7.5 正态分布教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

课题 7.5 正态分布 学科 数学 年级 高二 教学目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，掌握正态分布.（直观想象、数学抽象） 2.了解3σ原则，会用正态分布解决实际问题.（数学运算） 重点 正态密度曲线；正态分布. 难点 正态分布；3σ原则. 教学环节 教学过程 设计意图 新课导入 知识导入：现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量． 给出连续型随机变量的定义，引出本节新课. 新课讲授 知识点1：正态密度函数与正态分布 教师展示问题：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g．由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差（实际质量减去标准质量）．用表示这种误差，则是一个连续型随机变量．检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差（单位：g）的观测值如下： （1）如何描述这100个样本误差数据的分布？ （2）如何构建适当的概率模型刻画误差的分布？ 教师利用信息技术工具画出频率分布直方图，学生观察这100个数据的分布情况，尝试描述这组数据的分布. 学生独立思考、互相交流，通过不断增加样本容量的方式发现分布规律.最后师生共同概括总结，构建出相应的概率模型. 根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图所示．频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1． 观察图形可知：误差观测值有正有负，并大致对称地分布在的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁． 随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图所示． 根据频率与概率的关系，可用下图中的钟形曲线（曲线与水平轴之间的区域的面积为1）来描述袋装食盐质量误差的概率分布．例如，任意抽取一袋食盐，误差落在内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示． 教师提问：由函数知识可知，上图中的钟形曲线是一个函数．那么，这个函数是否存在解析式呢？ 学生思考，通过阅读课本回答函数解析式的形式. 正态密度函数：刻画随机误差分布的解析式：，．其中，为参数．对任意的，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1．称为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，如图所示． 正态分布：若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为．特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布． 若，则取值不超过的概率为图中区域的面积，而为图中区域的面积． 正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布． 例如，某些物理量的测量误差，某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量，自动流水线生产的各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容），某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等，一般都近似服从正态分布． 知识点2：正态曲线的特点 教师提问：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？ 学生观察图象，思考其特征与性质，师生共同总结. 由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点： （1）曲线是单峰的，它关于直线对称； （2）曲线在处达到峰值； （3）当无限增大时，曲线无限接近轴． 教师追问：一个正态分布由参数和完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？ 函数的图象可由的图象平移得到.因此，在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图所示． 当取定值时，因为正态曲线的峰值与成反比，而且对任意的，曲线与x轴之间的区域的面积总为1．因此，当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图所示． 观察上两图可以发现，参数反映了正态分布的集中位置，反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度． 实际上，若有，则，． 在实际问题中，参数，可以分别用样本均值和样本标准差来估计． 例 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布． （1）估计的分布中的参数； （2）根据（1）中的估计结果．利用信息技术工具画出和的分布密度曲线； （3）如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由． 分析：对于第（1）问，正态分布由参数和完全确定，根据正态分布参数的意义，可以分别用样本均值和样本标准差来估计．对于第（3）问，这是一个概率决策问题，首先要明确决策的准则，在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具；然后结合图形，根据概率的表示，比较概率的大小，作出判断． 知识点3：原则 假设，可以证明：对给定的，是一个只与有关的定值．特别地，，，． 上述结果可用下图表示． 由此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，上图通常认为这种情况几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为原则． 跟踪训练 1.已知随机变量X服从正态分布.若，则( ) A.0.21 B.0.395 C.0.42 D.0.79 2.（多选）已知某校有1200名同学参加某次联考，其中每位学生的数学成绩X服从正态分布，则下列说法正确的有( ) A.X的数学期望为100 B.X的方差为15 C.这次考试成绩超过100分的约有500人 D. 3.已知随机变量X服从正态分布，若，，则__________. 通过实际生活中学生熟悉的食盐问题，引发共鸣；让学生充当主人公，思考合理的方法来分析数据，汇总数据；把已学知识与新知识建立联系，为本节课的开始做好准备工作. 利用频率分布直方图直观表示这100个数据的分布情况，其中每个小矩形的面积表示落在相应区间内的频率，设想当观测数据越来越多时，根据频率稳定到概率的原理，就可以用一个非负函数来描述随机变量取值的概率分布，进而引出正态密度函数的概念. 有曲线图象相应地就会出现函数解析式，让学生牢记正态密度函数的标准形式，及正态分布的简单记法，体现数学的严谨性. 渗透数学文化教育，增强学生对生活中正态分布的认识，培养学生对数学知识的应用意识. 通过观察研究曲线的特点，以及控制参数来研究参数对正态曲线的影响，在概括的过程中，锻炼学生观察、猜测、归纳的能力. 利用概率进行实际问题决策，学生体会正态分布在实际问题中的应用，感悟在不同的问题决策中应依据不同的决策准则. 学生观察正态曲线，只能从形的角度得到随机变量大部分取值都分布在某一个区间内，教师引导从量的角度进行证明解释，从而得出原则. 掌握正态分布与概率的关系，感受正态分布在生活中的应用 课堂小结 1.正态曲线及其特点 2.正态分布及其特征 3. 3σ 原则 让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 板书设计 7.5 正态分布 1.正态密度函数与正态分布 2.正态曲线的特点 3. 3σ 原则 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $