6.2 导数与函数的单调性（讲义）高二数学人教B版选择性必修第三册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 选修三第六章导数 6.2导数与函数的单调性 知识网络 理清脉络 钢举朗轮 单 调 函数v=x)在区间(a,)上可导， 1.且在区间(a,b上恒有fx)>o,则x)在(a,b)上单调递增： 概 2.且在区间(a,b)上恒有f)<0,则x)在(a,b)上单调递减： 念 3.且在区间(a,b)上恒有f)=0,则x)在(a,b)上是常数函数： 由导数判断函 数的单调性 注 (1)某区间内fx>0(气x)0)是)在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件. 意 (2)在函数定义域内讨论导数的符号， 点 (③)两个或多个增（减）区间之间的连接符号，不用“U”,可用“，”或用“和”. 第1步，确定函数的定义域，求出导函数f(x): 由导数判断函数的 第2步，求出导函数/x)的零点： 单调性（不含） 数与函 法 第3步，用/(x)的零点将x)的定义域划分为若干个区间，列表给出) 在各区间上的正负，由此得出函数，=x)在定义域内的单调性. 由导数判断函数的 单调性（合参） 题 骤 第1步，确定函数的定义域，求出导函数： 导数图象与原函 识 法 数图象的关系 第2步，解不等式f(x)>0,结合定义域得到递增区间： 或解不等式fx)<0得到递减区间： 已知单调性求参 类 的 理 可导函数x)在(a,)上 数取值范围 1.单调递增，则f(x)≥在(a,b)上恒成立： 2.单调递减，则f)so在(a,b)上恒成立； 调 3.是常数函数，则f(x)=0在(a,b)上恒成立： 注意：已知函数增（减）时前提是： 性 f)在(a,)上的任何子区间内都不恒等于零)： 己知单调性求参 数取直范制 可导函数x)在(a,b)上存在 1.单调递增区间，则r)>0在(a,b)上有解： 区间 2.单调递增区间，则f(x)<0在(a,b)上有解： 知识梳理 梳理教材 ▲办实基础 分知识点一【 由导数判断函数的单调性 (一)概念：函数y=x)在区间(a,b)上可导， 1.且在区间(a,b)上恒有f'(x)>0,则fx)在(a,b)上单调递增： 2.且在区间(a,b)上恒有f(x)<0,则fx)在(a,b)上单调递减； 3.且在区间(a,b)上恒有f(x)=0,则x)在(a,b)上是常数函数： (二)注意点： (1)在某区间内x)>0(x)下0)是函数x)在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件. (②)在函数定义域内讨论导数的符号 (3)两个或多个增（减）区间之间的连接符号，不用“U”,可用“，”或用“和” (三)由导数判断函数单调性的步骤 方法一：第1步，确定函数的定义域，求出导函数x): 第2步，求出导函数fx)的零点： 第3步，用x)的零点将)的定义域划分为若干个区间，列表给出x)在各区间上的正负，由此得出函数 y=x)在定义域内的单调性 方法二：第1步，确定函数的定义域，求出导函数x): 第1页共10页 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第2步，解不等式f(x)>0,结合定义域得到递增区间： 或解不等式f(x)<0得到递减区间： 。即学即练 1.(24-25高二下·重庆·月考)函数f(x)=xex的单调递减区间是() A.(-∞，1) B.（-∞，-1) C.(-1,+∞) D.(1,+o) 2.(多选25-26高二上山东期末)下列函数在区间[1,4纠上不单调递增的是() A.f()= B.f(x)= C.f(x)=xlnx D.f(x)=x-Inx2 ◇知识点二 已知函数的单调性求参数（范围） (一)已知函数的单调性： 1.可导函数x)在(a,b)上单调递增，则f'(x)≥0在(a,b)上恒成立： 2.可导函数x)在(a,b)上单调递减，则f(x)≤0在(a,b)上恒成立： 3.可导函数x)在(a,b)上是常数函数，则f(x)=0在(a,b)上恒成立： 注意：已知函数增（减）时前提是：f(x)在(，b)上的任何子区间内都不恒等于零)； (二)存在单调区间： 可导函数fx)在(a,b)上存在单调递增区间，则f(x)>0在(a,b)上有解： 可导函数fx)在(a,b)上存在单调递增区间，则f(x)<0在(a,b)上有解： 《◇即学即练 1.(23-24高二下.山东东营·期末)己知函数f(x)=nx-mx,若函数f(x)在[1,2]上单调递减，则实数m的最小 值为) A.1 C.2 D.2W2 2.(多选)(24-25高二下.四川资阳月考)已知函数f()=lnx-a2-2x存在单调递减区间，则实数a的取值可 以是( A.-1 B.1 C.-2 D.2 题型突破 抓住棱心 突破重点 第2页共10页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ◆题型01由导数判断函数的单调性（不含参） 点方法 求导，判断导数正负，得到单调性」 奥例精1杨 1.(24-25高二下·河北邢台·月考)函数f(x)=e-ex的单调递增区间是() A.[1,+∞) B.(-∞，1] C.[0,+o) D.(-∞，0] 2.(25-26高二下.全国·课后作业)下列函数中，在(0，+∞)内为增函数的是() A.y=sinx B.y=xe2 C.y=x3-x D.y=Inx-x 3.(多选(25-26高二上·黑龙江哈尔滨期末)下列函数中，在(1，+∞)上单调递增的是() Ay=受 B.y=xlnx C.y= D.y=x-sinx 4.(2425高二下.河南商丘.月考)设函数f(x)=2Qx2+3x-x,当a=4时，f(x)的单调递减区间为 辩易猪 已知函数增（减）时前提是：f'(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒等于零)： 1.(25-26高二上·上海期末)已知函数y=f(x),定义域为R.任取xo∈R,导函数f(xo)始终存在.那么f(x)≥0 是y=f(x)在R上是严格增函数的)条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 变「武巩「固 1.(21-22高二下河南南阳·月考)函数f(x)=x-二e的单调递减区间是() A.(-o,ln2) B.(n2,+o) C.(-0∞，2) D.(2,+0) 2.(25-26高二下·全国课后作业)设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f(x)为R上的增函数的充要条件是 () A.b2-4ac>0B.b>0,c>0 C.b=0,c>0D.b2-3ac≤0 3.(25-26高二上北京朝阳·期末)对于定义域为R的函数f(x),若存在m∈R使得f(x)在区间(-∞，m]上单调递 增，在区间[m,+o)上单调递减，则称函数f(x)为R上的单峰函数.下列函数中为R上的单峰函数的是() A.f(x)=x+2sinx B.f(x)=x e C.f(x)=-x2+3x-1D.f(x)=(x-1)e 第3页共10页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25高二下·北京西城期末)下列函数中，既是奇函数，又在R上单调递增的是() A.f(x)=x3-x B.f(x)=x3+1 C.f(x)=x3+x D.f(x)=x3+x2 5.(多选24-25高二下江苏苏州月考)若函数f()在定义域D内的某个区间I上是单调增函数，且F()= 7 在区间1上也是单调增函数，则称y=fx)是I上的“一致递增函数”已知f)=x+三，若函数f()是区间1 上的”一致递增函数”，则区间I可能是() A.(-0,-2) B.(-∞，-1) C.(0,+o) D.(2,+o) 62425高一上陕西西安期末已知实数%n满足-m=-1m-1n(2e029=0,则 2 n mn= 题型突破 抓住核心 A突效重点 >题型02由导数判断函数的单调性（含参） 点方 一分类讨论 奥例引精引韧 1.(2024广东·模拟预测)已知函数f(x)=(1-m)·m-3-n,其中m>0且m≠1，n∈R,则f(x)的单调性() A.与m有关，与n有关 B.与m有关，与n无关 c.与m无关，与n有关 D.与m无关，与n无关 2.(22-23高二下…湖南岳阳·期末)己知函数f(x)=x2-alx+1在(1,3)上不是单调函数，则实数α的取值范围 是() A.(2,18) B.[2,18] C.(-∞，2)U[18,+∞) D.[2,18) 3.(多选24-25高二下·湖北武汉·期末)已知f(x)=logax3-6ax(a>0且a≠1)在区间(2,3)上单调递减，则 实数a的取值可以是() A B. C. D.2 4.(24-25高二下.安徽滁州期末部分)已知函数f(x)=ax+二+(a-1)nx(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性： 第4页共10页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 辩易猪 分类要做到：不重不漏： 1.(24-25高二下.全国课后作业)设函数f(x)=x2+ax-3a2lnx,其中a∈R.讨论f(x)的单调性. 变式巩回 1.(2024高二·上海.专题练习部分)设函数f(x)=a2x2+ax-3nx+1,其中a>0. (2)讨论y=f(x)的单调性： 2.(2023高二·全国.专题练习)已知函数f()=lnx+2ax2+(a+1)x,a∈R.讨论函数f()的单调性. 3.(2023高三.全国.专题练习)已知函数f(x)=alx+2x,讨论函数f(x)的单调性： 第5页共10页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(21-22高二下.