专题03 概率初步（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材北师大版

专题03 概率初步 思维导图 串 考点清单 理 确定事件与随机事件 1、确定事件 （1）不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． （2）必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 2.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 初步认识概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0＜P(A) ＜1，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 用频率估计概率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 等可能事件的概率 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、 当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0. 等可能性概率的计算方法 （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 题型清单 解 事件的分类（共4小题） 【例1】（24-25八年级下·上海·期末）下列事件中，确定事件是（   ） A．上海明天太阳从西边升起 B．任意两个非零实数，它们的积为正 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】A 【分析】根据确定事件包括一定发生的必然事件和一定不发生的不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件来判断各选项即可． 【详解】解：A、太阳一定从东方升起，不可能从西边升起，该事件一定不发生，故是确定事件，符合题意； B、两个非零实数相乘，同号得正异号得负，积可能为正也可能为负，故是随机事件，不符合题意； C、抛掷质地均匀的硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故是随机事件，不符合题意； D、只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，非平行直线被截时同位角不相等，故是随机事件，不符合题意． 【变式1】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）下列与宜宾相关的事件中，属于随机事件的是（    ） A．宜宾境内的金沙江与岷江在三江口汇入长江 B．游览宜宾蜀南竹海时，遇到下雨天气 C．宜宾兴文石海景区的溶洞内会出现阳光直射现象 D．宜宾李庄古镇的“李庄白肉”在制作过程中会使用猪肉 【答案】B 【分析】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，需依据三类事件的概念对各选项进行判断． 【详解】∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． ∵A选项中金沙江与岷江在三江口汇入长江是客观既定事实，属于必然事件． ∵C选项中溶洞内不具备阳光直射的条件，一定不会出现阳光直射现象，属于不可能事件． ∵D选项中李庄白肉制作过程使用猪肉是其固有属性，属于必然事件． ∵B选项中游览蜀南竹海时是否遇到下雨，结果具有不确定性，可能发生也可能不发生，属于随机事件． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·安徽六安·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．明天下雨 B．学校举办读书演讲比赛，九年级3班获得一等奖 C．从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D．五个人分成四组，这四组中有一组有两人 【答案】D 【分析】本题考查必然事件的定义，必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，需根据定义对各选项进行判断． 【详解】解：A选项明天下雨，天气情况具有不确定性，是随机事件，不符合题意； B选项学校举办读书演讲比赛，九年级3班获得一等奖，比赛结果无法确定，是随机事件，不符合题意； C选项从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6，卡片中无数字6，该事件不可能发生，是不可能事件，不符合题意； D选项五个人分成四组，∵，∴必然存在一组有两人，是必然事件，符合题意． 故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）下列事件中，属于不确定事件的是（    ） A．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 B．三角形内角和为 C．太阳从东边升起 D．在一个装满红球的袋中，摸出黑球 【答案】A 【分析】本题考查事件的分类，正确理解必然事件、不可能事件、不确定事件（随机事件）的定义是关键．根据必然事件、不可能事件、不确定事件（随机事件）的定义逐一分析各选项事件的类型即可判断． 【详解】解：∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，不确定事件是可能发生也可能不发生的事件 A选项，任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上，可能发生也可能不发生，属于不确定事件，符合题意； B选项，三角形内角和为，是必然会发生的，属于必然事件，不符合题意； C选项，太阳从东边升起，是必然会发生的，属于必然事件，不符合题意； D选项，在装满红球的袋中摸出黑球，一定不会发生，属于不可能事件，不符合题意． 故选：A． 根据列举法求概率（共4小题） 【例2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“龙”、“蛇”、“马”4张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学抽到的邮票恰好是“龙”和“马”的概率为___________． 【答案】 【分析】本题考查了用列举法求概率，熟练掌握列举法求概率的方法． 【详解】解：所有可能的抽取组合有6种：{虎,龙}、{虎,蛇}、{虎,马}、{龙,蛇}、{龙,马}、{蛇,马}，其中抽到“龙”和“马”的结果有1种，因此概率为， 故答案为：. 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某单位工会组织抽奖活动，共准备了张奖券，设特等奖个，一等奖个，二等奖个，三等奖个．已知抽中每张奖券的可能性相同，求抽中一等奖的概率为_________． 【答案】 【分析】本题考查的是等可能事件的概率计算，灵活运用“概率所求情况数总情况数”这一基本公式是解题的关键．根据题意，总奖券数量为张，其中一等奖奖券有张，进而可求出抽中一等奖的概率． 【详解】解：总奖券数量为张，一等奖有个，所以抽中一等奖的概率为． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·贵州毕节·期末）一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，每个球除颜色外都相同，从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是______． 【答案】 【分析】从中任意摸出1个球共有3种等可能结果，其中摸到红球的有1种结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意知.从中任意摸出1个球共有种等可能结果，其中摸到红球的有种结果， 所以摸到红球的概率为． 【变式3】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）某校为推动中小学科学教育，激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体，准备在七年级开设“打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．小明从四类科技社团中选择一种参加，选中“机器人”的概率是__． 【答案】 【分析】直接利用概率公式进行计算即可. 【详解】解：由题意，小明从四类科技社团中选择一种参加，选中“机器人”的概率是. 几何概率（共4小题） 【例3】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，理解几何概率的定义，掌握几何概率的计算方法是正确解答的关键．根据几何概率的定义，求出阴影部分占整体的几分之几即可． 【详解】解：正方形被分成个小正方形，并且飞镖落在每个小正方形的可能性是均等的，其中阴影部分是个小正方形， 任意投掷飞镖次，击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率是． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，若在图中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查概率中几何面积概率的计算，直接由图可知阴影部分占图形总面积的，即可求解． 【详解】由图可知：每一个小三角形是小正方形面积的一半， ∴阴影部分占图形总面积的， ∴若在图中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是. 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，有一个质地均匀的圆形转盘，其中阴影部分的圆心角为，转动转盘，转盘停止转动后，指针指向白色区域的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，用白色区域的圆心角的度数除以360度，即可得出结果． 【详解】解：由题意得，指针指向白色区域的概率是， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率面积之比是解题的关键． 根据飞镖扎在阴影区域的概率阴影区域面积与总面积之比，计算即可得到答案． 【详解】解：设小正方形面积为， 飞镖游戏板由大小相等的个小正方形构成， 飞镖游戏板的面积为，阴影区域面积为， 飞镖扎在阴影区域的概率是， 故答案为：． 根据概率求数量（共4小题） 【例4】（25-26九年级上·浙江衢州·期末）不透明的袋中装有若干个质地均匀的红球和4个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中球的总数约为___________个． 【答案】 【分析】本题考查了根据频率估计概率，根据概率求总数． 根据频率估计概率可知摸到白球的频率，用白球的数量除以白球的频率即可． 【详解】解：∵摸到白球的频率是， ∴摸到白球的概率是， ∴袋中球的总数约为（个）． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）一个不透明的箱子里有两枚黑棋子和若干枚白棋子，它们除颜色外其他完全相同，摇匀后随机摸出一枚棋子，记下颜色放回．通过多次模拟试验后发现，摸出白棋子的频率如图，则箱子里棋子总数最可能是________． 【答案】8 【分析】本题考查了利用频率估计概率及概率的计算，根据频率估计出白棋子的概率，再计算出摸出黑棋子的概率，最后根据概率公式计算出棋子的总数即可． 【详解】解：由题意知，摸出白棋子的概率约为， ∴摸出黑棋子的概率为， ∴箱子里棋子总数可能是， 故答案为：8． 【变式2】（25-26九年级上·福建福州·期末）一个不透明的口袋中装有5个红球和m个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m的值为______． 摸球的总次数a 100 500 1000 2000 … 摸出红球的次数b 19 101 199 400 … 摸出红球的频率 0.190 0.202 0.199 0.200 … 【答案】20 【分析】本题考查用频率估计数量，通过大量重复试验，摸出红球的频率稳定在0.2附近，因此红球的概率可估计为0.2，根据概率公式建立方程求解． 【详解】解：由摸球试验数据可知，摸出红球的频率稳定在0.2附近， ∴摸出红球的概率为0.2． ∵口袋中红球有5个，则总球数为个， ∴ 解得 经检验，是原方程的解． 故答案为20． 【变式3】（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，小明将自己的核酸检测二维码打印在面积为的正方形纸上，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为______ 【答案】15 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 用总面积乘落入黑色部分的频率稳定值即可得出答案． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为， 故答案为：． 用频率估计概率的综合应用（共4小题） 【例5】（25-26九年级上·甘肃天水·期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 优秀数量 优秀频率 (1)填空：_______，_______ (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到） 【答案】(1)， (2)估计该市学生作业优秀的概率为 【分析】本题考查频数与频率的关系，用频率估计概率，理解“大量重复试验中，频率会稳定在概率附近”是解题关键． （1）根据“优秀频率优秀数量抽取作业数量”的关系式，代入已知的抽取数量、优秀频率计算；代入已知的优秀数量、抽取数量计算； （2）观察表格，可知当抽取作业数量增大时，优秀频率逐渐稳定在附近，利用“大量重复试验中，频率稳定在概率附近”的规律，可得出该市学生作业优秀的概率． 【详解】（1）解：优秀的频率公式为，当，频率为， ， ； 当时，， ． 答：，． （2）解：观察图表可知，当抽取作业的数量逐渐增大时，优秀频率稳定在附近，则可估计该市学生作业优秀的概率为． 答：估计该市学生作业优秀的概率为． 【变式1】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 (1)表中______，______； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； (3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 【答案】(1)，50 (2) (3)这片鱼塘的价值大约是80000元． 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）根据频率=频数÷总数求解即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）用200除以打捞到的鱼是带标记的鱼的概率可得总条数，再计算总钱数即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，50； （2）解：根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为； 故答案为：； （3）解：这个鱼塘中鱼约有（条）， （元）， 答：这片鱼塘的价值大约是80000元． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.44；450 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，还考查了求圆心角的度数． （1）根据表中数据，结合频率、频数的关系求解即可； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率可得答案； （4）先求得表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，，， 故答案为：0.44；450； （2）解：如图： （3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近， 故获得《红星照耀中国》的概率约为， 故答案为：； （4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为， 则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是． 【变式3】（24-25七年级下·广东深圳·期末）（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】(1)，33 (2) (3)560个 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． （3）解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 根据概率判断游戏是否公平（共4小题） 【例6】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式求概率，游戏公平性． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）依题意列表，判断即小华和小维获胜的概率是否相同即可． 【详解】（1）解：一共张牌，偶数的牌有张， ∴小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率为． 故答案为：； （2）解：依题意，列表得： 3 4 6 10 3 7 9 13 4 7 10 14 6 9 10 16 10 13 14 16 ∴一共有12种等可能性的结果，结果为偶数的结果有6种，其余的结果也有6种， ∴抽出的两张牌数字之和是偶数的概率为，其余的结果的概率为， 即小华和小维获胜的概率相同． 答：这个游戏公平． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择摇奖方式一获奖机会更大，理由见解析 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定每种事件包含的基本事件数，再利用概率公式计算． （1）直接根据标有“4”的面数与总面数的比值计算概率； （2）分别计算两种摇奖方式的获奖概率，再比较大小． 【详解】（1）解：∵正二十面体骰子总共有个面，其中标有“4”的面有4个， ∴骰子掷出后，“4”朝上的概率为； 故答案为：； （2）解：先计算方式一的获奖概率： 骰子总面数为，标有“6”的面数为， ∴选择方式一获奖的概率为． 再计算方式二的获奖概率： 转盘被等分成份，6的倍数为6、，共2个， ∴选择方式二获奖的概率为． ∵， ∴方式一的获奖机会更大； 答：选择方式一获奖机会更大． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 【答案】(1) (2)选择方法①中“不是3的倍数”，见解析 (3)不公平，猜“是奇数”或“是偶数” 【分析】本题主要考查了应用概率解决游戏公平问题，掌握概率的计算公式是解题的关键． （1）利用简单概率公式进行求解即可； （2）求出每种方式的概率，然后进行比较即可； （3）根据概率相等设计方法即可． 【详解】（1）解：是的倍数的数有：3，6，9， ∴猜“是的倍数”的概率是， 故答案为：； （2）解：选择方法①中“不是3的倍数”，理由如下： 大于的数有：5，6，7，8，9，10， ∴猜“是大于的数”的概率为：； 不是大于4的数有：1，2，3，4， ∴猜“不是大于的数”的概率为：； 由①可得猜“不是的倍数”的概率是， ∵， ∴选择方法①中“不是3的倍数”； （3）解：不公平，因为两人抽到的概率不相等， 猜“是奇数”或“是偶数”比较公平． 【变式3】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）小明准备了一枚质地均匀的正二十面体的骰子（如图），已知1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，其余面标有“5”或“6”．因角度问题，小华只能看到部分面，标有“5”的面和标有“6”的面有多少个无法知道．他们通过掷骰子对数字“5”朝上的次数进行统计，结果如下： 掷骰子总次数n 10 20 50 100 200 400 … “5”朝上的次数m 1 4 9 21 39 81 … “5”朝上的频率 0.100 0.200 0.180 0.210 0.195 0.203 … (1)请估计：当n很大时，“5”朝上的频率将会接近______（结果精确到0.1）； (2)估计标有“5”的面有______个，标有“6”的面有______个； (3)小明和小华准备玩游戏：一人掷这个骰子，另一个人猜数，若所猜数字与掷出的数字相符，则猜数的人获胜，否则掷骰子的人获胜．猜数的方法从下面两种中选一种： ①猜“是奇数”； ②猜“是3的倍数”，如果你来猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方法？为什么？ 【答案】(1)0.2； (2)4，6； (3)选择②，理由见解析． 【分析】本题考查利用频率估计概率，游戏的公平性和概率公式，掌握概率的计算方法是正确解答的前提． （1）利用频率估计概率即可得出答案； （2）根据概率公式即可求出标有“5”的面的个数，再计算标有“6”的面的个数即可； （3）分别求出各种情况下获胜的概率，比较得出答案． 【详解】（1）解：根据已知可得，当n很大时，“5”朝上的频率将会接近0.2； 故答案为：0.2； （2）解：由（1）可知，“5”朝上的概率为0.2， ∴估计标有“5”的面有（个）， ∴标有“6”的面有（个）； 故答案为：4，6； （3）解：选择②；猜“是3的倍数”， 理由：∵P（奇数）， P（是3的倍数）， ∵， ∴猜是3的倍数的获胜概率最大． 概率在转盘抽奖中的应用（共4小题） 【例7】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题： (1)求顾客未获奖的概率； (2)求顾客获得二等奖或三等奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键； （1）由图可知字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解； （2）由图可知字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图可知，字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为， 所以顾客未获奖的概率为． （2）解：由图可知，字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为， 所以顾客获得二等奖或三等奖的概率为． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，一个均匀的转盘被平均分成12等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字． (1)P（转出的数字是4的倍数）______；P（转出的数字不是4的倍数）______． (2)两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜． ①猜“是奇数”或“是偶数”； ②猜“是大于8的数”或“不是大于8的数”．如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？请说明理由． 【答案】(1)， (2)选择②，猜“不是大于8的数”，理由见解析 【分析】（1）根据概率公式即可得到结论； （2）分别求出各种情况下获胜的概率，比较得出答案． 本题考查是游戏的公平性，随机事件发生的概率，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提． 【详解】（1）解：P（转出的数字是4的倍数）； P（转出的数字不是4的倍数）， 故答案为：，； （2）解：选择②，猜“不是大于8的数”，理由如下： ①“是奇数”或“是偶数“都是， ②“是大于8的数”的有4种，“不是大于8的数”的有8种，因此“是大于8的数”可能性是，“不是大于8的数”的可能性是， 因此，选择②，猜“不是大于8的数”，这样获胜的可能性为，获胜的可能性最大． 【变式2】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，游乐场一个转盘被等分成12个扇形．其中有部分扇形标注了颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针指向某个扇形区域内为转动一次转盘（如果指针指在等分线上，则重新转动转盘）． (1)请在没有标注颜色的扇形上标注扇形颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，其余部分为黄色； (2)商家规定：任何人都可以参与（1）中的这个转动转盘游戏，但必须遵循以下规则：每人每次转一次转盘，若指针落在红色区域，参与者给商家5元；若指针落在白色区域，商家奖励参与者2元；若指针落在黄色区域，商家奖励参与者3元．你认为商家设置的这个转盘游戏会亏本吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)商家不会亏本，理由见解析 【分析】本题考查了概率在转盘抽奖中的应用，熟练掌握事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示是解题的关键． （1）根据事件的概率可以用部分区域的面积和整个区域的面积的比来表示，分别求得红色、白色、黄色的小的扇形个数即可； （2）设有人参与，当指针落在红色区域，商家的收益为，同理可得当指针落在其它两种颜色区域时，商家需要付出多少，再和收益比较即可得到结论． 【详解】（1）解：转盘被等分成12个小扇形． 若要使指针落在红色区域的概率为，，因此，有6个小的扇形是红色的； 指针落在白色区域的概率为，， 因此，有4个小的扇形是白色的； 指针落在黄色区域的概率为，， 因此，有2个小的扇形是黄色的． 如图所示即为所求： （2）解：从概率的角度，商家不会亏本，理由如下： 设有人参与，则有， 指针落在红色区域的概率为，商家的收益为； 指针落在白色区域的概率为，商家需要付出； 指针落在黄色区域的概率为，商家需要付出； 商家的最终收益为：． 所以，商家不会亏本． 【变式3】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 【答案】(1)0.305，148 (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3； (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率及概率公式的应用． （1）根据频率的计算公式即可得出结果； （2）由大量重复试验中频率稳定值估计概率，根据前面统计的数据可知，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，即转动一次转到“谢谢参与”的概率约是0.3； （3）根据概率公式分别计算和然后进行大小比较即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.305，148． （2）解：当转动转盘的次数n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3． （3）解：观察转盘可知转盘被分成10等份，其中奖品“盲盒”有2份，奖品“贴纸”有5份， ∴，， ∴． 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率初步 思维导图 串 考点清单 理 确定事件与随机事件 1、确定事件 （1）不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是 ． （2）必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是 ．必然事件和不可能事件都是 . 2.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是 . 初步认识概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的 (probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0＜P(A) ＜1，其中P(必然事件)= ，P(不可能事件)= ， . 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 用频率估计概率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个 附近摆动，并且随着试验 ，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的 . 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 等可能事件的概率 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生 ，称为随机事件A发生的 ，记作P（A）。 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、 当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0. 等可能性概率的计算方法 （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的 ，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过 来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行 估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行 估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 题型清单 解 事件的分类（共4小题） 【例1】（24-25八年级下·上海·期末）下列事件中，确定事件是（   ） A．上海明天太阳从西边升起 B．任意两个非零实数，它们的积为正 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【变式1】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）下列与宜宾相关的事件中，属于随机事件的是（    ） A．宜宾境内的金沙江与岷江在三江口汇入长江 B．游览宜宾蜀南竹海时，遇到下雨天气 C．宜宾兴文石海景区的溶洞内会出现阳光直射现象 D．宜宾李庄古镇的“李庄白肉”在制作过程中会使用猪肉 【变式2】（25-26九年级上·安徽六安·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．明天下雨 B．学校举办读书演讲比赛，九年级3班获得一等奖 C．从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D．五个人分成四组，这四组中有一组有两人 【变式3】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）下列事件中，属于不确定事件的是（    ） A．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 B．三角形内角和为 C．太阳从东边升起 D．在一个装满红球的袋中，摸出黑球 根据列举法求概率（共4小题） 【例2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“龙”、“蛇”、“马”4张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学抽到的邮票恰好是“龙”和“马”的概率为___________． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某单位工会组织抽奖活动，共准备了张奖券，设特等奖个，一等奖个，二等奖个，三等奖个．已知抽中每张奖券的可能性相同，求抽中一等奖的概率为_________． 【变式2】（25-26九年级上·贵州毕节·期末）一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，每个球除颜色外都相同，从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是______． 【变式3】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）某校为推动中小学科学教育，激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体，准备在七年级开设“打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．小明从四类科技社团中选择一种参加，选中“机器人”的概率是__． 几何概率（共4小题） 【例3】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为________． 【变式1】（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，若在图中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是_________． 【变式2】（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，有一个质地均匀的圆形转盘，其中阴影部分的圆心角为，转动转盘，转盘停止转动后，指针指向白色区域的概率是______． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______． 根据概率求数量（共4小题） 【例4】（25-26九年级上·浙江衢州·期末）不透明的袋中装有若干个质地均匀的红球和4个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中球的总数约为___________个． 【变式1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）一个不透明的箱子里有两枚黑棋子和若干枚白棋子，它们除颜色外其他完全相同，摇匀后随机摸出一枚棋子，记下颜色放回．通过多次模拟试验后发现，摸出白棋子的频率如图，则箱子里棋子总数最可能是________． 【变式2】（25-26九年级上·福建福州·期末）一个不透明的口袋中装有5个红球和m个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m的值为______． 摸球的总次数a 100 500 1000 2000 … 摸出红球的次数b 19 101 199 400 … 摸出红球的频率 0.190 0.202 0.199 0.200 … 【变式3】（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，小明将自己的核酸检测二维码打印在面积为的正方形纸上，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为______ 用频率估计概率的综合应用（共4小题） 【例5】（25-26九年级上·甘肃天水·期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 优秀数量 优秀频率 (1)填空：_______，_______ (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到） 【变式1】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 (1)表中______，______； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； (3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【变式3】（24-25七年级下·广东深圳·期末）（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 根据概率判断游戏是否公平（共4小题） 【例6】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 【变式3】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）小明准备了一枚质地均匀的正二十面体的骰子（如图），已知1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，其余面标有“5”或“6”．因角度问题，小华只能看到部分面，标有“5”的面和标有“6”的面有多少个无法知道．他们通过掷骰子对数字“5”朝上的次数进行统计，结果如下： 掷骰子总次数n 10 20 50 100 200 400 … “5”朝上的次数m 1 4 9 21 39 81 … “5”朝上的频率 0.100 0.200 0.180 0.210 0.195 0.203 … (1)请估计：当n很大时，“5”朝上的频率将会接近______（结果精确到0.1）； (2)估计标有“5”的面有______个，标有“6”的面有______个； (3)小明和小华准备玩游戏：一人掷这个骰子，另一个人猜数，若所猜数字与掷出的数字相符，则猜数的人获胜，否则掷骰子的人获胜．猜数的方法从下面两种中选一种： ①猜“是奇数”； ②猜“是3的倍数”，如果你来猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方法？为什么？ 概率在转盘抽奖中的应用（共4小题） 【例7】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题： (1)求顾客未获奖的概率； (2)求顾客获得二等奖或三等奖的概率． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，一个均匀的转盘被平均分成12等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字． (1)P（转出的数字是4的倍数）______；P（转出的数字不是4的倍数）______． (2)两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜． ①猜“是奇数”或“是偶数”； ②猜“是大于8的数”或“不是大于8的数”．如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？请说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，游乐场一个转盘被等分成12个扇形．其中有部分扇形标注了颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针指向某个扇形区域内为转动一次转盘（如果指针指在等分线上，则重新转动转盘）． (1)请在没有标注颜色的扇形上标注扇形颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，其余部分为黄色； (2)商家规定：任何人都可以参与（1）中的这个转动转盘游戏，但必须遵循以下规则：每人每次转一次转盘，若指针落在红色区域，参与者给商家5元；若指针落在白色区域，商家奖励参与者2元；若指针落在黄色区域，商家奖励参与者3元．你认为商家设置的这个转盘游戏会亏本吗？请说明理由． 【变式3】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $