专题03 不等式与不等式组（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材北师大版

专题03 不等式与不等式组 题型1 不等式的基本性质（常考点） 题型5 一元一次不等式（组）解的情况求参数（难点） 题型2 一元一次不等式的定义 题型6 一元一次不等式（组）整数解求参数（难点） 题型3 解一元一次不等式（组）（重点） 题型7 一元一次不等式（组）的实际应用（重点） 题型4一元一次不等式与一次函数（重点） 题型8 一元一次不等式（组）中的新定义型问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 不等式的基本性质（共5小题） 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A、由，得到，原写法错误，不符合题意； B、由，得到，原写法正确，符合题意； C、由，得到，原写法错误，不符合题意； D、由，得到，原写法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，故选项不成立，不符合题意； B．若，则，故选项不成立，不符合题意； C．若，则，故选项成立，符合题意； D．若，则，故选项不成立，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）若，则下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘或除同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：A选项：，根据不等式的基本性质一，可得：，故A选项正确； B选项： ，且 ，根据不等式的基本性质三，可得：，但选项为 ，故B选项错误； C选项： ，且 ，根据不等式的基本性质二，可得：，但选项为 ，故C选项错误； D选项：，且 ，根据不等式的基本性质二，可得：，根据不等式的基本性质一，可得：，但选项为 ，故D选项错误． 故选：A． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）若，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质：两边同时加、减同一个数，或乘、除同一个正数，不等号方向不变；乘、除同一个负数，不等号方向改变，即可作答． 【详解】解：A、两边同时减2，不等号方向不变，故，正确； B、两边同时除以2（正数），不等号方向不变，故，正确； C、两边同时乘以4（正数），不等号方向不变，故，正确； D、两边同时乘以（负数），不等号方向应改变，即，但原式为 ，故错误； 故选：D． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不成立，不符合题意； B、取反例, ， 则，， ， 故B不成立，不符合题意； C、取反例，， 则，， ， 故C不成立，不符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴， 故D成立，符合题意． 故选：D． 题型二 一元一次不等式的定义（共5小题） 6．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式，据此判断即可求解． 【详解】解：、不含未知数，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 、含2个未知数，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 、是一元一次不等式，该选项符合题意； 、未知数最高次数为2，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 故选：． 7．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的判断，根据只含有1个未知数，且含有未知数的项的最高次数为1的不等式，叫做一元一次不等式，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次不等式，符合题意； B、不含未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； C、含有2个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； D、含有2次项，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选A． 8．（24-25八年级下·广东佛山·月考）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式，据此判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、不等式是一元一次不等式，故本选项符合题意； 、不等式不含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 、不等式未知数最高次数是2，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 、是多项式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 故选：A． 9．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，掌握不等式要满足（①只含有一个未知数；②未知数的次数为1；③不等式两边均为整式）成为解题的关键． 根据一元一次不等式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，分母含未知数x，属于分式不等式，不是不等式，不符合题意； B．，化简为，仅含未知数x且次数为1，是整式不等式，符合条件． C．，是等式而非不等式，不符合题意； D．，含两个未知数x和y，不符合“一元”要求，不符合题意． 故选B． 10．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若是关于 x的一元一次不等式，则 m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故选：B． 题型三 解一元一次不等式（组）（共5小题） 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：解得：， 解得：， 不等式组的解集为：． 12．（24-25七年级下·广西梧州·期中）解不等式和不等式组 (1)解不等式； (2)不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集． （1）移项、合并同类项，系数化为1，即可求得答案； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解： （2） 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 则该不等式组的解集为：, 这个不等式组的解集在数轴上表示如图： 13．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式（组）并把解表示在数轴上： (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组）以及在数轴上表示不等式（组）的解集： （1）先移项，再合并、系数化1可得到不等式的解集，然后用数轴表示其解集； （2）分别解两个不等式得到和，则利用大小小大中间找得到不等式组的解集，然后用数轴表示其解集． 【详解】（1）解：， ， ， 解得， ∴原不等式的解集为， 将解集表示在数轴上，如图所示： （2）解：， 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上，如图所示： 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）计算 (1)解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； (2)解不等式组；. 【答案】(1)，数轴见解析； (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式是关键； （1）不等式移项合并，把系数化为，即可求出解，然后在数轴表示即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解： 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 数轴表示如下： （2）解：， 解①得：； 解②得：； 15．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）解不等式及不等式组，把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，掌握一元一次不等式的解法和确定不等式组的解集是解答本题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤依次计算即可； （2）先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 把不等式的解集表示在数轴上，如下： ． （2）解：， 由，得：， 由，得：， 原不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： 题型四 一元一次不等式与一次函数（共5小题） 16．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知直线：与直线：都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，以下说法错误的是（    ） A．的面积为3 B．方程组的解为 C．点D的坐标为 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，一次函数与二元一次方程组的关系，与不等式的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．A、求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；B、根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；C、依据题意，由直线为可得与y轴的交点坐标，即可得解；D、依据题意得，不等式的解集是直线：的图象在直线：上方对应的自变量的取值范围，结合直线：与直线：都经过，从而可以判断得解． 【详解】解：A．把代入直线，则， 解得， 在中，令，则 ， ∴， ∴， ∵直线经过，交y轴于点， 把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 在直线：中，令，则 ， ∴， ∴， ∴，故A正确； B．∵直线：与直线都经过， ∴方程组的解为故B正确； C．由题意，∵直线为， ∴令，则． ∴，故C错误； D．由题意得，不等式的解集是直线：的图象在直线：上方对应的自变量的取值范围， 又∵直线：与直线：都经过， ∴结合图象可得，不等式的解集是，故D正确． 故选：C． 17．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知一次函数与的图象如下图所示，其交点的坐标为，直线与轴的交点坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程组的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，两条直线的交点求方程组的解， 先根据直线与x轴的交点求出方程的解判断A，再求出两条直线的交点，并判断方程组的解，说明B；然后根据两条直线的位置求出不等式的解集解答C；最后根据直线与x轴的交点解答D． 【详解】解：∵直线与x轴交于点， ∴方程的解是，， 解得，即， 则A不正确，不符合题意； ∵一次函数与交点为， ∴， 即， ∴方程组的解是， 则B不正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是， 则C正确，符合题意； ∵直线与x轴交于点， ∴的解集是， 则D不正确，不符合题意． 故选：C． 18．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．方程组的解是 D．不等式组的解集是 【答案】C 【分析】本题考查一次函数和方程，一次函数与不等式，利用数形结合的思想，进行求解，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点为； ∴方程，即方程的解为；故选项A正确； 不等式的解集为，不等式的解集为，故不等式和不等式的解集相同；故选项B正确； 方程组的解集为，故选项C错误； 把代入，得，解得， ∴， ∴当，解得， ∴不等式组的解集是；故选项D正确； 故选C． 19．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，一次函数（，为常数且）与一次函数（，为常数且）的图象相交于点，给出下列结论：①关于的方程的解是；②当时，函数的值比函数的值小；③关于的不等式的解集是；④关于，的方程组的解是，其中错误的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与方程和不等式的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数与方程和不等式的关系逐项判断即可． 【详解】解：①：方程 的解为两函数图象交点的横坐标，即 ，正确． ②：当 时，函数 的图象在 图象下方，即的值小于 的值，正确． ③：不等式 的解集为图象在图象下方时的取值范围，即 ，而不是 ，错误． ④：方程组 的解为两函数图象交点坐标，是 ，正确． 错误的结论有1个， 故选：B． 20．（25-26八年级上·广西百色·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．关于的不等式的解集是 C．关于的方程的解是 D．关于，的方程组的解为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系，根据一次函数与方程、不等式的关系求解．掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：A：由图象得，，， ∴， ∴，故A不符合题意； B：由图象得：时， ∴关于的不等式的解集是，故B不符合题意； C：由图象得：当时，， ∴关于的方程的解是，故C是不符合题意； D：由图象得：关于，的方程组的解为，故D符合题意； 故选：D． 题型五 一元一次不等式（组）解的情况求参数（共5小题） 21．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知关于x的不等式的解集如图所示，则a的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式的解集求参数，先求出不等式的解集，进而确定的值即可． 【详解】解：， ， 根据图象可知不等式的解集是， ， ， 故答案为：． 22．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）若不等式组的解集为，则的值为_____． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及有理数的乘方，先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集求出的值，继而代入计算即可．熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：， 解可得， 解可得， 不等式组的解集为， ， 解得， ， 故答案为：． 23．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查根据不等式组的解集，求参数的范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得， ∵不等式组无解， ∴，解得； 故答案为：． 24．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）已知不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组无解情况． 先求出两不等式的解集，再根据不等式组无解判断即可． 【详解】解：， 解①得：； 解②得：； ∴ ∵不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 25．（24-25八年级下·四川达州·期中）若不等式组的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了由不等式组的解集求参数，正确求解不等式组的解集是解题的关键．解不等式得，再由不等式组的解集为，即可得到答案． 【详解】解：解不等式得，， 不等式组的解集是， ， 的取值范围是：， 故答案为：． 题型六 一元一次不等式（组）整数解求参数（共5小题） 26．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）已知关于的不等式组的整数解有5个，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据解集的情况，确定关于的不等式组．先求出一元一次不等式组的解集为，再根据不等式组有5个整数解，即可确定的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有5个整数解， 该不等式组的解集为，这5个整数为、、、、， 的取值范围是， 故答案为：． 27．（24-25九年级下·宁夏银川·期中）关于的不等式组 恰有3个整数解，则的取值范围是_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集，并能够根据不等式组的整数解的个数确定参数的取值范围是解题的关键．先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解，即可得出的取值范围． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∵不等式组有3个整数解， ∴． 故答案是：． 28．（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于的不等式组有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数的和为___________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组． 先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有个整数解可以是，，，，，即可得到，解得，可以求得满足条件的整数的值，然后求出其和即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有个整数解， 这个整数解是，，，，， ， 解得：， 满足条件的整数的值为，，， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 29．（24-25八年级下·四川成都·期中）关于x的不等式组恰有两个整数解，m的取值范围为______． 【答案】 【分析】此题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键确定不等式的解集，注意表示解集的不等式是否含等号． 可先用m表示出不等式组的解集，再根据有两个整数解可得到关于m的不等组，可求得m的取值范围． 【详解】解： 解不等式①可得， 解不等式②可得， 由题意可知原不等式组有解， ∴原不等式组的解集为， ∵该不等式组恰有两个整数解， ∴整数解为2，3， ∴ ∴m的取值范围为． 故答案为：． 30．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知关于的不等式组的解集为． （1）的取值范围是______； （2）若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和是______． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及二元一次方程组的解，熟知解一元一次不等式组的步骤及解二元一次方程组的步骤是解题的关键． （1）先求出不等式组中两个不等式的解集，再结合不等式组的解集即可得出m的取值范围． （2）先用m表示出方程组的解，再结合（1）中的取值范围即可解决问题． 【详解】解：（1）由题知， 解不等式得，； 解不等式，得，． ∵不等式组的解集为， ∴． 故答案为：． （2）解方程组得，． ∵此方程组的解为整数，且整数m为整数， ∴或或， 解得或或5或1或4或2． 又∵， ∴符合条件的所有整数m的和是：． 故答案为：6． 题型七 一元一次不等式（组）的实际应用（共5小题） 31．（25-26八年级下·陕西榆林·月考）全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过12亿剂次．为了满足市场需求，某公司计划投入10个大、小两种车间共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂． (1)该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？ (2)若一周内需要生产不少于140万剂疫苗，选择大、小车间生产，问共有几种生产方案？ 【答案】(1)该公司每个大车间每周能生产疫苗15万剂，每个小车间每周能生产疫苗10万剂 (2)共有3种生产方案，方案1：投入8个大车间，2个小车间；方案2：投入9个大车间，1个小车间；方案3：投入10个大车间 【分析】（1）设该公司每个大车间每周能生产疫苗x万剂，每个小车间每周能生产疫苗y万剂，根据题意找出等量关系，列方程组，进行解答即可； （2）设投入m个大车间，则投入小车间个，根据题意列出不等式，进行解答即可． 【详解】（1）解：设该公司每个大车间每周能生产疫苗x万剂，每个小车间每周能生产疫苗y万剂， 依题意得：， 解得：． 答：该公司每个大车间每周能生产疫苗15万剂，每个小车间每周能生产疫苗10万剂． （2）解：设投入m个大车间，则投入小车间个， 依题意得：， 解得：， 即． 又∵m，均为正整数， ∴m可以为8，9，10，相应的为2，1，0 ∴共有3种生产方案， 方案1：投入8个大车间，2个小车间； 方案2：投入9个大车间，1个小车间； 方案3：投入10个大车间． 32．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A，B两种材质的围棋，每套进价分别为210元、180元，如表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 (1)求A，B两种材质的围棋每套的售价； (2)若商家再采购A，B两种材质的围棋共30套，购买金额不超过5780元，求A种材质的围棋最多能采购多少套？ 【答案】(1)A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元； (2)A种材质的围棋最多能采购12套． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，结合近两个月的销售情况，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A种材质的围棋采购了m套，则B种材质的围棋采购了套，利用进货总价等于进货单价乘以购进数量，结合进货总价不超过5780元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元； （2）解：设A种材质的围棋采购了m套，则B种材质的围棋采购了套， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为非负整数， ∴m的最大值为12． 答：A种材质的围棋最多能采购12套． 33．（25-26八年级上·浙江温州·期中）某公司每月生产两种型号的口罩共万只，且所有口罩当月全部售出．两种型号口罩的成本、售价如表所示： 口罩型号 每只成本/元 每只售价/元 (1)设该公司每月生产型口罩万只，该公司的月毛利润为______（用含的代数式表示）． (2)该公司计划月投入口罩生产的成本不超过万元，且型口罩每只售价降低元． ①求月型口罩生产数量的范围； ②求月该公司销售口罩毛利润的最大值． 【答案】(1)万元 (2)①大于等于万只且小于等于万只；②万元 【分析】（）根据题意解答即可求解； （）①设月型口罩生产万只，则型口罩生产万只，根据题意列出不等式解答即可求解；②设月该公司销售口罩毛利润为元，根据题意求出与的一次函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查列代数式，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，该公司的月毛利润为万元， 故答案为：万元； （2）解：①设月型口罩生产万只，则型口罩生产万只， 由题意得，， 解得， 又∵， ∴， ∴ 答：月型口罩生产数量的范围为大于等于万只且小于等于万只； ②设月该公司销售口罩毛利润为万元， 由题意得，， ∵， ∴的值随的增大而减小， ∵， ∴当时，的值最大， ∴利润的最大值为万元． 34．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）综合与实践 【项目主题】 砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题． 【项目背景】 已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表： A B 购进成本价（元/千克） 10 6 【问题解决】 (1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润； (2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)甲超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润为3600元 (2)分别购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）由图象可知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系为一次函数，设其表达式为（），将点，代入求出解析式，将代入计算即可； （2）设乙超市购进A种砀山梨m千克，则购进B种砀山梨千克，根据题意列不等式求出的取值范围，设售完后可获得利润为元，则，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：由图象可知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系为一次函数，设其解析式为（），将点，代入， 得，解得， 卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系式为， 当时，则， 利润为， 答：甲超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润为3600元； （2）解：设乙超市购进A种砀山梨m千克，则购进B种砀山梨千克， 由题意得， 解得， 设售完后可获得利润为元，则 ， 随m的增大而减少， 当时，利润w取得最大值为（元）， 此时B种砀山梨数量为（千克）， 答：分别购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元． 35．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）某体育器材专卖店购进甲、乙两种品牌排球共80个，其进价与售价情况如表： 品牌 甲 乙 进价（元/个） 60 56 售价（元/个） 80 72 设购进甲品牌排球个，销售完这80个排球所获得的总利润是元． (1)求与的函数关系式；（不需要写出的取值范围） (2)该体育器材专卖店出售这批排球是否能获得利润1408元？如果不能，说明理由；如果能，求甲、乙两种品牌排球分别售出多少个； (3)若该体育器材专卖店购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)能获得利润1408元，甲品牌排球售出32个，乙品牌排球售出48个 (3)购进甲品牌排球26个，购进乙品牌排球54个时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据一次函数的性质求最大利润． （1）设购进甲品牌排球个，则购进乙品牌排球个，根据总利润与单件利润之间的关系，可得y与x的函数关系式； （2）当时，得到关于x的一元一次方程，求出x的值判断即可； （3）根据购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半，可得不等式求出x的取值范围，然后利用一次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：∵设购进甲品牌排球个，则购进乙品牌排球个， ∴， 与的函数关系式为； （2）解：当时，得， 解得， ∴（个） ∴该体育器材专卖店出售这批排球能获得利润1408元，甲品牌排球售出32个，乙品牌排球售出48个； （3）解：该体育器材专卖店购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半， ． ． 在中，， ∴随的增大而增大， 为整数， 当时，获得利润最大，最大利润为1384元． ∴（个） ∴购进甲品牌排球26个，购进乙品牌排球54个时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元． 题型八 一元一次不等式（组）中的新定义型问题（共5小题） 36．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义与一元一次不等式，理解题意后按要求进行计算是解题关键． （1）根据题意，展开后计算即可； （2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， 由题意得，， 去括号得，， 移项后合并同类项得，， 解得，． 37．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： (1)若，求实数的取值范围． (2)若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了定义新运算，解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，理解新定义运算的运算法则是本题的关键． （1）根据新定义列出不等式，根据一元一次不等式的解法解出不等式即可； （2）根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，然后根据“的解集中有3个整数解”求出的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， 的解集中有3个整数解， 的整数解为，，， ， ． 38．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”． (1)不等式_______的“友好不等式”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的不等式不是的“友好不等式”，则m的取值范围是_______； (3)已知关于x的不等式与互为“友好不等式”，且有两个整数解，求a的取值范围． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查了“友好不等式”，一元一次不等式组的解集，理解题意，借助数轴数形结合是解题的关键． （1）由不等式和有个公共解，判断即可； （2）分别解不等式，由题意可知，两个不等式的解集没有公共解，从而得出的范围； （3）分别解不等式，由题意可知，两个不等式的解集有公共解，利用数轴，可知，从而得出答案． 【详解】（1）解：不等式和有个公共解， 所以不等式是的“友好不等式”； 故答案为：是； （2）解：， ， ， ， 关于x的不等式不是的“友好不等式”， ， 故答案为：； （3）解： 关于x的不等式与互为“友好不等式”，且有两个整数解， 39．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)若，求的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据新定义即可求解； （）由题意得， 然后解不等式即可； （）由，得，再通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，当时，， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， 由图象得，当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：． 40．（24-25七年级下·福建泉州·期中）对、定义一种新运算，记为：． (1)若，如：，则________； (2)若，（其中、为常数），且，． ①求、的值； ②若关于的不等式组，现定义一个新数，在不等式组恰好有3个整数解的条件下，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)①，；② 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，有理数的混合运算． （1）利用新运算所给的等式进行计算即可； （2）①利用新运算得到关于a，b的方程组，解得a，b的值即可； ②利用新运算得到关于m的不等式组，解得m的取值范围（含有k），根据不等式组有3个整数解的条件得到m，k的取值范围，进而求得新数n的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：8； （2）解：①已知， 把和分别代入可得方程组： ， 解得； ②由①知，， 所以， 则不等式组可化为： ， 解第一个不等式： ， ， ， ， 解第二个不等式： ， ， ， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组恰好有3个整数解，所以这3个整数解为0，1，2，则， 解得； 解得， 所以， 又因为， 由且，可得， 当时，； 当时，（取不到）． 所以， 即在不等式组恰好有3个整数解的条件下，n的取值范围是． $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03不等式与不等式组 题型归纳·内容导航 题型1不等式的基本性质（常考点） 题型5一元一次不等式（组）解的情况求参数（难点） 题型2一元一次不等式的定义 题型6一元一次不等式（组）整数解求参数（难点） 题型3解一元一次不等式（组） (重点) 题型7一元一次不等式（组）的实际应用（重点） 题型4一元一次不等式与一次函数（重点） 题型8一元一次不等式（组）中的新定义型问题（难点） 题型通关·靶向提分 题型一不等式的基本性质（共5小题） 1.(25-26八年级上浙江绍兴期中)若m>n,则下列结论正确的是() A.m+3<n+3B.-5m<-5n C.m-2<n-2 D.g<号 2.(25-26八年级上浙江温州期中)若x<y,则下列各式中一定成立的是() A.x-y>0 B.x-2>y-2 C.-3x>-3y n含片 3.(25-26八年级上浙江湖州期中)若a<b,则下列变形正确的是() A.a-3<b-3B.-2a<-2b C.4ax4b D.4a-1>4b-1 4.(25-26八年级上·浙江绍兴期中)若m>n,则下列各式中错误的是() A题-2-？B贸经 C.4m>4n D.-3m>-3n 5.(25-26八年级上浙江杭州期中)若a<b,则下列不等式中一定成立的是（) A.-2a<-2b B.a2+1<b2+1 c.22 D.a-1<b+1 a b 题型二一元一次不等式的定义（共5小题） 6.(24-25七年级下·吉林长春期中)下列不等式中，属于一元一次不等式的是() A.3>1 B.x+y>0 C.2x-1<5 D.x2+2x>-1 7.(24-25七年级下·安微毫州月考)下列是一元一次不等式的是() 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.3x-4≥0 B.5>-2+3 C.x+y≠3 D.m2+m<0 8.(24-25八年级下广东佛山月考)下列不等式中，属于一元一次不等式的是() A.x+1>0 B.3>1 C.3x-1<2x2 D.7x-16 9.