西藏林芝，期末部分)已知函数f(x)=2x3-ax2+b. (2)讨论f(x)的单调性， 5.(21-22高二全国.课后作业)设函数f(x)=ex-ax-2,求f(x)的单调区间. 6.(25-26高二上浙江舟山-期末)已知函数f()=ax-nx-3 (2)讨论f(x)的单调性： 题型突破 抓住核心 突欧重点 峰题型03导数图象与函数图象的关系 点方法 奥例引精胡 1.(25-26高二上宁夏石嘴山·月考)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则(） 第6页共10页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.f(3)<f(4)<f(4-f3) B.f(4>f(4)-f(3)>f(3) c.f(4<f(3)<f(4-f3) D.f(4)-f(3)<f(3)<f(4) 2.(25-26高二下·全国·课堂例题)设f《x)是函数f(x)的导函数，将y=f(x)和y=f(x)的图象画在同一个直角 坐标系中，不正确的是() B.C 3.(多选24-25高二下四川成都期中)己知函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x) 的图象不可能是() .10 i.、 4.(23-24高二下湖北黄冈月考)如图所示为函数f)的图象，则不等式但<0的解集为 x-1 y=x)/ 0 辩易绪 注意变量的取值范围 1(21-22高二下四川成都月考)已知在R上可导的函数f)的图象如下图所示，则不等式-f@>0的解集 f(x) 1 变武巩固 第7页共10页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26高二下…全国·课堂例题)函数y=f(x)的图像如图所示，则() 02 A.f(3)>0 B.f'3)<0C.f'(3)=0D.f(3)的正负不确定 2.(25-26高二上·重庆沙坪坝.期末)已知函数f(x)与其导函数f(x)的图象如图所示，则() 曲线M ---曲线N A.曲线M为函数f'(x)的图象 B.f(-1)>f) C.f)在()单调递增 D.f,在(0，)单调递减 3.(25-26高二下·全国课后作业)己知函数y=xf(x)的图象如图所示（其中f'(x)是函数f(x)的导函数），下面四 个图象中y=f(x)的图象大致是() -1 。。￥ 4.(25-26高二上全国·期末)已知函数f(x)的部分图象如图所示，其导函数为f(x),则() A.f'(x1)>f(x2)>f(x3) B.f(x1)>f'(x3)>f(x2) C.f(x3)>f'(x2)>f(x1) D.f(x2)>f(x3)>f(x1) 5.(多选24-25高二下·江苏苏州期中)若函数y=f(x),其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则 下列叙述正确的是() A.f(x)在x=-1与x=1处的瞬时增长率相同B.f(x)在[-1,1]上不单调 C.y=f(x)可能为奇函数 D.f(1.2)+f(1)>2f(1.1) 第8页共10页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x 6.(24-25高二下·云南临沧期中)已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2-2x-3)f(x)<0的 解集 题型突破 抓住核心 A突破重点 。题型O4已知单调性求参数取值范围 点方法 已知单调性→不等式恒成立→解得结论 奥1例引精杨 122-23高二下·福建宁德期中)若函数f)=-x2+ax在R上是增函数，则实数a的取值范围为) A.a>1 B.a<1 C.a≤1 D.a≥1 2.(2026高二下·福建福州.专题练习)若函数f()=lnx-2ax2-2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 () A.(-0,1) B.(-0,1] C.（-1,+∞) D.[-1,+0) 3.(多选)24-25高二下-湖北武汉月考)若函数f()=x+ax2-2在区间（作，2）内存在单调递增区间，则实数 a的取值可以为) A.a=-3 B.a=-2 C.a=-1 D.a=0 4.(25-26高二下.河南开封开学考试)已知函数f(x)=x2+mx+nx是单调递增函数，则m的最小值是 辨易猪 正确区分：(1)单调区间是D,(2)在区间D上单调 第9页共10页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26高二下.全国·课后作业)已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.(1)若f(x)的单调减区间为(-1,1)， 则a的取值集合为 (2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减，则a的取值集合为 变1武1巩1固 1.(21-22高二下.广东中山·月考)设函数f(x)=x3-27nx在区间[a-1,a+1]上单调递减，则实数a的取值 范围是() A.(1,2] B.[4,+∞) C.(-∞，2] D.(0,3] 2.(24-25高二下湖北孝感·月考)若函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调 函数，则实数k的取值范围是() A(1,引 B.1, c.（) . 3.(25-26高二上安徽六安期末)已知函数f(x)=ex-二ax2+5在(0，+o∞)上单调递增，则a的最大值是() 2 A.1 B.e C.2 0.日 4.(24-25高二下山西·期中)己知函数f(x)= (-x2+4x+a2,x<a,在R上单调，则实数a的取值范围是() 4xn(x+1),x≥a A.[0,2] B.[0,+∞) c.{oU[e-1,4D.{0U[e-1,2] 5.(多选21-22高二下·福建龙岩·期中)己知定义在(1，+∞)上的函数f(x)的导函数为f(x),对任意的x>1, 都有兰+f'()hx+1=0,且f(e)=2-三，则满足不等式[2-fxn2<2的x的值可以是(） A.2 B.e C.3 D.4 62025高二全国专题练习)若对0<名<<a都有n(图<2x2一2x成立，侧则a的最大值为 第10页共10页 选修三 第六章 导数 6.2 导数与函数的单调性 知识点一 由导数判断函数的单调性 (一)概念：函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导， 1.且在区间上恒有，则f(x)在(a，b)上单调递增； 2.且在区间上恒有，则f(x)在(a，b)上单调递减； 3.且在区间上恒有，则f(x)在(a，b)上是常数函数； (二)注意点： (1).在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． (2)在函数定义域内讨论导数的符号． (3)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”． (三)由导数判断函数单调性的步骤 方法一：第1步，确定函数的定义域，求出导函数f′(x)； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 方法二：第1步，确定函数的定义域，求出导函数f′(x)； 第2步，解不等式，结合定义域得到递增区间； 或解不等式得到递减区间； 即学即练 1.(24-25高二下·重庆·月考)函数的单调递减区间是(   ) A． B． C． D． 2.(多选)(25-26高二上·山东·期末)下列函数在区间上不单调递增的是(   ) A． B． C． D． 知识点二 已知函数的单调性求参数(范围) (一)已知函数的单调性： 1.可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则在(a，b)上恒成立； 2.可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则在(a，b)上恒成立； 3.可导函数f(x)在(a，b)上是常数函数，则在(a，b)上恒成立； 注意：已知函数增(减)时前提是：′在上的任何子区间内都不恒等于零)； (二)存在单调区间： 可导函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则在(a，b)上有解； 可导函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则在(a，b)上有解； 即学即练 1.(23-24高二下·山东东营·期末)已知函数，若函数在上单调递减，则实数m的最小值为(    ) A．1 B． C．2 D． 2.(多选)(24-25高二下·四川资阳·月考)已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是( ) A．-1 B．1 C．-2 D．2 题型01 由导数判断函数的单调性(不含参) 求导，判断导数正负，得到单调性. 典｜例｜精｜析 1.(24-25高二下·河北邢台·月考)函数的单调递增区间是(    ) A． B． C． D． 2.(25-26高二下·全国·课后作业)下列函数中，在内为增函数的是(    ) A． B． C． D． 3.(多选)(25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末)下列函数中，在上单调递增的是(   ) A． B． C． D． 4.(24-25高二下·河南商丘·月考)设函数，当时，的单调递减区间为______． 已知函数增(减)时前提是：′在上的任何子区间内都不恒等于零). 1.(25-26高二上·上海·期末)已知函数，定义域为.任取，导函数始终存在.那么是在上是严格增函数的(    )条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 变｜式｜巩｜固 1.(21-22高二下·河南南阳·月考)函数的单调递减区间是(   ) A． B． C． D． 2.(25-26高二下·全国·课后作业)设，则为R上的增函数的充要条件是(   ) A． B． C． D． 3.(25-26高二上·北京朝阳·期末)对于定义域为的函数，若存在使得在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称函数为上的单峰函数．下列函数中为上的单峰函数的是(   ) A． B． C． D． 4.(24-25高二下·北京西城·期末)下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是(   ) A． B． C． D． 5.(多选)(24-25高二下·江苏苏州·月考)若函数在定义域D内的某个区间I上是单调增函数，且在区间I上也是单调增函数，则称是I上的“一致递增函数”.已知，若函数是区间I上的“一致递增函数”，则区间I可能是(    ) A． B． C． D． 6.(24-25高一上·陕西西安·期末)已知实数满足，则__________. 题型02 由导数判断函数的单调性(含参) 分类讨论 典｜例｜精｜析 1.(2024·广东·模拟预测)已知函数，其中且，则的单调性(    ) A．与有关，与有关 B．与有关，与无关 C．与无关，与有关 D．与无关，与无关 2.(22-23高二下·湖南岳阳·期末)已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3.(多选)(24-25高二下·湖北武汉·期末)已知在区间上单调递减，则实数的取值可以是(    ) A． B． C． D． 4.(24-25高二下·安徽滁州·期末部分)已知函数． (1)讨论的单调性； 分类要做到：不重不漏. 1.(24-25高二下·全国·课后作业)设函数，其中．讨论的单调性． 变｜式｜巩｜固 1.(2024高二·上海·专题练习部分)设函数，其中. (2)讨论的单调性； 2.(2023高二·全国·专题练习)已知函数，.讨论函数的单调性. 3.(2023高三·全国·专题练习)已知函数，讨论函数的单调性； 4.(21-22高二下·西藏林芝·期末部分)已知函数． (2)讨论的单调性． 5.(21-22高二·全国·课后作业)设函数，求的单调区间． 6.(25-26高二上·浙江舟山·期末)已知函数． (2)讨论的单调性： 题型03 导数图象与函数图象的关系 典｜例｜精｜析 1.(25-26高二上·宁夏石嘴山·月考)已知函数的部分图象如图所示，则( ) A． B． C． D． 2.(25-26高二下·全国·课堂例题)设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(    ) A． B． C． D． 3.(多选)(24-25高二下·四川成都·期中)已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象不可能是(   ) A． B． C． D． 4.(23-24高二下·湖北黄冈·月考)如图所示为函数的图象，则不等式的解集为_____    注意变量的取值范围 1.(21-22高二下·四川成都·月考)已知在R上可导的函数的图象如下图所示，则不等式的解集为______． 变｜式｜巩｜固 1.(25-26高二下·全国·课堂例题)函数的图像如图所示，则(   ) A． B． C． D．的正负不确定 2.(25-26高二上·重庆沙坪坝·期末)已知函数与其导函数的图象如图所示，则(   )    A．曲线为函数的图象 B． C．在单调递增 D．在单调递减 3.(25-26高二下·全国·课后作业)已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是(    ) A． B． C． D． 4.(25-26高二上·全国·期末)已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则( ) A． B． C． D． 5.(多选)(24-25高二下·江苏苏州·期中)若函数，其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是(   ) A．在与处的瞬时增长率相同 B．在上不单调 C．可能为奇函数 D． 6.(24-25高二下·云南临沧·期中)已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集______． 题型04 已知单调性求参数取值范围 已知单调性不等式恒成立解得结论. 典｜例｜精｜析 1.(22-23高二下·福建宁德·期中)若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 2.(2026高二下·福建福州·专题练习)若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 3.(多选)(24-25高二下·湖北武汉·月考)若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为(    ) A． B． C． D． 4.(25-26高二下·河南开封·开学考试)已知函数是单调递增函数，则的最小值是____________. 正确区分：(1)单调区间是，(2)在区间上单调. 1.(25-26高二下·全国·课后作业)已知函数.(1)若的单调减区间为，则的取值集合为________；(2)若在区间内单调递减，则的取值集合为________. 变｜式｜巩｜固 1.(21-22高二下·广东中山·月考)设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2.(24-25高二下·湖北孝感·月考)若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3.(25-26高二上·安徽六安·期末)已知函数在上单调递增，则的最大值是(   ) A．1 B． C．2 D． 4.(24-25高二下·山西·期中)已知函数在上单调，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 5.(多选)(21-22高二下·福建龙岩·期中)已知定义在上的函数的导函数为，对任意的，都有，且，则满足不等式的的值可以是(    ) A．2 B．e C．3 D．4 6.(2025高二·全国·专题练习)若对都有成立，则的最大值为_____. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 选修三第六章导数 6.2导数与函数的单调性 知识网络 理清脉络 钢举朗轮 单 调 函数v=x)在区间(a,)上可导， 1.且在区间(a,b上恒有fx)>o,则x)在(a,b)上单调递增： 概 2.且在区间(a,b)上恒有f)<0,则x)在(a,b)上单调递减： 念 3.且在区间(a,b)上恒有f)=0,则x)在(a,b)上是常数函数： 由导数判断函 数的单调性 注 (1)某区间内fx>0(气x)0)是)在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件. 意 (2)在函数定义域内讨论导数的符号， 点 (③)两个或多个增（减）区间之间的连接符号，不用“U”,可用“，”或用“和”. 第1步，确定函数的定义域，求出导函数f(x): 由导数判断函数的 第2步，求出导函数/x)的零点： 单调性（不含） 数与函 法 第3步，用/(x)的零点将x)的定义域划分为若干个区间，列表给出) 在各区间上的正负，由此得出函数，=x)在定义域内的单调性. 由导数判断函数的 单调性（合参） 题 骤 第1步，确定函数的定义域，求出导函数： 导数图象与原函 识 法 数图象的关系 第2步，解不等式f(x)>0,结合定义域得到递增区间： 或解不等式fx)<0得到递减区间： 已知单调性求参 类 的 理 可导函数x)在(a,)上 数取值范围 1.单调递增，则f(x)≥在(a,b)上恒成立： 2.单调递减，则f)so在(a,b)上恒成立； 调 3.是常数函数，则f(x)=0在(a,b)上恒成立： 注意：已知函数增（减）时前提是： 性 f)在(a,)上的任何子区间内都不恒等于零)： 己知单调性求参 数取直范制 可导函数x)在(a,b)上存在 1.单调递增区间，则r)>0在(a,b)上有解： 区间 2.单调递增区间，则f(x)<0在(a,b)上有解： 知识梳理 梳理教材 ▲办实基础 分知识点一【 由导数判断函数的单调性 (一)概念：函数y=x)在区间(a,b)上可导， 1.且在区间(a,b)上恒有f'(x)>0,则fx)在(a,b)上单调递增： 2.且在区间(a,b)上恒有f(x)<0,则fx)在(a,b)上单调递减； 3.且在区间(a,b)上恒有f(x)=0,则x)在(a,b)上是常数函数： (二)注意点： (1)在某区间内x)>0(x)下0)是函数x)在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件. (②)在函数定义域内讨论导数的符号 (3)两个或多个增（减）区间之间的连接符号，不用“U”,可用“，”或用“和” (三)由导数判断函数单调性的步骤 方法一：第1步，确定函数的定义域，求出导函数x): 第2步，求出导函数fx)的零点： 第3步，用x)的零点将)的定义域划分为若干个区间，列表给出x)在各区间上的正负，由此得出函数 y=x)在定义域内的单调性 方法二：第1步，确定函数的定义域，求出导函数x): 第1页共26页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第2步，解不等式f(x)>0,结合定义域得到递增区间： 或解不等式f(x)<0得到递减区间： 。即学即练 1.(24-25高二下·重庆·月考)函数f(x)=xex的单调递减区间是() A.(-∞，1) B.（-∞，-1) C.(-1,+∞) D.(1,+o) 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】首先求导得到f(x)=ex(x+1),再解不等式f(x)<0即可 【详解】f(x)=ex+xe=e(x+1),令f(x)<0,解得x<-1. 所以x∈(-o,-1),f(x)<0,f(x)为减函数. 故选：B 2.(多选)25-26高二上山东期末)下列函数在区间[1,4上不单调递增的是() A.F)= B.f(x=点c.f)=xr D.f(x)=x-Inx2 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】对A选项，根据解析式判断函数单调性，对B,C,D选项，求导并利用导数正负判断函数单调性 【详解】在A选项中，f因=是的定义域为(-∞，2)u(2,+o),f)在[1,2)上单调递增，在(2,4上单调 递增，不满足在[1,4纠上单调递增， 在B选项中，因为f()=号≤0，所以f)在[1,4上单调递减，不满足在[，4上单调递增， 在C选项中，因为f(x)=x+1>0,所以f(x)在[1,4上单调递增， 在D选项中，因为f四=1-是号，在区间1,2)上，fy<0,f)单调递减，在区间(2,4上，f)>0, f(x)单调递增，所以不满足在[1,4④上单调递增， 故选：ABD. 《◇知识点二已知函数的单调性求参数（范围） (一)已知函数的单调性： 1.可导函数x)在(a,b)上单调递增，则f(x)≥0在(a,b)上恒成立： 2.可导函数x)在(a,b)上单调递减，则f(x)≤0在(a,b)上恒成立： 3.可导函数x)在(a,b)上是常数函数，则f(x)=0在(a,b)上恒成立： 第2页共26页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 注意：已知函数增（减）时前提是：f'(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒等于零)： (二)存在单调区间： 可导函数x)在(a,b)上存在单调递增区间，则f(x)>0在(a,b)上有解； 可导函数fx)在(a,b)上存在单调递增区间，则f(x)<0在(a,b)上有解： 。即学即练 1.(23-24高二下.山东东营·期末)己知函数f(x)=nx-mx,若函数f(x)在[1,2]上单调递减，则实数m的最小 值为) A.1 C.2 D.2W2 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据单调性可得导函数f(x)=-m≤0在[1,2☑上恒成立即可求解。 【详解1由f=x一mx在L,2上单调道减，可得f仞-m≤0在.a上恒成立，故m≥（月x 所以m≥1， 故选：A 2.(多选24-25高二下四川资阳·月考)已知函数f()=nx-r2-2x存在单调递减区间，则实数α的取值可 以是( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先对函数进行求导，再根据导数小于零有解来确定α的取值范围即可. 【详解】f)=lrx-ax2-2x的定义域为(0，+o),f()=-r-2, 函数f()=x-0r2-2x存在单调递减区间， “f)=-ax-2<0在0，+o)上有解，即时-<a在(0，+)止有解， 令y=3-=很-10-1≥1 故a>-1,结合选项可知，B,D正确；A,C错误. 故选：BD 题型突破 抓住核心 A突破重点 第3页共26页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型01由导数判断函数的单调性（不含参） 点方法 求导，判断导数正负，得到单调性」 奥例精1杨 1.(24-25高二下·河北邢台·月考)函数f(x)=ex-ex的单调递增区间是() A.[1,+∞) B.(-∞，1] C.[0,+o) D.(-∞，0] 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参人导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】先求出导函数，再根据导函数大于等于0得出函数增区间即可， 【详解】因为f(x)=e*-e,所以当x≥1时，f(x)≥0，即f(x)的单调递增区间是[1，+o). 故选：A 2.(25-26高二下.全国课后作业)下列函数中，在(0，+∞)内为增函数的是()】 A.y-sinx B.y=xe2 C.y=x3-x D.y=Inx-x 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据解析 式直接判断函数的单调性 【分析】根据三角函数、一次函数的单调性即可判断A、B:根据导数与单调性的关系即可判断C、D. 【详解】对于A,y=six在(0，+o)上有增有减，故A不满足题意 对于B,因e2为大于零的常数，所以y=xe2为一次函数，在(0，+∞)内为增函数，故B满足题意. 对于c,y=3x2-1=3(x+(-)当xe(0,)时，y<0:当xe(停+)时，y>0 故函数在（气，+∞）上为增函数，在(0，写上为减函数，故C不满足题意。 对于D,y'=1-1(x>0),当x∈(0,1)时，y>0:当x∈(1，+∞)时，y<0 故函数在(1，+∞)上为减函数，在(0,1)上为增函数，故D不满足题意 3.(多选25-26高二上·黑龙江哈尔滨.期末)下列函数中，在(1，+∞)上单调递增的是() A.y=受 B.y=xInx c.y- D.y=x-sinx 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用导数分析各函数在(1，+∞)上的单调性，可得出合适的选项. 第4页共26页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】对于A选项，对函数y-求导得y=--上 x2 x2 当1<x<e时，y'>0:当x>e时，y'<0. 故函数y=在(1，©)上单调递增，在(e,+四)上单调递减，A不符合条件， 对于B选项，对函数y=xx求导得y'=lx+1,当x>1时，y'>0. 故函数y=xx在(1，+oo)上单调递增，B符合条件： 对于C选项，对函数y=二求导得y=,当x>1时，y>0. x2 故函数y=g在(1，+∞)上单调递增，C符合条件： 对于D选项，对函数y=x-sinx求导得y'=1-cosx≥0对任意的xE(1,+oo)恒成立， 故函数y=x-sinx在(1，+oo)上单调递增，D符合条件， 故选：BCD 4.(24-25高二下.河南商丘·月考)设函数f()=2ax2+3x-lx,当a=4时，f()的单调递减区间为 【答案】(0，) 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，由f(x)<0求解即可 【详解】由a=4,可得f(x)=2x2+3x-lnx,x>0, f()=4x+3-1=443x-1 由f(<0,可得：+3=1<0， 又x>0,可得：4x2+3x-1<0,解得：0<x< 所以f()的单调递减区间为(0，)， 故答案为： (.) 辨易猪 已知函数增（减）时前提是：f'(x)在(，b)上的任何子区间内都不恒等于零) 1.(25-26高二上·上海期末)已知函数y=f(x),定义域为R.任取x∈R,导函数f(xo)始终存在.那么f(x)≥0 是y=f(x)在R上是严格增函数的)条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、用导数判断或证明已知函数的单调性 第5页共26页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断。 【详解】若f(x)=3,则f(x)=0,满足f(x)≥0，但f(x)不是严格增函数。 所以f(x)≥0，推不出f(x)是严格增函数 若f(x)是严格增函数，则f(x)≥0恒成立.所以f(x)是严格增函数，能推出f(x)≥0恒成立. 所以f(x)≥0是f(x)是严格增函数的必要不充分条件. 故选B. 变1武1巩固 1.(21-22高二下河南南阳月考)函数f)=x-的单调递减区间是() A.(-o,ln2) B.(n2,+oo) C.(-0,2) D.(2,+o) 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的导数，再利用导数求函数的单调减区间即可. 【详解】由f)=1-e,当f因<0，得x>12, 所以f(x)的单调递减区间为n2,+oo). 故选：B 2.(25-26高二下.全国·课后作业)设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f(x)为R上的增函数的充要条件是 () A.b2-4ac>0 B.b>0,c>0C.b=0,c>0D.b2-3ac≤0 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由函数的单调性与导数的关系进行求解 【详解】a>0,f(x)为增函数，÷f(x)=3ax2+2bx+c≥0恒成立， △=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac≤0，b2-3ac≤0. 反之，若b2-3ac≤0，则f'(x)≥0恒成立，故f(x)为增函数. 故选：D 3.(25-26高二上·北京朝阳期末)对于定义域为R的函数f(x),若存在m∈R使得f(x)在区间(-∞，m]上单调递 增，在区间[m,+∞)上单调递减，则称函数f(x)为R上的单峰函数.下列函数中为R上的单峰函数的是() A.f(x)=x+2sinx B.f(x)=12 C.f(x)=-x2+3x-1 D.f(x)=(x-1)e 【答案】c 【难度】0.85 第6页共26页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】依题意可知单峰函数先增后减且只有一个极值点，且是极大值点，依次对四个选项逐一分析即可 得答案。 【详解】对于选项A,由f(x)=x+2sinx可得f(x)=1+2cosx, 当-1≤cosx<-时，f(x)<0,函数单调递减： 2 当-c0sx≤1时，f)>0,函数单调递增： 又因为y=cosx具有周期性，所以函数f(x)=x+2six会有多个增减区间，所以选项A不是单峰函数： 对于选项Bf=京，所以f因==≥0， (1+x2)2 (1+x2)7 所以函数f)=是单调递增函数，所以选项B不是单蜂函数： 对于选项C,f(x)=-x2+3x-1,所以f'(x)=-2x+3, 当x<时，函数单调递增，当x>时，函数单调递减，所以选项c是单峰函数； 对于选项D,f(x)=(x-l)e=ex-e,由一次函数图象可知，函数是单调递增函数， 所以选项D不是单峰函数. 故选：C 4.(24-25高二下·北京西城期末)下列函数中，既是奇函数，又在R上单调递增的是() A.f(x)=x3-x B.f(x)=x3+1 C.f(x)=x3+x D.f(x)=x3+x2 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用奇函数的定义分别判断函数的奇偶性，利用导数分别判断函数的单调性，再根据函数是否为 是奇函数，且是否在R上单调递增判断即可. 【详解】选项A:函数f(x)=x3-x定义域为R,f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x), 函数是奇函数， f=3x2-1,当-9<x<时，f)<0,f=2-在()上单调递减，不合题意： 3 选项B:函数f(x)=x3+1定义域为R,f(-x)=(-x)3+1=-x3+1≠-f(x),函数不是奇函数，不合 题意： 选项C:函数f(x)=x3+x定义域为R,f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)=-f(x)是奇函数 f(x)=3x2+1,因为3x2≥0，所以f(x)≥1>0，函数在R上单调递增，符合题意； 选项D:f(x)=x3+x2定义域为R,f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3+x2≠-f(x)不是奇函数，不合题意 故选：C 5.(多选24-25高二下江苏苏州月考)若函数f()在定义域D内的某个区间I上是单调增函数，且F()=@ 第7页共26页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在区间1上也是单调增函数，则称y=f)是1上的“一致递增函数”已知f)=x+号， 若函数f(x)是区间I 上的“一致递增函数”，则区间I可能是() A.(-0,-2) B.(-∞，-1) C.(0,+∞) D.(2,+o) 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参人用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】对f(x)和F(x)分别求导，结合选项，判断导数正负可得答案 【详解】“f)=x+,f(=+e-四 x2 F()=四=1+5，F()=-2 3 当xE(-,-1）时，F)=2>0,函数F在(-，-1)单调递增： 3 由f(a=2+e-=1+e- x2 x2 令96)=f=1+斗，则g6=e62, 3 此时x<0,e>0、x2-2x+2>0恒成立，g()=2-2+2<0, 3 ·g(x)也即f(x)在(-∞，-1)单调递减， f0>f(-1)=41四=1->0，则函数f)在(-∞，-1)单调递增， 1 又有(-∞，-2)是(-∞，-1)的子集，故A、B满足. 当xE(0,+∞)时，x3>0,e>0,在x∈(0,2)时，x-2<0,在x∈(2，+∞)时，x-2>0, ∴F(x)可能大于0，也可能小于0，故C不满足. 当xe(2,+o)时，f(o=+-D>0,函数fe在(2，+∞)单调递增， x2 F)=-2>0,函数Fx)在(2，+∞)单调递增，故D满足。 x3 故选：ABD 6.(24-25高一上陕西西交期末)已知实数m,n满足 2m=e5-2 -lnn-ln(2e2020)=0,则 mn 【答案)号 【难度】0.15 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化、指数 幂的运算 【分析】先由指数和对数的运算性质将等式化简成同构模式，再构造函数f(x),利用导数分析单调性可得 ln2m=5-ln2n,再由对数的运算化简可得 【详解】由题意可得e2025-2m-2m=0,即e2025=2me2m, 第8页共26页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 两边同时取对数可得2m+ln2m=2025,即en2m+ln2m=2025. -m-h(2e020)=0可相=-1m-n2-2020=0,即e5+5-h2n=2025 令f(x)=x+e,则f(x)=1+ex>0恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增， 而f02m）=f5-lh20=2025,所以1n2m=5-ln2m,即ln4mn=5,所以mn=号 故答案为：号 题型突破 抓住核心 A突破重点 题型02由导数判断函数的单调性（含参） 点方法 分类讨论 奥例引精韧 1.(2024广东模拟预测)已知函数f(x)=(1-m)·m-3-n,其中m>0且m≠1，n∈R,则f(x)的单调性() A.与m有关，与n有关 B.与m有关，与n无关 C.与m无关，与n有关 D.与m无关，与n无关 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】f(x)的单调性与n无关，思路一：分m大于1、小于1讨论即可判断：思路二：直接求导也可判断 【详解】易知f(x)的单调性与n无关， 解法一：当m>1时，函数f(x)=(1-m)·m-3-n单调递减， 当0<m<1时，函数f(x)=(1-m)·m-3-n单调递减， 故f(x)的单调性与m无关，与n无关.故选：D. 解法二：依题意，f'(x)=(1-m)·lm·m-3,因为m>0且m≠1，故(1-m)·lm<0,故f(x)<0, 则不论m取何值，函数f(x)单调递减.故选：D. 2.(22-23高二下·湖南岳阳·期末)已知函数f(x)=x2-alnx+1在(1,3)上不是单调函数，则实数α的取值范围 是() A.(2,18) B.[2,18] C.（-∞，2)U[18,+0) D.[2,18) 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】先讨论得出f(x)的单调区间，然后根据已知列出不等式，求解即可得出答案 第9页共26页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由已知可得，f)定义域为(0，+∞)，f)=2x-=2-a 若a≤0，则f'(x)≥0恒成立，则f(x)在(0，+∞)上单调递增，与已知不符，舍去： 当a>0时)=0可知，x感x=合去 当0<x< 时，有f<0,所以f在(0，目 上单调递减： 当x> 时，有f四>0，所以f(层+上单调递增， 由已知函数f=2-amc+1在(13)上不是单调函数，所以应有1<<3，所以2<a<18 故选：A 3.(多选24-25高二下·湖北武汉·期末)己知f(x)=logax3-6ax(a>0且a≠1)在区间(2,3)上单调递减，则 实数a的取值可以是() A吉 B是 C. D.2 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】由题意结合对数函数的性质和复合函数的单调性求解实数α的取值范围即可. 【详解】令g(x)=x3-6ax,则g'(x)=3x2-6a=3(x+√2a(x-√2a, 令g(x)=0得，x=-V2a或x=√2a. 当0<x<V2a时，g(x)<0:当x>V2a时，g(x)>0; 所以g(x)=x3-6ax在(0，√2）上单调递减，在(V2a,+∞)上单调递增. g(x)min=(V2a)-6a(V2a)=-4av2a<0,g(V6a)=(V6a)-6av6a=0 h(x)=lg(x1的图像如图 6a 由题意得，f(x)=logah(x)在区间(2,3)上单调递减，且h(x)=It(x1>0,x∈(2,3)恒成立. (√2a≤2 若a>1,则h(x)在区间(2,3)上单调递减， 则 Va≥3，解得≤a≤2 a>1 若0<a<1,则h(x)在区间(0，√2a和(V6a,+oo)上单调递减， 则2之子子·解得0<a≤号 (0<a<1 故选：ABD. 第10页共26页 选修三 第六章 导数 6.2 导数与函数的单调性 知识点一 由导数判断函数的单调性 (一)概念：函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导， 1.且在区间上恒有，则f(x)在(a，b)上单调递增； 2.且在区间上恒有，则f(x)在(a，b)上单调递减； 3.且在区间上恒有，则f(x)在(a，b)上是常数函数； (二)注意点： (1).在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． (2)在函数定义域内讨论导数的符号． (3)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”． (三)由导数判断函数单调性的步骤 方法一：第1步，确定函数的定义域，求出导函数f′(x)； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 方法二：第1步，确定函数的定义域，求出导函数f′(x)； 第2步，解不等式，结合定义域得到递增区间； 或解不等式得到递减区间； 即学即练 1.(24-25高二下·重庆·月考)函数的单调递减区间是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】首先求导得到，再解不等式即可. 【详解】，令，解得. 所以，，为减函数. 故选：B 2.(多选)(25-26高二上·山东·期末)下列函数在区间上不单调递增的是(   ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】对A选项，根据解析式判断函数单调性，对B，C，D选项，求导并利用导数正负判断函数单调性. 【详解】在A选项中，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增， 在B选项中，因为，所以在上单调递减，不满足在上单调递增， 在C选项中，因为，所以在上单调递增， 在D选项中，因为，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以不满足在上单调递增. 故选：ABD. 知识点二 已知函数的单调性求参数(范围) (一)已知函数的单调性： 1.可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则在(a，b)上恒成立； 2.可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则在(a，b)上恒成立； 3.可导函数f(x)在(a，b)上是常数函数，则在(a，b)上恒成立； 注意：已知函数增(减)时前提是：′在上的任何子区间内都不恒等于零)； (二)存在单调区间： 可导函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则在(a，b)上有解； 可导函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则在(a，b)上有解； 即学即练 1.(23-24高二下·山东东营·期末)已知函数，若函数在上单调递减，则实数m的最小值为(    ) A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据单调性可得导函数在上恒成立即可求解. 【详解】由在上单调递减，可得在上恒成立，故， 所以， 故选：A 2.(多选)(24-25高二下·四川资阳·月考)已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是( ) A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先对函数进行求导，再根据导数小于零有解来确定的取值范围即可. 【详解】的定义域为，， 函数存在单调递减区间， 在上有解，即在上有解， 令， 故，结合选项可知，B ， D正确；A ， C错误. 故选：BD. 题型01 由导数判断函数的单调性(不含参) 求导，判断导数正负，得到单调性. 典｜例｜精｜析 1.(24-25高二下·河北邢台·月考)函数的单调递增区间是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】先求出导函数，再根据导函数大于等于0得出函数增区间即可. 【详解】因为，所以当时，，即的单调递增区间是． 故选：A. 2.(25-26高二下·全国·课后作业)下列函数中，在内为增函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据三角函数、一次函数的单调性即可判断A、B；根据导数与单调性的关系即可判断C、D． 【详解】对于A，在上有增有减，故A不满足题意． 对于B，因为大于零的常数，所以为一次函数，在内为增函数，故B满足题意． 对于C，，当时，；当时，； 故函数在上为增函数，在上为减函数，故C不满足题意． 对于D，，当时，；当时，； 故函数在上为减函数，在上为增函数，故D不满足题意． 3.(多选)(25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末)下列函数中，在上单调递增的是(   ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用导数分析各函数在上的单调性，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，对函数求导得， 当时，；当时，. 故函数在上单调递增，在上单调递减，A不符合条件； 对于B选项，对函数求导得，当时，. 故函数在上单调递增，B符合条件； 对于C选项，对函数求导得，当时，. 故函数在上单调递增，C符合条件； 对于D选项，对函数求导得对任意的恒成立， 故函数在上单调递增，D符合条件. 故选：BCD. 4.(24-25高二下·河南商丘·月考)设函数，当时，的单调递减区间为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参) 【分析】求导，由求解即可. 【详解】由，可得，， ， 由，可得：， 又，可得：，解得：， 所以的单调递减区间为， 故答案为： 已知函数增(减)时前提是：′在上的任何子区间内都不恒等于零). 1.(25-26高二上·上海·期末)已知函数，定义域为.任取，导函数始终存在.那么是在上是严格增函数的(    )条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断. 【详解】若，则，满足，但不是严格增函数. 所以，推不出是严格增函数. 若是严格增函数，则恒成立.所以是严格增函数，能推出恒成立. 所以是是严格增函数的必要不充分条件. 故选:B. 变｜式｜巩｜固 1.(21-22高二下·河南南阳·月考)函数的单调递减区间是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参) 【分析】求出函数的导数，再利用导数求函数的单调减区间即可. 【详解】由，当，得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 2.(25-26高二下·全国·课后作业)设，则为R上的增函数的充要条件是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由函数的单调性与导数的关系进行求解． 【详解】为增函数，恒成立， ，． 反之，若，则恒成立，故为增函数． 故选：D 3.(25-26高二上·北京朝阳·期末)对于定义域为的函数，若存在使得在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称函数为上的单峰函数．下列函数中为上的单峰函数的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】依题意可知单峰函数先增后减且只有一个极值点，且是极大值点，依次对四个选项逐一分析即可得答案． 【详解】对于选项A，由可得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 又因为具有周期性，所以函数会有多个增减区间，所以选项A不是单峰函数； 对于选项B，，所以， 所以函数是单调递增函数，所以选项B不是单峰函数； 对于选项C，,所以, 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以选项C是单峰函数； 对于选项D, ,由一次函数图象可知，函数是单调递增函数, 所以选项D不是单峰函数. 故选：C 4.(24-25高二下·北京西城·期末)下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用奇函数的定义分别判断函数的奇偶性，利用导数分别判断函数的单调性，再根据函数是否为是奇函数，且是否在上单调递增判断即可. 【详解】选项A：函数定义域为 ，，函数是奇函数， ，当时，，在上单调递减，不合题意； 选项B：函数定义域为 ，，函数不是奇函数，不合题意； 选项C：函数定义域为, 是奇函数 ，因为，所以，函数在上单调递增，符合题意； 选项D：定义域为 ，不是奇函数，不合题意. 故选：C. 5.(多选)(24-25高二下·江苏苏州·月考)若函数在定义域D内的某个区间I上是单调增函数，且在区间I上也是单调增函数，则称是I上的“一致递增函数”.已知，若函数是区间I上的“一致递增函数”，则区间I可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】对和分别求导，结合选项，判断导数正负可得答案. 【详解】，， ，， 当时，，函数在单调递增； 由， 令，则， 此时，、恒成立，， 也即在单调递减， ，则函数在单调递增， 又有是的子集，故A、B满足. 当时，，，在时，，在时，， 可能大于，也可能小于，故C不满足. 当时，，函数在单调递增， ，函数在单调递增，故D满足. 故选：ABD. 6.(24-25高一上·陕西西安·期末)已知实数满足，则__________. 【答案】 【难度】0.15 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化、指数幂的运算 【分析】先由指数和对数的运算性质将等式化简成同构模式，再构造函数，利用导数分析单调性可得，再由对数的运算化简可得. 【详解】由题意可得，即， 两边同时取对数可得，即. 由可得，即， 令，则恒成立，所以函数在上单调递增， 而，所以，即，所以. 故答案为：. 题型02 由导数判断函数的单调性(含参) 分类讨论 典｜例｜精｜析 1.(2024·广东·模拟预测)已知函数，其中且，则的单调性(    ) A．与有关，与有关 B．与有关，与无关 C．与无关，与有关 D．与无关，与无关 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】的单调性与无关，思路一：分大于1、小于1讨论即可判断；思路二：直接求导也可判断. 【详解】易知的单调性与无关， 解法一：当时，函数单调递减， 当时，函数单调递减， 故的单调性与无关，与无关.故选：D. 解法二：依题意，，因为且，故，故，则不论取何值，函数单调递减.故选：D. 2.(22-23高二下·湖南岳阳·期末)已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数求函数(含参)的单调区间 【分析】先讨论得出的单调区间，然后根据已知列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，定义域为，. 若，则恒成立，则在上单调递增，与已知不符，舍去； 当时，由可知，或(舍去). 当时，有，所以在上单调递减； 当时，有，所以在上单调递增. 由已知函数在上不是单调函数，所以应有，所以. 故选：A. 3.(多选)(24-25高二下·湖北武汉·期末)已知在区间上单调递减，则实数的取值可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、由对数(型)的单调性求参数 【分析】由题意结合对数函数的性质和复合函数的单调性求解实数的取值范围即可. 【详解】令，则, 令得，或. 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. , 的图像如图 由题意得，在区间上单调递减，且，恒成立. 若，则在区间上单调递减，则，解得. 若，则在区间和上单调递减， 则或，解得. 故选：ABD. 4.(24-25高二下·安徽滁州·期末部分)已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、已知函数最值求参数 【分析】(1)由题意得，分别讨论，，的情况，即可求解； 【详解】(1)由题意得的定义为，且， 当时，恒成立，此时在上单调递减； 当时，令，则或， 当时，则，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 分类要做到：不重不漏. 1.(24-25高二下·全国·课后作业)设函数，其中．讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间 【分析】求导得导数的两个零点为或，对分类讨论即可求解. 【详解】的定义域是， 若，，函数在上单调递增， 当时，， 令，解得或， 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 变｜式｜巩｜固 1.(2024高二·上海·专题练习部分)设函数，其中. (2)讨论的单调性； 【答案】(2)函数在上单调递减，在上单调递增 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 【分析】(2)含参讨论函数单调性即可. 【详解】(2)由题意，的定义域为， ， 则当时，单调递增；当时，单调递减. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 2.(2023高二·全国·专题练习)已知函数，.讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间 【分析】对求导，然后分和两种情况讨论即可； 【详解】函数的定义域为， 所以. 当时，，所以在上单调递增； 当时，令得，令得， 所以在上单调递减：在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 3.(2023高三·全国·专题练习)已知函数，讨论函数的单调性； 【答案】当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间 【分析】求导后，分类讨论，利用导数的符号可得结果. 【详解】，， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减；在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 4.(21-22高二下·西藏林芝·期末部分)已知函数． (2)讨论的单调性． 【答案】(2)具体见解析 【难度】0.94 【知识点】根据极值点求参数、利用导数求函数(含参)的单调区间 【分析】(2)求导，分类讨论的取值即可求解. 【详解】(2) 令解得或 1°当时，在上单调递增 2°当时，在，上单调递增，上单调递减 3°当时，在，(上单调递增，上单调递减 5.(21-22高二·全国·课后作业)设函数，求的单调区间． 【答案】答案见解析 【难度】0.94 【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间 【分析】利用导数判断单调性，分成和两种情况讨论. 【详解】的定义域为，． 若，则，所以在上单调递增． 若，则当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 6.(25-26高二上·浙江舟山·期末)已知函数． (2)讨论的单调性： 【答案】(2)答案见解析 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间 【分析】(2)求导，分，讨论导函数的单调性. 【详解】(2)因为，.所以. 若，则在上恒成立，所以在上为减函数； 若，由 ，由 . 所以在上为减函数，在上为增函数. 综上，时，在上为减函数； 时，在上为减函数，在上为增函数. 题型03 导数图象与函数图象的关系 典｜例｜精｜析 1.(25-26高二上·宁夏石嘴山·月考)已知函数的部分图象如图所示，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据函数单调性以及曲线在某一点导数的几何意义可知. 【详解】由题可知：函数为单调递增，且在区间内为下凸函数， 所以，即. 故选：B 2.(25-26高二下·全国·课堂例题)设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据原函数的单调性与导函数符号之间的关系逐一分析选项. 【详解】对于A：若是，是：时递减，对应(在x轴下方)；时递增，对应(在x轴上方)，符合规律，A正确； 对于B：若是，是：较小时，递增；较大时，递减，符合曲线先增后减的趋势，B正确； 对于C：若是，曲线是：恒正且递增，对应始终递增，且斜率越来越大(越来越陡)，完全符合曲线的趋势，C正确； 对于D：两个曲线中，全程在x轴上方，全程在轴下方，两个曲线的单调性都是先增、再减、再增：若是原函数，原函数先增→再减→再增，要求导函数先正→再负→再正，而全程为负，不符合； 若是原函数，原函数同样需要导函数先正→再负→再正，而全程为正，也不符合。 因此D不可能，D错误. 题目要求选不正确的，故答案为D. 3.(多选)(24-25高二下·四川成都·期中)已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象不可能是(   ) A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导函数的正负与函数的单调性的关系，及导数值的大小与函数增减快慢的关系判断即可. 【详解】由的图象知，当时，， 所以的图象在上单调递增， 且在区间上增长的速度越来越快， 在区间上增长的速度越来越慢. 对于A，函数在区间上增长的速度越来越慢， 在区间上增长的速度越来越快，故A不可能； 对于B，函数在区间上增长的速度越来越快， 在区间上增长的速度越来越慢，故B可能； 对于C，函数在区间上增长的速度越来越快，故C不可能； 对于D，函数在区间上增长的速度越来越慢，故D不可能. 故选：ACD． 4.(23-24高二下·湖北黄冈·月考)如图所示为函数的图象，则不等式的解集为_____    【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、分式不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用图象判断的单调性，进而得到的正负，最后求出不等式解集即可. 【详解】由图象得在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，， 若，则当时，或当时，， 当，时，解得， 当，时，解得， 综上可得不等式的解集为. 故答案为： 注意变量的取值范围 1.(21-22高二下·四川成都·月考)已知在R上可导的函数的图象如下图所示，则不等式的解集为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、分式不等式、抽象不等式 【分析】依据三个代数式的正负变化情况去求不等式的解集. 【详解】由函数的图象可知 当时，；当或时， 当或时，；当时， 则当时，，则 当时，，则 当时，，则 当时，，则 当时，，则 综上的解集为. 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1.(25-26高二下·全国·课堂例题)函数的图像如图所示，则(   ) A． B． C． D．的正负不确定 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】由题中图像可知，函数在上单调递减，故在上有．故． 故选：B 2.(25-26高二上·重庆沙坪坝·期末)已知函数与其导函数的图象如图所示，则(   )    A．曲线为函数的图象 B． C．在单调递增 D．在单调递减 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据原函数和导函数的关系逐一判断即可. 【详解】若曲线为函数的图象，当时，，所以在上单调递增，而曲线在上先减后增 ，不合题意， 所以曲线为函数的图象，所以曲线为函数的图象，故A错误； 由A可知在上单调递减且为偶函数，所以，故B错误，D正确； 在上先增后减，故C错误； 故选：D 3.(25-26高二下·全国·课后作业)已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数图像的识别 【分析】由导数与单调性的关系判断即可. 【详解】由函数的图象可知： 当时，，，此时单调递增； 当时，，，此时单调递减； 当时，，，此时单调递减； 当时，，，此时单调递增．故C满足． 4.(25-26高二上·全国·期末)已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求曲线切线的斜率(倾斜角)、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导数的几何意义判断． 【详解】由的单调性可知，，而， 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此， 所以． 故选：D． 5.(多选)(24-25高二下·江苏苏州·期中)若函数，其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是(   ) A．在与处的瞬时增长率相同 B．在上不单调 C．可能为奇函数 D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、瞬时变化率的概念及辨析、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据给定的导函数图象及性质，结合瞬时增长率、单调性判断AB；举例说明判断C； 借助导数在上的单调性质确定在上的凹凸性判断D. 【详解】对于A，由函数的导函数为偶函数，得， 因此在与处的瞬时增长率相同，A正确； 对于B，当时，，因此在上单调递减，B错误； 对于C，函数的导函数符合给定图象，函数是奇函数，C正确； 对于D，当时，且函数在上单调递增，则函数在上为凹函数， 因此，即，D正确. 故选：ACD 6.(24-25高二下·云南临沧·期中)已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据给定的函数图象确定单调性，求出为正为负的范围，再分段求解不等式. 【详解】由函数的图象，得当或时，函数单调递增，则； 当时，函数单调递减，， 不等式化为或， 解，无解；解，得， 所以不等式的解集. 故答案为： 题型04 已知单调性求参数取值范围 已知单调性不等式恒成立解得结论. 典｜例｜精｜析 1.(22-23高二下·福建宁德·期中)若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，利用判别式即可求出的范围． 【详解】函数，， 若在递增，则在恒成立， 可得,解得， 故选：D 2.(2026高二下·福建福州·专题练习)若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】假设函数不存在单调递减区间，利用导数与单调性的关系可得在恒成立，可求得实数的取值范围，根据函数存在单调递减区间可求解. 【详解】函数的定义域为， 导函数， 假设函数不存在单调递减区间，则在恒成立， 即在恒成立，即， 令，因为，所以， 则函数在时取得最小值，最小值为， 所以，所以， 根据题意，函数存在单调递减区间， 所以. 3.(多选)(24-25高二下·湖北武汉·月考)若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为(    ) A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号，转化求解表达式的最小值，然后推出的范围，结合选项即可判断． 【详解】， 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在内有解，所以有解， 由于，所以，故， 则实数的取值范围是，结合选项可知，符合题意． 故选：CD. 4.(25-26高二下·河南开封·开学考试)已知函数是单调递增函数，则的最小值是____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】由函数是单调递增函数，得恒成立，分离参数，得.通过求的最大值，求得的取值范围，从而得到的最小值. 【详解】函数的定义域为. . 因为函数是单调递增函数， 所以即恒成立， 由得，当且仅当即时等号成立. 所以，所以. 故的最小值是. 正确区分：(1)单调区间是，(2)在区间上单调. 1.(25-26高二下·全国·课后作业)已知函数.(1)若的单调减区间为，则的取值集合为________；(2)若在区间内单调递减，则的取值集合为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【详解】. (1)的单调减区间为， 和1是方程的两根， ，， 的取值集合为. (2)在区间内单调递减， 在内恒成立，又二次函数开口向上，一根为， 必有，， 的取值集合为. 变｜式｜巩｜固 1.(21-22高二下·广东中山·月考)设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、基本初等函数的导数公式 【分析】求出函数的单调减区间后可求参数的取值范围. 【详解】， 令，则，而在区间上单调递减， 故，故， 故选：A. 2.(24-25高二下·湖北孝感·月考)若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出定义域，得到，求导，得到函数单调性，极值情况，时，，满足要求，时，需满足在内，从而得到不等式，求出答案. 【详解】函数的定义域为，故需满足，故， ， ，解得，，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故时，函数取得极小值. 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，满足题意； 当时，函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数， 在内， 即，即，即， 此时，综上. 故选：B. 3.(25-26高二上·安徽六安·期末)已知函数在上单调递增，则的最大值是(   ) A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数，求出的最小值作答. 【详解】函数，求导得：，因为在上单调递增， 则对任意的，成立，设，则， 由，得，由，得，从而在上单调递减，在上单调递增， 即，因此， 所以a的最大值是. 故选：B 4.(24-25高二下·山西·期中)已知函数在上单调，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】令，求得，再令，求得，结合，求得函数的单调性，再由，结合函数在上单调递增，列出不等式组，即可求解. 【详解】令函数，可得， 令，可得 ， 所以函数在上单调递增，且， 所以当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增，且． 要使得函数在上单调递增，则， 解得或，即实数的取值范围是. 故选：D. 5.(多选)(21-22高二下·福建龙岩·期中)已知定义在上的函数的导函数为，对任意的，都有，且，则满足不等式的的值可以是(    ) A．2 B．e C．3 D．4 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、基本初等函数的导数公式 【分析】构造并求导，结合已知条件可得则有且为常数，由可得，即可确定解析式，进而求出的解析式，最后将不等式转化为求在上的解集，构造中间函数并应用导数研究单调性求x的范围. 【详解】令且 ，则， 又，即，所以且为常数， 而，故，即， 所以且 ，则， 故等价于， 令且 ，则， 在上，递减，在上，递增，又， 所以在上递减，在上递增，则 ，可得. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：构造，根据已知条件求出解析式，进而确定的解析式，再将目标不等式转化为求 在上的解集. 6.(2025高二·全国·专题练习)若对都有成立，则的最大值为_____. 【答案】 【难度】0.15 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由，得，构造函数 ，利用导数法得到的单调性，利用单调性得到a的取大值. 【详解】由，得， 则，即 ， 有，令 ， 所以，令， 当时，，当时，， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以当时，， 所以，故a的最大值为. 故答案为：. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $