清单02 相交线和平行线（考点清单，知识导图+12个考点清单&题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版2024）

清单02相交线和平行线（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 清单02 对顶角和邻补角 1. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 2. 对顶角的性质：对顶角相等。 3. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180° 清单03 垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 清单04 三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 清单05 平行线的判定 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 3.平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 清单06 平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 清单07 平行线中常考模型 模型一：“铅笔模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二：“猪蹄模型” 【方法技巧】 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三：“臭脚模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四：“抬头模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 【考点题型一】余角和补角（） 【例1】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知点O为直线上一点，， ，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【变式1-1】（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）已知是锐角，与互补，与互余，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）一个角的度数是，那么它的余角的补角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）已知是的余角，且，则的补角等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25七年级下·广东深圳·阶段练习）一个角的余角比它的补角的少，则这个角的度数为（　　） A． B． C． D． 【考点题型二】对顶角、邻补角（） 【例2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）如图，直线相交于点0，射线平分．若，则等于（　　） A．50° B．25° C．30° D．20° 【变式2-2】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，直线，，相交于点O，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级下·山西晋中·阶段练习）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．如图，七年级数学课堂上论证“对顶角相等”时，进行了如下推理：因为，，所以．其中，得出使用的依据是 ． 【变式2-4】（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，直线相交于点．若，，则的大小为 ． 【考点题型三】点到直线的距离（） 【例3】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，则点到直线的距离是（   ）    A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，，垂足分别为B、P．下列说法中错误的是（　　） A．线段的长是点P到的距离 B．、、三条线段，最短 C．线段的长是点A到的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【变式3-2】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，三角形中，，于点D，若，则点C到直线的距离是 ． 【变式3-3】（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）如图，在直角三角形中，，过点作于点，则线段 的长可以表示点到直线的距离． 【变式3-4】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，，且，，，则点C到直线的距离是 ． 【考点题型四】垂线段最短（） 【例4】（24-25七年级上·河南南阳·期末）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级下·山西晋中·阶段练习）如图，要把小河里的水引到田地A处，则作，垂足为B，沿挖水沟，水沟最短，理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式4-2】（24-25七年级下·全国·期中）如图，某运水厂要从点P修建一条管道通向河边，为了节约材料，修建了管道，其原理是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点可以作无数条直线 D．垂线段最短 【变式4-3】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄P， 现要建一个汽车站，且有A， B， C， D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点之间，垂线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【考点题型五】平行线公理（） 【例5】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点在同一直线上，这样判定的依据是（   ）    A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．两直线平行，同位角相等 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【变式5-2】（2025七年级下·全国·专题练习）若a，b，c，d为互不重合的四条直线，则下列推理正确的是（   ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 【考点题型六】同位角，内错角和同旁内角（） 【例6】（24-25七年级下·山西晋中·阶段练习）如图，的同位角是（   ）    A． B． C． D． 【变6-1】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，下列各对角中，属于同位角的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式6-2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，下列说法正确的是（　　） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 【变式6-3】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，直线与的边相交成字模型，则的内错角是（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】（24-25七年级下·河南洛阳·阶段练习）如图，下列判断错误的是（   ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是内错角 【考点题型七】两直线平行的条件（） 【例7】（22-23七年级上·西藏拉萨·期中）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级下·广东清远·阶段练习）如图，直线a、b 都与直线c相交，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判断的条件是（   ） A．①② B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式7-2】（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图，其中能说明的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型八】利用平行线的性质求角（） 【例8】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图所示的方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则的度数是（    ） A．60° B．50° C．45° D．40° 【变式8-1】（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）如图，直线，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知直线，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，两条公路和互相平行，之间有三段公路连接，且，若 ，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式8-4】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，若，， 则与的位置关系是 【变式8-5】（24-25七年级下·吉林松原·阶段练习）如图，，若，则的度数是 ． 【考点题型九】平行线与折叠综合（） 【例9】（2025七年级下·湖北·专题练习）如图，长方形纸片沿折叠，A，D两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25七年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，将对边平行的纸带折叠，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）如图，在长方形纸带中， ，，将长方形沿折叠，，两点的对应点分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则 ． 【考点题型十】平行线的生活中的实际应用（） 【例10】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图是一款小推车的示意图，其中扶手平行于座板，前轮支撑杆平行于推杆，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次再向左拐 D．第一次向左拐，第二次再向左拐 【变式10-2】（24-25七年级下·重庆长寿·阶段练习）如图是某运动员在一次山地自行车越野赛中经过的路线，已知第一次的拐角，第三次的拐角，若第三次拐弯后的道路恰好与第一次拐弯前的道路平行，则第二次的拐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25七年级下·北京海淀·阶段练习）如图1，有一种生活中常见的折叠拦道闸，可将其抽象为几何图形，如图2，垂直于地面于A，平行于地面，则 °． 【变式10-4】（24-25八年级上·山东青岛·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 ． 【考点题型十一】平行线的性质与判定综合（） 【例11】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知点E在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 【变式11-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知：如图所示，和的平分线交于，交于点，． (1)求证：； (2)试探究与的数量关系． 【变式11-2】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知，，平分，． (1)试判断与的位置关系？请说明理由； (2)若，求的度数． 【变式11-3】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，请在下列空格内填写结论和理由． 已知：， 试说明： 证明：∵（已知） ∴________________（________） ∴（________） ∵（________） ∴∠________（________） ∴（________） 【变式11-4】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点，，且，．    (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 【考点题型十二】平行线中常考模型（） 【例12】（24-25七年级下·贵州·阶段练习）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： （2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 【变式12-1】（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式12-4】（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线与之间的一点，．    (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，已知，直接写出的度数． 【变式12-5】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02相交线和平行线（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 清单02 对顶角和邻补角 1. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 2. 对顶角的性质：对顶角相等。 3. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180° 清单03 垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 清单04 三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 清单05 平行线的判定 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 3.平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 清单06 平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 清单07 平行线中常考模型 模型一：“铅笔模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二：“猪蹄模型” 【方法技巧】 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三：“臭脚模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四：“抬头模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 【考点题型一】余角和补角（） 【例1】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知点O为直线上一点，， ，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解，的度数，再利用角平分线的定义可求解； （2）分两种情况：当点在上方时，当点在下方时，根据余角的定义，平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：当点在上方时， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分，由（1）知， ∴， ∴． 当点在下方时， ∵与互余， ∴， ∵平分，由（1）知， ∴，则， ∴． 即：的度数为或． 【变式1-1】（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）已知是锐角，与互补，与互余，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与余角，补角有关的计算， 根据互余，互补的定义可得，将两式相减可得答案． 【详解】解：∵互补，互余， ∴， 得． 故选：A． 【变式1-2】（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）一个角的度数是，那么它的余角的补角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的余角，补角，熟练掌握余角，补角定义：“和为的两个角互为余角”“和为的两个角互为补角”，根据余角，补角的定义求出结果即可． 【详解】解：一个角的度数是，那么它的余角的补角的度数是： ， 故选：A． 【变式1-3】（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）已知是的余角，且，则的补角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了互余角关系、互补角关系，会用互为余角、互为补角求解是解题的关键． 先利用互余求出，再求出的补角． 【详解】解：∵知是的余角，且， ∴， ∴的补角． 故选：C． 【变式1-4】（24-25七年级下·广东深圳·阶段练习）一个角的余角比它的补角的少，则这个角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查余角、补角的运算，一元一次方程的应用，掌握利用一元一次方程解几何问题是解题的关键．假设出这个角的度数，并表示出这个角的余角和补角的度数，根据题意找出等量关系列出方程求解即可解答本题． 【详解】解：设这个角是，则这个角的余角和补角分别为和，根据题意得：， 解方程，得：， 所以，这个角是． 故选：A． 【考点题型二】对顶角、邻补角（） 【例2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角相等，平角的定义，角的和差， 先标注，再根据对顶角相等得，然后根据平角定义得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 【变式2-1】（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）如图，直线相交于点0，射线平分．若，则等于（　　） A．50° B．25° C．30° D．20° 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线定义，对顶角相等， 先根据对顶角相等得，再根据角平分线定义可得． 【详解】解：∵， ∴． ∵射线平分， ∴． 故选：B． 【变式2-2】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，直线，，相交于点O，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了对顶角相等，求一个角的补角，先根据对顶角相等得出，再求出，最后再求的补角即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴， 故选：B 【变式2-3】（24-25七年级下·山西晋中·阶段练习）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．如图，七年级数学课堂上论证“对顶角相等”时，进行了如下推理：因为，，所以．其中，得出使用的依据是 ． 【答案】同角的补角相等 【分析】本题考查对顶角相等，补角的性质，根据同角的补角相等求解即可． 【详解】解：∵，， ∴和都是的补角， ∴依据同角的补角相等可得， 故答案为：同角的补角相等． 【变式2-4】（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，直线相交于点．若，，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差，由对顶角的性质得，再根据角的和差关系即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点题型三】点到直线的距离（） 【例3】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，则点到直线的距离是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：． 【变式3-1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，，垂足分别为B、P．下列说法中错误的是（　　） A．线段的长是点P到的距离 B．、、三条线段，最短 C．线段的长是点A到的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，点到直线的距离，关键是掌握点到直线距离的定义，垂线段最短． 直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，垂线段最短，由此即可判断． 【详解】解：A、线段的长是点P到的距离，正确，故A不符合题意； B、由垂线段最短得到，，，因此最短，故B不符合题意； C、线段的长是点A到的距离，故C符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，正确，故D不符合题意． 故选：C． 【变式3-2】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，三角形中，，于点D，若，则点C到直线的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，三角形面积公式，点到直线的距离∶直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据定义可知点C到直线的距离即垂线段的长即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴点C到直线的距离是， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）如图，在直角三角形中，，过点作于点，则线段 的长可以表示点到直线的距离． 【答案】/ 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义（垂线段的长度），能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键．根据点到直线的距离的定义得出即可． 【详解】解：结合图形， ∵， ∴点B到的距离是线段的长度， 故答案为：． 【变式3-4】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，，且，，，则点C到直线的距离是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知点到直线的距离的定义是解题的关键．根据点C到直线的距离即为的长求解即可． 【详解】解：∵，即， 又， ∴点C到直线的距离是5， 故答案为：5． 【考点题型四】垂线段最短（） 【例4】（24-25七年级上·河南南阳·期末）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质，根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可．熟记垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：A、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式4-1】（24-25七年级下·山西晋中·阶段练习）如图，要把小河里的水引到田地A处，则作，垂足为B，沿挖水沟，水沟最短，理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】此题主要考查垂线段的性质，解题的关键是掌握垂线段最短． 由题意知是点A到l的距离最短是的长度，即垂线段最短． 【详解】解：要把小河里的水引到田地A处，则作，垂足为B，沿挖水沟，水沟最短，理由是垂线段最短． 故选：B． 【变式4-2】（24-25七年级下·全国·期中）如图，某运水厂要从点P修建一条管道通向河边，为了节约材料，修建了管道，其原理是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点可以作无数条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查垂线段最短．理解直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解题关键． 根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，即可选择． 【详解】解：根据题意得，修建了管道，其原理是垂线段最短． 故选D． 【变式4-3】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄P， 现要建一个汽车站，且有A， B， C， D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点之间，垂线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题考查了线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：根据题意，若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”． 故选：C． 【考点题型五】平行线公理（） 【例5】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点在同一直线上，这样判定的依据是（   ）    A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理即可求解，理解并熟记平行公理是解题的关键． 【详解】解：这样判定的依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．两直线平行，同位角相等 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理解答即可． 本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：如果，那么，根据是平行于同一条直线的两条直线平行． 故选：D． 【变式5-2】（2025七年级下·全国·专题练习）若a，b，c，d为互不重合的四条直线，则下列推理正确的是（   ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理的推论，属于基础题型．根据平行公理的推论逐项判断即得答案． 【详解】解：A、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； B、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； C、由，，能推出，所以本选项推理正确，符合题意； D、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意． 故选：C． 【考点题型六】同位角，内错角和同旁内角（） 【例6】（24-25七年级下·山西晋中·阶段练习）如图，的同位角是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同位角的定义，同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，根据定义，即可求解． 【详解】的同位角是． 故选：C． 【变6-1】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，下列各对角中，属于同位角的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查三线八角，根据同位角的定义进行判断即可． 【详解】解：A、与是对顶角，不符合题意； B、与是同旁内角，不符合题意； C、与是同位角，符合题意； D、与是内错角，不符合题意． 故选C． 【变式6-2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，下列说法正确的是（　　） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 【答案】D 【分析】此题考查直线相交所形成的角，根据对顶角的定义，同位角的定义，内错角的定义，同旁内角的定义一一判断即可． 【详解】解：．和不是两条直线被第三条直接所截形成的具有特定位置关系的角，故该选项不符合题意； ．和是内错角，原说法错误，故该选项不符合题意； ．和是同位角，原说法错误，故该选项不符合题意； ．和是同位角，说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式6-3】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，直线与的边相交成字模型，则的内错角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查内错角的识别，解题的关键是掌握：三线八角的识别，内错角要抓住“内部，异侧”．据此解答即可． 【详解】解：的内错角是． 故选：B． 【变式6-4】（24-25七年级下·河南洛阳·阶段练习）如图，下列判断错误的是（   ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是内错角 【答案】C 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，同旁内角，内错角的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、与是同位角，判断正确，不符合题意； B、与是同旁内角，判断正确，不符合题意； C、与是邻补角，判断错误，符合题意； D、与是内错角，判断正确，不符合题意； 故选C． 【考点题型七】两直线平行的条件（） 【例7】（22-23七年级上·西藏拉萨·期中）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握．根据平行线的判定对各选项进行判断即可． 【详解】解：A中可判定，故此选项符合题意； B中可判定，不能判定，故此选项不符合题意； C中可判定，不能判定，故此选项不符合题意； D中可判定，不能判定，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式7-1】（24-25七年级下·广东清远·阶段练习）如图，直线a、b 都与直线c相交，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判断的条件是（   ） A．①② B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角相等，掌握平行线的判定定理是解题关键．根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：①，由同位角相等，两直线平行，可判断，符合题意； ②，由内错角相等，两直线平行，可判断，符合题意； ③，，即，由同旁内角互补，两直线平行，可判断，符合题意； ④，，，即，由同旁内角互补，两直线平行，可判断，符合题意； 即能判断的条件是①②③④， 故选：D． 【变式7-2】（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行线的判定解答即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行） 故A正确，不符合题意； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行） 故B正确，不符合题意； ∵， ∴（同位角相等，两直线平行） 故C不正确，符合题意； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行） 故D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式7-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图，其中能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等或内错角相等或同旁内角互补等方式，都能判定两直线平行，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，且与不是同位角、内错角、同旁内角这类关系，∴不能说明，故该选项是错误的； B、∵，且与是同旁内角，不互补，且不是之间的同旁内角，∴不能说明，故该选项是错误的； C、∵，且与是同旁内角，不互补，且不是之间的同旁内角，∴不能说明，故该选项是错误的； D、∵，且与是同旁内角，，∴能说明，故该选项是正确的； 故选：D． 【考点题型八】利用平行线的性质求角（） 【例8】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图所示的方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则的度数是（    ） A．60° B．50° C．45° D．40° 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行线，内错角相等即可解决问题； 【详解】解：如图， 由题意和图可知：， 又， ∴， ∵， ∴． 故选：C 【变式8-1】（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）如图，直线，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，如图，过顶点作，根据平行线的性质，得出，再由对顶角相等得到，利用两直线平行同旁内角互补得到，最后根据平角的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，过顶点作， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式8-2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知直线，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，再由即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式8-3】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，两条公路和互相平行，之间有三段公路连接，且，若 ，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 过点，作，过点，作，，根据平行线的性质即可求解； 【详解】解：过点，作，过点，作； 根据，，， 则， ，， ， 则， ， ， ，     ； 故选：B 【变式8-4】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，若，， 则与的位置关系是 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，根据平行于同一直线的两直线平行即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：平行． 【变式8-5】（24-25七年级下·吉林松原·阶段练习）如图，，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据“两直线平行，内错角相等”以及平角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点题型九】平行线与折叠综合（） 【例9】（2025七年级下·湖北·专题练习）如图，长方形纸片沿折叠，A，D两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，折叠的性质推出，利用平角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵长方形纸片 ∴， ∴， 由折叠的性质得出， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：D． 【变式9-1】（24-25七年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，将对边平行的纸带折叠，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．折叠得到，平行得到，，再利用平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：如图，    ∵折叠， ∴， ∵对边平行的纸带， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【变式9-2】（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）如图，在长方形纸带中， ，，将长方形沿折叠，，两点的对应点分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由平行线的性质得到，，由折叠的性质得到，． 过作，得到，推出，，由折叠的性质得到，，因此，求出，由邻补角的性质得到，因此，于是得到． 【详解】解：过作， ， ， ，， ， 由折叠的性质得到，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式9-3】（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则 ． 【答案】/18度 【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，由折叠的性质可得，，，由邻补角的定义可求得，则有，由平行线的性质得，，从而可求解． 【详解】解：由折叠性质得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点题型十】平行线的生活中的实际应用（） 【例10】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图是一款小推车的示意图，其中扶手平行于座板，前轮支撑杆平行于推杆，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．先根据得，所以，再根据得，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 【变式10-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次再向左拐 D．第一次向左拐，第二次再向左拐 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键． 根据平行线的性质分别判断得出即可． 【详解】解：∵两次拐弯后，按原来的方向前进，即行驶方向平行， ∴两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等． A、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等，故此选项符合题意； B、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，但拐的角度不相等，故此选项不符合题意； C、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，故此选项不符合题意； D、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式10-2】（24-25七年级下·重庆长寿·阶段练习）如图是某运动员在一次山地自行车越野赛中经过的路线，已知第一次的拐角，第三次的拐角，若第三次拐弯后的道路恰好与第一次拐弯前的道路平行，则第二次的拐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过点作直线，根据平行线的性质得到，再得到，得出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如解图，过点作直线， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式10-3】（24-25七年级下·北京海淀·阶段练习）如图1，有一种生活中常见的折叠拦道闸，可将其抽象为几何图形，如图2，垂直于地面于A，平行于地面，则 °． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，，即可求出答案． 【详解】解：过点作， ∵平行于地面， ∴ ∴， ∴ 故答案为： 【变式10-4】（24-25八年级上·山东青岛·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查平行线性质的应用，由，可得，，由反射的性质可得，由此可解． 【详解】解： ， ， 由题意知，， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点题型十一】平行线的性质与判定综合（） 【例11】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知点E在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查平行线的判定和角平分线的定义，关键是根据平行线的判定定理解答． （1）根据垂直的定义，角平分线的定义解答即可； （2）根据平行线的判定解答即可． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式11-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知：如图所示，和的平分线交于，交于点，． (1)求证：； (2)试探究与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． （1）已知、平分、，且，可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行． （2）先根据平行线的性质得到，再由平分，得到，则，将等角代换，即可得出与的数量关系． 【详解】（1）证明：、平分、， ，； ， ； 同旁内角互补，两直线平行 （2）解： ， ， 平分， ， ． ． 【变式11-2】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知，，平分，． (1)试判断与的位置关系？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)平行，详见详解 (2) 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等证明，再依据，得到，即根据同旁内角互补两直线平行即可求证； （2）根据平分以及，可证，，再结合，可得，再根据，得到，即可求解． 本题考查了平行线的判定与性质知识，掌握同旁内角互补两直线平行是解答本题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式11-3】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，请在下列空格内填写结论和理由． 已知：， 试说明： 证明：∵（已知） ∴________________（________） ∴（________） ∵（________） ∴∠________（________） ∴（________） 【答案】；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；已知；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的性质和平行线的判定．根据可判定，可得和为同旁内角互补；结合，可推得和也互补，从而判定． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵，（已知） ∴，（等量代换） ∴（同旁内角互补，两直线平行） 【变式11-4】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点，，且，．    (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)理由见解析 (2) 【分析】（1）首先根据题意可得，进而可知，结合可得，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可得出结论； （2）根据平分线的定义可得，设，则，结合可得关于的一元一次方程，解得的值，可求得，然后由求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查垂直的定义、平行线的判定和性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，利用方程的思想解决问题是解题的关键． 【考点题型十二】平行线中常考模型（） 【例12】（24-25七年级下·贵州·阶段练习）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： （2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）当在延长线时，；当在延长线时， 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，熟悉平行线的性质，作出合适的辅助线是解决问题的关键． （1）过作，通过平行线性质求即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点作，如图2所示， ， ， ，， ，， ，， ． （2）， 理由是：如图3，过作交于， ， ， ，， ； （3）当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 【变式12-1】（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，易得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同法可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【变式12-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，，然后根据可得①，根据可得②，将②代入①即可得． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴①， ∵， ∴，即②， 将②代入①得：， 故选：B． 【变式12-3】（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，根据三角形内角和得到，根据平行线的性质，即可求解， 此题考查了平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，三角形内角和． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式12-4】（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线与之间的一点，．    (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，已知，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键． （1）作，根据平行线的性质得到，再由，即可证明． （2）先根据角平分线的定义得到，，再求出，根据（1）的结论推出，结合即可得到答案． （3）利用角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后根据进行计算即可解答． 【详解】（1）如图，作，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）∵平分， ∴，． ∵， ∴． 由（1）可得，， ∴， ∵， ∵， ∴； （3）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴ ． 【变式12-5】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，可得．再由，可得，即可求解； （2）过点作，可得，再由，可得，从而得到，即可求解； （3）过点作的平行线．可得，进而得到，，再由的平分线和的平分线交于点，可得，，再由（2）得：，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ． ∵， ∴， ． ， ． ，即． （2），理由如下： 如图，过点作， ， ∵， ∴， ， ， ， ， （3）如图，过点作的平行线． ∵，， ∴， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 由（2）得：， ， ． 即． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$