7.3.2 离散型随机变量的方差（教学设计）数学人教A版选择性必修第三册

7.3.2 离散型随机变量的方差 教学设计 1.教学内容 本节课围绕人教A版（2019）选择性必修第三册7.3.2离散型随机变量的方差展开，先承接离散型随机变量均值的知识，引入方差概念，明确方差是刻画随机变量取值相对于均值离散程度的核心指标，推导离散型随机变量方差与标准差的计算公式，剖析公式中各参数含义及运算逻辑；结合具体例题讲解方差的求解步骤，梳理均值与方差的区别联系，强调均值反映平均水平、方差体现波动大小；讲解方差的性质，探究特殊分布（两点分布、二项分布）的方差公式，通过实例应用巩固公式运用，培养学生数据分析与运算求解能力，帮助学生掌握方差的概念、计算及实际应用，提升概率统计核心素养。 2.内容解析 本节课是人教A版（2019）选择性必修第三册7.3.2离散型随机变量的方差，是在学生掌握离散型随机变量均值概念与计算的基础上，进一步学习刻画数据离散程度的重要统计量。教学从实际问题出发，让学生感知仅用均值无法全面描述随机变量的分布特征，从而自然引入方差与标准差，明确其核心意义是衡量随机变量取值相对于均值的波动大小与离散程度。课堂重点推导离散型随机变量方差的定义式与计算公式，规范求解步骤，强调先求均值、再算偏差平方的期望。同时辨析均值与方差的功能差异，均值反映集中趋势，方差反映离散程度，并介绍方差的基本性质，给出两点分布、二项分布等常见离散型分布的方差结论。通过例题与练习，强化学生对公式的理解与运算能力，引导学生运用方差分析实际问题，提升数据分析、逻辑推理与数学运算素养，为后续统计推断与综合应用奠定基础。 教学重点：理解离散型随机变量方差与标准差的意义，掌握其计算公式，会求常见分布的方差，能用方差分析随机变量的离散程度。 1.教学目标 （1）通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义. （2）会求离散型随机变量的方差、标准差. （3）掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法. （4）会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题. 2.目标解析 （（1）本目标从具体实例引入，引导学生感知离散型随机变量方差与标准差的实际背景，帮助学生从直观理解过渡到抽象概念，明确其用于刻画数据离散程度的意义，建立概念与现实问题的联系，形成正确的统计认知。 （2） 本目标聚焦运算技能，要求学生熟练掌握方差、标准差的计算公式与求解步骤，通过规范解题过程，提升数学运算能力，确保学生能准确求出离散型随机变量的方差与标准差。 （3） 本目标侧重知识深化，要求学生理解并运用方差的基本性质，掌握两点分布这一特殊离散型分布的方差推导与计算，构建完整知识结构，为后续复杂分布学习打下基础。 （4） 本目标突出应用价值，引导学生将方差、标准差知识用于解决实际问题，培养数据分析与数学建模素养，提升学生运用统计知识解释现象、做出判断的实践能力。 学生已学习离散型随机变量、分布列及均值概念，对随机变量的平均水平有一定认识，具备基本概率运算与代数计算能力，但对数据离散程度的统计意义理解较浅，抽象概括能力有待提升，容易混淆均值与方差的功能。教学中，学生可能难以理解方差为何用偏差平方加权平均，对公式推导逻辑理解不透彻；在复杂问题中易出现计算错误，对两点分布方差的推导与性质应用不够熟练；难以将方差与实际问题结合，无法灵活运用其解释波动大小与稳定性。 针对这些问题，教学可通过实例对比引入，借助直观情境帮助理解方差的意义；分步拆解公式推导，强化步骤规范；加强针对性练习，巩固运算与性质应用；结合生活实例，引导学生体会方差在决策与判断中的作用，突破理解与应用障碍。 教学难点：理解离散型随机变量方差的统计意义，掌握方差公式推导与性质应用，能运用方差解决实际问题。 1． 创设情境，引入新知 “均值相同，谁更可靠？—— 射击比赛的选人难题” 要从甲、乙两名同学中选出一人代表班级参加射击比赛。根据以往成绩记录，两人击中目标靶的环数X（甲）和 Y（乙）的分布列如下： 思考：请计算以上两个分布列的期望，得出什么结论? 预设：甲、乙两名同学射击的环数均值都是 8 环 追问：甲、乙两名同学射击的平均环数都是 8 环。那是不是说明他们的射击水平完全一样？ 预设：不一样，分布列中的概率不同. 教师：当两个随机变量的均值相等时,我们需要引入一个新的统计量来描述它们的波动情况，这就是我们今天要学习的 ——离散型随机变量的方差 2． 探究新知 引导： 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” . 因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小 . 所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 【设计意图】通过谈话直接点明本节课题，让学生感受数学源于生活，学习数学是有用的. 问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名 同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表7.3-6和表7.3-7所示． 表7.3-6 表7.3-7 X 6 7 8 9 10 Y 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 思考：下图分别是X和Y的概率分布图，比较两个图形，你可以发现什么？ 学生：观察图形，得出结论：可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 思考：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度? 预设：我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的．类比，一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？答案是肯定的 定义：的偏离程度．我们称 为随机变量的方差（variance），有时也记为，并称为随机变量的标准差（standard deviation），记为． 思考：随机变量X的方差和标准差的意义是什么？ 学生：思考并得出答案，随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度， 反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散 . 牛刀小试： 练1：判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）离散型随机变量的期望反映了取值的概率的平均值．( ) （2）离散型随机变量的方差反映了取值的平均水平．( ) （3）离散型随机变量的方差反映了取值的波动水平．( ) （4）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) 预设：× × √ × 探究1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名 同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表7.3-6和表7.3-7所示． 表7.3-6 表7.3-7 X 6 7 8 9 10 Y 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 分别计算这两名同学的方差，并用此评价他们的射击水平. 学生：根据方差的定义，进行计算并评价. 预设：由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为 ，； ，． 因为（等价地，），所以随机变量的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定． 在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化． ． 【设计意图】让学生利用方差和标准差的定义求解探究1提出的问题，提高学生的应用意识. 思考：方差的计算可以简化吗？ 预设：方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除了简化计算外，还有助于更好地理解其本质． 3． 应用新知 例5 拋掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数的方差． 学生：小组交流与讨论，尝试着得出答案. 预设：随机变量的分布列为． 因为，． 所以． 即该运动员罚球1次得分X的均值是0.8． 4． 探究新知 探究：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 学生：小组讨论，尝试着得出结论 预设：离散型随机变量加上一个常数，仅仅使的值产生一个平移，不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即 而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即 一般地，可以证明下面的结论成立： 归纳总结：关于方差性质的四点说明 (1)当a=0时，D(aX+b)=D(b)=0，即常数的方差等于0. (2)当a=1时，D(X+b)=D(X)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身. (3)当b=0时，D(aX)=a2D(X)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积. (4)当a，b均为非零常数时，随机变量η=aX+b的方差D(η)=D(aX+b)=a2D(X). 牛刀小试： 练3：判断正误，正确的填“正确”，错误的填“错误”． （1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) （2）若a是常数，则. ( ) （3）离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．( ) （4） 若a，b为常数，则.( ) （5）离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的. ( ) 预设：× √ √ × × 练4:已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 预设：由，解得，由，解得.故选：D. 练5：若随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 预设：因为，所以，故.故选：C. 5． 应用新知 例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示． 表7.3-9股票A收益的分布列 表7.3-10股票B收益的分布列 收益X/元 -1 0 2 收益Y/元 0 1 2 概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.3 0.4 0.3 （1）投资哪种股票的期望收益大？ （2）投资哪种股票的风险较高？ 学生：小组交流与讨论，尝试着得出答案. 师生共同分析：股票投资收益是随机变量, 期望收益就是随机变量的均值. 投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下, 可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低, 方差越大风险越高, 方差越小风险越低. 预设：（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为 ，． 因为，所以投资股票A的期望收益较大． （2）股票A和股票B投资收益的方差分别为 ， ． 因为和相差不大，且，所以投资股票A比投资股票B的风险高． 在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，使期望收益最大或风险最小． 要求：随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度．在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释，请举例说明 预设：如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性； 如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度； 如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低. 【设计意图】例6是综合利用均值和方差比较投资两种股票收益的问题，目的是使学生了解在实际问题中均值和方差的意义.在这个问题中，均值表示平均收益，方差表示风险(不确定性).在教学中，可以提供更多不同背景的实际问题，帮助学生了解均值、方差的意义. 归纳总结：利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤： （1）比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高. （2）在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定. （3）下结论.依据均值和方差给出结论. 牛刀小试： 练2：两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数ξ的方差D(ξ)=____. 学生：先独立思考，然后同桌交流，尝试得出答案，为分享答案做准备. 预设：ξ的所有可能取值为0，1，2， 归纳总结：求离散型随机变量ξ的方差的一般步骤 (1)理解ξ的意义，明确其可能取值； (2)判定ξ是否服从特殊分布(如两点分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊发布则继续下面步骤； (3)求ξ取每个值的概率； (4)写出ξ的分布列，并利用分布列性质检验； (5)根据方差定义求D(ξ). 6． 能力提升 类型一：求离散型随机变量的方差 例题1 盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（    ） A．1 B． C． D．2 预设：由题意得，的所有可能取值为， ， ， 所以的期望为， 所以． 故选：B. 题型二：利用离散型随机变量的方差定义和性质求参 例题2 已知随机变量的分布列为 若随机变量，，，则下列选项正确的为（    ） A． B． C． D． 预设：依题意，由分布列可得，解得，A正确； ， ， 因为， 所以，， 解得，，B错误，C正确； 所以随机变量的分布列为： 由分布列可知D正确； 故选：ACD 总结：利用离散型随机变量的均值、方差的定义和性质，建立方程（组），解方程（组）即可得解. 题型三：离散型随机变量的均值和方差的综合应用 例题3已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 预设：由题意知，解得，因为，则， 则，解得， 则 . 故选：C. 题型四：离散型随机变量方差在决策问题中的应用 例题4 为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 预设：（1）依题意，，解得，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，乙射中7环的概率为， 的概率分布为： X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的概率分布为： Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）可得 （环）， （环）， ， ， 由于，说明甲平均射中的环数比乙高，又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会. 总结：利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的水平高. (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定. (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论. 7． 课堂小结 作业1：第121页 练习 第1,2,3,4题 第127 页 习题3.2 第1,2,5,6,7题； 作业2：配套辅导资料对应的《离散型随机变量的方差》.  7.3.1 离散型随机变量的均值 一、定义（数学期望） 若离散型随机变量的分布列为： ... ... 则 二、核心意义 刻画随机变量取值的平均水平 三、重要性质 1. （为常数） 2. （为常数） 四、两点分布均值 分布，则 五、解题步骤 1. 求的分布列 2. 代入均值公式计算 结合性质简化运算 我围绕课堂实操、学生掌握情况、问题不足与改进方向撰写反思，严控350字且不分段，贴合本节课教学实际。 # 7.3.1 离散型随机变量的均值教学反思 本节课以生活实例引入离散型随机变量均值概念，衔接分布列旧知推导公式与性质，整体达成基础教学目标，学生能理解均值刻画平均水平的核心意义，掌握两点分布均值公式与基础计算方法，课堂例题示范规范了解题步骤，多数学生能依托分布列求均值。但教学仍存在短板，部分学生混淆均值与算术平均数，难以理解加权平均本质，对均值性质的推导逻辑理解不透彻，灵活运用性质简化运算的能力薄弱，解决实际问题时建模慢、分布列书写失误导致均值计算出错，课堂互动针对性不足，对学困生关注度不够。后续教学需增加概念对比辨析，具象化加权平均内涵，强化性质推导与专项训练，细化实际问题建模步骤，增设分层练习，及时纠错反馈，提升学生知识应用与数学运算、逻辑推理素养。 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $