专题02 相交线与平行线（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材北师大版

专题02 相交线与平行线 思维导图 串 考点清单 理 对顶角、余角、补角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的 且这两个角有 ，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角 . 3.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是 ，那么称这两个角互为 ，也称互补.互余：如果两个角的和是 ，那么称这两个角互为 ，也称互余. 4.互补与互余的性质：同角或等角的补角 ；同角或等角的余角 . 垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线 ，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段 .简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的 ，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 平行线 1.平行线的定义 在同一平面内， 的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.平行线的画法 一“ ”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“ ”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“ ”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“ ”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3.平行线的公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即 ，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即 ，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即 ，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行， . 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行， . 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行， . 题型清单 解 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别（共4小题） 【例1】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【变式1-1】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与互补 【变式1-2】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列说法错误的是（     ） A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【变式1-3】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线a，b被直线所截，则下列说法中正确的是（   ）    A．与互余 B．与是同位角 C．与不是对顶角 D．与是同位角 判断两条直线是否平行（共4小题） 【例2】（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，若，则下列条件中，不能判定的是（    ） A． B． C．和互余且和互余 D．平分，且平分 【变式2-2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 点到直线的距离与垂线段最短（共4小题） 【例3】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【变式3-3】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图是小明在体育课上进行跳远测试的示意图，，C为垂足．分别测得米，米，米，则小明的跳远成绩应该是（   ） A．2.19米 B．2.16米 C．2.25米 D．2.20米 平行线的判定和性质多结论题（共4小题） 【例4】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知，分别平分，下列结论：①；②；③与互补．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-1】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，连接，，平分，，点 E 在的延长线上，连接，，下列结 论：①；②平分；③；④．其 中正确的个数为（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【变式4-3】（24-25七年级下·四川德阳·期末）在综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为主题开展活动，把一副直角三角板如图摆放，已知，，（），则下列结论：①；②；③；④当时，平分．其中正确的结论个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 求一个角的余角、补角（共4小题） 【例5】（25-26七年级上·北京·期末）已知，则的补角大小为_________________． 【变式5-1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知与互余，且，则的度数是______． 【变式5-2】（25-26七年级上·甘肃白银·期末）如图，将一副三角板的两直角顶点重合放置，已知，则的余角的度数为______． 【变式5-3】（25-26七年级上·山东聊城·期末）如果一个角的补角比这个角的2倍大，那么这个角的余角为_______． 利用对顶角、余角、补角、直角求角（共4小题） 【例6】（25-26七年级上·广西崇左·期末）已知是直线上的一点，是直角． (1)如图1，若平分，当时，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数； 【变式6-1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为． (1)图中的对顶角是（     ），的余角是（     ），的补角（     ）； (2)若，求的度数． 【变式6-2】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图，直线和交于点，在内作射线，使得，在内作射线，使得． (1)若，求的度数； (2)若射线于点，，请先依据题意补全图形，再求的度数． 【变式6-3】（25-26七年级上·江苏南通·期末）直线、相交于点O，平分． (1)如图1，若，则的度数为______； (2)如图2，，且，求的度数． 网格中画垂线、平行线（共4小题） 【例7】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： (1)过点画出线段的垂线，垂足为点； (2)画出线段的垂直平分线； (3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 【变式7-1】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，是的边上的一点，点、、都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为；并完成填空： ①线段__________的长度表示点到直线的距离； ②__________（填“”“”或“”）；理由是__________． (2)过点画的平行线，点在格点上． 【变式7-2】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） (1)过点画直线； (2)在线段上找一点，使得点与点距离最短，在图中作出点，此时最短蕴含的数学道理是__________； (3)点为图中的格点，点与点不重合，则满足的点有__________个． 【变式7-3】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，三点都在格点上（小正方形的顶点叫做格点）． (1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法） ①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点； ②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足； (2)在（1）画图结果的基础上，线段_________的长就是点到直线的距离； (3)连接，比较大小：_________（填“>”“<”或“=”）． 平行线的判定和性质综合问题（共4小题） 【例8】（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）已知：如图，于点，于点，且． 求证：． 下面是推理过程，请你填空或填写理由． 证明：于点，于点（______）， （______）， （______）， （______）， （已知）， （等量代换）， ， ______（两直线平行，同位角相等）． ____________（等量代换）． 【变式8-1】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，三角形中，D是上一点，E是上一点，点F，G在上，，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【变式8-2】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【变式8-3】（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图1，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则______， ______； (2)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成的锐角的度数． 根据平行线的判定与性质探究角的关系（共4小题） 【例9】（25-26七年级上·福建漳州·期末）在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 【变式9-1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【变式9-2】（25-26七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图，，点，分别在直线，上，点是，之间的一点（点不在直线上）． (1)观察猜想 如图1，当点在线段左侧时，为说明，李老师给出了辅助线的作法，请将下面说理过程省略部分补充完整． 解：过点作，…… (2)类比迁移 如图2，当点在线段右侧时，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 若，的平分线相交于点，当时，请直接写出的度数． 【变式9-3】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）问题情境：如图1，，求的度数，并指出与之间的数量关系． 小明的思路是：过点作，利用平行线的性质可求出的度数，得出与之间的数量关系． (1)问题初探：根据小明的思路，图1中的度数为___________度，与之间的数量关系为___________；（直接写出答案） (2)问题拓展：如图2，，若，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)问题延伸：如图3，，和的平分线相交于点，分别作和的平分线相交于点，再分别作和的平分线相交于点．设，则与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 根据平行线的判定与性质解决旋转问题（共4小题） 【例10】（24-25七年级下·山西忻州·期末）综合与探究：如图，直线，的顶点在直线上，． (1)如图1，当时， °， °．（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，若是的倍，判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，当与重合时，交于点，将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到射线，同时，将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动．设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式10-1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 【变式10-2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． (1)当平分，平分时，求与的数量关系； (2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； (3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【变式10-2】（23-24七年级下·重庆江北·期末）如图，直线，一副教学三角板中，，，，现按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上． (1)如图1，当平分时，求的值； (2)若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为t秒． ①在旋转过程中，如图2所示，当边，求的值． ②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当边时的值． 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线 思维导图 串 考点清单 理 对顶角、余角、补角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 3.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 平行线 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.平行线的画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3.平行线的公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 题型清单 解 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别（共4小题） 【例1】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 【变式1-1】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与互补 【答案】C 【分析】此题主要考查了对顶角、同位角、内错角，根据对顶角、同位角、内错角对选项进行判断． 【详解】解：A、与是内错角，说法错误； B、与不是内错角，说法错误； C、与是同位角，说法正确； D、与是对顶角不一定互补，说法错误； 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列说法错误的是（     ） A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，对顶角、邻补角，熟练掌握这几个定义是解题的关键．根据对顶角、邻补角、同旁内角、内错角的定义判断即可． 【详解】解：A、与是邻补角，说法正确，故此选项不符合题意； B、与是对顶角，说法正确，故此选项不符合题意； C、与是同旁内角，说法正确，故此选项不符合题意； D、与不是内错角，说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线a，b被直线所截，则下列说法中正确的是（   ）    A．与互余 B．与是同位角 C．与不是对顶角 D．与是同位角 【答案】D 【分析】此题主要考查了对顶角、同旁内角和同位角．根据对顶角、同旁内角、同位角定义分别分析即可． 【详解】解：A、与是同旁内角，不一定互余，故原题说法错误； B、与是同旁内角，故原题说法错误； C、与是对顶角，故原题说法错误； D、与是同位角，故原题说法正确； 故选：D． 判断两条直线是否平行（共4小题） 【例2】（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的判定定理逐项进行判断． 【详解】解：A.∵， ∴； B. ∵， ∴； C. ∵， ∴， 无法得出； D.∵， ∴； 【变式2-1】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，若，则下列条件中，不能判定的是（    ） A． B． C．和互余且和互余 D．平分，且平分 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据，结合各选项的条件逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴；故A不符合题意； ∵，， ∴不一定相等， ∴不能得到；故B符合题意； ∵．和互余且和互余， ∴， ∴， ∴；故C不符合题意； ∵，平分，且平分， ∴， ∴；故D不符合题意； 故选：B 【变式2-2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、不能判定，该选项不符合题意； 、能够判定，但不能判定，该选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴根据同位角相等，两直线平行，能够判定，该选项符合题意； 、，不能判定，该选项不符合题意． 故选：C． 【变式2-3】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， 该选项符合题意； B. ∵， ∴， 该选项不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵， ∴， 该选项不符合题意； 故选：A． 点到直线的距离与垂线段最短（共4小题） 【例3】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可得左脚的脚印距离起跳线的最短距离为， 故他的成绩为． 【变式3-1】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是， 故选：B． 【变式3-2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据 “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； B、线段的长是点C到直线的距离，故此选项符合题意； C、线段的长是点A到直线的距离，故此选项不符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-3】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图是小明在体育课上进行跳远测试的示意图，，C为垂足．分别测得米，米，米，则小明的跳远成绩应该是（   ） A．2.19米 B．2.16米 C．2.25米 D．2.20米 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离的含义，解答此题的关键是要明确：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，特别注意是“垂线段的长度”．根据点A到起跳线的垂线段的长度，据此判断出跳远成绩应该为多少米即可． 【详解】解∶∵，米， ∴小明的跳远成绩应该是米， 故选∶B． 平行线的判定和性质多结论题（共4小题） 【例4】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知，分别平分，下列结论：①；②；③与互补．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，补角的定义，根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义可推出，则可证明，得到，再证明，可得到；根据，，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与不互补，故③错误； 故选：C． 【变式4-1】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键． 由得到，，则可对③进行判断；再由平行线的性质得，由角平分线定义得，则，而，所以，则可对①进行判断；接着由平分得到，所以，根据平行线的判定即可得到，于是可对②进行判断；当，，，；利用平行线的性质得到，又因为，，于是可得，则可对④进行判断． 【详解】解：∵， ，即， ，所以③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵ ， ， ∴平分，即①正确； ∵平分， ∴， ∴ ∴，即②正确； 时，， ∴， ∴， ∵，而，， ∴， ∴．故④错误． 综上，正确的结论有①②③，共3个． 故选C． 【变式4-2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，连接，，平分，，点 E 在的延长线上，连接，，下列结 论：①；②平分；③；④．其 中正确的个数为（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．平行线的判定和性质，并结合角平分线的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即平分，故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即，故④正确； 故选：D 【变式4-3】（24-25七年级下·四川德阳·期末）在综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为主题开展活动，把一副直角三角板如图摆放，已知，，（），则下列结论：①；②；③；④当时，平分．其中正确的结论个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角度计算，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据，，得出即判断①，进而根据，即可判断②，延长交于点，根据平行线的性质即可判断③，根据当时，，结合平角的定义以及三角板的角度，即可判断④，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵ ∴， ∴，故②正确； 如图，延长交于点， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴，故③正确； 当时， ∴ ∴平分，故④正确， 故选：D． 求一个角的余角、补角（共4小题） 【例5】（25-26七年级上·北京·期末）已知，则的补角大小为_________________． 【答案】 【分析】根据补角的性质即可求解． 【详解】解：的补角大小为． 【变式5-1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知与互余，且，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了余角，根据余角的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵与互余， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26七年级上·甘肃白银·期末）如图，将一副三角板的两直角顶点重合放置，已知，则的余角的度数为______． 【答案】/30度 【分析】先求得，进而根据余角的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的余角的度数为． 【变式5-3】（25-26七年级上·山东聊城·期末）如果一个角的补角比这个角的2倍大，那么这个角的余角为_______． 【答案】/40度 【分析】本题考查了余角和补角的定义，解题的关键是根据题意列出关于这个角的方程，求出这个角的度数后再计算其余角． 设这个角的度数为，根据“补角比这个角的2倍大”列出方程，求出的值，再根据余角的定义计算． 【详解】解：设这个角的度数为． ， ， ， ． 这个角的余角为：． 故答案为：． 利用对顶角、余角、补角、直角求角（共4小题） 【例6】（25-26七年级上·广西崇左·期末）已知是直线上的一点，是直角． (1)如图1，若平分，当时，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平角与直角的性质以及角的和差运算，熟练掌握角平分线的性质和角的和差关系是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义求出的度数，再结合平角和直角的性质，计算出的度数． （2）先根据角平分线的定义表示出和，再通过角的和差关系推导出与的关系，最后代入的度数计算． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵是直角， ∴， ∴ ∴的度数为； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式6-1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为． (1)图中的对顶角是（     ），的余角是（     ），的补角（     ）； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；，；，； (2) 【分析】本题考查对顶角、余角、补角的定义以及垂直的性质，核心是理解对顶角相等、余角和为、补角和为，以及垂直的角为直角这些关键知识点． （1）对于对顶角，依据“有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角是对顶角”来判断；对于余角，结合得到，从而找到与和为的角；对于补角，寻找与和为的邻补角或其对顶角． （2）先利用邻补角的和为求出的度数，再结合垂直得到的直角，用直角减去的度数即可得到的度数． 【详解】（1）解：根据对顶角的定义，与有公共顶点，且两边互为反向延长线，故的对顶角是； ， ，即， 又， 的余角是，； ，， 的补角是，； 故答案为：；，；，； （2）解：， ， ， ， ． 【变式6-2】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图，直线和交于点，在内作射线，使得，在内作射线，使得． (1)若，求的度数； (2)若射线于点，，请先依据题意补全图形，再求的度数． 【答案】(1) (2)图见解析；射线在左侧时的度数为，当射线在右侧时的度数为 【分析】本题考查角的计算，垂线的定义； （1）根据题意先求得，根据，得出，再根据，即可求解． （2）分两种情况，①当射线在左侧时，②当射线在右侧时，补全图形后根据垂线定义结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 又因为， 所以， 因为， 所以， 所以． （2）解：补全图形如下， 由（1）可知，， 因为，所以． ①当射线在左侧时，如图1，， 所以． ②当射线在右侧时，如图2，， 所以． 【变式6-3】（25-26七年级上·江苏南通·期末）直线、相交于点O，平分． (1)如图1，若，则的度数为______； (2)如图2，，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义、垂直定义、几何图形中的角度计算，找到角之间的数量关系是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义求得，然后利用平角定义求解即可； （2）设，，根据角平分线的定义及垂直定义列方程求得，则可得，进而利用平角定义求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴可设，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． 网格中画垂线、平行线（共4小题） 【例7】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： (1)过点画出线段的垂线，垂足为点； (2)画出线段的垂直平分线； (3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)，见详解 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的性质，线段的垂直平分线，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）取格点J，作直线交于点D，直线即为所求； （2）取格点E，F，作直线即可； （3）取格点G，作直线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． 理由：，， ， ， ． 【变式7-1】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，是的边上的一点，点、、都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为；并完成填空： ①线段__________的长度表示点到直线的距离； ②__________（填“”“”或“”）；理由是__________． (2)过点画的平行线，点在格点上． 【答案】(1)①；②；点到直线的距离，垂线段最短； (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，点到直线的距离，垂线段最短，画平行线、垂线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据题意即可作出垂线，①根据点到直线的距离的定义判断即可；②根据垂线段最短，可得结论； （2）取格点E，作直线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求；直线即为所求； ①线段的长度表示点到直线的距离； ②根据垂线段最短得到，理由是点到直线的距离，垂线段最短； 故答案为：①；②；点到直线的距离，垂线段最短； （2）解：如图，直线即为所求． 【变式7-2】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） (1)过点画直线； (2)在线段上找一点，使得点与点距离最短，在图中作出点，此时最短蕴含的数学道理是__________； (3)点为图中的格点，点与点不重合，则满足的点有__________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，垂线段最短 (3)4 【分析】本题考查平行线，垂线段最短： （1）先确定 的方向（从 B 到 A 是向右 3格、向下3格），再从点 E 出发，按相同方向（向右 3格、向下 3 格）找到格点，连接成直线即可； （2）过点E作的垂线，此时最短，依据是：垂线段最短； （3）要使，则点 Q 必须在与 平行且到的距离等于点 E 到 距离的两条直线上，即可得出答案． 【详解】（1）解：即为所求， （2）如图所示，点 P 是过 E 作的垂线的垂足，此时最短，依据是：垂线段最短； （3）要使，则点 Q 必须在与 平行且到的距离等于点 E 到 距离的两条直线上．在图中，这样的格点 Q（不与 E 重合）共有、 、、共4 个． 故答案为：4． 【变式7-3】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，三点都在格点上（小正方形的顶点叫做格点）． (1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法） ①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点； ②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足； (2)在（1）画图结果的基础上，线段_________的长就是点到直线的距离； (3)连接，比较大小：_________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作平行线与垂线、点到直线的距离、垂线段最短； （1）利用网格的边长与角度特征进行作图即可； （2）根据点到直线的距离可得答案； （3）根据垂线段最短可得答案． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； （2）解：线段的长就是点到直线的距离， 故答案为：； （3）解：根据垂线段最短，可知：， 故答案为：． 平行线的判定和性质综合问题（共4小题） 【例8】（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）已知：如图，于点，于点，且． 求证：． 下面是推理过程，请你填空或填写理由． 证明：于点，于点（______）， （______）， （______）， （______）， （已知）， （等量代换）， ， ______（两直线平行，同位角相等）． ____________（等量代换）． 【答案】已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；； ； 【分析】根据垂直的定义得到，根据平行线的判定得到，由平行线的性质得到，等量代换得到，由平行线的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】证明：于点，于点（已知）， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， ， （两直线平行，同位角相等）， （等量代换）． 【变式8-1】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，三角形中，D是上一点，E是上一点，点F，G在上，，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定及性质进行证明即可； （2）根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，从而根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明∶∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式8-2】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义； （1）根据平行线的判定与性质即可进行判断与证明； （2）先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用平行线的性质得出的度数． 【详解】（1）解：， 理由：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ． 【变式8-3】（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图1，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则______， ______； (2)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成的锐角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴ 故答案为：，． （2）解：由题意可得：， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 根据平行线的判定与性质探究角的关系（共4小题） 【例9】（25-26七年级上·福建漳州·期末）在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 【答案】【探究一】，，；【探究二】，理由见解析；【探究三】． 【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线是解题关键． 【探究一】根据平行线的性质即可得答案； 【探究二】过点作，过点作，根据平行线的性质得出，利用对顶角相等即可得答案； （3）过点作，交于，，根据平行线点性质得出，，，，利用（2）中所得结论即可得答案． 【详解】解：[探究一]∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． [探究二]如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴，即， ∴ [探究三]如图，过点作，交于，， ∴，，，， ∵、的角平分线并相交于点， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴． 【变式9-1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 【变式9-2】（25-26七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图，，点，分别在直线，上，点是，之间的一点（点不在直线上）． (1)观察猜想 如图1，当点在线段左侧时，为说明，李老师给出了辅助线的作法，请将下面说理过程省略部分补充完整． 解：过点作，…… (2)类比迁移 如图2，当点在线段右侧时，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 若，的平分线相交于点，当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角，找出角度之间的关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）过点作，根据平行线的性质，得到，，即可证明结论； （2）过点作，根据平行线的性质，得到，，再结合，即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当点在线段左侧时；当点在线段右侧时，根据（1）和（2）所得结论，再结合角平分线的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ， ， ； （3）解：如图3，当点在线段左侧时， 由（1）可知，， ， ， ，， ， 、的平分线交于点， ，， ， 同（1）理可证，， ； 如图4，当点在线段右侧时， 由（2）可知，， ， ， ，， ， 、的平分线交于点， ，， ， 同（1）理可证，， ； 综上可知，或． 【变式9-3】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）问题情境：如图1，，求的度数，并指出与之间的数量关系． 小明的思路是：过点作，利用平行线的性质可求出的度数，得出与之间的数量关系． (1)问题初探：根据小明的思路，图1中的度数为___________度，与之间的数量关系为___________；（直接写出答案） (2)问题拓展：如图2，，若，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)问题延伸：如图3，，和的平分线相交于点，分别作和的平分线相交于点，再分别作和的平分线相交于点．设，则与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 【答案】(1)100， (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点作，证明，利用平行线的性质求解即可； （2）过点作，证明，利用平行线的性质求解即可； （3）由（1）知，得到，由角平分线的定义求得，，由（2）知，同理，根据规律得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：由（1）知， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴，， 由（2）知， 同理， ， ， ，即， ∴． 根据平行线的判定与性质解决旋转问题（共4小题） 【例10】（24-25七年级下·山西忻州·期末）综合与探究：如图，直线，的顶点在直线上，． (1)如图1，当时， °， °．（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，若是的倍，判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，当与重合时，交于点，将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到射线，同时，将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动．设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，见解析 (3)存在，的值为或 【分析】本题考查平行线的性质及应用，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据平行线的性质，即可求解． （2）根据是的倍，结合（1），得出方程，解得，进而求得，即可得证； （3）分两射线相遇前平行和相遇后平行两种情况讨论，分别画出图形，根据条件以及平行线的性质列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；．． （2）． 理由：由题意，得， 解得， 即， ， ． （3）存在．分以下两种情况： ①如图1，，． ， ． ， ，解得； ②如图2，， ， ， ，解得． 综上所述，的值为或． 【变式10-1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【分析】操作一： （1）利用和推出，结合三角板的内角得，根据旋转性质得旋转角，再由平行线的内错角相等建立方程求解； （2）通过延长线段、作平行线构造平行关系，利用平行线的同位角、内错角相等，结合三角板的固定角度算出旋转角的度数，进而建立关于的方程求解； 操作二：分与反向平行、同向平行两种情况，先作平行线构造平行关系，结合旋转性质表示出相关角度，再利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出． 【详解】操作一： （1）解：∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴， 由旋转可知，绕点逆时针旋转的角度为，即． ∴， 解得； （2）解：如图，延长线段，交直线于点，过点作直线，使，过点作，由平行公理的推论可得． ∵， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵绕点逆时针旋转的角度为，即， ∴，解得． 操作二： 解：①如图，当时，与反向平行，过点作直线，交于点，延长，交于点，过点作，则． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， 又∵，， ∴， 解得； ②如图，当时，与同向平行，过点作直线，交于点，交于点，则． 同理，． ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，的值为或． 【变式10-2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． (1)当平分，平分时，求与的数量关系； (2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； (3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)存在，当秒时，，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，列一元一次方程和解方程等知识点，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可得，再根据角平分线的定义，得，，等量代换即可求解； （2）过点P作，根据平行公理的推论，得，再根据平行线的性质，得，，等量代换即可求解； （3）根据题意，易得，，，根据t的取值范围分5种情况讨论，从而用含t的式子表示出和，再根据，列方程，求解判断即可． 【详解】（1）解： ， 平分，平分， ，， ； （2）结论：，理由如下： 如图，过点P作， 则， ， ， ， ； （3）存在，当秒时，，理由如下： 由题意得：，， ， ， 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 综上，在这个过程中，当秒时，． 【变式10-2】（23-24七年级下·重庆江北·期末）如图，直线，一副教学三角板中，，，，现按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上． (1)如图1，当平分时，求的值； (2)若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为t秒． ①在旋转过程中，如图2所示，当边，求的值． ②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当边时的值． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意利用分类讨论的思想求解． （1）利用平行线和角平分线的性质即可解决问题； （2）①画出图形，设延长线与交于点，利用平行线的性质即可求解； ②先讨论第一次和第二次的情况，分别画出图形进行解答，再探索的规律即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵，速度为每秒3度， ∴旋转的度数范围为， 则只有一种情况，如图， 设延长线与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边，的值为； ②如图，当第一次时，延长交于． ∵， ∴， 过点作，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 如图，当第二次时，延长交于， ∵， ∴， 过点作，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 本题，结合， 相当于是求当时的， 可通过平移两三角板将、重合，转化为共点旋转， 共点旋转时从某次到下一次，和需相向旋转角度和， 设这段时间为， 则， 得：， 即每隔秒一次， 即每隔秒一次， 又， 故第三次，第四次， 综上所述，满足条件的的值为或或或． 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $