公式”计算：20262-2022×2030 (3)【拓展】计算： ++++)+ 15.(24-25七年级下·辽宁沈阳·期中)【方法回顾】在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表 示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正 方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”.它的基本思想是：将同一个量从两个 不同角度计算两次。 【方法应用】(1)在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b<a)的小正方形（如图1），沿虚线将 阴影部分剪开拼成图2所示的长方形，由上述操作可以得到等式 (2)如图3是一张“L”形的纸片，其面积为27，各边长度如图所示，则m+n= m a m 图1 图2 图3 【方法迁移】(3)通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式.如图4是棱长为 5/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (a+b)的正方体，被如图所示的分割线分成8块. ①用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式是 (等号两边需化 为最简形式) ②已知3m-n=4,mn=2,利用上面的知识，计算27m3-n的值 b a 图4 题型六完全平方公式与几何图形问题（共3小题） 16.(25-26八年级上福建泉州期中)(1)如图1，线段AB上有一点C,以AC、CB为直角边在上方分 别作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形CBF,己知，EF=2,△ACF的面积为9，设AC=a, BC=b,求△ACE与CBF的面积之和. A D E E M H P B B Q G 图1 图2 (2)如图2，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两条边的交点分别为M、N.AB的延长线与FG交 于点O,CB的延长线与EF交于点P,已知AM=5,CN=2,阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的 面积之和为3O,则正方形ABCD和EFGH的重叠部分的长方形BMHN的面积为多少？ 17.(25-26八年级上·福建厦门期中)【阅读理解】 在学习《整式的乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经 历了“以数解形以形助数”的思想方法一数形结合.某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式 (a+b)2=a2+2ab+b2变形成a2+b2=(a+b)2-2ab,然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公 式：a2+b2=(a+b)2-2ab. (1)根据上面的信息回答：若a+b=10,ab=19,则a2+b2的值为_， 【知识延伸】 6/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若x满足10-x)川x-30)=20,求10-x)2+(x-30)的值.我们可以作如下解答： 设a=10-x,b=x-30,则(10-x)(x-30)=ab=20,a+b=(10-x+x-30)=-20, 所以(10-x)2+(x-30)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=(-20)2-2×20=360. 请根据你对上述内容的理解，解答问题： (2)若x满足(x-2025)2+(2026-x)2=21,求(x-2025(2026-x的值. 【拓展探索】 (3)如图2，将正方形ABCD叠放在正方形HMFN上，AB与MF相交于点E,AD与NF相交于点G,重 叠部分是面积为32的长方形AEFG,延长线段DA,BA分别交MH,HN于点Q,P,若四边形OMEA和 四边形PAGN都是正方形，GD=2,EB=6,求正方形HMFN的边长. b D M 图1 图2 18.(25-26八年级上·福建泉州期中)【阅读理解】 若x满足(30-x(x-10=90,求(30-x)2+(x-102的值. 解：设30-x=a,x-10=b, 则a*b=(30-x)(x-10)=90,a+b=(30-x+x-10)=20, a2+b2=(a+b)2-2ab=202-2×90=220, .(30-x)2+(x-10)2=a2+b2=220. 我们把这种方法叫做换元法.利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想. 【解决问题】 (1)若x满足100-x)(x-95)=5,则(100-x)2+(x-95)=-: (2)若x满足(2025-2x)2+4x-10002=500,求(2025-2x)(x-1000)的值； (3)如图，在长方形ABCD中，AB=26cm,点E,F是边BC,CD上的点，EC=10cm,且 BE=DF=xcm,分别以FC,CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN,若长方形BCFQ的 7/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 面积为300cm2,求图中阴影部分的面积和S. G E B 题型七平行线中的拐点问题（共3小题） 19.(24-25七年级下江西抚州期中)小颗同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： (1)如图1所示，己知AB∥CD,点E为AB,CD之间一点，连接BE,DE得到∠BED.请猜想 ∠BED与∠B,∠D之间的数量关系，并证明； (2)如图2所示，己知AB∥CD,点E为AB、CD之间一点，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F, 若∠E=80°，求∠F的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，己知：AB∥CD,点E的位置 移到AB上方，点F在EB延长线上，且BG平分∠ABF,与∠CDE的平分线DG相交于点G,请直接写出 ∠G与∠E之间的数量关系 1 图☒3 20.(24-25七年级下陕西汉中·期中)【感知】如图1，已知AB∥CD,∠PAB=150°，∠PCD=140°，求 ∠APC的度数. B_.E 图1 图2 图3 小马同学的思路是：过点P作PM∥AB,通过平行线的性质求.按照小马同学的思路，易求得∠APC= 0 【迁移】如图2，点P是AB,CD所在直线上方的一点，且AB∥CD,连接PA,PC.若 ∠A=155°，LC=125°，求∠APC的度数： 【应用】如图3是一盏可以伸缩的台灯示意图，己知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行时可达到最 8/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 佳照明角度，此时支架CD与水平线MW的夹角∠CDM=63°，两支架BC和CD的夹角∠BCD=108°.求 灯头AB与水平线的夹角∠ABE的度数. 21.(24-25七年级下广东梅州期中)(1)如图1，点A是直线HD上一点，点C是直线GE上一点，点 B是直线HD,GE之间的一点，∠DAB+LABC+LBCE=360°，AD与CE平行吗？为什么？ (2)如图2，在(1)的条件下，作LBCF=LBCG,CF与∠BAH的平分线交于点F.若2LB-LF=90°， 求∠BAH的度数； (3)如图3，在(2)的条件和结论下，若点P是AB上一点，Q是GE上一点，QR平分∠PQG, PM∥QR,PN平分∠APQ.有以下结论：①∠APQ+∠NPM的值不变；②∠NPM的度数不变.其中，有 且只有一个是正确的，请你找出正确的结论并求其值 DH DH B B 图1 图2 图3 2 考题猜想·高分必刷 一、单选题 1,(25-26七年级下山东枣庄月考)如图将4个长、宽分别均为a,b的长方形，摆成了一个大的正方形， 利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是() a A.a2+2ab+b2=(a+b)2 B.a2-2ab+b2=(a-b)2 C.4ab=(a+b)2-(a-b)2 D.（a+b)(a-b=a2-b2 2.(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，已知EF∥GH,A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两 点，延长AM至点C,AB平分∠DAC,点N在直线DB上，且BN平分∠FBC,若∠ACB=II0°.则下列 9/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 结论： ①∠MAB=∠BAD; ②LABM=∠BAM;③LNBC=LBDH:④设LCBM=a,则∠BAD=55°- ;⑤∠DBA=55° 其中，正确的有() E M H A D A.①②③ B.①②③④ C.①②③⑤ D.②③④⑤ 二、填空题 3.（24-25七年级下·广东揭阳·月考)若(x-2)'=1,则x的取值为 4.(25-26七年级下·全国课后作业)如图，AB∥CD,EF分别交直线AB,CD于点E,F,且 60°<∠AEF<90°，点P是位于直线AB,CD之间且在直线EF左侧的一点，连接EP,FP,作射线EA关于 EP的对称射线EA,作射线FC关于FP的对称射线FC',若EA'⊥FC',则∠EPF的度数为 E B D 三、解答题 5.(25-26八年级上·江苏南通·期末)图1是一个长为Q,宽为b的长方形，将四个这样的长方形拼成如 图2所示的“回”字形图其中四边形ABCD是正方形，中间的四边形EFGH也是正方形. B G H b D (E) F D 图1 图2 图3 10/12