专题06 期中真题压轴百练通关（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材北师大版

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06期中真题压轴百练通关 真题实战，百练通关 选填小床辅 解答压轴 题型1多结论问题 题型5等腰（等边）三角形的综合题 题型2多解间题 题型6不等式组中含参数的综合题 题型3 最值问题 题型7几何图形的旋转的综合题 题型4含参数间题 题型一多结论问题（共5小题） 1.(25-26八年级上·福建南平期中)如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=30° ,在下列结论中： R D ①aABD≌△ACD;②2DE=2DF=AD;③△ADE≌AADF;④4BE=4CF=AB.正确的个数是() A.4 B.3 C.2 D.0 2.(25-26八年级上山东济宁·期中)如图，ABC是等边三角形，AD是角平分线，ADE是等边三角 形，AB与ED相交于点F.有以下结论：①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD,其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D,3 3.(25-26八年级上·海南海口期中)如图，ABC与△AEF中，AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB 交EF于D,给出下列结论：①AF=AC;②DF=CF;③∠EAD=∠BFD;④LC=∠ADF,其中正确 的结论个数有() 1/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B F A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4.(25-26八年级上·河南濮阳·期中)如图，在△ABE中，LBAE=45°，BC⊥AE于点C,AF平分 ∠BAC交BE于点F,交BC于点D,连接CF.若AD=BE,下面结论正确的个数是()· ①CB=CA;②ACD≌BCE;③AB=AC+CD;④AF⊥BE. A.1 B.2 C.3 D.4 5.(25-26八年级上广东东莞期中)如图，在A0B和△C0D中，0A=0B,0C=0D(0A<0C), LAOB=LD0C=Q,直线AC,BD交于点M,连接OM,下列结论：①AC=BD,②LOAM=LOBM, ③∠AMB=a,④AC=AB+DM,其中正确结论的个数是() M A.1 B.2 C.3 D.4 题型二多解问题（共5小题） 6.(25-26八年级上江苏扬州期中)如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4cm,BC=3cm,动点P在边 AB上，从点A向点B运动，且速度为lcm/s,设运动的时间为t秒.当△BCP为等腰三角形时，t的值为 B 7.(25-26八年级上浙江宁波期中)已知等腰ABC中，AB=AC,∠CAB=120°，D是直线BC上一点 2/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (不与B、C重合)，连接AD,若△ABD是等腰三角形，则LDAC= 8.(25-26八年级上浙江杭州期中)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4V5,点D为 AC的中点，点P是BC边上动点，将△DCP沿直线DP折叠，折叠后点C的对应点为C,DC'与BC交于 E,当aEPC'为直角三角形时，线段BP的长为一· 4 E 9.(25-26八年级上浙江绍兴期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AB=25,点D是 边AC上一动点.连接BD,将△ABD沿BD折叠，得到△EBD,其中点A落在E处，BE交AC于点F, 当△EFD为直角三角形时，EF的长度是 A D E B 10.(25-26八年级上四川自贡期中)如图，点0是等边ABC内一点，∠A0B=105°，∠B0C等于， 点D是等边ABC外一点，LOCD=60°，OC=CD,连接OD、AD.则当a的度数为 时， △AOD是等腰三角形. D a 题型三最值问题（共5小题） 11.(25-26八年级上江苏无锡期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，BD平分∠ABC,P ,Q分别为边BD,BC上一点，且BP=CQ,当AB的长为4时，则AP+AQ的最小值为： 3/17 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12.(23-24八年级上北京西城期中)如图，在锐角△ABC中，∠A=30°，S4Bc=14,BC=4,点 D,E,F分别为AB,BC,AC上的动点，则△DEF周长最小值为· D 由对称性可知GD=DE,EF=FH,AG=AE=AH, H B E .△DEF的周长=DE+DF+EF=GD+DF+FH=GH, :∠GAD=∠DAE,∠EAC=∠HAC, ∠GAH=2∠BAC, ∠BAC=30°， .∠GAH=60°， ,△AGH为等边三角形， ..GH=AE=AG, .GH=AE, .当AE⊥BC时，GH最短，此时aDEF的周长最小， :BC=4,△ABC的面积14， AE=7, ∴△DEF的周长最小值为7， 故答案为：7. 13.(25-26八年级上·福建龙岩期中)如图，在RtAABC中，∠B=30°，点D在斜边BC上，且 BC=4CD=4,AE是△ABC的角平分线，点F、点G分别为AC,AE上一点，则DG+FG的最小值为 4/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 14.(25-26八年级上四川成都期中)如图，直线∥12，在直线4上方作等边ABC,点B,C在直线 上，延长AC交直线于点D,在马上方作等边△DEF,点F在直线马上且在点D右边.动点M,N分别 在直线Z,马上，且MN∥AB,若AB+DE=MN=4,则AM+EN的最小值是 D FN 15.(25-26八年级上浙江杭州期中)如图1，已知直线1的同侧有两个点A、B,在直线1上找一点P, 使P点到A、B两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点， 对称点与另一点的连线与直线I的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题. B B O 人9 B 图1 图2 图3 (1)如图2，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=60°，∠BAC的角平分线交BC于点D,M、N分 别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为 (2)如图3，LA0B=30°，OC=5,OD=12,点E,F分别是射线OA,OB上的动点，则 CF+EF+DE的最小值为一· 题型四含参数问题（共5小题） 16.(25-26八年级上四川成都期中)已知关于x的不等式x-a<0的正整数解恰是1,2,3，则a的取 值范围是 5/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3x-4<5有解，则a的取值范围是 x-a>0 17.(24-25七年级下·云南红河·期中)若关于x的一元一次不等式组 x-m>0 18.(24-25八年级下·四川成都期中)若关于x的不等式组 的有4个整数解，则m的取值范围 13-2x≥1 是 1 3 x之x 19.(24-25七年级下·湖南衡阳·期中)已知不等式组 21 无解，则a的取值范围是 x-a>1 x-m>0 20. (24-25七年级下·安徽毫州期中)已知关于x的不等式组{x-4 的解集为x>4. -x<-4 3 (1)m的取值范围是： (2)若整数m使得关于x,y的二元一次方程组 3x+y=2的解为整数，则符合条件的所有整数m的和 2x+y=6 是 题型五等腰（等边）三角形的综合题（共5小题） 21.(25-26九年级上·贵州遵义期中)己知等腰ABC中，AB=AC=20cm,∠ABC=30°，CD⊥AB交 BA延长线于点D,AF为CA的延长线，点P从A点出发以每秒2Cm的速度在射线AF上向右运动，连接 BP,以BP为边，在BP的左侧作等边△BPE,连接AE F B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点E在线段BC上，试说明CP与BP的位置关系： (②)当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线AP同侧，求证：AP=AE+AB; (3)连接DE,当点P运动t秒(t≥I0)时，线段DE长度取到最小值，请直接写出t和AP的值. 6/17 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 D 由(2)中有：△BAT是等边三角形，即∠BTA=60°， 图3 ∠BTP=120°， 则根据△EAB≌△PTB(SAS)可知：∠EAB=∠BTP=120°， AB=AC,∠ABC=30°， ∠ACB=∠ABC=30°， ∠CAB=120°=∠DAP, ∠BAF=60°， :∠EAP=∠EAB-∠BAF=60°=∠DAE, ②当点D与点E在直线CP两侧时，如图4， D A M 在PC上截取PM=BA, E 图4 :∠BEP=∠BAP=60°， ·结合对顶角相等，可得∠ABE=∠APE, △PEM≌△BEA(SAS, ∠PME=∠BAE,EM=AE, ∠PME=∠MAE, ∠MAE=∠BAE, :∠CAB=120°， ∠MAE=∠BAE=60°， 7/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F 此时∠EAD=60°，∠EDA=30°， 图5 点D与点E在直线AP同侧时， :在Rt△ACD中，∠DCA=30°，∠CDA=90°， 40-号4c=1em. :Rt△ADE中，∠EDA=30°，∠DEA=90°， :.AE=AD=5cm, 2 :AP AE +AB=5+20=25cm, t=25÷2=12.5, :运动时间为12.5秒时，线段DE长度取到最小值，此时AP=25cm. 22.(25-26八年级上·内蒙古通辽·期中)【基础回顾】 (1)如图1，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线， 垂足分别为D,E.求证：△ABD≌△CAE; D H B E 【变式探究】 D A B 图1 图2 图3 (2)如图2，在ABC中，AB=AC,直线1经过点A,点D,E分别在直线I上，如果 ∠CEA=∠ADB=∠BAC,求证：ED=BD+CE; 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以ABC的边AB,AC为一 边向外作ABAD和aCAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,AG是边BC上的高.延长 GA交DE于点H,设△ADH的面积为S,△AEH的面积为S2,猜想S,S2大小关系，并说明理由. 23.(25-26八年级上广东广州期中)【探究发现】 8/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M B P 图1 图2 图3 (1)如图1， ABC和BDE都是等边三角形，连接AD,CE,求证：△ABD≌△CBE; 【类比应用】 (2)如图2， ABC和BDE都是等边三角形，且满足D,B,C三点在同一条直线上，己知点M是BE的 中点，点N是AB的中点，点P在线段DC上且满足△PMN是等边三角形，探究DP与CP之间的数量关系 并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，P是线段GH的中点，GH=10,在GH的上方作等边△PMN(P,M,N三点按顺时针顺序 排列，△PMN的大小和位置可以变化)，连接GM,HN.当GM+HN取得最小值时，求等边△PMN边 长的最小值. 24.(25-26八年级上·贵州遵义·期中)小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设 计了等边三角形中的双动点问题.已知，在等边三角形ABC中，D,E分别为边AB,BC上的动点，且不 与端点重合，连接DE, 【初步究】 (1)如图1，当DE⊥BC时，求∠BDE的度数； 【深入探究】 (2)如图2，当D,E在移动时，若始终保持DA=BE,在DE的右侧作∠DEF=60°，交AC于F,求证： CF=AD; 【知识迁移】 (3)如图3，若D,E在运动时始终保持DA=BE,在DE的右侧作∠DEF=120°，且DE=EF,连接 CF,试判断BD,CF,BE的数量关系，并证明你的结论 D D B E 图1 图2 图3 备用图 9/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 25.(25-26八年级上四川眉山期中)在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线PQ过点A且 PQ∥BC,以点B为一顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°，且点D在直线P2上（不与点A重合） M E A D 图1 图2 图3 (I)如图1，DE与AC交于点M,若DF⊥PQ于点D交AB于点F, ①求证：△ADF为等腰直角三角形： ②求证：△BDF≌△MDA; (2)在图2中，DE与CA延长线交于点M,试猜想线段BD、ED、EM的数量关系，并证明你的猜想； (3)在图3中，DE与AC延长线交于点M,(2)中结论是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立， 请说明理由. 题型六不等式组中含参数的综合题（共5小题） 3x+2y=m+1 26.(25-26八年级上·浙江杭州期中)已知关于x、y的方程满足方程组 2x+y=m-1 (1)用含m的代数式表示x,y; (2)若x、y均为非负数，求m的取值范围； (3)在(2)的条件下，求S=2x-3y+m的最大值和最小值， 27.(21-22七年级下·四川内江期中)对x,y定义一种新运算T,规定：T(x,y)=ax+2by-1(其中 a,b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0,1=a0+2b.1-1=2b-1. 已知T(1,1=4,T(4,-2)=7: (1)求a、b的值： T(2m,5-4m)<5 (2)若关于m的不等式组 恰好有4个整数解，求实数p的取值范围. T(m,3-2m)≥p 28.(25-26八年级上浙江杭州期中)定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内， 则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”.例如，方程2x-1=1的解是x=1,同时x=1也是不 等式x+1>0的解，则称方程2x-1=1是不等式x+1>0的智惠方程”. 10/17 专题06 期中真题压轴百练通关 选填小压轴 解答压轴 题型1 多结论问题 题型5 等腰（等边）三角形的综合题 题型2 多解问题 题型6 不等式组中含参数的综合题 题型3 最值问题 题型7 几何图形的旋转的综合题 题型4 含参数问题 题型一 多结论问题（共5小题） 1．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在等边中，是边上的高，，在下列结论中： ①；②；③；④正确的个数是（  ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握“角所对的直角边是斜边的一半”是解题的关键． 利用等边三角形和高的性质得角的度数，结合角的直角三角形“对的直角边是斜边的一半”推导线段关系，逐一验证结论． 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的高， ∴，，， ∴（），故结论①正确； ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，故结论②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴（），故结论③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， 同理，， ∴，结论④正确； 综上，①②③④正确，共个． 故选：． 2．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，是等边三角形，是角平分线，是等边三角形，与相交于点．有以下结论：①；②；③，其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形三线合一，即可一一判断． 【详解】解：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∵是角平分线， ∴，，故①正确， ∴ ∴，故②正确 ∴，故③正确， 故选：D． 3．（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，与中，，，，交于D，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，先证明，再结合全等三角形的性质以及三角形外角性质等内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，， 故①符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故③符合题意； 依题意，无法得出以及， 故②和④不符合题意； 故选：C 4．（25-26八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，，于点C，平分交于点F，交于点D，连接．若，下面结论正确的个数是（    ）． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据，，得出，即可判断①；结合①即可证明，故②正确；根据平分，得出，，求出，即可判断④；证明，得出，即可判断③； 【详解】解：∵，， ，， ∴，故①正确； 在和中 ， ，故②正确； ， ∵平分， ， ∴， ∴， 即，故④正确； 在和中 ， ， ， ∴， 即，故③正确； 故选：D． 5．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，在和中，，（），，直线，交于点，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 先证明，即可证明，得到，，从而判断①②；设与的交点为，如图所示，由外角性质得到，从而判断③；无法判定与的相等关系，即不确定，进而判断④． 【详解】解：在和中，，（），， ， 即， 在和中， ， ， ，， 故①正确，符合题意； ， 故②正确，符合题意； 设于的交点为，如图所示： 在中，由三角形外角的性质可得，， 在中由三角形外角的性质可得， ， ②， ， 即， 故③正确，符合题意； ①，， 要验证， 只需要验证，即可以验证， 结合题中条件以及前面得到的结论，仍无法判定与的相等关系， 故④不一定正确，不符合题意； 综上所述，正确结论有①②③，共3个， 故选：C． 题型二 多解问题（共5小题） 6．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，动点P在边上，从点A向点B运动，且速度为，设运动的时间为秒．当为等腰三角形时，t的值为_____． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 分三种情况：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】解：①当时，如图1， 过点C作于点D， ∵， ∴， ， ∴， 解得：， ∴， 此时； ∴， ∴； ②当时，， ∴； ③当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，t的值为或或． 故答案为：或或 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰中，，，是直线上一点（不与、重合），连接，若是等腰三角形，则______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求解是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分类讨论点的位置和的等腰情况，利用三角形内角和定理计算角度． 【详解】在等腰中，，，则，点在直线上（不与、重合），为等腰三角形，分情况讨论： （1）当时， ①点在线段上，， 由得， 故； ②点在线段延长线上， ，由得， 故； （2）当时，点在线段上， ，由得， 故； 综上，为或或 ． 故答案是：或或． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点为的中点，点是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点的对应点为，与交于，当为直角三角形时，线段的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，在中， ，，，得，由勾股定理得，然后求出，再分当时，当时两种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中， ，，， ∴， 由勾股定理得： ， ∵点为的中点， ∴， 由折叠性质得，，， ∴当为直角三角形时，有以下两种情况： 当时，如图所示， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 当时，过点作于点，如图所示， 同上理可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 9．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是_______________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，含的直角三角形性质，分类讨论，是解题关键． 分两种情况：当时，可证得是等边三角形，得出，再由，即可求得；当时，利用直角三角形性质可得，再由，即可求得长． 【详解】解：，，，， ， 由折叠知，，， 当时，， ， 是等边三角形， ， ； 当时，， 在中， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·四川自贡·期中）如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接、．则当的度数为__________时，是等腰三角形． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的应用．先证是等边三角形得到，根据，，得出，先证明，可得，可得，，，再分情况讨论：①；②；③，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，﹐ ∴； ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ∵是等腰三角形， ①， 即， 解得， ②， 即， 解得， ③， 即， 解得， 综上：当或或时，是等腰三角形， 故答案为： 或或． 题型三 最值问题（共5小题） 11．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，当的长为时，则的最小值为____． 【答案】4 【分析】作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，得到，则，当、、三点共线时，有最小值等于的长，最后判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， ，， 平分， ， ． 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值等于的长， 又，，， ， 是等边三角形， ，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短和等边三角形的判定，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 12．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在锐角中，，，，点分别为上的动点，则周长最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称求线段和的最值，熟练掌握轴对称求最小值的方法，等边三角形的判定和性质，三角形面积公式是解题的关键．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，当时最短，此时的周长最小，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接， 由对称性可知， ∴的周长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴当时，最短，此时的周长最小， ∵，的面积， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点、点分别为，上一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质；作点关于的对称点，由于为的角平分线，则点落在上，连接交于点，当时，最小，再根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点， 由于为的角平分线，则点落在上，连接交于点， 当时，最小， ∵，则， 在中，， ∴ ， 的最小值为． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，直线，在直线上方作等边，点B，C在直线上，延长AC交直线于点D，在上方作等边，点F在直线上且在点D右边．动点M，N分别在直线，上，且，若，则的最小值是________． 【答案】 【分析】将沿直线翻折得到，则三点共线，过点作于点连接，证明四边形是平行四边形，推出再根据，求出可得结论 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ， ∴， 如图，将沿直线翻折得到，则， ∴， ∴三点共线， 过点作于点连接，过点D作于点G，过点N作于点H， ， ， ， ， ∵，， ∴，， ， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， 的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称最短问题，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是正确添加辅助线，用转化的思想解决问题． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1，已知直线的同侧有两个点、，在直线上找一点，使点到、两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题． （1）如图2，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为______． （2）如图3，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线段和的最小值问题，灵活利用两点之间线段最短或垂线段最短将通过找对称点的方法或作垂线段的方法将线段转化到同一条直线上是解题的关键． （1）作于点，交与点，过点作于点，则的最小值为，由角平分线的性质可得，则，根据直角三角形度角的性质结合勾股定理求得长即可； （2）作点关于的对称点，作点关于的对称点， 连接分别交、于点，连接，则的最小值为的长，由对称的性质可得长，根据勾股定理求出长即可． 【详解】解：（1）作于点，交与点，过点作于点，则的最小值为， 平分，， 在中， 由勾股定理得 所以的最小值为． 故答案为：． （2）作点关于的对称点，作点关于的对称点， 连接分别交、于点，连接，则的最小值为的长    由对称可得垂直平分，垂直平分， 在中由勾股定理得 所以的最小值为 故答案为：． 题型四 含参数问题（共5小题） 16．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于x的不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解集情况求参数，先求出不等式的解集，再根据正整数解求解即可． 【详解】解不等式，得． ∵正整数解恰是1，2，3， ∴． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·云南红河·期中）若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．先求出一元一次不等式组的解集，然后再根据题意列出含参数的不等式即可求解． 【详解】解：由关于的一元一次不等式组有解可得：， ∴， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·四川成都·期中）若关于的不等式组的有4个整数解，则的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式组的整数解．先求出不等式组的解集，再根据不等式组有4个整数解判断即可． 【详解】解：， 解得：， ∵关于x的不等式组有4个整数解， ∴整数解为3，4，5，6， 即， 故答案为：． 19．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）已知不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组无解情况． 先求出两不等式的解集，再根据不等式组无解判断即可． 【详解】解：， 解①得：； 解②得：； ∴ ∵不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 20．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知关于的不等式组的解集为． （1）的取值范围是______； （2）若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和是______． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及二元一次方程组的解，熟知解一元一次不等式组的步骤及解二元一次方程组的步骤是解题的关键． （1）先求出不等式组中两个不等式的解集，再结合不等式组的解集即可得出m的取值范围． （2）先用m表示出方程组的解，再结合（1）中的取值范围即可解决问题． 【详解】解：（1）由题知， 解不等式得，； 解不等式，得，． ∵不等式组的解集为， ∴． 故答案为：． （2）解方程组得，． ∵此方程组的解为整数，且整数m为整数， ∴或或， 解得或或5或1或4或2． 又∵， ∴符合条件的所有整数m的和是：． 故答案为：6． 题型五 等腰（等边）三角形的综合题（共5小题） 21．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知等腰中，，，交延长线于点，为的延长线，点从点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边，连接． (1)如图1，当点在线段上，试说明与的位置关系； (2)当点运动到如图2位置时，此时点与点在直线同侧，求证：； (3)连接，当点运动秒时，线段长度取到最小值，请直接写出和的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)运动时间为秒时，线段长度取到最小值，此时． 【分析】本题属于三角形综合，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明，得到，进而可求解； （2）在上取一点，使，证明，推出，可得结论； （3）分两种情况分析：①当点与点在直线同侧时，②当点与点在直线两侧时，得到运动过程中，所在的直线平分，点在的角平分线上运动，当时，最短，可得到答案． 【详解】（1）， ， ， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ； （2）证明：如图2，在上取一点使得，连接， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当点与点在直线同侧时，如图3， 由（2）中有：是等边三角形，即， ， 则根据可知：， ，， ， ， ， ， ②当点与点在直线两侧时，如图4， 在上截取， ， 结合对顶角相等，可得， ， ，， ， ， ， ， 即在运动过程中，所在的直线平分， 当时，最短，如图5， 此时， 点与点在直线同侧时， 在中，， ， 中，， ， ， ， 运动时间为秒时，线段长度取到最小值，此时． 22．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）证明得到，，则； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ； （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴； （3），大小关系是： 理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 同理可证明：． ∴． ∴． ∵，， ∴． 23．（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究发现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，，求证：； 【类比应用】 （2）如图2，和都是等边三角形，且满足D，B，C三点在同一条直线上，已知点M是的中点，点N是的中点，点P在线段上且满足是等边三角形，探究与之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，P是线段的中点，，在的上方作等边（P，M，N三点按顺时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当取得最小值时，求等边边长的最小值． 【答案】（1）见详解；（2），理由见详解；（3）当的值最小时，边长的最小值为 【分析】（1）证出，根据证明； （2）在上取点，使得，连接，证明，得，则可得出结论； （3）作，使，连接，证明，得，当点在线段上时，的值最小，此时的值最小，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； （2），理由如下： 在上取点，使得，连接， 和都是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， 为的中点，点为的中点， ， 设，则， ， ， ． （3）解：作，使，连接， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 当点在线段上时，的值最小，此时的值最小， ， ， 在中，， 即当的值最小时，边长的最小值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 24．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设计了等边三角形中的双动点问题．已知，在等边三角形中，分别为边上的动点，且不与端点重合，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当时，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当在移动时，若始终保持，在的右侧作，交于．求证：； 【知识迁移】 （3）如图3，若，在运动时始终保持，在的右侧作，且，连接，试判断的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，正确判断三角形全等是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质得，再根据三角形内角和定理可求出的度数； （2）由等边三角形的性质得，，得到，根据三角形外角的性质得出，根据证明，可得； （3）过点作交于点，可证明是等边三角形，得，再根据证明可得出，进而可得结论． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴； （2）∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 又， 而， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）过点作交于点，如图， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴, ∴， ∴． 25．（25-26八年级上·四川眉山·期中）在等腰中，，，直线过点且，以点为一顶点作，，且点在直线上(不与点重合) (1)如图1，与交于点，若于点交于点， ①求证：为等腰直角三角形； ②求证：； (2)在图2中，与延长线交于点，试猜想线段、、数量关系，并证明你的猜想； (3)在图3中，与延长线交于点，（2）中结论是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)，见解析 (3)成立，见解析 【分析】（1）①先证明，结合，得证，再利用，得证，即可证明； ②证明，，继而得到，再利用，即可证明； （2）过点D作于点交的延长线于点，先证明，再利用，，继而证明，最后证明即可； （3）过点D作于点交于点，先证明，再根据，，得到，最后证明即可完成证明． 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，四边形内角和，余角的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）①证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； ②证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 解：线段、、数量关系为．理由如下： 过点D作于点交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； ∵， ∴． （3）解：结论仍成立．理由如下： 过点D作于点交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； ∵， ∴． 题型六 不等式组中含参数的综合题（共5小题） 26．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为9，最小值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用加减消元法，解得，即可作答． （2）由，且根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（1）的结论代入可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， ，得， 解得， 综上所述：，； （2）解：由（1）得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为9，最小值为． 27．（21-22七年级下·四川内江·期中）对，定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． 已知，： (1)求的值； (2)若关于的不等式组恰好有4个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算与二元一次方程组、含参数不等式组求解问题综合，理解题中新定义运算法则，掌握二元一次方程组、不等式组的解法是解决问题的关键． （1）先由题中新定义的运算将，转化为，由加减消元法解二元一次方程组即可得到答案； （2）由（1）中的值，结合新定义运算将转化为不等式组求解得到，再根据不等式组恰好有4个整数解，得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解：，， 由新定义运算可得， ，， 联立得， 由得：， 解得：； 将代入②得， 解得； ； （2）解：由（1）知， ， 根据新定义运算可得， ①， ②， 解①得； 解②得； 关于的不等式组有解， ， 关于的不等式组恰好有4个整数解， ， 解得． 28．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“智惠方程”是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）先解方程可得，再解不等式组可得，再根据 根据“智惠方程”的定义，得到，得 ，此时不等式组恰好有3个整数解，得到，解得，从而可得答案． 【详解】（1）解：①方程的解为； ②的解是； ③的解， 不等式的解集为， ∴不等式的“智惠方程”是②， 故答案为：②； （2）解：解方程​，得． 解，得． 解，得． ∴不等式组的解集为． 根据“智惠方程”的定义， ∴，得， ∵有3个整数解，即1，2，3， ∴，解得​， 综上，的取值范围是  ． 29．（25-26八年级上·福建福州·开学考试）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于x，y方程组是不等式的“偏解方程组”，求a的取值范围； (3)已知关于x的不等式组恰有6个整数解，且关于x的方程是它的“偏解方程”，求b的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】（1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于a的一元一次不等式，再求解即可； （3）先解不等式组得，再由‘恰有6个整数解’的条件求得，由‘偏解方程’的定义得到，取两个范围的交集即可． 【详解】（1）解：，解得， ①成立，故符合题意； ②不成立，故不符合题意； ③成立，故符合题意， 方程是下列不等式（组）中①③的“偏解方程”， 故答案为：①③； （2） 解得， 方程组是不等式的“偏解方程组”， ， 解得； （3）， 解得， 关于x的方程是它的“偏解方程”， ， 解得， 不等式组恰有6个整数解， 设6个整数解为k，，，，，， 由题意得，， ， 解得， 有解， ， 解得， 的整数解为或， 当时，， ， 当时，， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，解题的关键在于分类讨论． 30．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得， 再根据此时不等式组有4个整数解，求出；解得到，根据“相依方程”的含义求出；进而可得答案． 【详解】（1）解：①， 解得： ②， 整理得： 解得： ③， 解得： 解不等式可得： 解不等式可得： 所以不等式组的解集为： 根据新定义可得：方程②是不等式组的“相依方程”． 故答案为：②； （2）解： 由①得： 由②得： 所以不等式组的解集为： ， 根据“相依方程”的含义可得： 解得： （3）解： 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： 此时不等式组有4个整数解， ∴整数解为2，3，4，5， ∴ 解得； 因为， 解得： 根据“相依方程”的含义可得： 即 解得：， 即 综上： 题型七 几何图形的旋转的综合题（共5小题） 31．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，，，点在内． 动手操作：如图1，将绕点顺时针旋转，使点的对应点为，画出旋转后的对应三角形； 实践运用：如图2，连，将绕点逆时针旋转得线段，连，射线交于点，连．若，，求的长． 【答案】画图见解析， 【分析】本题考查全等三角形的判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 动手操作：根据旋转的性质画出旋转后的图形即可； 实践运用： 过点作于点，于点，证得，进而证得四边形是正方形，设正方形的边长为，列方程求解即可． 【详解】解：动手操作：旋转后的三角形如图： 实践应用： 过点作于点，于点， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， 四边形是正方形， ， 设， 、， ， 、， ， 在中，， 即， 解得或， 当时， 在中，、、， 满足，即， 则符合题意， 当时， 在中，、、， 由于，与矛盾， 则不符合题意，故舍去， ， ， 答：的长为． 32．（25-26九年级上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． (1)如图①，若，则的长是__________，点的坐标是__________； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)记为的中点，为的面积，求的最小值和最大值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2) (3)最小值，最大值 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）勾股定理求出的长，旋转结合勾股定理求出的长，作轴，证明，求出的长，求出点的坐标即可； （2）过作轴于，易得为含30度角的直角三角形，求出的长，进而求出点的坐标即可； （3）根据旋转的性质，推出当点在上时，的面积最小，当点在线段的延长线上时，的面积最大，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 作轴，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图②，过作轴于，则． 由旋转的性质可得：，， 在中，由， ∴． ． 由勾股定理， ． 点的坐标为；         （3）∵旋转， ∴， 由（1）可知， ∵为的中点， ∴， 作，则：， ∴的面积随着的变化而变化， 如图所示，当点在上时，此时，重合，最小，的面积最小， 最小面积， 当点在的延长线上时，此时重合，最大，的面积最大， 最大面积． 33．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点A作直线l，过点C作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现：．如图2，图3，在平面直角坐标系中，点为x轴正半轴上一点，点B为y轴上一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图2，若点B在y轴正半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为_______． (2)如图3，若点B在y轴负半轴上且B点坐标为，请求出的面积． (3)点B在y轴上运动过程中（点B不与点O重合），的面积是否发生变化？若不变，请直接写出的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)不变，的面积为2 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质以及坐标系，即可得出点C的坐标； （2）过点作轴于点，，同（1）得出，根据点C的坐标即可求出面积； （3）根据（1）（2）得方法，得出C的纵坐标为2，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 根据旋转得， ∴， ∴根据点的坐标可得，， ∴点C的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 根据旋转得， ∴， ∴根据全等可能，， ∴ ∴点C的坐标为， ∴的面积为； （3）解：的面积不发生变化，理由如下： ①如（2）得，当点位于纵轴负半轴时，设B点坐标为， 则， ∴ ∴点C的坐标为， ∴的面积为； ②当点位于纵轴正半轴时，B点坐标为，如图，过点作轴于点， 同理（1）可证， ∴， ∴点的纵坐标为2， ∴； 综上，的面积不发生变化． 34．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）【问题发现】（1）如图1，在中，，以AB为边向外作等边三角形，连接，小明通过测量发现：．如图2，为了证明这一结论，小明决定延长到，使得，连接，通过证明，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【深入探究】 （2）如图3，在中，，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，则满足什么样的数量关系？并给出证明． 【启发应用】 （3）如图4，在等腰直角中，，，点是的中点，点在边上，且满足，在射线上取一点使得，直接写出的最小值 ． 【答案】（1）证明见详解；（2），证明见详解；（3） 【分析】（1）利用手拉手模型，结合等边三角形性质，证明，即可得证； （2）将绕点逆时针旋转到使与重合，如图所示，得到，，再由勾股定理求解即可得到答案； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接EQ，如图所示，可证明，则，得，再证明，得，推导出，在上截取，连接，可证明，得，当时，的值最小，此时的值最小，由勾股定理得，即可得到的最小值． 【详解】（1）证明：， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， 即； （2）满足的数量关系为， 证明如下： 将绕点逆时针旋转到使与重合，如图所示： 由旋转性质可得，， 在等腰中，由勾股定理可得， 即， ， 即； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接EQ，如图所示： ，，， ∴，， ∴， 则， ∵， ， 在中，由勾股定理可得， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在上截取，连接，如图所示： 则， ∵， ∴， 在和中， ， ， ， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，根据知，此时的值最小，如图所示： ， ， ， 在等腰中，由勾股定理可得， 则， 解得， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，重点考查旋转的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 35．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： (3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1)，证明见详解 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，得到相等边，然后利用勾股定理进行证明即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，利用（1）的思路，得出全等的三角形和等边三角形，得出相等的角和边，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 根据旋转的性质得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得，； （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接， 同（1）可得为等边三角形， ∴， 同（1）可得， ∴，， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即． 一、单选题 1．已知关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式组的解集是同大取大，可得答案． 【详解】解：关于x的不等式组的解集为，则． 2．如图，中，，，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等即可证明①正确；由角平分线定义可得，再结合三角形外角的性质推出，进而证得，故②正确；若，可推出，但题中无条件限定一定等于，故③错误；由平分，且，得，，，因此，结合，，可证，得到，，即垂直平分，进而得，因此，代换可得，从而证明，故④正确． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确； 若，则， ∵， ∴， ∴，但题中无条件限定一定等于，故③错误； ∵平分，， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②④． 故选：C． 二、填空题 3．如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是________． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质，得出垂直平分，因此点与点关于对称，将转化为；再根据垂线段最短，确定当时，取得最小值，即的长度；接着用勾股定理算出的长，进而得到的长；最后用三角形面积的两种不同表示方法，求出的长，即为的最小值． 【详解】解：∵，平分， ∴垂直平分， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴， 如图，根据“垂线段最短”，当、、三点共线，且时，取得最小值，即的长度， 在中，，，由勾股定理：， ∴， ∵， ∴， ∴，的最小值为． 【点睛】这类“两动点+对称轴”的最短路径问题，核心是利用轴对称将同侧点转化为异侧点，再用“垂线段最短”求解，面积法是求斜边上高的常用技巧． 4．如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与射线相交于点，将沿射线翻折至，射线与射线相交于点．当点在线段上时， （用的代数式表示）；若是等腰三角形，则的度数为______． 【答案】；或或 【分析】由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，由折叠可得，即得，进而由三角形外角性质得；若是等腰三角形，分四种情况分别画出图形，利用等腰三角形和三角形外角性质解答即可求解． 【详解】解：当点在线段上时，∵，， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∴； 若是等腰三角形，分以下四种情况： 当时，如图，， 由三角形的外角性质得，，即，此情况不存在； 当且点在射线下方时，如图， ∵， ∴， 由三角形的外角性质得，， 即， 解得； 当时，如图，， ∴， 由三角形的外角性质得，， 即， 解得； 当且点在射线上方时，如图，， ∴， ∴； 综上，若是等腰三角形，则的度数为或或． 三、解答题 5．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． (1)不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”） 不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的不等式不是的“同根不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“同根不等式”．直接写出的取值范围． 【答案】(1)不是，是 (2) (3)或 【分析】本题根据新定义“同根不等式”，即两个一元一次不等式有公共整数解，分别解不等式，再结合定义判断是否满足条件，求解参数范围． （1）直接解不等式判断是否有公共整数解即可； （2）根据没有公共整数解列不等式求范围； （3）分大于和小于两种情况讨论，得到的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式得 解不等式得 两个不等式没有公共解，因此没有公共整数解， 故不是的“同根不等式” 解不等式得 解不等式得 两个不等式的公共解为，存在无数个公共整数解， 故是的“同根不等式” （2）解不等式得 解不等式得 不是的“同根不等式” 两个不等式没有公共整数解， 解得 （3）解不等式，整理得 解不等式，整理得 ①当时，不等式化简为 要使两个不等式有公共整数解，需满足 解得，符合条件； ②当时，不等式化简为 ， 两个不等式的公共解为， 因此所有都符合条件 综上，的取值范围是或 6．如图1，中，，于点D，平分，，与相交于点E． (1)求的长； (2)延长与相交于一点P，如图2，求证：是等边三角形； (3)如图3，点M是中点，点N是上一动点，连接．当时，求面积的最大值． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，再根据含有角的直角三角形的性质即可得到长度； （2）根据角平分线的定义及余角的定义即可求得的度数，再根据三角形的内角和定理即可得到，进而得到是等腰三角形； （3）根据三角形面积的计算方法以及动点与定点之间的关系即可得到的最大值． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：过点M作边上的高，如图， 则的面积， ∵点M是中点， ∴点M是定点， ∴为定值， ∴当的值最大时，的面积最大， ∵点N是线段上一动点， ∴当点N与点D重合时，的值最大， 如图，当点N与点D重合时，过点D作于点G， ∵，，， ∴， ∵点M是中点， ∵， ∴，， ∴， ∴当点N与点D重合时，面积的最大值为． 7．按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． (3)【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 【答案】(1)答案不唯一，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）①选择小辉同学的解题思路，证明，再证出为等腰直角三角形，最后根据勾股定理可得，即可得出结论；②选择小光同学的解题思路，证明，再根据勾股定理可得，即可得出结论； （2）过作于，过作于，证明，得到，；再证明，即可得出结论； （3）在边上截取，连接，过作于，可得，证明，，根据含角直角三角形的性质得到的长，再根据勾股定理算出，即可求出面积． 【详解】（1）解：选择小辉同学的解题思路． 证明：如图2，过作交的延长线于， ， ， ，， ． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ，，， ， ，． ， ， ， ， ， ， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 选择小光同学的解题思路． 证明：如图3，在上截取，连接． ， ， ． ， ，即． ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ； （2）证明：如图4，过作于，过作于． ，， ， ，，， ， ，． ，，， ，， ， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ，， ， ，即， ； （3）解：如图5，在边上截取，连接，过作于， 由题意得，，． ， ． ，， ∴， ， 在和中， ，，， ， ． ，， ， ， ， ． 又， ，， ． ，， ， 根据勾股定理得，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $