专题01 等腰（等边）三角形的性质和判定（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材北师大版

专题01 等腰（等边）三角形的性质和判定 题型1 利用等腰三角形的性质求角（常考点） 题型6 等腰三角形的性质和判定（重点） 题型2 利用等腰三角形的性质求线段长（常考点） 题型7 等边三角形的性质和判定（重点） 题型3 利用等边三角形的性质求角（常考点） 题型8 等腰三角形的性质与判定动点问题（难点） 题型4利用等边三角形的性质求线段长（常考点） 题型9 等边三角形的性质与判定动点问题（难点） 题型5 等腰（等边）三角形的性质与判定多结论问题（难点） 题型10 等腰（边）三角形的性质与判定新定义型问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用等腰三角形的性质求角（共3小题） 1．（25-26八年级上·河南安阳·期中）在中，，，则的度数为______ 【答案】 【分析】本题主要考查等边对等角、三角形内角和定理等知识点，掌握等边对等角是解题的关键． 根据等边对等角可得，再结合利用三角形内角和为求解即可． 【详解】解：∵， ∴（等边对等角）． ∵，且， ∴，即， 又∵， ∴． 故答案为70． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，若，则____． 【答案】 【分析】题目主要考查了等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．先根据，得，则，结合三角形内角和性质以及，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，中，，是射线上的动点，连接，令，将沿所在射线翻折至处，射线与射线相交于点若是等腰三角形，则的度数为______ ． 【答案】或或 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等，由折叠的性质得，再分四种情况，分别画出图形，利用等腰三角形的性质及三角形的外角性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质知， 当时，如图，， 由三角形的外角性质得，， 即，此情况不存在； 当且点在射线下方时，如图， ∵， ∴， 由三角形的外角性质得，， 即， 解得； 当时，如图，， ， 由三角形的外角性质得，， 即， 解得； 当且点在射线上方时，如图，， ， ； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 题型二 利用等腰三角形的性质求线段长（共3小题） 4．（25-26八年级上·河南周口·期中）老君台，又名升仙台、拜仙台，原为明道宫的一部分，是河南省鹿邑县的国家级景区．如图①是老君台正殿梁架示意图，其顶部可以看作等腰（如图②），已知，，若，则________． 【答案】5 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的三线合一直接进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴； 故答案为5． 5．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，若，则______ ． 【答案】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据，进而得出，利用三角形内角和得出，利用含角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：过作于， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，平分，若，则点D到的距离为______． 【答案】24 【分析】此题考查了三线合一性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等角对等边性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点A作于点E， 过点D作于点F，由三线合一得到，由勾股定理求出，然后证明出，得到，即可求解． 【详解】如图所示，过点A作于点E， 过点D作于点F， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴点D到的距离为24． 故答案为：24． 题型三 利用等边三角形的性质求角（共3小题） 7．（24-25八年级上·广东珠海·期中）是等边三角形，是中线，延长到点，使．则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质． 由为等边三角形，可求出，由是等腰三角形求出，即可求出的度数． 【详解】解：为等边三角形，为中线， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为___． 【答案】/105度 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据等边三角形的性质得，再根据得，由此得，再求出，由三角形内角和定理得，然后在中，再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， 即的度数为． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·四川自贡·期中）如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接、．则当的度数为__________时，是等腰三角形． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的应用．先证是等边三角形得到，根据，，得出，先证明，可得，可得，，，再分情况讨论：①；②；③，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，﹐ ∴； ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ∵是等腰三角形， ①， 即， 解得， ②， 即， 解得， ③， 即， 解得， 综上：当或或时，是等腰三角形， 故答案为： 或或． 题型四 利用等边三角形的性质求线段长（共3小题） 10．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，点为等边中边上一点，于点，，求的长为___________． 【答案】3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形的性质，由是等边三角形得，由得，可得，可得，从而可求出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 11．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则________． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用等边三角形的性质判定全等是解题关键． 等边三角形三边都相等，每个内角都是，结合，可以证出，从而得到．利用等量代换和外角的性质，求得．根据直角三角形的性质，得到，代入的值，求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴（SAS）， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， 在直角中，． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，是等边三角形，点在上，，，是射线上的一个动点，连接．以为边，在的左侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作交于点，分类讨论，逐个分析，即可解答． 【详解】解：①当时，如图，过点作，交于点． 是等边三角形，是等边三角形，， ，， ∴是等边三角形， ， ，即， ， ， 是的中点， ， ； ②当时，由①，得，则，与矛盾， 此种情况不成立； ③当时， 如图，过点作，交于点． 、是等边三角形，， ，， ∴是等边三角形， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的长为或． 题型五 等腰（等边）三角形的性质与判定多结论问题（共3小题） 13．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，是的高，平分交于点，过点作，垂足为点，并交于点．若，则下列结论中： ①；②；③；④． 正确的是_____（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定．等腰三角形的性质和判定，熟知教学大纲等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据，，得出，可判断①；根据证明，可判断②；根据全等三角形的性质得出，根据平分，得出，证出，即可得，可判断③；得出，即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴，①正确； ∵ ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵，，， ∴，②正确； ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，③正确； ∵， ， ∴， ∴，④错误． 故答案为：①②③． 14．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，中，，，D是的中点，点E、F分别在边、上，且．以下四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ________ ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据等腰三角形三线合一的性质和同角的余角相等证明全等，可判断①结论；的长是变化的，而是定值，可判断②结论；同①理可证，，可判断③结论；根据等边对等角和三角形外角的性质，可判断④结论． 【详解】解：中，，，D是的中点， ，，， ， ， ， ， ，①结论正确； 由题意可知，的长是变化的，而是定值， 和不一定相等，②结论错误； 同①理可证，， ， ，③结论正确； ， ，， ， ， ， ，④结论正确； 故答案为：①③④． 15．（25-26八年级上·北京丰台·期中）在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论： ①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为_____． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：沿着直线折叠得到， ，， 平分，故①正确； 沿着直线折叠得到， ，， ，， ， ， ， ，， 沿着折叠得到， ，， ， ， ， ，故②错误； ， ，故③正确； ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的周长，故④正确； 故答案为：①③④． 题型六 等腰三角形的性质和判定（共3小题） 16．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，是上一点，过点作于，的延长线交延长线于． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解答 (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，，可得：，然后根据对顶角相等可得，从而可得，然后根据等角对等边可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，从而可得，最后在中，利用含角的直角三角形的性质可得，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 17．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，为延长线上一点，于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用等腰三角形的三线合一进行证明是解本题的关键． （1）证明，可得，再证明，即可得结论； （2）过作于，证明，可得，则，即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）证明：过作于， ， ， 由（1）知，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 18．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当等于多少时，，请说明理由： (2)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)当时，，理由见解析 (2)可以；当的度数为或时，的形状是等腰三角形 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识： （1）当时，利用，，求出，再利用，即可得出． （2）分三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【详解】（1）解：当时，，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴； （2）解：可以；当的度数为或时，的形状是等腰三角形， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 此时，点D与点B重合，不合题意； 当时，， ∴． 综上，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 题型七 等边三角形的性质和判定（共3小题） 19．（25-26八年级上·云南德宏·期中）如图，在中，，点在内，，点在外，．    (1)求证：： (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于常考题型． （1）首先证明是等边三角形，推出，即可解决问题． （2）根据，推出，只要证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 在和中， ， ∴， （2）结论：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 20．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，， (1)若， ①如果，那么是______三角形； ②猜想和的数量关系并证明； (2)如果，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)①等边，②，详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，熟记平行线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）①由于，利用平行线性质可得，又，可得，易求，又，即可得出是等边三角形；②同理①，根据平行线的性质及等腰三角形的性质求解即可； （2）由于，可得，而，那么有，从而有，那么易证 【详解】（1）①解：， ， 又， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 故答案为：等边； ②解：结论：，理由如下， ， ， 又， ， ， ， ； （2）解：结论：， 理由如下：，， ， 又， ， ∴ ∴ 21．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，，都是等边三角形，点A、B、C在同一直线上，和交于点P． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，M，N分别是，的中点，试判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)等边三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题的关键是通过角的等量代换证明三角形全等，进而推导边或角的关系． （1）利用等边三角形性质得边和角相等，通过角的和差推得，再用证，得结论； （2）由全等得，结合内角和求，再利用外角性质得； （3）由全等及中点得，用证，得且，判定为等边三角形． 【详解】（1）证明：、都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中 ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． （3）解：是等边三角形，理由为： ， ． ，、分别是、的中点， ， 在和中 ， ，， ． 是等边三角形． 题型八 等腰三角形的性质与判定动点问题（共3小题） 22．（24-25八年级上·福建南平·期中）阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在中，，，，动点从点出发，沿射线运动，动点从点出发，沿射线运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1)当为多少时，是等腰三角形？请说明理由． (2)当为多少时，是直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)或时，是等腰三角形，见解析 (2)或时，是直角三角形，见解析 【分析】（1）由题知，，，再分两种情况：①当点，点在线段，上运动时，即时；②当点，点在线段，延长线上运动时，即时；分别根据等腰三角形的性质列出方程，求解即可； （2）分情况讨论，根据直角三角形的性质列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ， 由题知，， ①当点，点在线段，上运动时，即时 是等腰三角形 是等边三角形 ， 解得， ②当点，点在线段，延长线上运动时，即时 是等腰三角形 ， 解得， 综上所述，或时，是等腰三角形 （2）解：当点，点在线段，上运动时，即时 ①当时 ， ， 解得， ②当时 ， ∴，      解得， 当点，点在线段，延长线上运动时，是钝角三角形，不符合题意，舍去. 综上所述，或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 23．（25-26七年级上·全国·期中）如图，在中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当 时，与的面积相等； (2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求的度数； (3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段、的长度之和，即的值最小，求此时的长． 【答案】(1)当时，与的面积相等 (2)或或或 (3)5 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）由（1）得：，分两种情况：①点P在上，再分，，利用等腰三角形的性质求解即可；②点P在上时，存在，根据等腰三角形的性质求解即可； （3）当M在上，且时，最小，作于，如图3所示：则，证明得到，，则，当点E、M、三点共线时取等号，此时的最小值为的长；由平行线的性质得，由直角三角形的性质得，，求出即可． 【详解】（1）解：当时，与的面积相等，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴与的面积相等． （2）解：由（1）得：， 分两种情况： ①点P在上，如图1所示： 若，则， ∴； 若时，则； 若， 则； ②点P在上时，如图2所示： 存在， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或； （3）解：当M在上，且时，最小，作于，如图3所示： 则， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，当点E、M、三点共线时取等号， ∴的最小值为的长， 此时，则， ∵，， ∴， ∵点E是斜边的中点， ∴ ∴ ∴. 故答案为：5． 24．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）综合与探究：在中，，点从点出发以的速度沿线段向点运动． (1)如图1，设点的运动时间为，当______时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，求当为何值时，是直角三角形； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交点，且动点，都以的速度同时出发． ①设运动时间为，那么当为______时，是等腰三角形？ ②如图4，连接在点，的运动过程中，请证明和的面积始终相等． 【答案】(1) (2)当为或时，是直角三角形 (3)①；②见解析 【分析】（1）由题意可得是等边三角形，推出当为的中点时，，此时是直角三角形，得到，即可求解； （2）根据题意可得：，，进而得到，由是等边三角形，可得，分两种情况：当时，当时，根据含角的直角三角形的性质，列出关于的方程即可求解； （3）①根据三角形的外角性质可得，推出是等腰三角形，此时只能使，然后证明是直角三角形，再列出关于的方程即可求解；②过点作交于点，过点作于点，可得是等边三角形，推出，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：， 是等边三角形， 当为的中点时，，此时是直角三角形， ， ， 故答案为：； （2）根据题意可得：，， ， 是等边三角形， ， 当时，， ， ， ， 解得：； 当时，， ， ，即， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形； （3）①是等边三角形， ， ， 是等腰三角形，此时只能使， ，， ，， ， ， ， 解得：， 当为时，是等腰三角形， 故答案为：； ②证明：如图，过点作交于点，过点作于点， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 和的高均为， ， ． 题型九 等边三角形的性质与判定动点问题（共3小题） 25．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设计了等边三角形中的双动点问题．已知，在等边三角形中，分别为边上的动点，且不与端点重合，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当时，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当在移动时，若始终保持，在的右侧作，交于．求证：； 【知识迁移】 （3）如图3，若，在运动时始终保持，在的右侧作，且，连接，试判断的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，正确判断三角形全等是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质得，再根据三角形内角和定理可求出的度数； （2）由等边三角形的性质得，，得到，根据三角形外角的性质得出，根据证明，可得； （3）过点作交于点，可证明是等边三角形，得，再根据证明可得出，进而可得结论． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴； （2）∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 又， 而， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）过点作交于点，如图， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴, ∴， ∴． 26．（25-26八年级上·福建泉州·期中）【初步感知】 已知为等边三角形． （1）如图1，若点D为边上一点．以为边向右侧作等边，连接．当时， ， 度； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段、、之间的数量关系为 ，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）3，60 （2）；理由见解析 （3）有，的最小值为8 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形三边关系等，两点之间，线段最短等知识，综合性强，难度较大，证明三角形全等是解题根据﹒ （1）证即可得解； （2）证即可得解； （3）在射线BC上截取，连接，证明，进而证明是等边三角形，再证明点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得到，即可得到，由“两点之间，线段最短”可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值，求出，即可得到的最小值为8． 【详解】（1）解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， 即． ∴． ∴， ∴， 故答案为：3，60； （2）解：；理由如下： ∵和是等边三角形， ∴， ∴， 即． ∴． ∴， ∵， ∴； （3）解：有最小值；理由如下： 如图，在射线BC上截取，连接， ∵和是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 由“两点之间，线段最短”可得，，即当点E与点C重合时，，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为8． 27．（25-26八年级上·河北衡水·期中）等边的边长为10，P是边上一动点，点Q是射线上一动点． (1)如图1，当时，求证：； (2)当点Q在延长线上时，连接，交边于点D，始终保证D是线段的中点． ①如图2，，作交于点E，求的长； ②如图3，作于点F．线段的长是否发生变化？若不变，求线段的长；若发生变化，请说明理由； ③如图4，长为1的木条在边上，且．若②中的点F落在木条上（包括端点），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①12；②的长不变，为5；③． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）结合等边三角形性质证明全等即可； （2）①由（1）知，，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，即可得解； ②作，交于E，由①知，是等边三角形，，则，再根据等边三角形三线合一的性质可得，即可得解； ③分两种情况讨论：当点F在M处时，作，交于E；当F在N处时，结合上述结论求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ； （2）解：①由（1）知，， ， ，，， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ； ②如图1，的长不变，理由如下， 作，交于E， 由①知，是等边三角形，， ， ， ， ， 的长不变； ③如图2，当点F在M处时，作，交于E， 由上知，是等边三角形，， ， 此时， 当F在N处时，此时， ， ， ． 题型十 等腰（边）三角形的性质与判定新定义型问题（共3小题） 28．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）定义：在中，若，，，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)已知的三边长分别为4，5，6，则 “类勾股三角形”．（填“是”或“不是”） (2)如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且，求证：为“类勾股三角形”． 【答案】(1)是 (2) (3)证明见详解 【分析】本题考查了新定义的理解与应用，等腰三角形的性质，勾股定理及三角形外角的性质． （1）根据“类勾股三角形”的定义判断即可； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出； （3）根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理计算，得到，根据“类勾股三角形”的定义证明结论． 【详解】（1）解：是， 理由：∵的三边长分别是4，5，6， ∴，，， ∵， ∴是“类勾股三角形”． 故答案为：是． （2）解：∵，， ∴，， ∵是类勾股三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． （3）证明：如图，在线段上取一点D，使，连接，过点C作交于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 整理得：， ∴是“类勾股三角形”． 29．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）[概念学习] 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么这两个三角形互为“形似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中的一个为等腰三角形，另一个与原来的三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”． [概念理解] （1）如图1，在中，，，平分，则与___________（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”． （2）如图2，在中，平分，，．求证：为的“等腰分割线”． [概念应用] （3）在中，，是的等腰分割线，当是等腰三角形时，的度数为___________，当为等腰三角形时，的度数为___________． 【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）；． 【分析】（1）由题意推出，，，从而得出结论； （2）根据题意，通过计算得出是等腰三角形，，，，从而得出结论； （3）根据题意，分为当是等腰三角形和是等腰三角形两类，当是等腰三角形时，再分为：，，三种情形讨论；同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴与是互为“形似三角形”， 故答案为：是； （2）∵在中,，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”，且是等腰三角形， ∴为的“等腰分割线”； （3）（Ⅰ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图1所示：    当时，则， ， 此时，是“形似三角形”，可知， ∴， ∴舍去； ②如图2所示：    当时，则， 此时，是“形似三角形”，可知， ； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图3所示：    当时，，同理可知舍去； ②如图4所示：    当时，， 此时，是“形似三角形”，可知， ， 在中，由三角形内角和可知，得， ， ； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：当是等腰三角形时，的度数为；当是等腰三角形时，的度数为． 故答案为：；． 30．（24-25八年级上·湖北·期中）【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． (1)【理解】如图1，在中，，，请求出图中三对等角三角形． (2)【尝试】如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． (3)【应用】在中，，是的等角分割线，请求出的度数． 【答案】(1)与，与，与 (2)见解析 (3)或或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等角三角形的定义解答即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形、等角分割线的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴与，与，与是等角三角形； （2）证明：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， 在中，， ∴，，， ∴与是等角三角形， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴为的等角分割线； （3）解：当是等腰三角形，如图，时，，    ∴， ∴； 当是等腰三角形，如图，时，，    ∴， ∴， ∴； 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形，如图，时，    ∴， 当是等腰三角形，如图，时，，    设，则，， 由题意得，， 解得，， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴的度数为或或或． $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01等腰 (等边)三角形的性质和判定 题型归纳·内容导航 题型1利用等腰三角形的性质求角（常考点） 题型6等腰三角形的性质和判定（重点） 题型2利用等腰三角形的性质求线段长（常考点） 题型7等边三角形的性质和判定（重点） 题型3利用等边三角形的性质求角（常考点） 题型8等腰三角形的性质与判定动点问题（难点） 题型4利用等边三角形的性质求线段长（常考点） 题型9等边三角形的性质与判定动点问题（难点） 题型5等腰（等边）三角形的性质与判定多结论问题（难点） 题型10等腰（边）三角形的性质与判定新定义型问题（难点） 题型通关·靶向提分 题型一利用等腰三角形的性质求角（共3小题） 1.(25-26八年级上河南安阳·期中)在ABC中，AB=AC,∠A=40°，则∠B的度数为°. 2. (25-26八年级上重庆期中)如图，在ABC中，若LB=LC,AD=BD,LCAD=27°，则LC= B D 3.(25-26八年级上新疆乌鲁木齐·期中)如图，ABC中，AB=AC,∠A=30°，D是射线AB上的动点， 连接CD,令LACD=a(0°<a<75),将△ACD沿CD所在射线CP翻折至△A'CD处，射线CA与射线AB相 交于点E.若△A'DE是等腰三角形，则La的度数为一· B 题型二利用等腰三角形的性质求线段长（共3小题） 4.(25-26八年级上·河南周口·期中)老君台，又名升仙台、拜仙台，原为明道宫的一部分，是河南省鹿邑 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 县的国家4A级景区.如图①是老君台正殿梁架示意图，其顶部可以看作等腰ABC(如图②)，己知 AB=AC,AD⊥BC,若BC=10,则BD= B 图① 图② 5.(25-26八年级上广东广州期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠ADB=∠BAC=120°，若AD=2, 则BC= 6.(25-26八年级上·浙江温州期中)如图，在ABC中，AB=AC=25,BC=14,BD平分∠ABC,若 AD∥BC,则点D到AC的距离为 题型三利用等边三角形的性质求角（共3小题） 7.(2425八年级上·广东珠海·期中)ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到点E,使CE=CD.则 ∠EDB的度数为 8.(25-26八年级上浙江温州期中)如图，ABC是等边三角形，在△ACD中，AC=CD,LACD=90°， 连接BD交AC于点E,则∠BEC的度数为： 2/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26八年级上四川自贡.期中)如图，点0是等边ABC内一点，∠A0B=105°，∠B0C等于， 点D是等边ABC外一点，∠OCD=60°，OC=CD,连接OD、AD.则当a的度数为 时， △AOD是等腰三角形， D B 题型四利用等边三角形的性质求线段长（共3小题） 10.(25-26八年级上辽宁葫芦岛期中)如图，点D为等边ABC中边AB上一点，DE⊥BC于点E, BD=10,EC=8,求AD的长为 D d B 11.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中)如图，等边ABC,BG=CF,AG与BF交于点D,AE⊥BF 于点E,若AD=9,则DE= G 12.(25-26八年级上河南新乡·期中)如图，ABC是等边三角形，点D在AC上，BC=5,AD=2,M 是射线BA上的一个动点，连接MD.以MD为边，在MD的左侧作等边三角形MND,连接AN.当△AND为 直角三角形时，BM的长为 3/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M 题型五等腰（等边）三角形的性质与判定多结论问题（共3小题） 13.(24-25八年级上福建厦门期中)如图，AD是ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E,过点B作 BF⊥AE,垂足为点F,并交AD于点G,若AF=BF,则下列结论中： D E ①∠ABF=45°；②△AFG≌△BFE;③AG+CE=AC;④BC=BG+2GF. 正确的是 (写出所有正确结论的序号) 14.(25-26八年级上吉林长春·期中)如图，ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D是BC的中点，点E、 F分别在边AB、AC上，且∠EDF=90°.以下四个结论：①△BED≌△AFD;②EF=AD;③ AC=BE+FC;④LAGF=∠AED.上述结论中，正确结论的序号有 n ) 15.(25-26八年级上北京丰台期中)在ABC中，∠A=90°，AB=AC,将ABC按如图所示的方式依 次折叠： 有下面四个结论： ①DE平分LFDC;②BF=AD;③LADB=3LBDF;④△FED的周长等于BC的长.所有正确结论的序 4/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 号为 题型六等腰三角形的性质和判定（共3小题） 16.(25-26八年级上·天津期中)如图，在△ACB中，AB=CB,F是BC上一点，过点F作FD⊥AC于 D,DF的延长线交AB延长线于E. (I)求证：△EBF是等腰三角形： (②)若∠E=30°，FC=4,AD=6,求AB的长. 17.(25-26八年级上·辽宁大连期中)如图，在ABC中，AB=AC,D为CA延长线上一点，DE⊥BC于 点E,交AB于点F. (I)求证：△ADF是等腰三角形 (②)若AF=BF,求证：DF=2EF, 18.(25-26八年级上江苏苏州期中)如图，在ABC中，AB=AC=2,∠B=∠C=40°，点D在线段 BC上运动(D不与B、C重合)，连接AD,作LADE=40°，DE交线段AC于E. 40°人40° B D (I)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE,请说明理由： (②)在点D的运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA度数.若不可以，请说明 理由. 题型七等边三角形的性质和判定（共3小题） 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.(25-26八年级上云南德宏期中)如图，在ABC中，AB=AC,点D在ABC内， BD=BC,∠DBC=60°，点E在ABC外，∠BCE=150°，∠ABE=60°， (I)求证：△ABD≌△ACD: (2)判断△ABE的形状，并说明理由， 20.(25-26八年级上·江苏盐城期中)如图，AB=AC=AD, A D (I)若AD∥BC, ①如果∠D=30°，那么ABC是 三角形； ②猜想∠C和∠D的数量关系并证明； (2)如果∠C=2LD,判断AD与BC的位置关系，并说明理由. 21.(25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中)如图1，△ABD,△BCE都是等边三角形，点A、B、C 在同一直线上，AE和CD交于点P. 图1 图2 (I)求证：AE=CD; (2)求∠APD的度数； (3)如图2，M,N分别是AE,CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论. 题型八等腰三角形的性质与判定动点问题（共3小题） 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 22.(24-25八年级上·福建南平.期中)阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角 边等于斜边的一半.根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， BC=I6cm,动点P从点A出发，沿射线AB运动，动点Q从点B出发，沿射线BC运动，如果动点P以 4cms,Q以2cms的速度同时出发，设运动时间为t(S),解答下列问题： 图1 备用图 备用图 (I)当t为多少时，△PBQ是等腰三角形？请说明理由. (2)当t为多少时，△PBQ是直角三角形？请说明理由. 23.(25-26七年级上·全国期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=10,CD平分 ∠ACB交斜边AB于点D,动点P从点C出发，沿折线CA-AD向终点D运动. B ED ED 备用图 (I)点P在CA上运动的过程中，当CP=时，△CPD与△CBD的面积相等； (2)点P在折线CA-AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数； (3)若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M,使两线段 MP、ME的长度之和，即MP+ME的值最小，求此时CP的长， 24.(24-25八年级上广东肇庆·期中)综合与探究：在ABC中，AB=AC=BC=3cm,点P从点A出发 以Icm/s的速度沿线段AB向点B运动， F 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，设点P的运动时间为(S),当t= s时，△PBC是直角三角形； (2)如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P,Q都以1cm/s的速度同时出发， 设运动时间为(S),求当t为何值时，△PBQ是直角三角形： (3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC点D,且动点P,Q都以1cm/s 7/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的速度同时出发。 ①设运动时间为tS),那么当t为 s时，△DCQ是等腰三角形？ ②如图4，连接PC在点P,Q的运动过程中，请证明△PCD和△QCD的面积始终相等. 题型九等边三角形的性质与判定动点问题（共3小题） 25.(25-26八年级上·贵州遵义·期中)小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设 计了等边三角形中的双动点问题.己知，在等边三角形ABC中，D,E分别为边AB,BC上的动点，且不与 端点重合，连接DE. 【初步探究】 (1)如图1，当DE⊥BC时，求∠BDE的度数； 【深入探究】 (2)如图2，当D,E在移动时，若始终保持DA=BE,在DE的右侧作∠DEF=60°，交AC于F,求证： CF=AD; 【知识迁移】 (3)如图3，若D,E在运动时始终保持DA=BE,在DE的右侧作∠DEF=120°，且DE=EF,连接CF ,试判断BD,CF,BE的数量关系，并证明你的结论 D D B E 图1 图2 图3 备用图 26.(25-26八年级上福建泉州期中)【初步感知】 己知ABC为等边三角形. D 图1 图2 图3 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图1，若点D为边BC上一点.以AD为边向右侧作等边ADE,连接CE.当AC=5,CE=2时， CD=-,∠ACE=度； 【类比探究】 (2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段EC、AC、CD之间的数量 关系为_，请证明你的结论 【拓展应用】 (3)如图3，在等边ABC中，AB=5,点P是边AC上一定点且AP=2,若点D为射线BC上动点，以 DP为边向右侧作等边△DPE,连接CE、BE,请问：PE+BE是否有最小值？若有，请求出其最小值；若 没有，请说明理由， 27.(25-26八年级上河北衡水期中)等边ABC的边长为10，P是边AB上一动点，点Q是射线BC上一 动点. B 0 图1 图2 图3 图4 (I)如图1，当AP=BQ时，求证：△ABQ2ACAP: (②)当点Q在BC延长线上时，连接PQ,交边AC于点D,始终保证D是线段PQ的中点. ①如图2，AP=2,作PE∥BC交AC于点E,求B0的长； ②如图3，作PF⊥AC于点F.线段DF的长是否发生变化？若不变，求线段DF的长；若发生变化，请说 明理由； ③如图4，长为1的木条MN在边AC上，且AM=1.5.若②中的点F落在木条MN上（包括端点），请直 接写出BQ的取值范围. 题型十等腰（边）三角形的性质与判定新定义型问题（共3小题） 28.(24-25八年级上江苏无锡期中)定义：在ABC中，若BC=a,AC=b,AB=c,a、b、c满足 ac+a2=b2,则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题： 9/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 备用图 (1)已知ABC的三边长分别为4,5,6，则ABC-“类勾股三角形”.（填“是”或“不是”） (2)如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB=BC,AC>AB,请求∠A的度数. (3)如图2所示，在ABC中，∠B=2∠A,且∠C>∠A,求证：ABC为“类勾股三角形”. 29.(25-26八年级上·河南洛阳·期中)[概念学习] 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么这两个三角形互为“形似三角形”. 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个 三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中的一个为等腰三角形，另一个与原来的三角形是 “形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”. 36 D 图1 图2 「概念理解] (1)如图1，在ABC中，∠A=36°，AB=AC,CD平分∠ACB,则△CBD与ABC (填“是” 或“不是”)互为“形似三角形”. (2)如图2，在ABC中，CD平分∠ACB,∠A=36°，∠B=48°，求证：CD为ABC的等腰分割线”. [概念应用] (3)在ABC中，∠A=45°，CD是ABC的等腰分割线，当△ACD是等腰三角形时，∠ACB的度数为 ,当△BCD为等腰三角形时，∠ACB的度数为 30.(24-25八年级上·湖北期中)【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个 内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形.从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线 与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个 为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线， 10/11