7.3.2 离散型随机变量的方差教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

课题 7.3.2 离散型随机变量的方差 学科 数学 年级 高二 教学目标 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念，掌握方差的性质.（数学抽象） 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.（数据分析） 重点 离散型随机变量的方差；方差的性质. 难点 方差的性质；离散型随机变量的方差的实际应用. 教学环节 教学过程 设计意图 新课导入 复习导入：随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”．因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小．所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征． 通过复习均值的意义，引出本节新课. 新课讲授 知识点1：随机变量的方差和标准差 教师展示问题2：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如下表所示． 6 7 8 9 10 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 6 7 8 9 10 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 如何评价这两名同学的射击水平？ 学生思考问题，尝试根据数据进行判断. 通过计算可得，．因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平． 教师引导提示：评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度．如图分别是和的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定． 教师提问：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？ 样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的．一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？ 学生联想并类比以前学习的样本方差的相关概念与计算方法，尝试得出离散型随机变量的方差定义，教师进行补充. 设离散型随机变量的分布列如表所示． … … 考虑所有可能取值与的偏差的平方，，，…，．因为取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量取值与其均值的偏离程度． 随机变量的方差与标准差： 称为随机变量X的方差，有时也记为，并称为随机变量X的标准差，记为． 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． 现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性．由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为，；，． 因为（等价地，），所以随机变量的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定． 在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化． ． 知识点2：方差的性质 教师提问：离散型随机变量加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 离散型随机变量加上一个常数，其均值也相应加上常数，故不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即． 而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即． 一般地，可以证明下面的结论成立：． 离散型随机变量的期望的性质与方差的性质的区别： 期望与两常数都有关系，而方差只与所乘常数有关系．特别地，当 时，；当 时，；当 时，． 例5 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差． 例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表所示． 股票A收益的分布列 收益X／元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 股票B收益的分布列 收益Y／元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 （1）投资哪种股票的期望收益大？ （2）投资哪种股票的风险较高？ 分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值．投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低． 跟踪训练 1.已知随机变量X的分布列如下表所示，若，则( ) X 0 1 P a b A. B. C. D. 2.已知随机变量X的分布列如下表所示： X 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.3 0.4 则( ) A.3 B.9 C.27 D.11 3.设随机变量的分布列为，=，，，分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 以比较两名同学的射击水平为问题情境，引发学生的思考和知识迁移，先从概率分布图上直观感受两名同学射击成绩的波动程度，进而引发思考，引入本节课的学习内容. 通过概率分布图让学生直观感受哪位同学的射击成绩更稳定，发展学生的直观想象素养. 学生在思考问题中进行知识之间的联系与迁移，依据样本观测数据的数字特征自然联想类比到求离散型随机变量的方差. 类比样本方差的定义，引入离散型随机变量的方差，发展学生的数学抽象素养. 进一步让学生理解方差（标准差）是如何从定量的刻画随机变量的稳定性. 通过类比均值的学习，学生自然想到要研究与的关系，先利用直观猜想再进行计算验证，培养学生的逻辑推理能力. 通过典例解析，在具体的问题情境中，深化概念的理解，理解不同问题背景下方差的意义. 通过试题巩固离散型随机变量的方差及标准差的计算，熟练运用随机变量方差的性质解题. 课堂小结 1.离散型随机变量的方差与标准差 2.方差的性质 巩固本节所学，提高概括能力. 板书设计 7.3.2 离散型随机变量的方差 1.离散型随机变量的方差与标准差 2.方差的性质 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $