清单03 概率初步（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版2024）

清单03概率初步（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 事件的类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 清单02 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 【考点题型一】事件的类型（） 【例1】下列事件为必然事件的是（   ） A．明天是晴天 B．一个三角形三个内角和小于 C．两个正数的和为正数 D．任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B．经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件 C．汽车累积行驶没有出现故障，是必然事件 D．若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数为40次 【变式1-2】有两个事件，事件（1）走到苹果树下，被成熟的苹果砸中脑袋；（2）射击运动员射击一次，命中靶心．下列判断正确的是（　　） A．（1）是随机事件，（2）是确定性事件． B．（1）（2）都是确定性事件． C．（1）是确定性事件，（2）是随机事件． D．（1）（2）都是随机事件． 【变式1-3】下列事件是必然事件的是（ ） A．是有理数 B．367人中至少有两人的生日在同一天 C．车辆随机到达一个路口遇到红灯 D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【考点题型二】可能性大小（） 【例2】现有同一品牌的足球100个，其中有4个次品，从中任取1个，则（   ） A．一定是次品 B．很可能是次品 C．不大可能是次品 D．不可能是次品 【变式2-1】从一个装有6个红球、4个蓝球、2个白球和1个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（   ） A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球 【变式2-2】下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升 【变式2-3】某超市开展“迎藏历新年”大酬宾活动，凡购物满200元者，可参与一次转盘抽奖（如图1）．德吉购买了220元的物品，她最有可能抽中（    ） A．一等奖 B．二等奖 C．三等奖 D．谢谢惠顾 【考点题型三】概率的意义（） 【例3】下列说法中正确的是（    ） A．种植一种花卉成活率是，则种100株这种花一定会有95株成活 B．天气预报“明天降水概率是”是指明天有的时间会下雨 C．某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛一定能获得大奖 D．连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1” 【变式3-1】下列说法正确的是（） A．汽车行驶到十字路口遇到绿色的信号灯是必然事件 B．“彩票中奖的概率为”表示买100张彩票肯定会中奖 C．“明天降雨的概率是”表示明天有的时间都在降雨 D．抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为，表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近 【变式3-2】下列说法正确的是（    ） A．郑州明天降雨的概率为，表示郑州明天有一半的时间在下雨 B．掷一枚质地均匀的硬币次，恰好有次正面朝上 C．随着试验次数的增加，频率会稳定在一个常数附近 D．任意买一张电影票，座位号是的倍数是必然事件 【变式3-3】一个事件发生的概率不可能是（    ） A． B．1 C． D．0 【考点题型四】频率估计概率（） 【例4】某水果公司以2元的成本购进柑橘，在销售过程中销售人员随机抽取柑橘进行“柑橘损坏率”统计，并绘制成如下图所示的统计图． (1)估计柑橘损坏的概率为_______，柑橘完好的概率为_______； (2)估计这批柑橘完好的质量为_______； (3)如果该公司希望销售这些柑橘能够获得25000元的利润，那么在销售（已去掉损坏的柑橘）时，每千克柑橘定价为多少元比较合适？ 【变式4-1】某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530 随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于 （精确到0.01）． 【变式4-2】如图，已知边长为4的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ． 【变式4-3】某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为 ． 【变式4-4】一个不透明箱子里有红球和绿球共9个，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到红球的概率是，则袋子中有 个红球． 【考点题型五】概率公式（） 【例5】一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】盒子里装有5张质地均匀、大小相同的数字卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．从盒中任意摸出一张卡片，摸出偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为（   ） A． B． C． D． 【考点题型六】几何概率（） 【例6】如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，转盘中8个扇形的面积都相等，涂色的为灰色部分，其余为白色部分，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则该小球停留在阴影部分的概率是 ． 【考点题型七】用列举法或树状图求概率（） 【例7】．暑假期间，某班计划一起去外省研学，该班同学经过讨论最终决定在成都、太原、武汉、重庆四个城市中选择，由于时间安排，只能去其中一个城市，到底去哪个城市同学们意见不统一．于是带队老师建议，用大家学过的抽卡片游戏来决定．规则为：准备4张除正面分别写有成都、太原、武汉、重庆，其余都相同的不透明卡片，背面朝上洗匀后，班长从中随机抽取一张，记下卡片正面写的城市后放回，记作随机抽卡片1次． (1)班长随机抽卡片15次，其中抽到的卡片正面写的城市是“成都”有7次，则抽到“成都”的频率是_____； (2)若时间调整可以去其中两个城市研学，班长随机抽卡片2次，请利用画树状图或列表法求2次抽到的卡片正面分别写有“重庆”和“武汉”的概率． 【变式7-1】粤式早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．李强在广州旅游期间，决定在“A．肠粉、B．叉烧包、C．虾饺、D．烧卖”四种茶点中选择喜欢的进行品尝（选到每种茶点的可能性相同）． (1)如果只选其中一种茶点品尝，李强选到“A．肠粉”的概率是______； (2)如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的概率． 【变式7-2】为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行共青团团史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图． 等级 成绩（） 频数 频率 A B 20 C D 4    根据图表信息，回答下列问题： (1)表中___，___； (2)若全校共有1200名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计该校成绩为A等级的学生人数为___； (3)学校拟在成绩为100分的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽取两名学生参加市级比赛，请用树状图或列表法表示所有可能的结果，并求甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率． 【变式7-3】在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比的活动中，共设置了“．交通安全”“．消防安全”“．饮食安全”三个主题内容．小林和小芳两名学生参加评比，若她们每人从以上三个主题内容中随机选取一个，每个主题被选择的可能性相同． A．交通安全B．消防安全C．饮食安全 (1)小林选择交通安全手抄报的概率为_____； (2)请用画树状图或列表的方法，求小林和小芳选择同一主题手抄报的概率． 【考点题型八】游戏的公平性（） 【例8】如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“附”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是____________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是____________； (2)明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【变式8-1】一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球．分别标有数字1，2，3，4．另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．小真从口袋中任意摸出一个小球，记下数字，小帅自由转动圆盘，记下指针拼向的数字，然后计算摸出的小球和转出圆盘上的两个数的积． (1)请你用列表或画树状图的方法，求出这两个数的积为6的概率； (2)小真和小帅想通过这个游戏来决定谁代表班级参加元旦歌咏比赛，他们约定；若这两个数的积为奇数，小真赢，否则，小帅赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 【变式8-2】有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1、2、3、4，把它们背面朝上，记下数字，然后放回 (1)用列表或画树状图的方法计算两次摸出的纸牌上数字之和为6的概率； (2)甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 【变式8-3】小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字3、4、5（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为8的概率． (2)如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03概率初步（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 事件的类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 清单02 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 【考点题型一】事件的类型（） 【例1】下列事件为必然事件的是（   ） A．明天是晴天 B．一个三角形三个内角和小于 C．两个正数的和为正数 D．任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次 【答案】C 【分析】本题考查必然事件的概念，解题的关键是理解必然事件是在一定条件下必然会发生的事件． 依次分析每个选项，判断其是否符合必然事件的定义． 【详解】A、明天的天气是不确定的，明天可能是晴天，也可能是其他天气，故“明天是晴天”是随机事件； B、根据三角形内角和定理，三角形的内角和是，故“一个三角形三个内角和小于”是不可能事件； C、两个正数相加，结果一定是正数，这是必然会发生的，故“两个正数的和为正数”是必然事件； D、任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是不确定的，可能是50次，也可能不是50次，故“任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次”是随机事件． 故选：C． 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B．经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件 C．汽车累积行驶没有出现故障，是必然事件 D．若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数为40次 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义，事件的分类．根据概率的意义，事件分类逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A、“明天下雨的概率为”是说明天大约有可能下雨，原说法错误，不符合题意； B、经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件，原说法正确，符合题意； C、汽车累积行驶没有出现故障，是随机事件，原说法错误，不符合题意； D、抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数可能为40次，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】有两个事件，事件（1）走到苹果树下，被成熟的苹果砸中脑袋；（2）射击运动员射击一次，命中靶心．