3.3 复数的几何表示-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

3．3　复数的几何表示 [课标解读]　1．通过实例了解复平面的点与复数的一一对应关系．2．通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系．3．通过向量的模表示复数的模． 知识点一　复数的几何意义 1．复平面：复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用直角坐标平面内唯一一点Z(a，b)来表示，也可用平面内唯一向量表示．如图： 2．复数的几何意义 [点拨]　(1)复平面内点的坐标与复数的实部和虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示； (2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数； (3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 学生用书第70页 知识点二　复数的模与共轭复数 名称 定义 表示(记法) 备注 复数 的模 对任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)，我们将它在复平面上所对应的向量的模 称为复数z的模，也称为z的绝对值 复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi| 公式：|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R) 共轭 复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数 若z＝a＋bi(a，b∈R)，则共轭复数＝a－bi ①|z|＝|z|＝ ②z＝a2＋b2＝|z|2＝||2 [点拨]　(1)|z|＝1表示复平面上的单位圆． (2)复平面上两点P，Q关于x轴对称它们所对应的复数互为共轭复数． 知识点三　复数加减法的几何意义 　如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为，，四边形OQSP为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是． [点拨]　满足向量加、减法的平行四边形法则和三角形法则． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点．(　　) (2)实轴和虚轴的单位都是1．(　　) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．(　　) (4)复数与复平面内的无数多个向量对应．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝(　　) A．2 B．5 C． D．4 C　[由题意可知z＝－1＋2i，所以|z|＝．] 3．若复数a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) B　[因为z＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1，1－a)，又因为此点在第二象限，所以解得a＜－1．故选B．] 4．复数的共轭复数是__________． 解析：　因为复数＝＝－i，所以它的共轭复数为：＋i． 答案：　＋i 探究点一　复数与复平面内点的关系 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二、四象限； (3)在直线y＝x上． 分别求实数m的取值范围． 解析：　复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10． (1)由题意得，m2－2m－8＝0． 解得m＝－2或4． (2)由题意得，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)＜0． ∴2＜m＜4或－5＜m＜－2，即m∈(－5，－2)∪(2，4)． (3)由题意得，m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝． 学生用书第71页 利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据； (2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．　　 即时练1．在复平面内，复数z＝(m2－5m＋4)＋(m2－2m)i对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(1，2) B．(0，1) C．(－∞，2)∪(4，＋∞) D．(2，4) B　[由题意，得∴ 解得0＜m＜1，故选B．] 探究点二　复数与复平面内的向量 (1)已知复平面中，O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　) A．－5＋5i B．5－5i C．5＋5i D．－5－5i (2)在复平面内，O为原点，向量表示的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量表示的复数为(　　) A．－2－i B．－2＋i C．1＋2i D．－1＋2i 解析：　(1)向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝(2，－3)，＝(－3，2)． 由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3