2.1 课时1 对顶角、余角和补角 课件 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

2.1 课时1 对顶角、余角和补角 22051 情境导入 22051 生活中处处可见建筑物、道路、桥梁、山川等。在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线。 22051 观察下面几幅图片，思考在同一平面内，两条直线的位置关系有几种？ 公路 铁路 天桥 在同一平面内，两条直线的位置关系有______和______两种. 探究一：相交线平行线 新知探究 22051 若两条直线只有一个公共点，称这两条直线为相交线 相交 a b 在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线. a b 平行 两条直线只有这两种位置关系吗？ 相交线、平行线概念 新知讲解 22051 同一平面内两直线的位置关系： 平行 相交 a b b a 在同一平面内，不重合的两直线的位置关系只有平行与相交两种. 22051 注意：平行线的定义包含三层意思： （1）“在同一平面内”是前提条件； （2）“不相交”就是说两条直线没有交点； （3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段． 22051 1. 下列说法正确的是 （　　） A. 同一平面内没有公共点的两条线段平行 B. 两条不相交的直线是平行线 C. 同一平面内没有公共点的两条直线平行 D. 同一平面内没有公共点的两条射线平行 C 巩固练习 22051 如图，直线AB与CD相交于点O. 探究二：对顶角的概念及性质 ∠1与∠3的位置有什么关系？ 1 2 3 4 B A C D o 1.有公共顶点 3.两边互为反向延长线 2.没有公共边 ∠1与∠3数量关系是怎样的？如何验证. 证明：因为直线AB与CD相交于O点, 所以∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°， 所以∠1=∠3，同理可得∠2=∠4. 新知探究 22051 图中的对顶角有:_________、_________. ∠1与∠3 ∠2与∠4 如图，直线AB与CD相交于点O，∠1与∠3有____________，它们的两边________________，具有这种位置关系的两个角叫做________. A B C D O 1 3 4 2 对顶角 互为反向延长线 特别关注：（1）对顶角只有在两条直线相交时才出现． （2）对顶角是指两个角的位置关系． 公共顶点O 归纳 22051 对顶角的性质： 对顶角相等． 几何语言表示为： O B D A C 1 3 2 4 ∵AB与CD相交于点O， ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4. 22051 1. 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是 （　　） A 2. 如图，直线a，b 相交于点O，如果∠1+∠2=100°，那么∠2=(　　) A. 50° B. 100° C. 130° D. 150° A 巩固练习 22051 1 2 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角. 注：两个角不一定有公共边. 探究三：补角和余角的概念 观察下列动画，说说∠1与∠2在数量上有什么关系？ 新知探究 22051 3 4 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角. 注：两个角不一定有公共边. 22051 1.如图已知：直线AB与CD交于点O, ∠EOD=90°, 回答下列问题： （1）∠AOE的余角是 ；补角是 ； （2）∠AOC的余角是 ；补角是 ； 对顶角是 . C A B D O E ∠AOC ∠BOE ∠AOE ∠BOC ∠BOD 巩固练习 22051 ∠α ∠α的余角 ∠α的补角 5° 32° 45° 77° 62°23′ 27°37′ 117°37′ 85° 175° 58° 148° 45° 135° 103° 13° x°(x<90) 90° x° 180° x° 同一个锐角的补角比它的余角大________. 90° 填写下列表格并完成填空. 新知探究 22051 图1 图2 打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图1抽象成图2，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2. 探究四：补角和余角性质 (1)哪些角互为补角？哪些角互为余角？(2)∠3与∠4有什么关系？为什么？ (3)∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？ 解：(1)∠1与∠ AOC, ∠2与∠ BOD互补，∠1与∠ 3, ∠2与∠ 4互余； (2)因为∠1= ∠2，∠ 1+∠3=90° , ∠ 2+∠4=90°，所以 ∠ 3=∠4. (3)因为∠1= ∠2，∠1+∠AOC=180°, ∠ 2+∠BOD=180°，所以∠AOC=∠BOD. 新知探究 22051 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 同角或等角的 余角相等 同角或等角的 补角相等 互余与 互补只与 角的数值 有关，与位 置无关。 而对顶角是 根据角的 位置来 判断的 归纳 22051 1. 如图，直角三角尺的直角顶点 A 在直线 l 上，如果∠1=35°， 那么∠2的度数是(　　) A. 55° B. 45° C. 35° D. 25° A 巩固练习 22051 两直线的位置关系 平行 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 相交 在同一平面内，若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线. 课堂小结 22051 对顶角 补角 余角 有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角，互为对顶角． 对顶角相等. 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角. 同角或等角的余角相等 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角. 同角或等角的补角相等 22051 1.下列说法中，正确的有（　 ） ①对顶角相等 ②相等的角是对顶角 ③不是对顶角的两个角就不相等 ④不相等的角不是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 B 随堂小练 基础 22051 2. 如图，直线a，b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，表示60°和138°的刻度线分别在直线a，b，则∠1=_____。 78° 22051 3. 如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象。图中∠1=43°，∠2=30°，则光线的传播方向改变的度数为______。 13° 22051 4. 冬至是地球赤道以北地区白昼最短、黑夜最长的一天，民间有“冬至大如年”的说法。某地冬至日正午太阳高度角（太阳光入射方向和地平面的夹角）是 35°，则它的补角（　　） A. 54° B. 144° C. 55° D. 145° B 5. 若∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，则∠2与∠3的关系是 　　（　　） A. ∠2=∠3 B. ∠3-∠2=90° C. ∠2+∠3=90° D. ∠2+∠3=180° B 随堂小练 提升 22051 6. 在同一平面内两两相交的三条直线，若最多有m个交点，最少有n个交点，则m+n=（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D 解：平面内两两相交的三条直线，有两种情况： ①三条直线相交于同一点； ②三条直线相交于不同的三点. 所以最多有3个交点，最少有1个交点，即m=3，n=1，所以m+n=4。故选D。 22051 7. 如图，AB，CD，EF相交于点O，∠AOC=65°，∠DOF=50°。 （1）求∠BOE的度数； （2）计算∠AOF的度数，你发现射线OA有什 么特殊性吗? 22051 D C 8.应县木塔始建于辽清宁二年，它是世界上现存最高大、最古老的纯木结构楼阁式建筑，也是世界三大奇塔之一。木塔塔基上层呈平面八边形，如图，某数学兴趣小组想知道八边形内角∠AOB的大小，在不进入塔内的情况下，请你分别利用补角、对顶角的知识设计出测量∠AOB大小的不同方案。 解：如图，分别延长八边形的两边AO，BO。 方案一：测量出∠AOC或∠BOD 的度数，然后根据互补关系，可以求出∠AOB的度数。 方案二：测量出∠COD的度数，利用对顶角相等，可以求出∠AOB的度数。 22051 $