专题01 整式的乘除（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材北师大版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01整式的乘除 题型归纳·内容导航 题型1整式运算之选择题（常考点） 题型6整式乘法中的不含某项的参数问题 题型2科学记数法（常考点） 题型7整式乘法与几何图形面积问题（重点） 题型3幂的运算与逆运算 题型8多项式乘多项式规律探究问题（难点） 题型4零指数幂、负整数指数幂的计算（重点） 题型9整式乘除中的新定义型问题（难点） 题型5整式的化简求值（常考点） 题型通关·靶向提分 题型一整式运算之选择题（共5小题） 1.(24-25八年级下·云南红河期中)下列计算正确的是() A.a8÷a4=a2 B.a2.a=a C.(-2a)3=-8a3 D.8a÷2a=4a 2.(25-26八年级上·重庆期中)下列计算正确的是() A.4a2.a3=4a6B.(b3）=b7 C.a'b+(a'b)=b D.(2a2=6a 3.(25-26八年级上四川广安期中)下列计算正确的是() A.-ab÷a2b=-a2b B.2m3.3m2=6m3 C.(a+b2=a2+b2 D.（-a+b)(a+b=a2-b2 4.(25-26八年级上四川宜宾期中)下列计算中，结果正确的是() A.x2+2x2=3x B.2x3÷x=2x2 C.x2.x4=x8 D.3x·5x=15x 5.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中)下列运算结果正确的是() A.6x6÷3x3=2x2 B.8x÷2x4=4x C.(3xy)÷3.x=y D.x2y2÷xy)2=y 题型二科学记数法（共5小题） 1/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(25-26八年级上湖南郴州期中)在物理学中，分子的直径通常很小，某分子的直径约为 0.000000203m,用科学记数法表示正确的是() A.2.03x10-6B.2.03x10- C.2.03×109 D.2.03×10 7.(25-26八年级上·贵州铜仁期中)在空军红剑演习中，歼-20战斗机凭借隐身优势，在0.0000425秒内 锁定并“击落”一架四代机.数据“0.0000425”可表示为4.25×10"的形式，下列各数中，n的值可能是（) A.5 B.-5 C.-6 D.-4 8.(25-26八年级上·重庆·期中)我国一款手机的芯片采用了先进的8nm制造工艺，己知 8nm=0.000000008m,将0.000000008用科学记数法表示为 9.(25-26八年级上重庆·期中)祖国主权，寸土不让.钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成， 其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.00086平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为平方公 里 10.(25-26七年级下·全国·期中)古语有云：“水滴石穿.”如果水珠不断滴在一块石头上，经过若干年， 石头上形成了一个深为0.0000046cm的小洞，数0.0000046用科学记数法表示为 题型三幂的运算与逆运算（共5小题） 11.(24-25七年级上上海期中)计算：（-2a)°+(-3a)2-(-a)a2 12.(24-25七年级下陕西汉中期中)计算：a2aa+(-3a)2-(a2）°. 13.(24-25七年级下·安微毫州期中)按要求计算下面各题： (1)已知3a+2b=6,求8.4的值； (2)已知n为正整数，且x2”=2,求(3x")-4(x2)2“的值. 14.(24-25七年级下·陕西咸阳·期中)已知9=4,3=2,3=24. (1)求2x+y-z的值； (2)求162×16÷42的值. 15.(24-25八年级上湖南长沙.期中)己知5m=4,5”=6,25P=9. (1)求5m+"的值； (2)求5m-2P的值； (3)写出m,n,P之间的数量关系，并说明理由 2/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型四零指数幂、负整数指数幂的计算（共5小题） 16.(24-25七年级下陕西咸阳期中)计算： --3+17°. 17.(25-26七年级上广东广州期中)计算：（-2)+(-4)×-2)+2025°--2 182425七年级下谈两威E期)计第：(314-5-周-2明。 19.(24-25七年级下江西九江期中)计算： a-- (2)4a3.a-（-3a2}2+-a22. 20.(24-25七年级下.四川成都.期中)计算： (0)aa3+(-2a2）'+a÷a2; 2 22 -(π-3)°+-21+(-10203. 题型五整式的化简求值（共5小题） 21.(24-25八年级上广东江门期中)化简求值：(2y)+(x+2y)(x-y)-x3÷x3,其中x=-1,y=2 2.(25-26八年级上辽宁盘锦期申)先化简，再求雀：[x-2-x+3x-3列]÷2兆中x=1y=号 23.(25-26八年级上四川内江期中)先化简后求值： [x+32-(x+x-列2y,共申x=专 y=-2 24.(24-25八年级上·吉林长春期中)先化简，再求值. 0a-2as-6-a+a-创，我a=b=-1. Qa+a-创+(a+b-2a,其中a=-3.b-号 25.(25-26八年级上河北石家庄期中)先化简，再求值： 02+2-列+x-0x+列，英申x 2)[(x-2y(x+2y)-(x-y)2]÷(-2y),已知y满足(x-22+p-3到=0. 3/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型六整式乘法中的不含某项的参数问题（共5小题） 26.(25-26七年级上·上海青浦·期中)已知多项式ax-b与2x2-x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且 常数项为-4，试求的值 27.(25-26八年级上四川内江期中)已知x2+x-3)(2x+n)的展开式中不含x的一次项，且常数项是 -6,求m2+n2的值. 28.（24-25七年级下四川成都期中)关于x的整式(mx-2)(2x+1)+x2+n化简后不含x2的项和常数项. (1)分别求m、的值； (2)求m2025n226的值. 29.(24-25七年级下·安微合肥期中)己知(mx-3)(-x+n)的展开式中不含x的一次项，且常数项是-3. (1)求m,n的值； (2)先化简(m+n)m2-mn+n2）,再根据(1)中的结果求值. 30.(2425七年级下贵州铜仁期中)我们在学习多项式乘以多项式时，我们知道2+42x+5列(3x-6) 的结果是一个多项式，并且最高次项为：2x·2x3x=3,常数项为4×5×-6)=-120.那么一次项是什么 呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数.通过观察，我们发现：一次项的系数就是 5-6到+2x4-6+3x45=3,即-放项为- 请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)计算(x+1(3x+2)(5x-3)求所得多项式的一次项系数： (2)如果计算(x+5)(-2x+a)(3x-3)所得多项式中不含一次项，求常数a的值. 题型七整式乘法与几何图形面积问题（共5小题） 31.(25-26八年级上·吉林松原·期中)如图所示的是人民公园的一块长为2m+n)米，宽为m+3n)米的长 方形空地.工作人员计划在空地上建造一个网红打卡观景台，如图中阴影部分所示. 4/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 m-n m+3n n m-n n 2m+n (1)根据图中标注的数据，请用含m、n的代数式表示观景台的面积（结果化为最简）； (②)己知修建观景台每平方米的费用为100元.若m=10,”=3,求修建观景台的费用为多少元？ 32.(25-26七年级上福建三明·期中)如图1是一个燕尾槽榫端接，图2是它的一个截面图，是在一个长 方形上方正中间挖去一个等腰梯形.如果该长方形长为a,宽为b,测得梯形的下底为4，上底为，腰 K为长方形宽的；，梯形的高为长方形宽的号 燕尾槽榫端接 0 图1 图2 (1)求截面图的周长（用含Q,b的代数式表示）； ②为了保证燕尾槽样端接的强度，必须保证挖掉的梯形面积不得超过长方形面积的。，请问截面为图2的 工件是否符合要求？并说明理由 33.(25-26八年级上·辽宁抚顺期中)“93”阅兵仪式以点线面铸就钢铁洪流，是展现国家力量的绝对证明. 在阅兵仪式的观礼区内，有一块长为7x+2y)米，宽为x+y米的长方形座位区.为方便特殊观礼群体， 工作人员在这块长方形座位区中划出了两块边长均为y米的正方形区域作为专属观礼区，剩余的“T形区域 (阴影部分)为普通观礼区， 普通观礼区 7x y- (1)用含x,y的式子表示普通观礼区的面积； (2)当x=20,y=30时，请计算普通观礼区的面积， 34.（25-26八年级上·陕西榆林期中)如图，某校园内有一块长为(3a+2b)m,宽为(2a+b)m的长方形活 动场地，计划在场地中间开辟一个长为(2a-b)m,宽为bm的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部 分将铺设塑胶跑道供学生活动. 5/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 个b2a+b l 2a-b 3a+2b (1)长方形舞台的占地面积是 m2; (②)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (3)若a=4,b=3,铺设塑胶跑道的价格为110元/m2,则铺设塑胶跑道共需多少元？ 35.(25-26七年级上·全国期中)有7个如图1的边长分别为，b的小长方形，拼成如图2的大长方形. a 图1 图2 图3 (I)观察图2，请你写出a,b满足的等量关系（用含a的代数式表示b): (2)将7个图1所示的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图3所示（小长方形都呈水平或竖直摆放）， 图中的阴影部分分别记为I,Ⅱ，Ⅲ： ①记阴影部分I,Ⅱ的周长分别为m,m,试求的值： ②若a=3,求阴影部分I,Ⅱ，Ⅲ的面积之和. 题型八多项式乘多项式规律探究问题（共5小题） 36.(25-26八年级上·福建厦门·期中)阅读下列材料： 黄老师在黑板上写了三个算式：38×32=1216,53×57=3021,75×75=5625，俊宇同学接着又写了两个具 有同样规律的算式：26×24=624,89×81=7209. (1)请你再写出两个具有上述规律，但数字不完全相同的算式： (②)用符号表示上述算式反映的规律，并用所学知识证明这个规律的正确性. 37.(25-26八年级上辽宁营口·期中)探究应用 (1)计算：(a-2)(a2+2a+4)= (2)(2x-y)4x2+2xy+y2）=· 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式 (请用含a、b的字母表示)· (4)直接用公式计算： ①(3x-2y)(9x2+6xy+4y2）= ②(2m-3)(4m2++9= 38.(25-26七年级上·安徽合肥期中)南宋时期，钱塘数学家杨辉在他不朽的著作《详解九章算法》中， 系统记载了一张神奇的三角数表一杨辉三角（如图所示）·它不仅凝结了古人的数学智慧，更揭示了二 项式乘方(a+b)”(n为非负整数)展开式的深邃规律.这个三角形的每个数，都等于其上方两数之和，其 构造之美、规律之奇，令人叹为观止.现在，就让我们穿越千年，一同探寻这古老数表中的奥秘，解决以 下问题： ......(a+b)=a+b .(a+b)2=a2+2ab+b2 .(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 .(a+b)4=+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 此图揭示了(a+b)”(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律， 由此规律可解决如下问题： (①)请在图中括号内的数为 (2)(a+b2展开式共有 项，第19项系数为 (3)利用上面的规律计算：35-5×34+10×33-10×32+5×3-1. 