下列判断正确的是（　　） A．（1）是随机事件，（2）是确定性事件． B．（1）（2）都是确定性事件． C．（1）是确定性事件，（2）是随机事件． D．（1）（2）都是随机事件． 【答案】D 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．熟练掌握其概念并能正确判断是解决此题的关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：对于事件（1）：走到苹果树下，被成熟的苹果砸中脑袋，是随机事件； 对于事件（2）：射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件． 故选：D． 【变式1-3】下列事件是必然事件的是（ ） A．是有理数 B．367人中至少有两人的生日在同一天 C．车辆随机到达一个路口遇到红灯 D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、是有理数，是不可能事件，不符合题意； B、一年最多366天，故最少会有人的生日会与其他人重复，故367人中至少有两人的生日在同一天是必然事件，符合题意； C、车辆随机到达一个路口遇到红灯，是随机事件，不符合题意； D、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上，是随机事件，不符合题意． 故选：B． 【考点题型二】可能性大小（） 【例2】现有同一品牌的足球100个，其中有4个次品，从中任取1个，则（   ） A．一定是次品 B．很可能是次品 C．不大可能是次品 D．不可能是次品 【答案】C 【分析】本题考查可能性的大小，首先根据随机事件发生的可能性，可得今从中任取一件，可能抽到次品，也可能抽到正品；然后根据正品、次品数量的多少，直接判断可能性的大小即可． 【详解】解：根据随机事件发生的可能性， 因为正品的数量是（个），次品数量是4个，96远大于4， 所以抽到次品的可能性较小，即不大可能抽到次品． 故选：C． 【变式2-1】从一个装有6个红球、4个蓝球、2个白球和1个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（   ） A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球 【答案】D 【分析】本题考查了可能性的大小，找到个数最少的球即可确定正确的选项，解题的关键是分别求得各个选项中事件发生的概率． 【详解】解：∵所有的球中黑球最少， ∴摸出黑球的可能性最小， 故选：D． 【变式2-2】下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升 【答案】D 【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 【详解】解∶A．守株待兔是极小概率事件，不符合题意； B．大海捞针是不可能事件，不符合题意； C．返老还童是不可能事件，不符合题意； D．旭日东升是必然事件，符合题意； 故选：D． 【变式2-3】某超市开展“迎藏历新年”大酬宾活动，凡购物满200元者，可参与一次转盘抽奖（如图1）．德吉购买了220元的物品，她最有可能抽中（    ） A．一等奖 B．二等奖 C．三等奖 D．谢谢惠顾 【答案】C 【分析】本题主要考查可能性的大小，理解面积大的转到的可能性就大是解题的关键．根据图示发现三等奖所占面积最大即可得到答案． 【详解】解：根据图示发现三等奖所占面积最大， 故她最有可能抽中三等奖． 故选C． 【考点题型三】概率的意义（） 【例3】下列说法中正确的是（    ） A．种植一种花卉成活率是，则种100株这种花一定会有95株成活 B．天气预报“明天降水概率是”是指明天有的时间会下雨 C．某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛一定能获得大奖 D．连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1” 【答案】D 【分析】本题考查的是概率的意义，熟知概率只是表示某事件发生的可能性是解答此题的关键．根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花不一定会有95株成活，故A说法错误，不符合题意； B、天气预报“明天降水概率是”，是指明天有的概率会下雨，故B说法错误，不符合题意； C、某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛不一定能获得大奖，故C说法错误，不符合题意；； D、连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1”, 故D说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-1】下列说法正确的是（） A．汽车行驶到十字路口遇到绿色的信号灯是必然事件 B．“彩票中奖的概率为”表示买100张彩票肯定会中奖 C．“明天降雨的概率是”表示明天有的时间都在降雨 D．抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为，表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近 【答案】D 【分析】本题考查了概率，事件的分类等知识，根据概率是指某件事发生的可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案． 【详解】解：A．汽车行驶到十字路口遇到绿色的信号灯是随机事件，原说法错误，不符合题意； B．“彩票中奖的概率为”表示买100张彩票有可能会中奖，原说法错误，不符合题意； C．“明天降雨的概率是” 表示明天下雨的可能性较大，原说法错误，不符合题意； D．抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为，表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近，原说法正确，符合题意， 故选：D． 【变式3-2】下列说法正确的是（    ） A．郑州明天降雨的概率为，表示郑州明天有一半的时间在下雨 B．掷一枚质地均匀的硬币次，恰好有次正面朝上 C．随着试验次数的增加，频率会稳定在一个常数附近 D．任意买一张电影票，座位号是的倍数是必然事件 【答案】C 【分析】本题考查了概率的意义以及随机事件，根据概率的意义、随机事件的概念解答即可． 【详解】解： A．郑州明天的降水概率为，只能说明郑州明天有的机会降雨，说法错误，故本选项不符合题意； B．投掷硬币是随机事件，每次正面的概率是，但任意掷一枚质地均匀的硬币100次，不一定有50次正面向上，说法错误，故本选项不符合题意； C．随着试验次数的增加，频率会稳定在一个常数附近，说法正确，故本选项符合题意； D．“任意购买一张电影票，座位号是2的倍数”为随机事件，说法错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式3-3】一个事件发生的概率不可能是（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了概率的意义，根据随机事件发生的概率在0和1之间，不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1，可得答案． 【详解】解：A、任何事件的概率不能大于1小于零，故A符合题意； B、任何事件的概率不能大于1小于零，故B不符合题意； C、任何事件的概率不能大于1小于零，故C不符合题意； D、任何事件的概率不能大于1小于零，故D不符合题意； 故选：A． 【考点题型四】频率估计概率（） 【例4】某水果公司以2元的成本购进柑橘，在销售过程中销售人员随机抽取柑橘进行“柑橘损坏率”统计，并绘制成如下图所示的统计图． (1)估计柑橘损坏的概率为_______，柑橘完好的概率为_______； (2)估计这批柑橘完好的质量为_______； (3)如果该公司希望销售这些柑橘能够获得25000元的利润，那么在销售（已去掉损坏的柑橘）时，每千克柑橘定价为多少元比较合适？ 【答案】(1)； (2)9000 (3)每千克柑橘定价为5元比较合适 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，一元一次方程的应用，掌握用频率估计概率知识是解决本题的关键． （1）从图表可以估计柑橘损坏的概率估计值为，即可得出柑橘完好的概率估计值； （2）根据题意，这批柑橘完好的质量所有水果的质量柑橘完好的概率； （2）通过理解题意可知本题的等量关系，即没有损坏的水果的售价所有水果的成本元，即可列方程解决． 【详解】（1）解：根据所给的图形可得柑橘损坏的概率估计值为， ∴柑橘完好的概率估计值为， 故答案为：，； （2）解：估计柑橘完好的质量为（千克）， 故答案为：； （3）解：设每千克柑橘定价元， ， 解得， 答：每千克柑橘定价元比较合适． 【变式4-1】某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530 随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于 （精确到0.01）． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握频率估计概率的方法是解题关键．随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率，由此即可得． 【详解】解：由表格可知，随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于， 故答案为：． 【变式4-2】如图，已知边长为4的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：根据题意，二维码中黑色部分的面积约为． 故答案为：． 【变式4-3】某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是． 故答案为：． 【变式4-4】一个不透明箱子里有红球和绿球共9个，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到红球的概率是，则袋子中有 个红球． 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式，根据概率公式即可得到结论．熟练掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：袋子中红球的个数为（个． 故答案为：6． 【考点题型五】概率公式（） 【例5】一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用红球的个数除以球的总数即可得解． 【详解】解：∵一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球， ∴从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为， 故选：B． 【变式5-1】盒子里装有5张质地均匀、大小相同的数字卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．从盒中任意摸出一张卡片，摸出偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求解随机事件的概率，用出现偶数的情况除以总情况数即可． 【详解】解：总共有5种情况，摸出偶数的情况有2种， 故摸出偶数的概率是． 故选：B． 【变式5-2】二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据二十四个节气中，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒，共六个节气在冬季，计算即可得解，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵二十四个节气中，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒，共六个节气在冬季， ∴从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为， 故选：A． 【考点题型六】几何概率（） 【例6】如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是几何概率，熟知概率公式是解题的关键． 直接根据概率公式解答即可． 【详解】解：∵共有9个小正方形，黑色的有3块， ∴击中黑色小正方形的概率． 故选：B． 【变式6-1】如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率，掌握某事件的概率等于这个事件所占有的面积与总面积之比成为解题的关键． 先计算出阴影部分的面积，然后计算阴影部分的面积与整个图形的面积的比即可． 【详解】解：∵阴影部分为正方形，正方形的边长为， ∴阴影区域的面积为， ∵整个正方形的面积为， ∴飞镖击中阴影区域的概率是． 故选C． 【变式6-2】如图，转盘中8个扇形的面积都相等，涂色的为灰色部分，其余为白色部分，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单概率的计算，熟知概率公式是解题关键．根据题意得到圆被等分成8份，其中灰色区域占2份，根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵圆被等分成8份，其中灰色区域占2份， ∴指针落在灰色区域的概率为． 故选：C． 【变式6-3】一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则该小球停留在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率模型，用阴影部分的面积除以总面积得到该小球停留在阴影部分的概率即可得到答案．熟记几何概率模型求概率的方法：概率阴影部分面积总面积． 【详解】 解：设图中一个阴影部分三角形的面积为，由图可知它为一个小正方形面积的， 所以所有阴影部分的面积是，大正方形的面积是个小正方形面积，即， 该小球停留在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【考点题型七】用列举法或树状图求概率（） 【例7】．暑假期间，某班计划一起去外省研学，该班同学经过讨论最终决定在成都、太原、武汉、重庆四个城市中选择，由于时间安排，只能去其中一个城市，到底去哪个城市同学们意见不统一．于是带队老师建议，用大家学过的抽卡片游戏来决定．规则为：准备4张除正面分别写有成都、太原、武汉、重庆，其余都相同的不透明卡片，背面朝上洗匀后，班长从中随机抽取一张，记下卡片正面写的城市后放回，记作随机抽卡片1次． (1)班长随机抽卡片15次，其中抽到的卡片正面写的城市是“成都”有7次，则抽到“成都”的频率是_____； (2)若时间调整可以去其中两个城市研学，班长随机抽卡片2次，请利用画树状图或列表法求2次抽到的卡片正面分别写有“重庆”和“武汉”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了频率的含义，画树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由频率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中符合条件的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：班长随机抽卡片15次，其中抽到的卡片正面写的城市是“成都”有7次，则抽到“成都”的频率是； （2）解：成都、太原、武汉、重庆四个城市分别用A、B、C、D表示， 画树状图如下： 由树状图可知共有16种等可能的结果，班长抽到的卡片正面分别写有“重庆”和“武汉”的情况有2种， ∴2次抽到的卡片正面分别写有“重庆”和“武汉”的概率为． 【变式7-1】粤式早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．李强在广州旅游期间，决定在“A．肠粉、B．叉烧包、C．虾饺、D．烧卖”四种茶点中选择喜欢的进行品尝（选到每种茶点的可能性相同）． (1)如果只选其中一种茶点品尝，李强选到“A．肠粉”的概率是______； (2)如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键． （1）运用概率公式进行列式计算，即可作答． （2）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【详解】（1）解：∵决定在“A．肠粉、B．叉烧包、C．虾饺、D．烧卖”四种茶点中选择喜欢的进行品尝 ∴只选其中一种茶点品尝，李强选到“A．肠粉”的概率是； 故答案为：． （2）解：画树状图如图所示：    由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的结果有2种， （李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”）． 【变式7-2】为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行共青团团史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图． 等级 成绩（） 频数 频率 A B 20 C D 4    根据图表信息，回答下列问题： (1)表中___，___； (2)若全校共有1200名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计该校成绩为A等级的学生人数为___； (3)学校拟在成绩为100分的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽取两名学生参加市级比赛，请用树状图或列表法表示所有可能的结果，并求甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率． 【答案】(1)0.55；12 (2)660名 (3)树状图见解析，甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率为 【分析】（1）由扇形统计图可得的百分比，用表格中的频数除以扇形统计图中的百分比可得抽取的学生人数，用抽取的学生人数乘以扇形统计图中的百分比可得的值，进而可得等级的频数，用等级的频数除以抽取的学生人数可得的值． （2）根据用样本估计总体，用1200乘以样本中等级的频率，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果，以及甲、乙两名学生中至少有1人被选中的结果，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为（人， ， 等级的频数为， ． 故答案为：0.55；12． （2）解：（人． 估计该校成绩为等级的学生人数约为660人． 故答案为：660． （3）解：解：画树状图如下：    共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名学生中至少有1人被选中的结果有10种， ∴甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、频数与频率、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． 【变式7-3】在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比的活动中，共设置了“．交通安全”“．消防安全”“．饮食安全”三个主题内容．小林和小芳两名学生参加评比，若她们每人从以上三个主题内容中随机选取一个，每个主题被选择的可能性相同． A．交通安全B．消防安全C．饮食安全 (1)小林选择交通安全手抄报的概率为_____； (2)请用画树状图或列表的方法，求小林和小芳选择同一主题手抄报的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适合两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）先根据题意列表，然后根据概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵手抄报有三个主题内容， ∴小林选择交通安全手抄报的概率为． 故答案为：； （2）解：列表如下． 小林 小芳 A B C A B C 共有9种等可能的结果，两人恰好选中同一主题手抄报的结果有3种，则小林和小芳选择同一主题手抄报的概率为． 【考点题型八】游戏的公平性（） 【例8】如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“附”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是____________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是____________； (2)明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1)， (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出明明、红红获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是， “我”的笔画数是7， “是”的笔画数是9， “附”的笔画数是7， “中”的笔画数是4， “人”的笔画数是2， “我”的笔画数是7， “骄”的笔画数是9， “傲”的笔画数是12， 8个汉字中笔画数是奇数的汉字有5个， ∴指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是， 故答案为：，； （2）解：游戏不公平，理由如下： 8个汉字中笔画多于7画的有：“是”、“骄”、“傲”， 8个汉字中笔画不多于7画的有：“我”、“附”、中、人、“我”， 所以明明获胜的概率为， 红红获胜的概率为， ∴明明获胜的概率红红获胜的概率， 所以游戏不公平． 【变式8-1】一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球．分别标有数字1，2，3，4．另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．小真从口袋中任意摸出一个小球，记下数字，小帅自由转动圆盘，记下指针拼向的数字，然后计算摸出的小球和转出圆盘上的两个数的积． (1)请你用列表或画树状图的方法，求出这两个数的积为6的概率； (2)小真和小帅想通过这个游戏来决定谁代表班级参加元旦歌咏比赛，他们约定；若这两个数的积为奇数，小真赢，否则，小帅赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 【答案】(1)； (2)游戏不公平，理由见解析，游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查游戏的公平性及概率的计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表列出所有等可能结果，根据概率公式解答即可； （2）由积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况，即可判断． 【详解】（1）列表如下： 小真小帅 1 2 3 4 1 2 3 由表可知共有12种可能结果，且每种结果出现的可能性相同，其中积为6的有2种，为，，∴P（积为6）； （2）游戏不公平． 因为积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况． P（积为奇数），P（积为偶数），，所以不公平 游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢． 或改为：积为奇数小真得2分，否则小帅得1分，多次试验，累计得分多者为胜．（答案不唯一，修改规则只要合理即可得分） 注：这道题列这种表不扣分 小真 小帅 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 12 由表可知共有12种可能结果，且每种结果出现的可能性相同， 其中积为6的有2种，为，， ∴P（积为6）； （3）游戏不公平． 因为积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况． P（积为奇数），P（积为偶数），， 所以不公平． 游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢． 或改为：积为奇数小真得2分，否则小帅得1分，多次试验，累计得分多者为胜．（答案不唯一，修改规则只要合理即可得分） 【变式8-2】有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1、2、3、4，把它们背面朝上，记下数字，然后放回 (1)用列表或画树状图的方法计算两次摸出的纸牌上数字之和为6的概率； (2)甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)公平，见解析． 【分析】（1）列表表示两次摸到纸牌上数字之和为6的所有情况，再根据概率公式计算即可得到答案； （2）分别计算纸牌上数字之和为奇数和偶数的概率，进行比较即可得到游戏是否公平，即可作答． 此题考查列表法或列树状图的方法求事件的概率，正确理解题中的事件是放回或是不放回事件是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，列表如下 和 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 共有16种等可能的情况，其中两次摸到纸牌上数字之和为6的等可能的情况有三种， ∴（和为6）； （2）解：游戏公平，理由如下： 由（1）得两次摸到纸牌上数字之和为奇数的等可能的情况有8种，两次摸到纸牌上数字之和为偶数的等可能的情况有8种， ∴（和为奇数），（和为偶数）， ∴游戏公平． 【变式8-3】小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字3、4、5（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为8的概率． (2)如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则对双方是不公平的，理由见解析 【分析】此题考查了列表法求概率．注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与两数和为8的情况，再利用概率公式求解即可； （2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性． 【详解】（1）解：列表如下： 3 4 5 3 4 5 总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而两数和为8的结果有3种， 因此P（两数和为8）； （2）这个游戏规则对双方不公平． 理由：因为P（和为奇数），P（和为偶数）， 因为， 所以这个游戏规则对双方是不公平的． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$