(24-25八年级下·贵州贵阳期中)下列不等式中，是一元一次不等式的是() A.+l>2 B.5<0 C.x2=9 D.2x+y≤5 2 10.(24-25八年级下.宁夏银川期中)若(m+1)xm-3>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为() A.±1 B.1 C.-1 D.0 题型三解一元一次不等式（组）（共5小题） 11.(25-26八年级上浙江杭州期中)解下列不等式（组）： (1)3(2x-1>4x+1 x+2≤3 (2)2x+1 >x-1 3 12.(24-25七年级下广西梧州期中)解不等式和不等式组 (1)解不等式4x-2>3x-1: 3(x+2)≥2.x+5① (2)不等式组： 并把解集在数轴上表示出来. 2 13.(25-26八年级上·浙江杭州期中)解下列不等式（组）并把解表示在数轴上： (1)5x-6>x-2 -3-2-10123 [4x+8>3x+7 23x+1≥2x-1 (2 32-10123→ 14.(25-26八年级上浙江杭州期中)计算 (1)解不等式：2x-1<3x+2,并将解集表示在下列数轴上： 5-4-3-2-1012345 2/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3(x-1<4+2x (2)解不等式组； x-9 5 <2 15.(25-26八年级上黑龙江大庆期中)解不等式及不等式组，把解集在数轴上表示出来 05号1 4-3-2-101234之 [5x-1+2>x+5 (2)6 4 2x+5≥35-x 432101234 题型四一元一次不等式与一次函数（共5小题） 16。(（25-26八年级上广西贺州期中)如图，已知直线4：y=x+b与直线么：= 2+m都经过 C 68 5'5 直线4交y轴于点B(0,4),交x轴于点A,直线交y轴于点D,以下说法错误的是() B A.△ABD的面积为3 y=kx+b x=- 6 5 B.方程组 1 的解为 y 2+m 8 6 C.点D的坐标为0 6 +m 1 D.当x>-6时，+b>- 17.(25-26八年级上·黑龙江大庆期中)已知一次函数y=ax+3与y=bx-1的图象如下图所示，其交点B的 坐标为-3，m),直线y=bx-1与x轴的交点坐标为(-1,0)，则下列说法正确的是() 3/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=4x+3 y=bx-1 B A.方程bx-1=0的解是x=-3 ax-y+3=0 x=3 B.方程组 (br-y+1=0的解是 y=m C.关于x的不等式ax+3≥bx-1的解集是x≥-3 D.bx-1>0的解集为x>-1 18.(25-26八年级上·安微合肥期中)如图，在平面直角坐标系中，若直线y=-x+a与直线y2=bx-4相 交于点P,则下列结论错误的是() A.方程x-4=a-bx的解是x=1 B.不等式-x+a>-3和不等式bx-4<-3的解集相同 C.方程组 -br=4的解是 y+x=a x=1 y=-3 D.不等式组bx-4<-x+a<0的解集是-2<x<1 19.(25-26八年级上·安微阜阳期中)如图，一次函数y,=kx+b(k,b为常数且k≠0)与一次函数 y2=mx+n（m,n为常数且m≠0)的图象相交于点M(3,2),给出下列结论：①关于x的方程 mx+n=kx+b的解是x=3;②当x≤0时，函数y,=kx+b的值比函数y2=mx+n的值小；③关于x的不等 y=kx+b x=3 式mx+m<kx+b的解集是x>2;④关于x,y的方程组 y=mr+n的解是 =2,其中错误的结论有() yi=kx+b M 3 y2=mx+n 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 20.(25-26八年级上广西百色·期中)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)与 y=kx(k≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是() y=ax+b y=kx A.ak<b B.关于x的不等式ax+b>x的解集是x>-3 C.关于x的方程ax+b=kx的解是x=-3 D.关于x,y的方程组 ax-y=-b (-y=0的解为 x=1 y=-3 题型五一元一次不等式（组）解的情况求参数（共5小题） 21.(24-25八年级下·四川成都期中)已知关于x的不等式2x≥a-1的解集如图所示，则a的值为 012+ 22.(24-25八年级下·辽宁阜新·期中)若不等式组 x-a>-2 x-3<b 的解集为-1<x<1,则(a+b)225的值为 2x-5>-1 23.(25-26九年级上黑龙江佳木斯期中)关于x的不等式组 无解，则实数a的取值范围是 x-a≤1 3 x≥x 24.(24-25七年级下·湖南衡阳期中)已知不等式组 2无解，则a的取值范围是 x-a>1 2x-1 >1 25.(24-25八年级下·四川达州期中)若不等式组 3的解集为x>2,则a的取值范围是 x>a 题型六一元一次不等式（组）整数解求参数（共5小题） x-a≥0 26.(24-25七年级下·湖南衡阳·期中)己知关于x的不等式组 3-2x>-1 的整数解有5个，则a的取值范 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 围是 x-a20 27.(24-25九年级下.宁夏银川期中)关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围 3x-4<2x 是 28.(24-25八年级上四川成都期末)如果关于x的不等式组{ x+32x-1 2 有且只有5个整数解，则符合 3x+6>a+4 条件的所有整数a的和为 29.(24-25八年级下·四川成都期中)关于x的不等式组 -0 恰有两个整数解，m的取值范围 2x-3≥3x-2 为 x-m>0 30.(24-25七年级下.安微毫州期中)已知关于x的不等式组{x-4 的解集为x>4. -x<-4 3 (1)m的取值范围是； (2)若整数m使得关于x,y的二元一次方程组 mx+y=6 3x+y=2 的解为整数，则符合条件的所有整数m的和 是 题型七一元一次不等式（组）的实际应用（共5小题） 31.(25-26八年级下·陕西榆林·月考)全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过12亿剂次.为了满足市场 需求，某公司计划投入10个大、小两种车间共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小 车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂. ()该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？ (2)若一周内需要生产不少于140万剂疫苗，选择大、小车间生产，问共有几种生产方案？ 32.(25-26八年级上·浙江宁波期中)围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年 的历史.某商家销售A,B两种材质的围棋，每套进价分别为210元、180元，如表是近两个月的销售情况： 销售数量 销售时段 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 6/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求A,B两种材质的围棋每套的售价： (2)若商家再采购A,B两种材质的围棋共30套，购买金额不超过5780元，求A种材质的围棋最多能采购 多少套？ 33.(25-26八年级上·浙江温州期中)某公司每月生产A,B两种型号的口罩共20万只，且所有口罩当月 全部售出.两种型号口罩的成本、售价如表所示： 口罩型号 每只成本/元 每只售价元 1.5 B 6 (I)设该公司每月生产A型口罩x万只，该公司的月毛利润为 (用含x的代数式表示)· (2)该公司计划11月投入口罩生产的成本不超过28万元，且B型口罩每只售价降低2元. ①求11月A型口罩生产数量的范围： ②求11月该公司销售口罩毛利润的最大值. 34.(25-26八年级上·安徽安庆期中)综合与实践 【项目主题】 砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A,B两种砀山梨销售问题。 【项目背景】 己知今年A,B两种砀山梨的购进成本价如下表： B 购进成本价（元/千克） 10 6 【问题解决】 (1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨 所获得的利润； 个卖出数量/千克 2000------ 1000------------ 10 20售价/元 (2)乙超市准备购进A,B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 本不超过14000元，且不少于13000元.问：分别购进A,B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利 润？并求出最大利润。 35.(25-26八年级上，安徽阜阳期中)某体育器材专卖店购进甲、乙两种品牌排球共80个，其进价与售价 情况如表： 品牌 甲 乙 进价（元/个） 60 56 售价（元/个） 80 72 设购进甲品牌排球x个，销售完这80个排球所获得的总利润是y元 (I)求y与x的函数关系式；（不需要写出x的取值范围） (2)该体育器材专卖店出售这批排球是否能获得利润1408元？如果不能，说明理由：如果能，求甲、乙两种 品牌排球分别售出多少个： (3)若该体育器材专卖店购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半，如何设计进货方案才能获得 最大利润？最大利润是多少？ 题型八一元一次不等式（组）中的新定义型问题（共5小题） 36.(25-26八年级上浙江台州期中)定义一种新运算a※b=2a+b-1,例如：3※4=2×3+4-1=9. (1)计算：（-2※3： (2)请根据上述定义解不等式(2x+3)※7<2. 37.(25-26八年级上浙江嘉兴期中)对于任意实数m,n,定义一种新运算m※n=mn-m-n+2.例如： 2*6=2×6-2-6+2=6,请根据上述定义解决以下问题： (1)若2※x<4,求实数x的取值范围. (2)若a<4※x<7，且x的解集中有3个整数解，求实数a的取值范围 38.(24-25八年级下·河南驻马店·期中)我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不 等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”. (1)不等式x≥2 x≤2的“友好不等式”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的不等式x-m≥0不是2x-1<x+2的“友好不等式”，则m的取值范围是 (3)已知关于x的不等式x+3>-2x与x-1≤a互为“友好不等式”，且有两个整数解，求a的取值范围. 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 39.(25-26九年级上·黑龙江大庆期中)定义运算min{a,b}:当a≥b时，min{a,b=b;当a<b时， mina,b}=a.如：min{4,0=0,min{2,2=2,min{-3,-1}=-3.根据该定义运算完成下列问题： (1)min(3,2= ,当x≤2时，min{x,2= (2)若min3x-1,-x+3=3x-1,求x的取值范围： (3)如图，己知直线y,=x+m与2=c-2相交于点P(-2,1,若min{x+m,kx-2=kx-2,结合图象，直接 写出x的取值范围是 40.(24-25七年级下福建泉州期中)对x、y定义一种新运算S,记为：S(x,y). (①)若S(x,y川=2x+3y-2,如：S1,)=2x1+3x1-2=3,则S2,2)=； (2)若S(x,y)=ax+by-3,(其中a、b为常数)，且S(3,3)=6,S(2,-1)=-3. ①求a、b的值； S(m,4-2m)≤5 ②若关于m的不等式组 Sm.,3-m>k,现定义一个新数n=Sm,2m-,在不等式组恰好有3个整数解 的条件下，求的取值范围. 9/9