39.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中)观察下列式子的因式分解的做法： ①x2-1=(x+1x-1 ②x3-1=(x-1x2+x+1 ③x4-1=, ④x3-1=(x-1x4+x3+x2+x+1 Bx”-1=(x-1)x+x-2+.+x2+x+(n为正整数，且n>1) (1)观察以上结果，直接写出x-1=· 7/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)根据以上结论，则25+24+23+22+2+1= (3)根据以上结论，求a7+a5+a+a4+a3+a2+a+1(a为常数)的值. 40.(24-25七年级下江苏泰州期中)小华同学在计算2x+3)(x-2)=2x2-4x+3x-6=2x2-x-6后，爱 思考的他发现：2×-2)+1×3=-1是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的.为了验 证这个发现，又计算，（x+2)(x-2)(3x+4)=x2-4)(3x+4=3x3+4x2-12x-16,x项的系数为-12；用他 发现的方法计算：1×-2)×4+1×2×4+3×2×(-2)=-12，结果还是一样的.请你认真领会小华同学的方法， 并用他的方法解决下面问题 (1)①2x+3)(7x-1中x项的系数是_ ②若2x+1）205=a,x2025+a,t204+a,x2023+…+a2025x+a2026,其中a22s=- (2)若(x-1(2x-3)(4x+p的积中不含x项，求p的值. (3)拓展应用：某超市计划购进A,B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案.这 两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每 箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水 有a箱，超市获得的利润为w元，用含a,m的式子表示w,并求m的值. 题型九整式乘除中的新定义型问题（共5小题） 41.(25-26八年级上·山西晋城期中)定义：如果一个整数能表示成两个连续正整数的积，那么称这个整 数为邻积数”.根据“邻积数”的定义，“邻积数”可以表示为n(n+1)（n≥1，且n为整数)，例如，2=1×2， 6=2×3,12=3×4,则2,6,12都是“邻积数”. 任务：根据上述材料，推理下面的结论 求证： 8/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)任意“邻积数”乘4，再加1是两数和的平方。 (②)连续两个“邻积数”的和是两数和的平方的2倍。 42.（24-25七年级下，安微安庆期中)规定两数a,b之间的一种运算，记作(a,b),如果a°=b.我们叫 (a,b)为“雅对”. 例：因为23=8，所以(2,8)=3.我们还可以利用雅对”定义说明等式(3,2)+(3,5)=3,10)成立.证明如下： 设(3,2)=m,(3,5)=n,则3"=2,3”=5，故3m.3”=3m+"=2×5=10,则(3,10)=m+n,即 (3,2+(3,5=(3,10. 0)根据上述规定，填空：(2,16)=-；(5,1)=-； (2)计算(6,3+(6,12)=-，并说明理由. (3)利用“雅对”定义证明：(3”，2”)=(3,2)，对于任意自然数n都成立. 43.(25-26八年级上湖北十堰期中)定 ab=ad-bc,知54 12 c d =1×4-2×3=-2.已知 2x+11 A= (n为常数)，B= x+2 x x-12x x x-1 (1)若B=4,求x的值 (2)若A的代数式中不含x的一次项，求的值 (3)若A的n满足2×2+1=22，且A=2+B的值，求8x2+2x的值 44.(24-25七年级下北京房山期中)定义：如果ad=b,那么c为a,b的甜幂指数”，记为。b:例如 32=9,那么2为3.9的“甜幂指数”，记为39·根据定义回答以下问题： ()若16，则m=;若元9，则n=; ②已知ai6,a4a,m,x,,z为正整数，且+y=8,求m的值： (③)已知当x,y为正整数，且a>0时，g-步成立，且满足 ax -(=a,若aab6a,m,n为 正整数，且a>0,b>0时，求mm的值. m+n 45.(25-26八年级上山西临汾期中)定义：一个多项式A乘另一个多项式B,化简得到新的多项式C.若 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C的项数比A多不超过1项，则称B是A的“友好多项式”.特别地，当C的项数和A相同时，则称B是A的 特别友好多项式”. (①)若A=x-2,B=x+3,则B是不是A的“友好多项式”？请说明理由， (2)若A=x-2,B是A的特别友好多项式”. ①请写出一个符合条件的二项式：B= ②若B是三项式，请写出一个符合条件的B,并说明理由. 10/10专题01 整式的乘除 题型1 整式运算之选择题（常考点） 题型6 整式乘法中的不含某项的参数问题 题型2 科学记数法（常考点） 题型7 整式乘法与几何图形面积问题（重点） 题型3 幂的运算与逆运算 题型8 多项式乘多项式规律探究问题（难点） 题型4零指数幂、负整数指数幂的计算（重点） 题型9 整式乘除中的新定义型问题（难点） 题型5 整式的化简求值（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 整式运算之选择题（共5小题） 1．（24-25八年级下·云南红河·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除，积的乘方，单项式的除法． 根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误； 故选：C． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘除运算，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及整式的除法．根据运算法则逐一验证每个选项． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算正确，符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·四川广安·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的乘除运算和乘法公式．直接计算每个选项，根据运算法则判断正误． 【详解】解：A．，而右边为，，A错误． B．，等于右边，B正确． C．，而右边为，不相等，C错误． D．，而右边为，，D错误． 故选：B． 4．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项和单项式乘除法的运算法则．根据法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：B． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的除法运算，根据单项式除以单项式、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法法则，对每个选项进行计算，判断其正确性． 【详解】解：A、，但原式写为，故不符合题意； B、，与原式一致，故符合题意； C、，则，但原式写为，故不符合题意； D、，则，但原式写为，故不符合题意． 故选：B． 题型二 科学记数法（共5小题） 6．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）在物理学中，分子的直径通常很小，某分子的直径约为，用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法，科学记数法表示形式为，其中，为整数，准确分析计算是解题的关键． 用水分子的直径除以植物表皮细胞的直径，得到倍数，再根据科学记数法的要求表示结果即可得解． 【详解】解：分子的直径为， 将小数点向右移动位至第一个非零数字后，得到，且， 科学记数法表示为； 故选． 7．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）在空军红剑演习中，歼战斗机凭借隐身优势，在秒内锁定并“击落”一架四代机．数据“”可表示为的形式，下列各数中，n的值可能是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 8．（25-26八年级上·重庆·期中）我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将0.000000008用科学记数法表示为________． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·重庆·期中）祖国主权，寸土不让．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.00086平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为______平方公里． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，需根据原数小数点移动的位数，由此求解即可． 【详解】飞濑岛的面积约为0.00086平方公里，将小数点向右移动4位得到8.6， 因此，则用科学记数法表示为． 故答案为：． 10．（25-26七年级下·全国·期中）古语有云：“水滴石穿．”如果水珠不断滴在一块石头上，经过若干年，石头上形成了一个深为0.0000046cm的小洞，数0.0000046用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得出答案． 这里． 【详解】解：． 故答案为：． 题型三 幂的运算与逆运算（共5小题） 11．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式运算法则是解题的关键．先运算积和幂的乘方运算法则，再运用同底数幂相乘运算法则计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 12．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查幂的混合运算，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方运算法则计算，最后合并即可． 【详解】解：原式 ． 13．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1)64 (2)56 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，整理，再将整体代入运算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解： 当， 则原式． （2）解： 当， 则原式． 14．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则分别计算，再根据负整数指数幂的运算法则计算即可得出结果； （2）将原式变形为，再根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则计算，再把（1）中的结论代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， ， ； （2）解： ． 15．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 题型四 零指数幂、负整数指数幂的计算（共5小题） 16．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了负整数指数幂和零次幂，绝对值的性质．利用负整数指数幂和零次幂，绝对值的性质化简，再计算加减即可求解． 【详解】解： ． 17．（25-26七年级上·广东广州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，零指数幂运算法则，求一个数的绝对值，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂、有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算零指数幂与负整数指数幂、有理数的乘方，再计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 19．（24-25七年级下·江西九江·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算、同底指数幂的乘法、积的乘方及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算乘方、零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减混合运算即可； （2）先计算同底数幂的乘法、积的乘方及幂的乘方运算，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂相除，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先按照相应的运算法则计算各部分，再进行加减计算即可； （2）先按照相应的运算法则计算各部分，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型五 整式的化简求值（共5小题） 21．（24-25八年级上·广东江门·期中）化简求值：，其中， 【答案】，6 【分析】先根据积的乘方运算，多项式乘以多项式及单项式除以单项式计算，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 22．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中） 先化简， 再求值： 其中 【答案】 ； 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键． 需要先根据完全平方公式和平方差公式对中括号内的式子进行化简，再进行除法运算，最后将给定的，的值代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， 当，， 原式． 23．（25-26八年级上·四川内江·期中）先化简后求值：，其中， 【答案】化简为，值为 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式与整式的除法．先利用完全平方公式、平方差公式计算中括号里面的，合并同类项，再作除法，然后将，代入求值． 【详解】解∶ 当，时， 原式 24．（24-25八年级上·吉林长春·期中）先化简，再求值． (1)，其中，． (2)，其中，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据多项式除以单项式、平方差公式化简，再把a，b的值代入计算即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式化简，再代入a，b的值计算即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解： ， 当，， 原式． 25．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，已知满足． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）先根据整式的运算法则和乘法公式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解； （）先根据整式的运算法则和乘法公式进行化简，再根据非负数的性质求出的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了整式的混合运算化简求值，非负数的性质，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， ， ∴，， ，， ∴原式． 题型六 整式乘法中的不含某项的参数问题（共5小题） 26．（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】1 【分析】根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得x的一次项系数为0，常数项为，列式求解得到a和b的值，即可求得的值． 【详解】解： ∵多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为， ∴，， 解得：，， ∴． 27．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，已知多项式乘积不含某项求字母的值，先将原式进行化简，然后将与的值代入即可求出答案． 【详解】解： ∵的展开式中不含的一次项，且常数项是 ∴ 解得： 故． 28．（24-25七年级下·四川成都·期中）关于的整式化简后不含的项和常数项． (1)分别求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，合并同类项，掌握多项式乘多项式的运算法则，合并同类项法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式的运算法则进行，然后再合并同类项，然后再根据化简后不含的项和常数项，得出项的系数为0，常数项为0，即可求出、的值； （2）把（1）求出的，代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵化简后不含的项和常数项， ∴， 解得：，； （2）解：把，代入，得： ． 29．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知的展开式中不含x的一次项，且常数项是． (1)求m，n的值； (2)先化简，再根据（1）中的结果求值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简原式，然后将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：，          展开式中不含的一次项，且常数项是， ，， ； （2）解：原式，                     当时， 原式． 30．（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）我们在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为． 请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)计算求所得多项式的一次项系数； (2)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律探究，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据题干提示列式计算即可； （2）根据给定的方法可得出一次项系数，进一步求解即可； 【详解】（1）解：所得多项式的一次项系数为： ； （2）根据题意，一次项系数， 依据题意： 解得：． 题型七 整式乘法与几何图形面积问题（共5小题） 31．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图所示的是人民公园的一块长为米，宽为米的长方形空地．工作人员计划在空地上建造一个网红打卡观景台，如图中阴影部分所示． (1)根据图中标注的数据，请用含m、n的代数式表示观景台的面积（结果化为最简）； (2)已知修建观景台每平方米的费用为100元．若，，求修建观景台的费用为多少元？ 【答案】(1)观景台的面积为平方米 (2)修建观景台的费用为32600元 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的应用，代数式求值： （1）用最大的长方形面积减去三块空白部分的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求结合，求出观景台的面积，进而求出费用即可． 【详解】（1）解：观景台的面积． 答：观景台的面积为平方米． （2）解：当，时， 修建观景台的费用为：（元）． 答：修建观景台的费用为32600元． 32．（25-26七年级上·福建三明·期中）如图1是一个燕尾槽榫端接，图2是它的一个截面图，是在一个长方形上方正中间挖去一个等腰梯形．如果该长方形长为，宽为，测得梯形的下底为，上底为，腰长为长方形宽的，梯形的高为长方形宽的． (1)求截面图的周长（用含，的代数式表示）； (2)为了保证燕尾槽榫端接的强度，必须保证挖掉的梯形面积不得超过长方形面积的，请问截面为图2的工件是否符合要求？并说明理由． 【答案】(1) (2)符合要求，理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式、梯形的面积公式、多项式乘法运算等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）先求出然后再与长方形面积的比较即可． 【详解】（1）解：． （2）答：截面为图2的工件符合要求，理由如下： 因为， 所以截面为图2的工件符合要求． 33．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期中）“9·3”阅兵仪式以点线面铸就钢铁洪流，是展现国家力量的绝对证明．在阅兵仪式的观礼区内，有一块长为米，宽为米的长方形座位区．为方便特殊观礼群体，工作人员在这块长方形座位区中划出了两块边长均为y米的正方形区域作为专属观礼区，剩余的“T”形区域（阴影部分）为普通观礼区． (1)用含x，y的式子表示普通观礼区的面积； (2)当时，请计算普通观礼区的面积． 【答案】(1)平方米； (2)8200平方米． 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积； （1）根据图形及题意可直接进行求解； （2）由（1）可知绿化部分的面积为平方米，然后把代入求解即可． 【详解】（1）平方米 （2）当时， 平方米． 答：普通观礼区的面积为平方米． 34．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地，计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)长方形舞台的占地面积是_____； (2)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (3)若，铺设塑胶跑道的价格为110元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【答案】(1)； (2)铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积为； (3)铺设塑胶跑道共需20130元． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算和代入求值，解决此题的关键是正确的计算， （1）根据长方形的面积等于长乘以宽计算即可． （2）根据长方形的面积等于长乘以宽，得到整式的混合运算，再计算即可得到答案； （3）分别代入求值即可得到答案； 【详解】（1）解：根据题意可知长方形舞台的占地面积是 （2）解： ． 答：铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积为 （3）解：当时，． （元）． 答：铺设塑胶跑道共需20130元 35．（25-26七年级上·全国·期中）有7个如图1的边长分别为的小长方形，拼成如图2的大长方形． (1)观察图2，请你写出满足的等量关系（用含的代数式表示）； (2)将7个图1所示的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图3所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ： ①记阴影部分Ⅰ，Ⅱ的周长分别为，试求的值； ②若，求阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积之和． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查列代数式、代数式求值等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）由图2中大长方形的长分别是三个小长方形横放、四个小长方形竖放得到，恒等变形即可得到答案； （2）①由图3将表示出来，代入求值即可得到答案；②表示出阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积之和，再将代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由图2中大长方形的长分别是三个小长方形横放、四个小长方形竖放得到， 则， ∴； （2）解：①， ∴； ②阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积之和， 当时，，将其代入阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积之和． 题型八 多项式乘多项式规律探究问题（共5小题） 36．（25-26八年级上·福建厦门·期中）阅读下列材料： 黄老师在黑板上写了三个算式：，，，俊宇同学接着又写了两个具有同样规律的算式：，． (1)请你再写出两个具有上述规律，但数字不完全相同的算式； (2)用符号表示上述算式反映的规律，并用所学知识证明这个规律的正确性． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)见解析 【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． （1）两个十位数相同且个位数字之和为10的两位数相乘，结果为四位数，其中十位和比它大1的数相乘结果作为结果的千位和百位，个位数相乘的结果作为积的十位和个位，由此规律可解决问题； （2）利用整式的计算方法计算验证正确性即可． 【详解】（1）解：观察算式，两个十位数相同且个位数字之和为10的两位数相乘，结果为四位数，其中十位和比它大1的数相乘结果作为结果的千位和百位，个位数相乘的结果作为积的十位和个位， 例如：，； （2）解：设两个两位数分别为，，其中，则有规律 ， 理由如下： ． 37．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）探究应用 （1）计算：______． （2）______． （3）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式______．（请用含a、b的字母表示）． （4）直接用公式计算： ①______． ②______． 【答案】（1） （2） （3） （4）① ；② ； 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、探索规律题等知识点，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． （1）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可解答； （2）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可解答； （3）根据（1）（2）归纳总结得到一般性规律即可； （4）利用（3）得出的公式计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． （3）由（1）（2）可归纳出：． （4）① ； ②中间应补上：， ； ． 38．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）南宋时期，钱塘数学家杨辉在他不朽的著作《详解九章算法》中，系统记载了一张神奇的三角数表——杨辉三角（如图所示）．它不仅凝结了古人的数学智慧，更揭示了二项式乘方（n为非负整数）展开式的深邃规律．这个三角形的每个数，都等于其上方两数之和，其构造之美、规律之奇，令人叹为观止．现在，就让我们穿越千年，一同探寻这古老数表中的奥秘，解决以下问题： 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律， 由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为______； (2)展开式共有______项，第19项系数为______； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1)6 (2)； (3) 【分析】本题考查了杨辉三角与二项式展开式的规律，解题关键是通过观察杨辉三角的构造特点，总结出二项式展开式的项数、系数规律并加以应用． （1）根据杨辉三角“每个数等于上方两数之和”的规律，计算括号内的数； （2）先由杨辉三角总结出展开式的项数规律，再结合“展开式中对称位置系数相等”及“第3项系数的推导公式”，求出指定项数与系数； （3）将式子与二项式展开式形式对应，利用的展开式逆用计算结果． 【详解】（1）由“杨辉三角”可知， 每一个数是肩上的两数之和（最两侧的数除外）， 则， 所以括号内的数为6． 故答案为：6． （2）由题知， 因为展开式共有3项，展开式共有4项，展开式共有5项，…， 所以展开式共有项． 当时， 展开式共有21项． 根据“杨辉三角”中每行数的特征可知， 展开式中第19项系数与第3项系数相等． 因为展开式第3项系数为1，展开式第3项的系数为3，展开式第3项的系数为6，…， 所以展开式第3项的系数为． 当时， ， 所以展开式中第19项系数为190． 故答案为：，． （3）由题知， ， 则令，得， ， 所以． 39．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）观察下列式子的因式分解的做法： ① ② ③_____． ④ …… （为正整数，且） (1)观察以上结果，直接写出_____． (2)根据以上结论，则_____． (3)根据以上结论，求（为常数）的值． 【答案】(1) (2)63 (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，因式分解的应用． （1）根据已有等式，推出规律进行求解即可； （2）根据已有等式，推出规律进行求解即可； （3）根据已有等式，推出规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：； 故答案为； （2）解：由题意可知：； 故答案为63； （3）解：由题意可知，； 故答案为． 40．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中x项的系数是 ． ②若，其中 ． (2)若的积中不含x项，求p的值． (3)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)， 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． （1）①由题干中计算方法即可得解；②由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （2）由题干中计算方法即可得解； （3）根根题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 【详解】（1）解：由题中计算方法知：， 故答案为：19； ②∵是由2025个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2025个2的和， ∴； 故答案为：； （2）解：由题干中计算方法知：中x的系数为， ∵x的系数为零， ∴， ∴； （3）解：设购进A型号矿泉水有a箱，则购进B型号矿泉水有箱， ∴ ， ∵无论a为多少，w都不变， ∴中，a的系数为0， ∴, ∴，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，都为元， ∴，． 题型九 整式乘除中的新定义型问题（共5小题） 41．（25-26八年级上·山西晋城·期中）定义：如果一个整数能表示成两个连续正整数的积，那么称这个整数为“邻积数”．根据“邻积数”的定义，“邻积数”可以表示为（，且为整数）．例如，，，，则2，6，12都是“邻积数”． 任务：根据上述材料，推理下面的结论． 求证： (1)任意“邻积数”乘4，再加1是两数和的平方． (2)连续两个“邻积数”的和是两数和的平方的2倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，理解新定义， 对于（1），根据新定义可设“邻积数”为，再根据条件可得，然后整理得出结论即可； 对于（2），先表示出两个“邻积数”为，再整理得出答案． 【详解】（1）证明：由题可知，任意“邻积数”乘4，再加1可以表示为． ， 任意“邻积数”乘4，再加1是两数和的平方； （2）解：由题可知，两个连续的“邻积数”可以分别表示为． ， 两个连续“邻积数”的和是两数和的平方的2倍． 42．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)4，0， (2)2，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即 是正整数． （1）由于，，根据“雅对”的定义可得； （2），利用新定义得到，根据同底数幂的乘法得到 （3）设，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵ ， ∴ 故答案为：4；0；； （2）解： 理由如下： 设，则， ∴， ∴ （3）证明：设， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即对于任意自然数n都成立． 43．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）定义，如．已知（为常数），． (1)若，求的值 (2)若的代数式中不含的一次项，求的值 (3)若的满足，且的值，求的值 【答案】(1)6 (2)2 (3) 【分析】（1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，即可求解； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解：若，则 ， 即， 解得， 则的值为6； （2） ， 若的代数式中不含的一次项， 则， 解得， 即的值为2； （3）， ， 解得， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题主要考查了新定义，一元一次方程的解法，求代数式的值，整式中不含项的意义，整式的乘法的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 44．（24-25七年级下·北京房山·期中）定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂幂的乘法和除法等知识，熟练掌握幂的运算法则是关键． （1）根据新定义可得到答案； （2）根据新定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据题意得到则，即可得到,整理即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，若，∵， 则； 若，∵，则； （2）由题意可得，， ∵， ∴ ∴ （3）∵，，m，n为正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴, ∴ ∴ 45．（25-26八年级上·山西临汾·期中）定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)①；②，理由见解析． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义，掌握多项式乘多项式法则及新定义是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“友好多项式”的定义判断； （2）①根据“特别友好多项式”的定义解答； ②根据“特别友好多项式”的定义写出多项式，根据多项式乘多项式的法则证明即可； 【详解】（1）解：是的“友好多项式”，理由如下： ， ∵的项数比多不超过项， ∴是的“友好多项式”； （2）解：①， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”， 故答案为：； ②， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”． $