7.5正态分布 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 7.5 正态分布   一、教学目标 1.通过误差模型，知道服从正态分布的随机变量是连续型随机变量，提高数学建模的核心素养； 2.通过具体实例等，能说出正态分布的特征，会用面积表示概率，会简单计算正态分布的概率，体会数形结合和转化思想，提高直观想象、数学抽象及数据分析的核心素养题； 3.了解变量落在区间内的概率大小，并用正态分布解决实际问题； 4.能识别正态分布的参数对密度曲线的影响，知道正态分布均值、方差及其含义，并能解决简单的实际问题，提高逻辑推理、数学运算的核心素养.   二、教学重难点 重点：正态分布密度曲线的特点，利用原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题. 难点：描述正态分布随机变量的概率分布.   三、教学过程 （一）复习导入 师生活动：教师提出问题，学生回顾并回答. 思考1：我们已经学过哪几个分布模型？ 答：两点分布、二项分布、超几何分布. 思考2：还记得它们的具体内容吗？ 答：两点分布：对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”， 表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列如表所示 我们称服从两点分布或－分布. 二项分布：一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为, 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作 超几何分布：一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 其中 如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布. . 思考3：除了我们学过的这些分布模型，还有其他的分布吗？ 答：有，还有正态分布. 师生活动：教师提出新颖情境，学生了解. 情境：高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的马克纸币上印有高斯的头像和正态分布曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”． 设计意图：通过回顾上节课的内容以及设立新情境，引入本节新课，引发学生思考，激发学生的学习兴趣，从而引入正态分布的概念. （二）探究新知 任务一：正态分布概念 探究：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为. 由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用表示这种误差，则是一个连续型随机变量. 检测人员在一次产品检验中，随机抽取了袋食盐，获得误差 (单位:) 的观测值如下: 2.6 师生活动：教师出示问题并提出相关问题，引导学生分析、思考. 思考1：(1) 如何描述这个样本误差数据的分布？ 答：根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图(1)所示. 频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为.0 -6 -4 2 0 -2 频率/组距 0.05 0.10 0.15 0.20 4 6 (1) . 思考2：如何构建适当的概率模型刻画误差的分布？ 答：随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图(2)所示. 0 -6 -4 2 0 -2 频率/组距 0.05 0.10 0.15 0.20 4 6 (2) 0 -6 -4 2 0 -2 0.05 0.10 0.15 0.20 4 6 (3) 思考3：根据频率与概率的关系，可用图(3)中的钟形曲线(曲线与水平轴之间的区域的面积为)来描述袋装食盐质量误差的概率分布.由函数知识可知，图(3)中的钟形曲线是一个函数. 那么，这个函数是否存在解析式呢? 答：答案是肯定的. 在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机误差分布的解析式: 正态密度函数：其中为参数. 显然，对任意的，，它的图象在轴的上方，可以证明轴和曲线之间的区域的面积为. 我们称为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. 若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为 特别地，当时，称随机变量服从标准正态分布. 设计意图：通过具体实例，逐步分析、探索出正态分布的概念，让学生对正态分布的定义有一个初步了解和认识，为后面进一步研究正态分布奠定基础. 任务二 正态曲线的性质 思考1：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？ 师生活动：学生独立完成，教师点评. 答： O 由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点: (1) 曲线是单峰的，它关于直线对称； (2) 曲线在处达到峰值； (3) 当 无限增大时，曲线无限接近轴. 思考2：一个正态分布由参数和完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征？ 师生活动：教师提出问题，学生独立完成. 答：由于正态曲线关于对称，因此，当参数固定时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿轴平移，所以参数反映了正态分布的集中位置，可以用均值来估计,故有. 当固定时，因为正态曲线的峰值 与成反比，而且对任意的，正态曲线与轴之间的区域的面积总为. 因此，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量的分布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散.所以反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度，可以用标准差来估计，故有. 设计意图：通过设立问题，引领学生进一步探索正态曲线的性质，深化学生对正态分布的理解，培养学生归纳推理的核心素养. 做一做：李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到: 坐公交车平均用时，样本方差为；骑自行车平均用时，样本方差为. 假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布. (1) 估计的分布中的参数； (2) 根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出和的分布密度曲线; (3) 如果某天有可用，李明应选择哪种交通工具? 如果某天只有可用，又应该选择哪种交通工具? 请说明理由. 师生活动：学生独立完成，教师根据学生的作答情况给予点评，并出示解答过程. 分析：对于第(1)问，正态分布由参数和完全确定，根据正态分布参数的意义，可以分别用样本均值和样本标准差来估计. 对于第(3)问，这是一个概率决策问题, 首先要明确决策的准则, 在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具；然后结合图形，根据概率的表示，比较概率的大小，作出判断． 解：（1）随机变量的样本均值为，样本标准差为；随机变量的样本均值为，样本标准差为. 用样本均值估计参数，用样本标准差估计参数，可以得到 (2) 由(1)得，，作出和的分布密度曲线如图所示. （3）应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.由图可知， 因为，所以即又因为，所以，如果有38可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有34 可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车. 设计意图：通过练习的学习，帮助学生熟悉正态分布性质，掌握利用正态分布求概率的方法. 任务三 正态分布的应用 思考1：正态曲线与轴所夹面积有什么特点？ 师生活动：学生独立思考，尝试解答思路，然后再进行小组讨论交流，学生代表回答，教师引导点拨. 答：1. 思考2：对称区域面积有什么特点？ 答：对称区域面积相等. 思考3：有上述特点可以得到有关于概率的什么结论？ 答：正态曲线下对称区域的面积相等能得到对应的概率也相等. 做一做：若，且，则0 1 2 -1 -2 -3 3 4 (1) (2) (3) (4) (5) 师生活动：学生独立完成，教师根据学生的作答情况给予点评，并出示解答过程. 分析：由正态分布图像的对称性以及面积与概率的关系进行求解. 解：(1) (2) (3) (4)； (5) 思考4：是否有特殊区间有固定概率？ 答：假设，可以证明: 对给定的，是一个只与有关的定值. 特别地，. 上述结果可用右图表示. 由此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则. 设计意图 通过自主思考、小组合作探究，猜想与证明，得到解决正态分布问题的核心思路和方法. （三）应用举例 例1： 一个正态曲线图象如图所示,则随机变量的样本均值 ,样本方差 .  师生活动：教师出示例题，并指导学生分析解题思路，让学生利用正态分布来解决问题. 分析：由题图知,该正态曲线关于直线对称,最大值是,则，解得，因此. 解：； 总结：利用正态曲线的性质求参数 (1)正态曲线是单峰的，它关于直线对称，由此性质结合图象求. (2)正态曲线在处达到峰值，由此性质结合图象求. 例2：(1)已知随机变量服从正态分布，若，则(　　) 0.477 0.625 .0.954 0.977 (2)随机变量服从正态分布，若，则 (　　) 分析：(1)因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称. 又因为， 所以 所以 (2)因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称，所以，所以. 答：(1)　(2) 总结：正态分布的随机变量在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的区域的面积为. (2)熟记的值. (3)注意概率值的求解转化: ①; ② ③若，则. 例3：在某次数学考试中,考生的成绩服从正态分布. (1)求考试成绩落在区间(70,110)内的概率； (2)若这次考试共有2 000名考生参加,试估计考试成绩落在区间(80,100)内的考生人数. 分析： 解：因为，所以. (1)由，得 由于正态变量在区间内取值的概率约是， 故考试成绩落在区间内的概率约是. (2)由得由于正态变量在区间内取值的概率约是，故考试成绩落在区间内的概率约是0.6827.这次考试共有名考生，则估计考试成绩落在区间内的考生有人. 总结：正态曲线的应用及求解策略 解答此类题目的关键在于首先将待求问题的正态变量的取值范围向 三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应的概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想. 设计意图：通过例题的学习，深化学生对正态分布的理解与应用. （四）课堂练习 1.设随机变量，且，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：根据题意可知，正态曲线关于对称， ，则， 故， 故选A． 2.在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分曲线为正态分布的密度曲线的点的个数的估计值为(    ) 附：若，则，． A. B. C. D. 【答案】C  解：由正态分布的密度曲线的几何意义，知题中阴影部分的面积为，则阴影部分的面积为，故估计落入阴影部分的点的个数为． 故选C． 3.已知三个正态分布密度函数其中，为自然对数的底数的图象如图所示，则下列结论正确的是． A. B. C. D. 【答案】C  解：正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，  根据图象知，第一个曲线的均值比第二和第三个均值小，且二，三两个的均值相等，  ，故B、D错误； 越小图象越瘦高，  根据图象知，第一个图象的等于第二个图象的，且第二个图象的比第三个的要小，  ，所以A错误，C正确． 4.年辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市将全部采用“”的新高考模式．“”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有人选考物理，考后物理成绩满分分服从正态分布． 分别估计成绩在和分以上者的人数；运算过程中精确到，最后结果保留为整数 附：，，． 本次考试物理成绩服从正态分布令，则，若本次考试物理成绩的前划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分 附：若，则． 解：正态分布， 所以 成绩在的人数约为人 由正态分布曲线的对称性可得： ， 则 所以估计分以上的人数约为人 设该划线分为，由得， 令 由题意因为，，所以 所以，所以  设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况. （五）归纳总结 回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $