2.1 第1课时 对顶角、余角和补角-【初中学霸创新题】2025-2026学年七年级下册数学习题课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦“相交线与平行线”中对顶角、余角和补角核心知识点，从概念辨析切入，通过实例分析构建知识支架，设置“练基础、练提升、练素养”分层练习，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于融合跨学科（物理光的折射）、传统文化（冬至太阳高度角）及新情境（二七纪念塔测量）等实例，培养数学眼光、思维与语言。如用折射现象理解角度变化，借冬至情境巩固补角计算，通过测量方案设计提升应用意识。分层练习助学生夯实基础，丰富资源方便教师高效教学。

2 第二章 相交线与平行线 1 　两条直线的位置关系 第1课时 　对顶角、余角和补角 3 目 录 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 4 1. 下列说法正确的是 （　　） A. 同一平面内，没有公共点的两条线段平行 B. 两条不相交的直线是平行线 C. 同一平面内，没有公共点的两条直线平行 D. 同一平面内，没有公共点的两条射线平行 础 基 练 知识点1 相交线与平行线 C 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 5 2. （商丘期中）如图，在下列工具的图片中，有对顶角的是 （　　） B 知识点2 对顶角 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 3. 如图，直线a，b 相交于点O，如果∠1+∠2=100°，那么∠2= （　　） A. 50° B. 100° C. 130° D. 150° A 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 4. （教材P36T1改编）如图，直线a，b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，表示60°和138°的刻度线分别在直线a，b，则∠1=_____。 78° 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 5. 【跨学科|物理】如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象。图中∠1=43°，∠2=30°，则光线的传播方向改变的度数为______。 13° 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 知识点3 余角、补角 6. 已知∠1和∠2互余，若∠1=47°，则∠2= （ ） A. 33° B. 43° C. 53° D. 133° B 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 7. 【传统文化|冬至】冬冬至是地球赤道以北地区白昼最短、黑夜最长的一天，民间有“冬至大如年”的说法。某地冬至日正午太阳高度角（太阳光入射方向和地平面的夹角）是 35°，则它的补角为 （　　） A. 54° B. 144° C. 55° D. 145° D 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 8. （郑州市第十九初级中学期中）如图，直线 AB，CD 相交于点 O，因为∠1 +∠2=180°，∠3 +∠2=180°，所以∠1=∠3。其推理依据是 （ ） A. 等角的余角相等 B. 同角的余角相等 C. 等角的补角相等 D. 同角的补角相等 D 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 9. 已知∠A=45°，则∠A的余角的补角是 （ ） A. 145° B. 135° C. 45° D. 55° B 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 【变式】 （1）（郑州新郑市期中）一个角比它的余角少10°，则这个角的度数为________。 （2）如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是________。 40° 30° 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 10. （郑州郑东新区期中改编）如图，直线 AB，CD相交于点O，∠EOF=90°，且OC平分∠AOE。 （1）∠COE的余角是________，∠AOC的补角是___________________________； （2）若∠BOF=38°，求∠DOF的度数。 ∠DOF ∠BOC，∠AOD，∠DOE 解：因为∠EOF=90°，∠BOF=38°， 所以∠EOB=∠EOF-∠BOF=52°， 所以∠AOE=180°-∠EOB=128°。 因为OC平分∠AOE，所以∠COE=∠AOE=64°， 所以∠DOF=180°-∠COE-∠EOF=26°。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 11. 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点O，∠1=22°，∠2=68°，则∠BOD 的度数为 （ ） A. 80° B. 90° C. 100° D. 110° 升 提 练 B 【解析】因为∠1=22°，∠2=68°，∠DOE=∠1， 所以∠AOD=∠2+∠DOE=68°+22°=90°， 所以∠BOD=180°-∠AOD=90°。故选B。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 12. （开封期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，∠α与∠β相等的情况有 （ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 C 【解析】第1个图中，∠α+∠β=90°，∠α与∠β不一定相等，不符合题意； 第2个图中，根据同角的余角相等，∠α=∠β，符合题意； 第3个图中，根据三角尺的特点和摆放位置，得∠α+45°=180°，∠β+45°=180°， 所以∠α=∠β，符合题意； 第4个图中，∠α=∠β=45°，不符合题意；综上，∠α=∠β的图形有3个。故选C。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 13. （易错题）（安阳林州市期末）如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠AOC=40°，点D在平面内，∠BOD与∠AOC互余，则∠DOC的度数为 （ ） A. 40° B. 50° C. 50°或130° D. 90°或170° D 【解析】因为∠AOC=40°，∠BOD与∠AOC互余， 所以∠BOD=90°-∠AOC=90°-40°=50°。 当∠BOD在直线AB上方时， ∠DOC=180°-∠BOD-∠AOC=180°-50°-40°=90°。 当∠BOD在直线AB下方时， ∠AOD=180°-∠BOD=180°-50°=130°， 所以∠DOC=∠AOD+∠AOC=130°+40°=170°。 综上，∠DOC的度数为90°或170°。故选D。 【易错点】易因未分类讨论点D的位置而漏解导致错选。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 18 14. （周口项城市期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，且 OE 平分∠AOD，∠AOC∶∠AOE=4∶1，则∠BOC 的度数为________°。 60 【解析】因为∠AOC∶∠AOE=4∶1， 所以设∠AOE=x，则∠AOC=4x。 因为OE平分∠AOD，所以∠AOD=2∠AOE=2x。 因为∠AOC+∠AOD=180°，所以4x+2x=180°， 所以x=30°， 所以∠AOD=2x=60°， 所以∠BOC=∠AOD=60°。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 15. 【新情境|河南人文】 郑州二七纪念塔平面呈两个五边形并联，是我国建筑独特的联体双塔。如图，某数学兴趣小组想知道塔底面墙角所成的∠AOB的大小，在不进入塔内的情况下，请你分别利用补角、对顶角的知识设计出测量∠AOB大小的不同方案。 解：如图，分别延长AO到点D，BO到点C。 方案一：测量出∠AOC或∠BOD的度数，然后根据互补关系，可以求出∠AOB的度数。 方案二：测量出∠COD的度数，利用对顶角相等，可以求出∠AOB的度数。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 16. 【新趋势|综合与实践】数学活动兴趣小组的同学遇到这样一个问题：如图，已知∠AOB，请利用直尺和量角器画射线 OC，使∠AOC 与∠BOC 互补，并计算∠AOC的度数。 小明说，通过分析首先可以得到射线 OC 在∠AOB的外部。 小红说，这样的射线OC有两条，求出来的两个∠AOC还是互补的。 小志说，反向延长射线OA得到射线OE，利用量角器画出∠BOE的平分线OC，则OC为所求的射线之一。 请根据他们的讨论思考并解答下列问题： （1）若∠AOB=30°，请在图1中画出符合题目要求 的射线OC1，OC2，并直接写出∠AOC1=________， ∠AOC2=________； 养 素 练 105° 75° 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 （2）如图2，∠AOB=α，OC是按照小志的方法画出 的一条射线，说明∠AOC和∠BOC互补的理由； （2）因为∠BOE=180°-∠AOB=180°-α， 又因为OC平分∠BOE， 所以∠BOC=∠BOE=（180°-α）=90°-α， 所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+90°-α=90°+α， 所以∠AOC+∠BOC=90°+α+90°-α=180°， 所以∠AOC和∠BOC互补。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 （3）如图3，∠AOD=22.5°，∠AOC和∠BOC互补， OB平分∠COD，射线OF平分∠AOB，请直接写 出∠BOF的度数。 解：∠BOF=22.5°。 设∠BOF=α， 因为OB平分∠COD，OF平分∠AOB， 所以∠AOB=2∠BOF=2α， ∠BOC=∠BOD=∠AOB+∠AOD=2α+22.5°， 所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=4α+22.5°， 因为∠BOC+∠AOC=180°， 所以2α+22.5°+4α+22.5°=180°，解得α=22.5°， 所以∠BOF=22.5°。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 15 16 变式 绿卡图书—走向成功的通行证 24 $