专题05 期中真题易错百练通关（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材北师大版

专题05 期中真题易错百练通关 选填易错 解答易错 题型1 等腰三角形多解易错问题 题型6 利用HL证明全等问题 题型2 直角三角形多解易错问题 题型7 解不等式组问题 题型3 由不等式组的解集情况求参数问题 题型8 一元一次不等式与一次函数应用问题 题型4 由不等式组中整数解的情况求参数问题 题型9 平面直角坐标系中旋转作图问题 题型5 不等式组与方程组结合问题 题型10 等腰三角形中旋转综合问题 题型一 等腰三角形多解易错问题（共3小题） 1．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，为线段上一动点，当线段取得最小值时，线段的长度为___________；当为等腰三角形时，___________． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，度角的性质． 依据题意，根据垂线段最短，可得当时，最短，结合，，则，从而可得；又由，可得，再根据为等腰三角形，进而分类讨论计算可以得解． 【详解】解：由题意，根据垂线段最短， ∵P为线段上一动点， ∴当时，最短． 如图，此时， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 当为等腰三角形时， 可分三种情况讨论． ①， ∴， ∴； ②， ∴； ③， ∴， ∴，不合题意，舍去； 综上，或． 故答案为：；或． 2．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，直线，M，N分别为直线a和直线b上的点，连接，，P是线段上的一动点，直线始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D，E．当是等腰三角形时，的度数为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，熟知相关性质，会根据等腰三角形底边不同进行分类讨论是解题的关键． 根据等腰三角形底边不同，需要分类讨论三种情况，再根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：，， ①当时，，， ②当时，， ③当时，， 综上所述，的值是或或． 故答案为：或或． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，中，，，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在所在直线上点处．在所在直线上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，的长度为_______． 【答案】或或或． 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质．利用勾股定理进行求得边的长，利用折叠的性质，得到，，设，在中利用勾股定理，求得的长，分，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：直角三角形中，，， ∴； ∵折叠， ∴，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ∴； ∴； 当点、、为顶点的三角形是等腰三角形时： ①当时： 则：； ②当时： 则：，或． ③当时： 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴； 综上：的值为或或或． 故答案为：或或或． 题型二 直角三角形多解易错问题（共3小题） 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，则的长度为________． 【答案】或3 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理及直角三角形的分类讨论，解题的关键是利用折叠得对应边相等，分的直角顶点为或两种情况，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：设，则，由折叠性质得，． ①当时，过作于，连接，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴，即， 在中，由勾股定理， 解得． ②当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，又， ∴． 综上，的长度为或． 故答案为：或． 5．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，在等边三角形中，， ．如果点M、N都以的速度运动，点M在线段上由点C向点B运动，点N在线段上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，是一个直角三角形，则t的值为____________． 【答案】或 【分析】本题考查了解含有的直角三角形，解决本题的关键是分类讨论直角． 根据点M、N的运动速度，可得与，再分类讨论与为直角，结合含有的直角三角形求解即可． 【详解】解：∵点M、N以的速度运动，运动时间为t秒， ∴，， ∵在等边三角形中，， ∴，， 当时，则， ∴， 即，解得； 当时，则， ∴， 即，解得； ∴当是一个直角三角形时，t的值为或． 故答案为：或 ． 6．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，得到，其中，点A落在点E处，交于点F，当为直角三角形时，的长度是________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，含的直角三角形性质．分两种情况：当时，可证得是等边三角形，得出，再由，即可求得；当时，利用直角三角形性质可得，再由，即可求得长． 【详解】解：，，，， ， 由折叠知，，， 当时，， ， 是等边三角形， ， ； 当时，， 在中， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 题型三 由不等式组的解集情况求参数问题（共3小题） 7．（24-25八年级下·四川成都·期中）如果不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数的取值范围，由不等式组无解可得两个不等式的解集无公共部分，进而解答即可求解，理解不等式组即构成不等式组的两个不等式的解集无公共部分是解题的关键． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·北京延庆·期中）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查由不等式组解集求参数范围，涉及不等式组的解法，先解不等式组中的不等式，再由不等式组解集即可得到答案．熟练掌握不等式组解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的不等式组， 由①得； 由②得； 关于的不等式组的解集为， ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知关于的不等式组，有解，且关于的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为___________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解一元一次方程以及求不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组和一元一次方程的方法是解题的关键．先分别求解不等式组和方程，根据不等式组有解确定的初步取值范围，再根据方程的解为非负数进一步确定的取值范围，最后找出满足条件的所有整数并求和． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． ∵不等式组有解， ， ∴，即． 解方程， ∴． ∵方程的解为非负数， ∴，即． ∴，满足条件的整数为，，，，，它们的和为． 故答案为：5． 题型四 由不等式组中整数解的情况求参数问题（共3小题） 10．（24-25七年级下·北京昌平·期中）若关于x的不等式组仅有1个整数解，则a的取值范围是______. 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，根据不等式组仅有1个整数解得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故不等式组的解集为：， 不等式组仅有1个整数解， ，即 故答案为： 11．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）已知关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是______________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键． 先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据不等式组只有3个整数解得出答案即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴不等式组解集为，3个整数解为0，1，2． ∴． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于x的不等式组有解且只有3个偶数解．同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为________． 【答案】7 【分析】根据不等式组有解且只有3个偶数解，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据关于y的一元一次方程解为非负整数，确定a的值，求和即可．本题考查解一元一次方程，根据一元一次不等式组解集的情况求参数，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组有解且只有3个偶数解． ∴该不等式组的三个整数解为8，6，4， ∴， 解得， 则 即， ∵a为整数 ∴ ∵， ∴ 则 ∴， ∵关于y的一元一次方程解为非负整数， ∴当时，则，符合题意； ∴当时，则，符合题意； ∴当时，则，不是整数，不符合题意； ∴当时，则，符合题意； ∴ ∴所有满足条件的整数a的值之和为， 故答案为：． 题型五 不等式组与方程组结合问题（共3小题） 13．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，先求出方程组的解，再把解代入到不等式中，最后解不等式即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解： 得，， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为________． （2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是得出关于k的不等式． （1）将方程组中的两个方程相加，即可得到用含k的代数式表示出，然后根据，即可求得k的取值范围 (2)先用含k的式子表示出方程组的解，再根据x，y均为正整数，且，即可得到该方程组的解． 【详解】解：（1） ①+②，得 ， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由解得 ， ∵均为正整数，且， ∴当时，； 当时，，不合题意，舍去； 当时，，不符合题意，都舍去， 由上可得，该方程组的解为． 故答案为：． 题型六 利用HL证明全等问题（共3小题） 16．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，平分，于点E，点F在上且满足． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)54 【分析】（1）利用证明； （2）得到，再利用证明可证明； （3）由全等三角形的性质得到，，则可证明，据此计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，用（）证明三角形全等（或者），全等的性质和综合（）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 17．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，，与交于点，连结． (1)求证：； (2)过点作于点，于点，求证：； (3)若，求的度数（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等，等面积法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，可得，证明，由全等三角形性质即可求证； （）由（）得，，，则，所以，然后代入即可求解； （）设与交于点，由（）得，，由（）得，，则，根据三角形内角和定理可得，所以，然后证明，所以，从而求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（）得，，， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴； （3）解：如图，设与交于点， 由（）得，，由（）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 18．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知在四边形中，，． (1)【问题背景】如图（1），连接，若，，求的长度； (2)【类比探究】如图（2），点P、Q分别在线段、上，满足，探究、、的数量关系，并证明； (3)【拓展应用】如图（3），若点Q在的延长线上，点P在DA的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为______． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． （1）由已知可得，再根据全等三角形的性质可以得到解答； （2）如图2，延长，在上面找一点K，使得，连接，通过证得到：，，然后结合已知可以得到，根据全等三角形的性质可以得到要证结论； （3）如图3，在延长线上找一点K，使得，连接，构建全等三角形：，由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理证得：，则其对应角相等：，结合四边形的内角和是360度可以推得：． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5； （2）解：，理由如下： 证明：如图，延长，在上面找一点K，使得，连接， ∵， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴即； （3）解：，理由如下： 如图3，在延长线上找一点K，使得，连接， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型七 解不等式组问题（共3小题） 19．（25-26八年级上·重庆·期中）解不等式组：，并写出所有整数解． 【答案】，整数解为1，2，3． 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，正确求得不等式组的解集是解题的关键． 先求得不等式组的解集，然后再确定不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式②得， ∴该不等式组的解集为， ∵为整数， ∴1，2，3． 20．（25-26九年级上·重庆·期中）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组． 先分别求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示． 【详解】解：解： ， ， ， ； 解： ， ， ， ， ； ∴不等式组的解集为． 数轴表示如下： 21．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为，数轴表示见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解，并按要求将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 将解集表示在数轴上如图所示： 题型八 一元一次不等式与一次函数应用问题（共3小题） 22．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）根据以下信息，探索完成任务： 素材1 采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用、两种型号的客车，其中型车每辆租金500元，型车每辆租金400元 素材2 4辆型车和3辆型车坐满后共搭载200人，3辆型车和4辆型车坐满后共搭载185人． 素材3 该年级计划租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍． 问题解决： (1)每辆、型车坐满后分别可以搭载几人？ (2)请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金． (3)若该年级准备只租用型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少辆型车？有多少名学生参加研学活动？ 【答案】(1)每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人 (2)当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元 (3)该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，二元一次方程的应用 （1）设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，根据素材2列二元一次方程组求解即可； （2）由素材3求出a的取值范围，求出总租金的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可； （3）设租用B型车m辆，安排一辆车搭载教师后，平均每辆车搭载n名学生，根据题意列出二元一次方程，得到，结合题意得到或，求出n的值，进而判断是否符合n为整数且即可． 【详解】（1）解：设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人， 由素材2得：， 解得：， ∴每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人； （2）解：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 由素材3得：， ， ， ， ∵a为整数， ∴， 总租金， ∵，R随a增大而增大， ∴当时，R最小， 此时B型车数量为辆， （元）， ∴当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元； （3）解：设租用B型车m辆，安排一辆车搭载教师后，平均每辆车搭载n名学生， 由题意：， ， ∵n为整数，且（B型车最多搭载20人）， ∴为整数，是23的因数， ∵23为质数， ∴或， 即或， 当时，，不合理， 当时，，合理， 学生数， ∴该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动． 23．（25-26八年级上·四川·期中）中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能（）大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台成本（万元） 型号 4 12 型号 5 16 (1)若公司有技术人员60人全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为188万元，问和服务器的安装数量各是多少台？ (2)由于公司规模扩大，技术人员增至65人，全部参与维护且每人负责一种服务器，要求型号超过4台．问和服务器的安装数量各是多少台时，安装总成本最少？ 【答案】(1)服务器的安装数量是5台，服务器的安装数量是8台； (2)服务器的安装数量是10台，服务器的安装数量是5台时，安装总成本最少 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用． （1）设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台，根据公司共有技术人员60人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为188万元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设安排服务器的技术人员人，则安排服务器的技术人员人，安装总成本为万元，根据要求型号超过4台，求得，再根据题意列得，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台． 根据题意可列：， 解得：， 答：服务器的安装数量是5台，服务器的安装数量是8台； （2）解：设安排服务器的技术人员人，则安排服务器的技术人员人，安装总成本为万元， ∴服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台， ∵要求型号超过4台， ∴，解得， 由题意得， ∵， ∴的值随的增大而减少， ∵，且和都是整数， ∴当时，有最小值为200万元， 此时，， ∴当服务器的安装数量是10台，服务器的安装数量是5台时，安装总成本最少． 24．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某体育用品店准备购进篮球和足球进行销售，这两种球的进价和售价如下表： 种类 进价（元/个） 售价（元/个） 篮球 80 110 足球 60 100 (1)现计划购进篮球和足球共100个，且篮球的数量不少于足球数量的一半．该体育用品店怎样进货才能使两种球全部售出后获利最大？最大利润是多少？ (2)某学校需要购买一批该体育用品店的篮球和足球作为体育器材，其中篮球m个，足球24个．体育用品店给出以下两种优惠方案： 方案一：所有球均按售价的八折出售； 方案二：篮球按售价的七折出售，足球按售价的九折出售． 学校采购员应选择哪种方案花费最少？请说明理由． 【答案】(1)该体育用品店进篮球34个，足球66个获利最大，最大利润是3660元 (2)当（m为整数）时，应选择方案一花费最少，当（m为整数）时，应选择方案二花费最少，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设购买篮球x个，全部售出后的利润为y元，则购买足球个，分别求出足球和篮球的利润，进而可得到y关于x的函数关系式，再求出x的取值范围即可得到答案； （2）分别表示出两种方案的费用，再令方案一的费用小于方案二的费用，方案一的费用等于方案二的费用，方案一的费用大于方案二的费用，据此分别建立不等式和方程求解即可． 【详解】（1）解：设购买篮球x个，全部售出后的利润为y元，则购买足球个， 由题意得， ， ∵篮球的数量不少于足球数量的一半， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵x为整数， ∴当时，y有最大值，最大值为， 此时， 答：该体育用品店进篮球34个，足球66个获利最大，最大利润是3660元； （2）解：当（m为整数）时，应选择方案一花费最少，当（m为整数）时，应选择方案二花费最少．，理由如下： 方案一的费用为元， 方案二的费用为 元， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∵m为非负整数， ∴不成立， ∴当（m为整数）时，应选择方案一花费最少，当（m为整数）时，应选择方案二花费最少． 题型九 平面直角坐标系中旋转作图问题（共3小题） 25．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度得到，将绕坐标原点逆时针旋转得到，画出和； (2)如果通过旋转可以得到，请在图中标出旋转中心并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查平移作图与旋转作图，以及旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）分别作出点A，B，C的对应点，再依次连接得到；分别作出点A，B，C的对应点，再依次连接得到； （2）分别作线段的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】（1）解：和如图所示； （2）点位置如图，， 26．（25-26九年级上·四川南充·期中）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)作出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)作图见解析，点的坐标为， (2)作图见解析，点的坐标为 (3) 【分析】本题主要考查平移作图，画旋转图形，三角形的面积； （1）根据平移变换的定义作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据旋转变换的定义作出旋转后的对应点，再首尾顺次连接即可． （3）连接，根据长方形的面积减去一个小正方形和三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为， （2）如图所示，即为所求，点的坐标为 （3）如图，连接， ∴的面积为 27．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的，画出； (2)绕原点O逆时针方向旋转得到，按要求作出图形； (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心P的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的平移作图，旋转作图，旋转的性质等知识，熟知平移，旋转性质是解题关键． （1）根据平移性质作图即可求解； （2）根据旋转性质作图即可求解； （3）连接，，分别作，垂直平分线，两垂直平分线交点即为旋转中心P． 【详解】（1）解：如图，向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的，得到对应点坐标为，，，即为所求作三角形： （2）解：如图，绕原点O逆时针方向旋转得到，得到对应点坐标为，，，即为所求作三角形： （3）解：如图，连接，，分别作，垂直平分线，两垂直平分线交点即为旋转中心P，此时点P坐标为． 题型十 等腰三角形中旋转综合问题（共3小题） 28．（25-26九年级上·湖北·期中）如图1， 是等边三角形，点 D，E分别在上，且，连接．将 绕点A 逆时针旋转某个角度(旋转角小于连接， 如图2． (1)求证： (2)如图3， 当射线经过的中点F时， 连接． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)①详见解析；② 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明即可； （2）①先得到是等边三角形，则，由三线合一得到，则，由 可得，则，然后在中运用内角和定理求解即可； ②先在含的中，求出，，然后在中，由勾股定理求得，则由全等得到，最后对运用勾股定理求解． 【详解】（1）证明： ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又， ∴； （2）①证明：∵是等边三角形， ∴， ∴ 又， ∴是等边三角形． ∴． 又F为的中点， ∴ ∵， ∴． ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴ ∴在中， ， ∴．· ∴在中，， ． ∵， ∴ ∵是等边三角形， ∴． ∴在中，． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 29．（25-26九年级上·辽宁营口·期中）如图1，在中，，点在边上，点在延长线上，且，连接，将绕点逆时针旋转，连接，直线与直线交于点． (1)如图2，求证：； (2)在图2中，连接，求证：； (3)如图3，若，，当点与点重合时，求的面积； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出． （2）在上截取，连接，证明，得出，，证出是等腰直角三角形，则可得出结论； （3）由等腰直角三角形的性质及勾股定理求出的长，如图，过作于，由三角形面积可得出答案；设，则，得出，则由勾股定理求出的长，由三角形面积可得出答案． 【详解】（1）证明：， ． 即． 在和中 ． ． （2）证明：如图，在上截取，连接． 由（1）得，， ． 在和中 ， ． ． 即． 是等腰直角三角形． 根据勾股定理得，， ． ， ． ． （3）解：由（1）得，， ． ， ． ． ． ． 根据勾股定理得，． 同理，， ． 设，则． 由（1）得， ， 在Rt中，， ， 解得（舍去）， ． 如图2，过作于． ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键． 30．（25-26九年级上·江西南昌·期中）已知：如图和都是等边三角形是延长线上一点，与相交于点P，与相交于点 (1)在图中，求证：； (2)当绕点C沿逆时针方向旋转到图时， 的度数会发生变化吗？不变的话，度数为多少？并说明理由． 求证：点C落在的角平分线上． 【答案】(1)详见解析 (2)不变，，理由见解析；详见解析 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），角平分线的判定定理，等边三角形的性质，根据旋转的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先根据等边三角形性质得出，，，再证得，根据推出两三角形全等即可； （2）①先根据等边三角形性质得出，，，再证得，根据推出两三角形全等即可解题； ②先根据，得到，，即可得到，然后根据角平分线的判定定理解题即可． 【详解】（1）证明：和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）①解：的度数不会发生变化， 和为等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ②证明：连接，过点C作，于点H，G， ， ，， ， 平分， 点C落在的角平分线上． 一、单选题 1．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：． 故选：B ． 2．如图，等边的边长为，动点P、Q分别从A、B两点出发，沿、方向匀速运动，它们的速度都是1厘米/秒，当点P到达B点时，P、Q两点停止运动，设P、Q两点运动的时间为秒，若为直角三角形时，则的值是（   ） A．2秒 B．4秒 C．2秒或4秒 D．3秒 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，由题意可得：厘米，厘米， ，当时， ，；当时， ，，据此分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：厘米，厘米， ∵为等边三角形， ∴， （i）当时，如图所示： ∴， ∴， ∴， 解得：秒； （ii）当时，如图所示： ∴， ∴， ∴， 解得：秒； 综上，的值是2秒或4秒． 故选：C． 二、填空题 3．若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组有4个整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可. 【详解】解：解不等式组，得， ∵关于的不等式组有4个整数解， ∴不等式组的解集为，整数解为， ∴， ∴. 4．如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得 是以为腰作等腰三角形，则点的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰三角形定义，由直线可得，当时，；当时，；所以，，由勾股定理得，然后分如图，当时，如图，当或时进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由直线可得，当时，；当时，； ∴，， ∴，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴点； 如图，当或时， ∴点或； 综上可得，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 三、解答题 5．解不等式组：，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确地解不等式是解题的关键． 先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以，原不等式组的解集为：． 在数轴上，表示如下： 6．将经过平移后得到，若点的坐标为，在图中画出三角形． (1)顶点坐标为______，的坐标为______． (2)将绕点沿顺时针方向旋转后得到，则点的坐标是______，旋转角的度数是______． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查了平移的性质和旋转的性质，能正确得出各个点的坐标是解答此题的关键． （1）根据点和点的坐标得出平移方式，再画出图形即可解答； （2）先作线段和的垂直平分线，得出交点即为旋转中心；根据勾股定理及其逆定理即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可知，点的坐标为， 又将经过平移后得到，点的坐标为，且，， 将先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到的． ，， ，， 即，． 故答案为：，． （2）解：如图所示，连接，， 分别作线段和的垂直平分线，交点即为旋转中心， 由作图可知，旋转中心点的坐标是； 如图，连接，， 由勾股定理可得，，， ， ， 是直角三角形， ， 即旋转角的度数是． 故答案为：，． 7．学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元，购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元． (1)求甲、乙两种奖品的单价； (2)学校计划购买甲、乙两种奖品共件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的倍，学校分别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1) 甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元 (2) 购买甲种奖品件，乙种奖品件时总费用最少，最少总费用为元 【分析】（）设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元，根据题意，列出方程组求解即可； （）设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元， 先根据题意列出不等式，求出的取值范围，再求出总费用关于的函数表达式，根据函数增减性即可进行解答． 【详解】（1）解：设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 故甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元； （2）解：设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元， 依题意可得：， 解得： ， ∵， ∴随的增大而增大， ∵且m为正整数， ∴当时，， (元)， 答：当学校购买件甲种奖品，件乙种奖品时，花费最少，最小费用为元． 8．【问题背景】在和中，，，，连接，． 【特例研究】 （1）如图1，当点在上，时，与的数量关系为____； 【拓展探究】 （2）将绕点旋转至图2位置，（1）中结论是否成立？请说明理由； 【迁移应用】 （3）将绕点旋转，当落在上时，如图3，若，，求的长． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论成立，见解析；（3） 【分析】（1）根据，，得出，即可得出答案； （2）证明，得出即可； （3）过点A作于点H，证明为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，点D在上， ∴点E在上， ∵，， ∴， 即； （2）（1）中的结论成立；理由如下： ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴； （3）过点A作于点H，如图所示： ∵，， ∴， 由（2）知：， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 根据解析（2）可知：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 专题05期中真题易错百练通关 真题实战·百练通关 选填易错 解答易错 题型1等腰三角形多解易错问题 题型6利用皿证明全等问题 题型2直角三角形多解易错问题 题型7解不等式组问题 题型3由不等式组的解集情况求参数间题 题型8一元一次不等式与一次函数应用问题 题型4由不等式组中整数解的情况求参数间题 题型9平面直角坐标系中旋转作图问题 题型5不等式组与方程组结合问题 题型10等腰三角形中旋转综合问题 题型一等腰三角形多解易错问题（共3小题） 1.(25-26八年级上·重庆·期中)如图，在ABC中，∠A=60°，∠ABC=80°，AB=5,P为线段AC上一动 点，当线段BP取得最小值时，线段AP的长度为 ;当△BPC为等腰三角形时，∠BPC= 2.(25-26八年级上河北保定·期中)如图，直线a∥b,M,N分别为直线a和直线b上的点，连接MN ,∠DMN=70°，P是线段MN上的一动点，直线DE始终经过点P,且与直线a,b分别交于点D,E.当 △NPE是等腰三角形时，∠NPE的度数为· D M E b 3.(25-26八年级上江苏镇江期中)如图，RtaA0B中，A0=6,B0=8,M是OB上的一点，若将 △ABM沿AM折叠，点B恰好落在AO所在直线上点B处.在AO所在直线上找一点P,使得以点P、M 、B为顶点的三角形是等腰三角形，OP的长度为· 1/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B M B A 题型二直角三角形多解易错问题（共3小题） 4.(25-26八年级上江苏苏州期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AC=10,点D是 BC边上的一个动点（不与B、C重合），将△ADC沿AD翻折，点C的对应点是点C.若以B、C、C 为顶点的三角形是直角三角形，则BD的长度为 B 5.(25-26八年级上·广东江门期中)如图，在等边三角形ABC中，AB=AC=BC=10cm,DC=4cm.如 果点M、N都以3cms的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点 A运动.它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为 B M 6.(25-26八年级上·湖北武汉期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AB=4√3， BC=4,点D是AC上一动点，连接BD,将△ABD沿BD折叠，得到△EBD,其中，点A落在点E处， BE交AC于点F,当△EFD为直角三角形时，EF的长度是 题型三由不等式组的解集情况求参数问题（共3小题） 2/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7.(24-25八年级下·四川成都期中)如果不等式组 <2无解，则k的取值范围是 x>k 8.(24-25七年级下.北京延庆期中)若关于x,y的不等式组 [4x-1<3(x+的解集为x<4,则a的取值 x<a 范围是 9.（24-25七年级下.福建漳州期中)己知关于x的不等式组 2x-a≥0 2x+1<5,有解，且关于x的方程 2(x-a=3-x的解为非负数，则满足条件的所有整数a的和为 题型四由不等式组中整数解的情况求参数问题（共3小题） x+1>a 10.(24-25七年级下·北京昌平.期中)若关于x的不等式组 3x≤2x+l)仅有1个整数解，则a的取值范 围是 11.(24-25八年级下，辽宁本溪期中)已知关于x的不等式组有 x-a>0 3x+4<13且只有3个整数解，则a的取 值范围是 x-4,5x+8 ≤4 15 12.(24-25七年级下·重庆·期中)若关于x的不等式组 有解且只有3个偶数解.同时关 a 4-x< 于y的一元一次方程，2-y+5解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为】 2 题型五不等式组与方程组结合问题（共3小题） x+y=2k 13.(24-25八年级上·四川绵阳期中)已知二元一次方程组 3x+2y=k+5'其中方程组的解满足 0<x-y<1,则k的取值范围 6x-5≥m 14.(24-25八年级上重庆期中)若m使得关于x的不等式xx-11至少2个整数解，且关于x,y 462 的方程组 [2x+y=4 的解满足x-y>10,则满足条件的整数m之和是 x+2y=-3m+2 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2x+y=3k 15.(23-24八年级上浙江杭州·期中)已知关于x、y的二元一次方程组 x+2y=6 (k为常数)· (1)若该方程组的解x,y满足x+y<3,则k的取值范围为 (2)若该方程组的解x,y均为正整数，且k<3,则该方程组的解为 题型六利用L证明全等问题（共3小题） 16.(25-26八年级上：广东广州期中)如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,DE1AB于点 E,点F在AC上且满足FD=BD. A E (I)求证：△ACD≌△AED; (2)求证：CF=EB; (3)若AE=9,CD=6,求四边形AFDB的面积. 17.(25-26八年级上浙江杭州期中)如图，CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,AB与DE交于点 M,连结MC. E M (I)求证：AB=DE; (2)过点C作CG⊥AB于点G,CH⊥DE于点H,求证：CG=CH; (3)若∠ACD=30°，求∠BMC的度数（直接写出答案). 18.(25-26八年级上·湖北武汉·期中)已知在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，AB=BC. D A B B B 图1 图2 图3 4/11 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (1)【问题背景】如图(1)，连接BD,若LBAD=90°，AD=5,求DC的长度： (2)【类比探究】如图(2)，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足∠PBQ=∠ABP+∠QBC,探究PQ、 AP、CQ的数量关系，并证明； (3)【拓展应用】如图(3)，若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，满足PQ=AP+CQ,请 直接写出∠PBQ与∠ADC的数量关系为 题型七解不等式组问题（共3小题） 3x-1)<2x+1 19.(25-26八年级上·重庆期中)解不等式组： 4x+1-1≥x ，并写出所有整数解。 2 /3x-2≤x-1 20. (25-26九年级上·重庆期中)解不等式组： 1+2x>x-1,并将其解集在数轴上表示出来. 3 2 3x-2)>5x-8 21.(25-26八年级上·浙江宁波期中)解不等式组： 2x-≥-1，并把解集在数轴上表示出来。 3 2 -5-4-3-2-1012345> 题型八一元一次不等式与一次函数应用问题（共3小题） 22.（25-26八年级上·浙江杭州期中)根据以下信息，探索完成任务： 素材 采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用A、B两种型号的客车，其中A型车每辆 1 租金500元，B型车每辆租金400元 素材 4辆A型车和3辆B型车坐满后共搭载200人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共搭载185人. 2 素材 该年级计划租用A、B两种型号的客车共20辆，且A型车的数量不少于B型车的数量的7倍. 3 问题解决： (1)每辆A、B型车坐满后分别可以搭载几人？ (②)请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金， (3)若该年级准备只租用B型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等.若每辆车搭载18名学生，则有5 名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上.求该年级租用多 少辆B型车？有多少名学生参加研学活动？ 5/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(25-26八年级上四川期中)中国初创企业DeepSeek(深度求索)公司，其自主研发的人工智能 (A1)大语言模型DeepSeek,凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响. DeepSeek公司为提升Al服务能力，计划部署两种服务器：型号Alpha和型号Beta.这两类新型服务器的 维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台成本（万元） 型号Apha 12 型号Beta 5 16 (1)若DeepSeek公司有技术人员60人全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为l88万元，问 Apha和Beta服务器的安装数量各是多少台？ (2)由于DeepSeek公司规模扩大，技术人员增至65人，全部参与维护且每人负责一种服务器，要求型号 Beta超过4台.问Apha和Beta服务器的安装数量各是多少台时，安装总成本最少？ 24.(25-26八年级上·安徽合肥·期中)某体育用品店准备购进篮球和足球进行销售，这两种球的进价和售 价如下表： 种类 进价（元/个) 售价（元/个） 篮球 80 110 足球 60 100 (1)现计划购进篮球和足球共100个，且篮球的数量不少于足球数量的一半，该体育用品店怎样进货才能使 两种球全部售出后获利最大？最大利润是多少？ (2)某学校需要购买一批该体育用品店的篮球和足球作为体育器材，其中篮球m个，足球24个.体育用品 店给出以下两种优惠方案： 方案一：所有球均按售价的八折出售； 方案二：篮球按售价的七折出售，足球按售价的九折出售. 学校采购员应选择哪种方案花费最少？请说明理由. 题型九平面直角坐标系中旋转作图问题（共3小题） 25.(25-26九年级上河南洛阳·期中)如图，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A-6,0),B(-2,3), C(-1,0). 6/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)将ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度得到△A,B,C,将ABC绕坐标原点O逆 时针旋转90°得到△4，B,C,,画出△A,B,C1和△A,B,C2; (2)如果△A,BC通过旋转可以得到△A,B,C2,请在图中标出旋转中心P并写出点P的坐标 26.(25-26九年级上四川南充期中)在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐 标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题： 2 -5-4-3-2-1 12345 2 --3 4 5 (1)作出△ABC向左平移3个单位长度后得到的△AB,C,并写出点C的坐标： (2)作出△ABC绕原点0顺时针旋转180°后得到的△4，B,C2,并写出点C,的坐标： (3)求△B,CC2的面积 27.(25-26九年级上山东德州期中)如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度， ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-4,0),C(0,0). 7/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B o(q (1)将ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A,B,C,画出△ABC: (2)ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到A,B,O,按要求作出图形： (3)如果A,B,0通过旋转可以得到△A,B,C1,请直接写出旋转中心P的坐标. 题型十等腰三角形中旋转综合问题（共3小题） 28.(25-26九年级上湖北期中)如图1，ABC是等边三角形，点D,E分别在AB,AC上，且 AD=AE,连接DE,将ADE绕点A逆时针旋转某个角度（旋转角小于(60）连接BD,CE,如图2. O 图1 图2 图3 (1)求证：△ABD≌△ACE: (2)如图3，当射线BD经过AE的中点F时，连接CD ①求证：CE⊥DE; ②若AB=√3，AD=2,求CD的长. 29.(25-26九年级上辽宁营口期中)如图1，在ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D在AC边上， 点E在BC延长线上，且CD=CE,连接DE,将△DCE绕点C逆时针旋转，连接BD,AE,直线BD与 直线AE交于点F. 8/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 18 D D(F (图1) (图2) (图3) (I)如图2，求证：AE=BD; (2)在图2中，连接CF,求证：BF-AF=√2CF; (3)如图3，若AC=3√2，CD=2√5，当点F与点D重合时，求△ACD的面积； 30.(25-26九年级上·江西南昌·期中)已知：如图ABC和△DEC都是等边三角形.D是BC延长线上一 点，AD与BE相交于点P,AC与BE相交于点M. M 图① 图② (1)在图①中，求证：AD=BE; (2)当△CDE绕点C沿逆时针方向旋转到图②时， ①∠APB的度数会发生变化吗？不变的话，度数为多少？并说明理由. ②求证：点C落在∠BPD的角平分线上. 考题猜想·高分必刷 一、单选题 3x+y=k+1 1.若方程组 x+3y=3 的解x,y满足0<x+y<2,则k的取值范围是() A.-4<k<0B.-4<k<4 C.0<k<8 D.k>-4 9/11 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2.如图，等边ABC的边长为6cm,动点P、Q分别从A、B两点出发，沿AB、BC方向匀速运动，它 们的速度都是1厘米/秒，当点P到达B点时，P、Q两点停止运动，设P、Q两点运动的时间为t秒，若 △PBQ为直角三角形时，则t的值是() P A.2秒 B.4秒 C.2秒或4秒 D.3秒 二、填空题 x+a<1 3.若关于x的不等式组 1-2x≤5有4个整数解，则a的取值范围为 4.如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于点A,B,在轴上作一点C,使得ABC是以B为 腰作等腰三角形，则点C的坐标为 B O 三、解答题 5x-3<2(x+3)① 5.解不等式组： x+2≤0② ,并将该不等式组的解集在数轴上表示出来 -5-4-3-2-1012345→ 6.将ABC经过平移后得到△AB,C,若点C的坐标为(0，-I),在图中画出三角形AB,C. 10/11