专题04 几何图形的旋转综合问题（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材北师大版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04几何图形的旋转综合问题 题型归纳·内容导航 题型1线段的旋转问题（重点） 题型3等腰三角形的旋转问题（难点） 题型2直角三角形的旋转问题（难点） 题型4等边三角形的旋转问题（难点） 题型通关·靶向提分 题型一线段的旋转问题（共5小题） 1.（24-25九年级上·云南红河期中)如图，D为等边ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得 到AE,连接CE,BD.求证：△ABD≌△ACE. 2.(25-26九年级上北京期中)已知：线段AB和点C,将线段AC绕点A逆时针旋转α(0°<a≤90)， 得到线段AD,将线段BC绕点B顺时针旋转180°-Q,得到线段BE,连接DE,F为DE的中点，连接AF BF. D B 图1 图2 (1)如图1，点C在线段AB上，依题意补全图1，直接写出∠AFB的度数； (②)如图2，点C在线段AB的上方，AF=BF,请写出旋转角的度数，并说明理由. 3.(24-25九年级上·河北沧州期中)如图1所示，将线段AB绕点A逆时针旋转α°得到线段AC,在线段 AC上找一点D,将线段AD绕点A逆时针旋转a°得到线段AE,连接BD,DE,CE. 1/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ” 图1 图2 图3 (I)求证：BD=CE; (2)如图2所示，将ADE绕点A逆时针旋转一定的角度，(1)中的结论是否依然成立？若成立，请加以证 明；若不成立，请说明理由 (3)点D为AC的中点，AB=6,DE=4,在ADE绕点A逆时针旋转过程中，若点B,D,E恰好第一次 在一条直线上，如图3，直接写出线段CE的长. 4.(24-25八年级下·四川成都期中)已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,CD⊥AB于D. 图1 图2 (I)如图1，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF,连接AF交CD于点G.求证：AG=GF; ②如图2，点E是线段CB上一点(CE<CB 连接ED,将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到EF,连 接AF交CD于点G. ①求证：AG=GF;②若AC=BC=4√2，CE=2,求DG的长. 5.(25-26九年级上河南信阳·期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,∠BAC=60°点D为AB的中点，点 P为射线BC上一个动点，连接AP,将线段AP绕点A逆时针旋转(60°得到线段AQ,连接DQ,PQ. 2/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B 0 口 C 图1 图2 (I)【观察猜想】如图1，当点P在边BC上时，线段CP与线段DQ的数量关系是 线段PQ与线段 AP所夹锐角的度数为 ； (②)【类比探究】如图2，当点P在BC延长线上时，判断(1)中的结论是否仍然成立.若成立，请证明； 若不成立，请写出正确结论，并证明. (3)【拓展应用】若点Q到BC的距离为1，请直接写出线段BP的长. 题型二直角三角形的旋转问题（共5小题） 6.(24-25九年级上山西吕梁期中)综合与探究 问题情境：数学课上，老师提出一个问题：如图1，在Rt△ABC中，LACB=90°，AC=4,BC=3,把ABC绕 点C逆时针旋转a(0°≤a≤90)到△A'B'C的位置，点A,B的对应点分别是A,B',A'C与AB相交于点D.在 旋转过程中，线段之间存在一些特殊的位置关系和数量关系.如图2，在旋转过程中，当A'C经过AB的中 点D时，试判断四边形AB与AC的位置关系，并加以证明， B B D 图1 图2 图3 问题解决：(1)请你解答老师提出的问题 数学思考：(2)小明同学发现：在图形旋转过程中，有线段垂直关系的存在.如图3，在旋转过程中，当 A'C⊥AB时，求点A与点之间的距离. 数学探究：(3)小敏同学发现：在旋转过程中，有特殊三角形的存在.在旋转过程中，当△BCD是等腰三 角形时，请直接写出线段AD的长。 7.(24-25九年级上山东临沂·期中)综合实践： 3/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 动手操作： 小明在学完旋转后，利用两个相同的含有30°三角板进行旋转，让两个30°的顶点放置在一起，取Rt△ABC 的中线BF,让Rt△DEC绕点C任意旋转 发现结论： 在旋转的过程中，发现线段BF与DE的位置存在平行的情况. 问题解决： E 图1 备用图 (1I)如图1，将Rt△DEC绕点C顺时针旋转60°，请判断BF与DE平行吗？并说明理由； (②)当Rt△DEC顺时针旋转一周时，还存在平行的情况吗？若有，请求出旋转的角度；若无，请说明理由， 8.(23-24九年级上四川南充·期中)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究. 如下图，将两个完全相同的三角形纸片ABC和△DEC重合放置，其中∠C=90°.若固定ABC,将 △DEC绕点C旋转. B(E) A(D) C (I)当aDEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如下图. B A C ①当∠B=LE=40°时，求此时旋转角的大小； 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②当∠B=∠E=a时，直接写出此时旋转角的大小（用含a的式子表示） (②)当aDEC绕点C旋转到如下图所示的位置时，小组长猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断 小组长的猜想是否正确，若正确，请你证明小组长的猜想.若不正确，请说明理由， B 9.(24-25九年级上·贵州贵阳·期中)在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点0是AB的中点，点D是直线AC上 一点，连接OD. B B 图① 图② 图③ (1)【问题解决】 如图①，当AC=BC,点D在线段AC上时，将射线OD绕点O顺时针方向旋转90°交BC于点E,连接OC ,求证：CE=AD; (2)【问题探究】 如图②，当AC=BC,点D在线段CA延长线上时，将射线OD绕点O顺时针方向旋转90°交BC延长线于点 E,请猜想CD,CE,CB三条线段之间的关系并证明你的猜想； (3)【拓展延伸】 如图③，当∠BAC=30°，点D在线段AC延长线上时，将线段0D绕点0逆时针方向旋转60°得到OE,点 E恰好落在线段BC的延长线上.若CD=2,求线段CE的长， 10.(25-26九年级上·山东东营·期中)如图①，ABC和ADE都是等腰直角三角形， 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAC=∠DAE=90°，当点B在线段AD上，点C在线段AE上时，我们很容易得到BD=CE,不需证明. B D D B C D 图① 图② 图③ (I)如图②，将ADE绕点A逆时针旋转a(0<α<90)，连接BD和CE,此时BD=CE是否依然成立？若成 立，写出证明过程；若不成立，说明理由； (2)如图③，当ADE绕点A逆时针旋转，使得点D恰好落在BC的延长线上，连接CE,若 AB=AC=2,CD=V√2，求线段DE的长： (3)若P为DE中点，连接BP,AB=AC=2√2，AD=AE=4V2,当ADE绕点A逆时针旋转时，BP最大 值为m,最小值为n,则m的值为 题型三等腰三角形的旋转问题（共5小题） 11.(22-23九年级上·全国期中)已知：ABC中，AB=AC=2,AD⊥BC交BC于点D,将ABC绕点 C旋转，点B落在射线DA上的点E处，点A落在点F处，连接AF, (1)设BC的长为m,用含m的代数式表示ABC的面积； (2)在旋转过程中，若点E恰好落在AD的中点处，求BC的长： (3)在旋转过程中，若∠AFE=20°，求∠BAC的度数， 12.(24-25九年级上山东临沂期中)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2,D,E分别为AC,BC 的中点 6/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B 图1 图2 图3 (I)将△CDE绕点C逆时针方向旋转得到aCD'E'(如图2)，使直线D'E恰好过点B,连接AD'. ①判断AD'与BE'的数量关系和位置关系，并说明理由； ②求BE'的长； (2)如图3，若将aCDE绕点C逆时针方向旋转一周，分别取DE的中点M,AB的中点N,连接MN,则MN 长度的最大值为 ,最小值为 13.(25-26八年级上·海南儋州期中)数学兴趣小组在探究全等三角形性质时，开展“共顶点等腰三角形旋 转”实验.同学们将两个有公共顶点A的等腰ABC和等腰ADE绕点A旋转，观察旋转中线段、角度及面 积的变化规律.请结合操作过程完成以下问题： 图1 图2 图3 (I)如图1，在等腰ABC和等腰ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=LDAE=30(AB>AD),同学将 ADE绕A旋转，使点D落在AC边上，且B、D、E三点共线，连接BD、CE, ①与△ABD全等的三角形是； ②∠BEC的度数为； (2)如图2，在等腰ABC和等腰ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90(AB>AD),同学 将ADE绕A旋转，连接BD、CE,交点为F. ①证明：BD=CE; ②求∠BFC的度数； (3)如图3，在(2)的操作中，同学将ADE绕A旋转，使点B、D、E三点共线，延长EA、CD交于点F, 连接BF,通过测量得到此时FB=BE,∠FBE=90°，请直接写出线段BD与FDE面积之间的数量关系. 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.(25-26九年级上河北邯郸期中)旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学 知识相结合来解决实际问题.某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究： 如图1，ABC和△DMN均为等腰直角三角形，∠BAC=∠MDN=90°，点D为BC的中点，△DMN绕点D旋 转，连接AM,CN. 【观察猜想】 (1)在aDMN旋转过程中，AM与CN的数量关系为：AM CN(填“<”或“>”或“=”，并证明； 【实践发现】 (2)如图2，当点M,N在ABC内且C,M,N三点共线时，如图2，求证：CM-AM=√2DM; 【解决问题】 (3)若在ABC中，AB=√5，在aDMN旋转过程中，当AM=√3且C,M,N三点共线时，直接写出DM的 长 D D 图1 图2 备用图 15.(25-26九年级上江西·期中)综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们讨论有关三角形的旋转问题 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8,D,E分别为BC,AC的中点，将△EDC以点C为 旋转中心，逆时针方向旋转a(0°<a<360)后得到△ED'C,连接AE,BD', D D 图1 图2 图3 图4 初步感知 (1)如图2，当B,D,E'三点恰好在同一条直线上，且点D在线段BE'上时，∠E'AC的度数为_，（用含 a的式子表示) (2)如图3，在旋转过程中，试判断线段AE'和BD'之间的位置关系和数量关系，并加以证明. 8/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 延伸探究 (3)如图4，当旋转角a满足135°<<225°时，连接AD',BE',请通过计算求四边形AD'EB面积的最 大值 题型四等腰三角形的旋转问题（共5小题） 16.(24-25九年级上福建福州期中)如图，ABC、ADE均为等边三角形，AB=6,AD=4.将 ADE绕点A沿顺时针方向旋转，连接BD、CE. B 图1 图2 (I)在图1中求证：DB=EC; (2)如图2，当LEAC=90°时，连接CD,求△DBC的面积； (3)在ADE的旋转过程中，直接写出△DBC的面积S的取值范围. 17.(25-26九年级上·福建龙岩期中)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为-4,0)，等边△A0C经 过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD. A 0 B (1I)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD,则平移的距离是 个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对 称，则对称轴是 ；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB,则旋转角度可以是度. (2)连接AD,交OC于点E,求AD的长. 18.(25-26九年级上河南许昌·期中)如图1，ABC和△DEC都是等边三角形.D是BC延长线上一点， AD与BE相交于点F. 9/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (1)如图1，请结合旋转“三要素”说明△ACD是△BCE经过怎样的旋转得到的？ (2)在图1中∠BFD= 0 (3)当aCDE绕点C沿逆时针方向旋转到图2时，∠BFD的度数会发生变化吗？如果会发生变化，请说明理 由？如果不会发生变化，请求出∠BFD的度数. 19.(23-24八年级下·河南焦作·期中)综合实践课上，某数学兴趣小组对特殊三角形的旋转进行了探究. 图1 图2 (1)问题发现 如图1，ABC和ADE均为等边三角形，将ADE绕点A旋转，当点B,D,E在同一直线上时，连接 BD,CE,填空： ①BD 的值为_； CE ②∠BEC的度数为_· (2)类比探究 如图2，ABC和ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AM⊥DE于M,将ADE绕点A旋 转，当点B,D,E在同一直线上时，连接BD,CE. ①求∠BEC的度数； ②请判断线段BE,CE,AM之间的数量关系，并说明理由. (3)拓展延伸 在(2)的条件下，若AM=3,CE=4,求四边形ABCE的面积. 20.（23-24九年级上河南周口期中)阅读与理解： 图(1)是边长分别为a和b(a>b)的两个等边三角形纸片叠放在一起的图形(C和C重合). 操作与证明：(1)操作：固定ABC,将aC'DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD,BE,如图(2)， 10/11专题04 几何图形的旋转综合问题 题型1 线段的旋转问题（重点） 题型3 等腰三角形的旋转问题（难点） 题型2 直角三角形的旋转问题（难点） 题型4 等边三角形的旋转问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 线段的旋转问题（共5小题） 1．（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定，根据等边三角形的性质，得到，旋转的性质，得到，利用证明即可． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·北京·期中）已知：线段和点C，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，F为的中点，连接，． (1)如图1，点C在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点C在线段的上方，，请写出旋转角的度数，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由题意画出图形即可，延长，交的延长线于点，理由平行线的判定与性质和全等三角形的判定与性质得到．再利用等腰三角形的三线合一的性质解答即可； （2）画出图形，延长至点使，连接，，延长交的延长线于点，证明，然后推出，证明，推出为等腰直角三角形，即可解答 【详解】（1）解：补全图形 如图： 延长，交的延长线于点， 由题意：，， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 即． ， ． ； （2）解：，理由如下： 延长至点使，连接，，延长交的延长线于点，如图， 根据（1）中原理可得， ，， ， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 则． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图1所示，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，在线段上找一点D，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)如图2所示，将绕点A逆时针旋转一定的角度，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． (3)点D为的中点，，，在绕点A逆时针旋转过程中，若点B，D，E恰好第一次在一条直线上，如图3，直接写出线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)仍然成立，证明见解析 (3) 【分析】（1）由定理证明，即可由全等三角形的性质得出结论； （2）设将绕点A逆时针旋转，由定理证明，即可由全等三角形的性质得出结论； 由旋转可得：，，， （3）过点A作于F，先证明，得到，根据点D为的中点，得，根据等腰三角形求得，再根据勾股定理求得，继而求得，则可由求解． 【详解】（1）解：由旋转可得：，，， ∴ ∴． （2）解：仍然成立， 证明：设将绕点A逆时针旋转， 由旋转可得：，，， ∴ ∴． （3）解：过点A作于F，如图， 由旋转可得：，， 当点B，D，E恰好第一次在一条直线上时，设绕点A逆时针旋， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点B，D，E恰好第一次在一条直线上， ∴在中，， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知在中，，，于D． (1)如图1，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接交于点G．求证：； (2)如图2，点E是线段上一点．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G． ①求证：；②若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解；② 【分析】（1）由旋转的性质得出，，证得，可证明，则可得结论； （2）①过点作交于点，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，则可得结论；②由勾股定理求出，，，则可求出答案． 【详解】（1）证明：将线段绕点顺时针旋转得到， ，， ，，于， ，， ， ， 又， ， ； （2）①证明：过点作交于点，连接， 由（1）知为的中点， ，， 为等腰直角三角形， ， 又，， ， ， ，， ，， 又， ， ， ， ； ②解：，， ， ， ，， ，， 又， ． 5．（25-26九年级上·河南信阳·期中）在中，点D为的中点，点P为射线上一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转（ 得到线段，连接． (1)【观察猜想】如图1，当点P在边上时，线段与线段的数量关系是_______，线段与线段所夹锐角的度数为_______； (2)【类比探究】如图2，当点P在延长线上时，判断 （1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)【拓展应用】若点Q到的距离为1，请直接写出线段的长． 【答案】(1)；； (2)（1）中结论仍然成立，证明见解析； (3)或 【分析】（1）解直角三角形得到，由线段中点的性质得到，由旋转的性质可得，则是等边三角形，由等边三角形的性质得到；证明，可得； （2）同（1）求解即可； （3）分点Q在点C左侧和点Q在点C右侧两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下： 同理可得，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得不管点P（不与点C重合）运动到何处都有， ∴， ∴点Q在过点D且与垂直的直线上运动； 如图3-1所示，当点Q在点C左侧时，过点Q作于M，设直线交于N， ∴， ∵， ∴， ∴， ，； 同理，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点Q在点C右侧时，过点Q作于M，设直线交于N，连接， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 题型二 直角三角形的旋转问题（共5小题） 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）综合与探究 问题情境：数学课上，老师提出一个问题：如图1，在中，，把绕点C逆时针旋转到的位置，点A，B的对应点分别是与相交于点D．在旋转过程中，线段之间存在一些特殊的位置关系和数量关系．如图2，在旋转过程中，当经过的中点D时，试判断四边形与的位置关系，并加以证明． 问题解决：（1）请你解答老师提出的问题． 数学思考：（2）小明同学发现：在图形旋转过程中，有线段垂直关系的存在．如图3，在旋转过程中，当时，求点A与点之间的距离． 数学探究：（3）小敏同学发现：在旋转过程中，有特殊三角形的存在．在旋转过程中，当是等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为2或或 【分析】由旋转的性质可知，利用直角三角形的性质得，则有，即可判断； 在中，利用勾股定理求得，结合三角形面积公式可得，由旋转可知，即可解得和，则有； 分、和对应求解即可． 【详解】解：（1）证明：，理由如下， 由旋转的性质可知． ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 在中，根据勾股定理可得． 根据三角形面积公式可得， 由旋转可知． ∴， 在中，根据勾股定理可得， 在中根据勾股定理可得 ∴点A与点之间的距离为 （3）解：①当时， ∵， ∴； ②当时， 过点C作交于点E，如图， 则， ∵， ∴， ∴， 则； ③当时， ∵D是的中点， ∴， 故的长为2或或． 7．（24-25九年级上·山东临沂·期中）综合实践： 动手操作： 小明在学完旋转后，利用两个相同的含有三角板进行旋转，让两个的顶点放置在一起，取的中线，让绕点任意旋转． 发现结论： 在旋转的过程中，发现线段与的位置存在平行的情况． 问题解决： (1)如图1，将绕点顺时针旋转，请判断与平行吗？并说明理由； (2)当顺时针旋转一周时，还存在平行的情况吗？若有，请求出旋转的角度；若无，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)有，旋转角为 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，平行线的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结论：．延长交于点H．证明可得结论； （2）存在．如图2中，当时，旋转角为．利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1） ； 理由：如图，延长交于点， ， 为的中线， ， ，， ，是等边三角形， ， 将绕点顺时针旋转， ，， ， ， ， ， ； （2）当旋转角为时， ， 理由：如图2：延长，交于点， 由（1）得， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ∴旋转角． 8．（23-24九年级上·四川南充·期中）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 如下图，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中．若固定，将绕点C旋转．      (1)当绕点C旋转到点D恰好落在边上时，如下图．    ①当时，求此时旋转角的大小； ②当时，直接写出此时旋转角的大小(用含α的式子表示)． (2)当绕点C旋转到如下图所示的位置时，小组长猜想：的面积与的面积相等，试判断小组长的猜想是否正确，若正确，请你证明小组长的猜想．若不正确，请说明理由．    【答案】(1)①此时旋转角为．②旋转角为． (2)小组长猜想是正确的，理由见解析 【分析】（1）①先求出，由旋转的性质得，进而可求出旋转角的大小； ②同①的步骤求解即可； （2）小组长猜想是正确的．过点B作于N，过点E作于M，如图3，根据证明即可解决问题． 【详解】（1）①∵， ∴，     ∵， ∴，      ∴， ∴此时旋转角为．     ②∵， ∴，     ∵， ∴，      ∴． （2）小组长猜想是正确的，理由如下： 过点B作于N，过点E作于M，如图3，    ∵， ∴， ∴， ∵于N，于M， ∴， ∵， ∴，         ∴，   ∵， 又∵， ∴． 9．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）在中，，点是的中点，点是直线上一点，连接． (1)【问题解决】 如图①，当，点在线段上时，将射线绕点顺时针方向旋转交于点，连接．求证：； (2)【问题探究】 如图②，当，点在线段延长线上时，将射线绕点顺时针方向旋转交延长线于点，请猜想三条线段之间的关系并证明你的猜想； (3)【拓展延伸】 如图③，当，点在线段延长线上时，将线段绕点逆时针方向旋转得到，点恰好落在线段BC的延长线上．若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，，根据直角三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，，根据直角三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到； （3）连接，由点O是斜边的中点，得到，根据等边三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵点O为斜边中点， ∴， ∴， ∴， ∵将射线绕点O顺时针方向旋转交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 证明如下：连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵点O为斜边中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将射线绕点O顺时针方向旋转交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵点O是斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵将线段绕点O逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． (1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； (2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若求线段的长； (3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为_____ 【答案】(1)依然成立，理由见解析 (2) (3)8 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出相等角和边，利用证明，即可得出结论； （2）同（1）证明，得出，，然后利用勾股定理进行求解即可； （3）利用勾股定理求出斜边长度，利用勾股定理和直角三角形斜边中线定理求出，然后根据旋转的性质得出最值，最后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：依然成立，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得； （3）解：如图，连接， ∵都是等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得， ∵为中点， ∴， ∴点在以点为圆心，长为半径的圆上运动， 当点在直线上时，有最大值和最小值， ∴由图可知，的最大值为，最小值为， ∴， 故答案为：8． 题型三 等腰三角形的旋转问题（共5小题） 11．（22-23九年级上·全国·期中）已知：中，，交于点D，将绕点C旋转，点B落在射线上的点E处，点A落在点F处，连接． (1)设的长为m，用含m的代数式表示的面积； (2)在旋转过程中，若点E恰好落在的中点处，求的长； (3)在旋转过程中，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是要掌握勾股定理在直角三角形中的应用以及学会用分类讨论的思想解决问题． （1）设，由等腰三角形三线合一的性质可得，由勾股定理可得，再根据可得答案； （2）当点E恰好落在的中点处时，设，则，，，在直角三角形中，由勾股定理得，解出x即可得答案； （3）分两类情况讨论：①当点E在线段上时，连接，如图1所示，可由旋转及中垂线性质知为等边三角形，亦为等边三角形，所以可求；②当点E在的延长线上时，连接，如图2所示，解法同①． 【详解】（1）解：设，由等腰三角形三线合一的性质可得： ， 由勾股定理得： ， ∴． （2）解：当点E恰好落在的中点处时， 由旋转可知， 设，则， 由勾股定理可得， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 解得：， ∴； （3）解：①当点E在线段上时，连接，如图1所示， 可由旋转及中垂线性质知为等边三角形， 则，即绕点C旋转了． ∴， 则为等边三角形， ∴， ∴， 由旋转可得； ②当点E在的延长线上时，连接，如图2所示， 同①可得为等边三角形， 旋转角，， 则为等边三角形， ∴， ∴， 由旋转可得． 综上，的度数为或． 12．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图1，在中，分别为的中点． (1)将绕点逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点，连接． ①判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②求的长； (2)如图3，若将绕点逆时针方向旋转一周，分别取的中点的中点，连接，则长度的最大值为____________，最小值为____________． 【答案】(1)①与的数量关系为，位置关系为．理由见解析；② (2)， 【分析】（1）①根据证明解题即可； ②设 在中，由勾股定理得解方程即可； （2）连接，，根据三角形的三边关系解题即可． 【详解】（1）解：①，，理由为： ∵， ， 分别为的中点， ∴， 即 ∵， 即， ∴， ∴， ，， ∵， ， ， ∴， ∴ ∴， 即：； ②中， ， ， 同理可求 ∵， ， 设 在中，由勾股定理得： 解得： (舍负) ， ； （2）连接，， ∵点M，N是和的中点， ∴，， 根据三角形的三边关系的应用可得：， 即， 即最大值为，最小值为． 13．（25-26八年级上·海南儋州·期中）数学兴趣小组在探究全等三角形性质时，开展“共顶点等腰三角形旋转”实验．同学们将两个有公共顶点的等腰和等腰绕点旋转，观察旋转中线段、角度及面积的变化规律．请结合操作过程完成以下问题： (1)如图，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，使点落在边上，且三点共线，连接． 与全等的三角形是_____； 的度数为_____； (2)如图2，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，连接，交点为． 证明：； 求的度数； (3)如图，在（）的操作中，同学将绕旋转，使点、、三点共线，延长交于点，连接，通过测量得到此时，，请直接写出线段与面积之间的数量关系． 【答案】(1)；； (2)证明见解析；； (3)． 【分析】（）直接根据“”即可求解； ，，得，又，则，然后通过角度和差即可求解； （）同（）证明，然后根据全等三角形的性质即可求证； 设与交于点，由，得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）同（）证明，得，，根据等腰三角形性质可得，又点、、三点共线，则有，得，然后证明，通过平行线间的距离相等可得，即，故有，然后求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点、、三点共线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题．某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究： 如图1，和均为等腰直角三角形，，点为的中点，绕点旋转，连接． 【观察猜想】 （1）在旋转过程中，与的数量关系为：________（填“”或“”或“”，并证明； 【实践发现】 （2）如图2，当点在内且三点共线时，如图2，求证：； 【解决问题】 （3）若在中，，在旋转过程中，当且三点共线时，直接写出的长． 【答案】（1），证明见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解； （2）由（1）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解； （3）点C、M、N三点共线，分类讨论，根据（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图，连接，    ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图所示，连接，      由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：已知，，C、M、N三点共线， ①由（2）可知，，      由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故这种情况不存在； ②如图所示，由（1）可知，，，，        ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； ③如图，      ∵是等腰直角三角形， ∴， 同法可证， ∴， ∴，即是直角三角形， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 15．（25-26九年级上·江西·期中）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们讨论有关三角形的旋转问题． 如图1，在中，，． D，E 分别为的中点，将以点C 为旋转中心，逆时针方向旋转后得到，连接． 初步感知 （1）如图2，当三点恰好在同一条直线上，且点在线段上时，的度数为 ．（用含的式子表示） （2）如图3，在旋转过程中，试判断线段和之间的位置关系和数量关系，并加以证明． 延伸探究 （3）如图4，当旋转角满足 时，连接，，请通过计算求四边形面积的最大值． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）72 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据线段中点的定义可得，则由旋转的性质可得，，，由等边对等角得到，则可求出；证明，即可得到； （2）延长交于F，交于O，同理可证明，则，，导角可证明，则； （3）如图所示，连接，二者交于T，证明，得到，；导角可证明，则可证明，则当有最大值，有最大值，而当三点共线时，有最大值，最大值为12，则的最大值为． 【详解】解：（1）∵，． D，E 分别为的中点， ∴， ∴； 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； （2），证明如下： 如图所示，延长交于F，交于O， 同理可证明， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，； （3）如图所示，连接，二者交于T， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； 设，则， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴当有最大值，有最大值 ∵， ∴当三点共线时，有最大值，最大值为12， ∴的最大值为． 题型四 等腰三角形的旋转问题（共5小题） 16．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，、均为等边三角形，，．将绕点A沿顺时针方向旋转，连接、． (1)在图1中求证：； (2)如图2，当时，连接，求的面积； (3)在的旋转过程中，直接写出的面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）过点作于点，过点作，交延长线于点，先求出，再在和中，分别求出和的长，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （3）分两种情况：①过点作于点，当与在同一条直线上，且点在的外部时，的面积最大；②过点作于点，当与在同一条直线上，且点在的内部时，的面积最小，先求出的长，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）证明：∵、均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解： 如图，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵、均为等边三角形，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∴点到的距离等于点到的距离，即为， ∴的面积为． （3）解：①如图，过点作于点，当与在同一条直线上，且点在的外部时，的面积最大， 由（2）已得：，， ∵， ∴， ∴的面积的最大值为； ②如图，过点作于点，当与在同一条直线上，且点在的内部时，的面积最小， 由（2）已得：，， ∵， ∴， ∴的面积的最小值为； ∴的面积的取值范围为． 17．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等边经过平移或轴对称或旋转都可以得到． (1)沿轴向右平移得到，则平移的距离是________个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是________；绕原点顺时针旋转得到，则旋转角度可以是________度． (2)连接，交于点，求的长． 【答案】(1)；y轴； (2) 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了图形的基本变换与坐标，等边三角形的性质，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小． （1）平移的距离为对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小，据此判断即可； （2）连接后可得底角为的等腰三角形，进而可得，在中根据勾股定理求得直角边的长． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵等边， ∴， ∴沿x轴向右平移得到，平移的距离是个单位长度； 与关于直线对称，根据线段被y轴垂直平分可知，对称轴是y轴； 绕原点顺时针旋转得到，根据可知，旋转角度可以是120°； 故答案为：；y轴；； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图1，和都是等边三角形．D是延长线上一点，与相交于点F． (1)如图1，请结合旋转“三要素”说明是经过怎样的旋转得到的？ (2)在图1中____________． (3)当绕点C沿逆时针方向旋转到图2时，的度数会发生变化吗？如果会发生变化，请说明理由？如果不会发生变化，请求出的度数． 【答案】(1)是绕点C顺时针旋转得到的 (2) (3)的度数不变，； 【分析】本题考查旋转的定义，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，证明是解题的关键． （1）先得到，然后根据旋转的性质解答即可； （2）根据，得到，根据三角形的内角和定理得到，即可解答； （3）根据，得到，根据三角形的内角和定理得到，即可解答． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴是绕点C顺时针旋转得到的； （2）解：设与交于点， 由（1）可得 ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：； （3）解：的度数不变，； 设与交于点， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 19．（23-24八年级下·河南焦作·期中）综合实践课上，某数学兴趣小组对特殊三角形的旋转进行了探究． (1)问题发现 如图1，和均为等边三角形，将绕点A 旋转，当点 B，D，E在同一直线上时，连接，．填空: ①的值为 ； ②的度数为 ． (2)类比探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，于M，将绕点A 旋转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接，． ①求的度数； ②请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 在(2)的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)①1；② (2)①；② (3)35 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质得到，，，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②根据全等三角形的性质解答； （2）①仿照（1）①的作法解答； ②根据等腰直角三角形的性质得到，结合图形得到答案； （3）由（2）可知：，，，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】（1）①证明：∵和为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ∴ ， ∴； ②解：∵， ， ； 故答案为1；； （2）解：①∵和均为等腰直角三角形， ，，， ， ，即， 在和中， ， ∴， ，， ； ②， 理由如下：为等腰直角三角形，， ， ∴； （3）解：由（2）可知：，，， ∵，， ∴， ∴． 20．（23-24九年级上·河南周口·期中）阅读与理解： 图（1）是边长分别为a和的两个等边三角形纸片叠放在一起的图形（C和重合）． 操作与证明：（1）操作：固定，将绕点C按顺时针方向旋转，连接，，如图（2），线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论： （2）操作：若将图（1）中，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接，，如图（3），线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论． 猜想与发现： （3）若将图（1）中的，绕点按逆时针方向旋转，当等于多少时，的面积最大？请直接写出结果．    【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）或 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）先由等边三角形判断出，，再由旋转判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）同（1）的方法，即可得出结论； （3）先画出图形，过点作于点，再根据直角三角形的定义可得，然后根据三角形的面积公式和旋转角的定义即可得出答案． 【详解】解：（1）， 证明：点与重合，和， 和都是等边三角形， ，， 由旋转知，， 在和中， ， ， ， （2）， 证明：和都是等边三角形， ，， 由旋转知，， 在和中， ， ， ； （3）如图，过点作于点，   ，当且仅当，即点与点重合时，等号成立， ， 当时，的面积最大， 此时旋转角或． $