20 6.2.2 第1课时 函数的导数与极值-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

6．2.2　导数与函数的极值、最值 第1课时　函数的导数与极值 知识 目标 1.理解极值、极值点的概念，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件．　2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值．　3.能利用导数解决与函数极值相关的综合问题 素养 目标 通过学习函数的极值、极值点等概念，培养数学抽象素养；利用导数求函数的极值，提升逻辑推理、数学运算素养. 问题1.如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？ 提示：在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷． 问题2.你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？ 提示：以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f ′(x)>0，在x∈(x1，x2)上函数是单调递减的，且有f ′(x)<0，函数图象是连续不断的，f ′(x)的变化也是连续不断的，并且有f ′(x1)＝0. 知识点一　极值点与极值 1．极值点与极值的一般解释 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 (1)f(x)<f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值； (2)f(x)>f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值． 极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小． 2．极值点与极值的导数解释 一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f ′(x0)＝0. (1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f ′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f ′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点． (2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f ′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f ′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点． (3)如果f ′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点． [微提醒]　1.对于极值的认识 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的，极值点是区间内部的点而不会是端点． 学生用书↓第75页 (2)若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值． 2．对函数取极值条件的认识 (1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数y＝f(x)在一点的导数值为零是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件”． (2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在点x0左侧和右侧f ′(x)的符号不同． 3．对于函数极值点的认识 (1)函数f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点． (2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的． (3)从曲线的切线角度看，曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正． 知识点二　求可导函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f(x0)是极小值． 1．函数f(x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　 ) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 答案：C 解析：设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值． 2．函数f(x)＝－的极值点为(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．0 B．－1 C．0或1 D．1 答案：D 解析：因为f ′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，由f ′(x)＝0得x＝0或x＝1.又当x＞1时，f ′(x)＞0，0＜x＜1时，f ′(x)＜0，所以1是f(x)的极小值点．又x＜0时，f ′(x)＜0，故x＝0不是函数的极值点． 3. (多选)如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是(　　) A．f(x)在[－2，－1]上是增函数 B．当x＝－1时，f(x)取得极小值 C．f(x)在(－1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数 D．当x＝3时，f(x)取得极小值 答案：BC 解析：根据图象知当x∈(－2，－1)或x∈(2，4)时，f ′(x)<0，函数单调递减；当x∈(－1，2)或x∈(4，＋∞)时，f ′(x)>0，函数单调递增．故A错误；故当x＝－1时，f(x)取得极小值，故B正确；C正确；当x＝3时，f(x)不取得极值，故D错误．故选BC． 4．若可导函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f ′(1)＝________，1是函数f(x)的________值点． 答案：0　极大 解析：由题意可知，当x＜1时，f ′(x)＞0，当x＞1时，f ′(x)＜0，所以f ′(1)＝0，1是函数f(x)的极大值点． 5．函数y＝sin x－2x在R上的单调性是________． 答案：单调递减 解析：因为y′＝cos x－2，当x∈R时，cos x≤1，则cos x－2<0恒成立，即y′<0，所以函数y＝sin x－2x在R上是单调递减的． 题型一　利用导数求函数的极值 例1　 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－x2－3x＋3； (2)f(x)＝ln x－x2. [点拨]　首先对函数求导，然后求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左、右两侧的值的符号．如果左正右负，那么函数在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数在这个根处取得极小值． 解：(1)函数f(x)的定义域为R，f ′(x)＝x2－2x－3. 令f ′(x)＝0，得x＝3或x＝－1. 当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值－6  由上表可以看出，x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点． 所以f(x)极大值＝，f(x)极小值＝－6. (2)函数的定义域为(0，＋∞)． f ′(x)＝－x，令f ′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－1. 又函数的定义域是(0，＋∞)，故x2＝－1舍去． 当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － f(x)  极大值－  由表可知，x＝1为函数f(x)＝ln x－x2的极大值点，函数在该点的极大值为f(1)＝－. 函数f(x)＝ln x－x2不存在极小值． 学生用书↓第76页　 利用导数求函数极值的步骤 第一步：确定函数的定义域； 第二步：求导数f ′(x)； 第三步：解方程f ′(x)＝0得方程的根； 第四步：利用方程f ′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号； 第五步：确定函数的极值，如果f ′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值． [注意]　当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 对点练1.(1)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)＝x3＋4x2＋9x－1的极值点，则a5＝(　　 ) A．－4 B．－3 C．3 D．4 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)由图象可知，满足f ′(x)＝0且导函数的函数值左负右正的只有一个，故f(x)在(a，b)内的极小值点只有一个．故选A． (2)因为f(x)＝x3＋4x2＋9x－1，所以由f ′(x)＝x2＋8x＋9＝0可知a3·a7＝9，a3＋a7＝－8，所以a3<0，a7<0，a5<0，因为等比数列中a＝a3·a7，所以a5＝－3.故选B． 题型二　图象信息问题 例2　 如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象，对此图象，有如下结论： ①在区间(－2，1)内f(x)是增函数； ②在区间(1，3)内f(x)是减函数； ③x＝2时，f(x)取到极大值； ④在x＝3时，f(x)取到极小值． 其中正确的是________(将你认为正确的序号填在横线上)． [点拨]　根据函数y＝f ′(x)的图象，分析并找出使f ′(x)>0与f ′(x)<0的x的取值范围，并区分f ′(x)的符号由正到负和由负到正含义，再做判断． 答案：③ 解析：由f ′(x)的图象可知，在和(2，4)上f ′(x)<0，f(x)单调递减，在和(4，＋∞)上f ′(x)>0，f(x)单调递增，所以只有③正确． 　 有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．　 对点练2.已知函数y＝xf ′(x)的图象如图所示(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：①函数f(x)在区间(1，＋∞)内是增函数；②函数f(x)在x＝－1处取得极大值；③函数f(x)在x＝－处取得极大值；④函数f(x)在x＝1处取得极小值，其中正确的说法有________．(填所有正确的序号) 答案：①②④ 解析：从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf ′(x)>0，于是f′(x)>0，故f(x)在区间(1，＋∞)内是增函数，故①正确；当x∈(－∞，－1)时，xf ′(x)<0，所以f ′(x)>0，当x∈(－1，0)时，xf ′(x)>0，所以f ′(x)<0，故函数f(x)在x＝－1处取得极大值，故②正确；当x∈(－1，0)时，f ′(x)<0，所以函数f(x)在区间(－1，0)内是减函数，故③不正确；当x∈(0，1)时，xf ′(x)<0，于是f ′(x)<0，故f(x)在区间(0，1)内是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故④正确． 题型三　求参数的值或取值范围问题 例3　 已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值． [点拨]　本题的关键是理解“f(x)在x＝±1处的极大值为4，极小值为0”的含义．即x＝±1是方程f′(x)＝0的两个根且在根x＝±1处f ′(x)取值左、右异号． 解：f ′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)． 由题意，f ′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，于是f ′(x)＝5ax2(x2－1)． (1)当a＞0时，x变化时，y，y′的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1， 0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞) y′ ＋ 0 － 0 － 0 ＋ y  极大值  无极值  极小值  由表可知： 又5a＝3b，解得a＝3，b＝5，c＝2. (2)当a＜0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2. 综上，a＝3，b＝5，c＝2或a＝－3，b＝－5，c＝2. 学生用书↓第77页 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点： 1．根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． 2．因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．　　 对点练3.(1)已知函数f(x)＝2ln x＋ax在x＝1处取得极值，则实数a＝(　　) A．－2 B．2 C．0 D．1 (2)设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围为__________． 答案：(1)A　(2)(－∞，－1) 解析：(1)f ′(x)＝＋a，由题意知f ′(1)＝2＋a＝0.解得a＝－2，故f(x)＝2ln x－2x，x>0，f ′(x)＝－2，令f ′(x)>0，得0<x<1，令f ′(x)<0，得x>1，故f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以x＝1是极大值点，符合题意．故选A． (2)因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a，由题意知方程ex＋a＝0有大于零的解．因为当x>0时，－ex<－1，所以a＝－ex<－1. 易错点　忽视极值存在的条件致误 已知函数f(x)＝x3＋6mx2＋4nx＋8m2在x＝－2处取得极值，且极值为0，求m＋4n的值． [易错分析]　可导函数的极值点一定是导数为零的点．在某点导数为零仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是该点两侧的导数异号，这点易被忽略． [误区警示]　由于“f ′(x0)＝0”是“f(x0)为极值”的必要不充分条件，因此由f ′(x0)＝0求得m，n的值后，要验证在x＝x0左、右两侧导数值的符号是否相反，才能确定是否真正在点x0处取得极值，忽视了这一检验过程，就可能会导致错解． [正解]　f ′(x)＝3x2＋12mx＋4n， 依题意有 即 解得或 当m＝1，n＝3时，f ′(x)＝3x2＋12x＋12＝3(x＋2)2≥0， 所以f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意； 当m＝2，n＝9时，f ′(x)＝3x2＋24x＋36＝3(x＋2)(x＋6)，当－6<x<－2时，f ′(x)<0，当x>－2时，f ′(x)>0， 故f(x)在x＝－2处取得极值，符合题意． 综上所述，m＝2，n＝9，所以m＋4n＝38. 1．函数f (x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f (x)在开区间(a，b)内的极大值点有(　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 解析：依题意，记函数y＝f ′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f ′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f ′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f ′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f ′(x)＜0.因此，函数f (x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值．故选B． 2．已知f(x)＝，则f(x)(　　 ) A．在(－∞，＋∞)上单调递增 B．在(－∞，1)上单调递减 C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值 答案：C 解析：由题意f ′(x)＝，当x<1时，f ′(x)>0，f (x)单调递增，x>1时，f ′(x)<0，f (x)单调递减，f (1)是函数的极大值，也是最大值，f (1)＝，函数无极小值．故选C． 3．函数y＝x3－2ax＋a在(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围为(　　 ) A．(0，3) B．(－∞，3) C．(0，＋∞) D． 答案：D 解析：令y′＝3x2－2a＝0，得x＝± .由题意知，当a>0时，有 ∈(0，1)，即0< <1，解得0<a<.当a＝0和a<0时，f (x)在(0，1)内无极小值，不符合题意．故选D． 4．已知a为正实数，若函数f (x)＝x3－3ax2＋2a2的极小值为0，则a的值为__________． 答案： 解析：由题意f ′(x)＝3x2－6ax＝3x(x－2a)，因为a>0，所以x<0或x>2a时，f ′(x)>0，0<x<2a时，f ′(x)<0，所以f (x)在(－∞，0)和(2a，＋∞)上单调递增，在(0，2a)上单调递减，f (x)的极小值是f (2a)＝8a3－12a3＋2a2＝0，解得a＝(a＝0舍去)． 课时测评19　函数的导数与极值 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．函数f(x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　 ) A．有三个极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 答案：C 解析：f ′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f ′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值．由图象易知有两个极大值点，两个极小值点． 2．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　 ) A．(2，3) B．(3，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，3) 答案：B 解析：因为f ′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，所以f ′(2)＝0，24＋4a＋36＝0，a＝－15，所以f ′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f ′(x)＞0得x＜2或x＞3. 3．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定(　　) A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．小于或等于0 答案：B 解析：f ′(x)＝3ax2＋2bx＋C．令f ′(x)＝0，则x0和2是该方程的根．所以x0＋2＝－<0，即>0.由题图知，f ′(x)<0的解集为(x0，2)，所以3a>0，则b>0，因为f(1)＋f(－1)＝2b，所以f(1)＋f(－1)>0.故选B． 4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1，0)，则f(x)的极值为(　　) A．极大值为，极小值为0 B．极大值为0，极小值为 C．极小值为－，极大值为0 D．极大值为－，极小值为0 答案：A 解析：f ′(x)＝3x2－2px－q，由得所以f ′(x)＝3x2－4x＋1.令f ′(x)＝0得x＝或x＝1，易得x＝时，f(x)有极大值，x＝1时，f(x)有极小值0.故选A． 5．(多选)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x1)<0 B．f(x1)≥0 C．f(x2)<－1 D．f(x2)>－ 答案：AD 解析：由于函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，所以f ′(x)＝1－2ax＋ln x＝0有两个不相等的实根，即曲线y＝1＋ln x与直线y＝2ax有两个不同的交点，如图， 易得直线y＝x与曲线y＝1＋ln x相切于点(1，1)，可得0<2a<1，0<x1<1<x2，所以0<a<，f(x1)＝x1(ln x1－ax1)<0.因为当x1<x<x2时，f′(x)>0，所以f(x2)>f(1)＝－a>－.故选AD． 6．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为________． 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因为函数f(x)既有极大值又有极小值，所以方程f ′(x)＝0有两个不相等的实根，所以Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1. 7．若函数f(x)＝x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围为________. 答案： 解析：因为f(x)＝x3－4x＋4，所以f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝；当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－.且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．根据函数单调性、极值的情况，它的大致图象如图所示， 结合图象知－<a<. 8．已知函数f(x)＝xe－x(x∈R)，当x＝________时，f(x)取得极大值为________． 答案：1　 解析：因为f ′(x)＝e－x＋xe－x·(－1)＝(1－x)e－x.所以由f ′(x)＝0得x＝1.当x<1时，f ′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝e－1＝. 9．(10分)求下列函数的极值： (1)f (x)＝2x3＋3x2－12x＋1；(4分) (2)f (x)＝x2－2ln x．(6分) 解：(1)函数f (x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R， f ′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)， 令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝1. 当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2，1) 1 (1，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)  极大值21  极小值－6  所以当x＝－2时，f (x)取极大值21； 当x＝1时，f (x)取极小值－6. (2)函数f (x)＝x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)， f ′(x)＝2x－＝， 令f ′(x)＝0， 得x1＝1，x2＝－1(舍去)． 当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ f (x)  极小值1  因此当x＝1时，f (x)有极小值1，无极大值． 10．(10分)(2024·九省适应性测试)已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点处的切线与直线2x＋3y＝0垂直． (1)求a；(4分) (2)求f(x)的单调区间和极值．(6分) 解：(1)因为 f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2， 所以f ′(x)＝＋2x＋a，则f′＝＋2×2＋a＝＋a， 由题意函数f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点处的切线与直线2x＋3y＝0垂直， 可得×＝－1，解得a＝－3. (2)由a＝－3，得f(x)＝ln x＋x2－3x＋2， 所以f ′(x)＝＋2x－3＝＝，x>0， 所以当0<x<时，f ′(x)>0，当<x<1时，f ′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0， 故f(x)的单调递增区间为和，f(x)的单调递减区间为， 故f(x)有极大值f＝ln ＋2－3×＋2＝－ln 2， f(x)有极小值f＝ln 1＋12－3×1＋2＝0. 11．(5分)(多选)已知函数f(x)＝ax－ln x(a∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．若a≤0，则函数f(x)没有极值 B．若a>0，则函数f(x)有极值 C．若函数f(x)有且只有两个零点，则实数a的取值范围是 D．若函数f(x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是(－∞，0]∪ 答案：ABD 解析：由题意得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝a－＝.当a≤0时，f ′(x)<0恒成立，此时f(x)单调递减，没有极值．当x→0时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→－∞，所以f(x)有且只有一个零点；当a>0时，在上有f′(x)<0，f(x)单调递减；在上有f′(x)>0，f(x)单调递增；当x＝时，f(x)取得极小值，极小值为f＝1＋ln A．当x→0时，ln x→－∞，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当1＋ln a＝0，即a＝时，f(x)有且只有一个零点；当1＋ln a<0，即0<a<时，f(x)有且仅有两个零点，综上可知A、B、D正确，C错误．故选ABD． 12．(5分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx－17(a，b，c∈R)的导函数为f′(x)，f ′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－98，则a的值是(　　) A．－ B． C．2 D．5 答案：C 解析：由题意知f ′(x)＝3ax2＋2bx＋C．因为f ′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，所以a>0，且－2＋3＝－，－2×3＝，则3a＝－2b，c＝－18a，且可得f(x)的极小值为f(3)＝27a＋9b＋3c－17＝－98，解得a＝2，b＝－3，c＝－36.故选C． 13．(15分)函数f(x)＝ln(x＋a)－存在两个不同的极值点x1，x2，求实数a的取值范围． 解：由题意得f ′(x)＝－ ＝＝. 设g(x)＝x2＋x＋1－a， 可知f(x)存在两个不同的极值点等价于g(x)在(－a，＋∞)上存在两个不同的零点， 由此可得即得a>，且a≠1， 所以实数a的取值范围为∪(1，＋∞)． 14．(15分)已知x＝1时，函数f(x)＝ax3＋bx有极值－2. (1)求实数a，b的值；(6分) (2)若方程f(x)＝k有3个实数根，求实数k的取值范围．(9分) 解：(1)因为f(x)＝ax3＋bx， 所以f ′(x)＝3ax2＋B． 又因为当x＝1时，f(x)的极值为－2， 所以 解得a＝1，b＝－3. (2)由(1)可得f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)·(x－1)， 令f ′(x)＝0，得x＝±1， 当x＜－1或x＞1时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，当－1＜x＜1时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减． 所以当x＝－1时，f(x)取得极大值，f(－1)＝2；当x＝1时f(x)取得极小值，f(1)＝－2，大致图象如图所示： 要使方程f(x)＝k有3个解，只需－2<k<2. 故实数k的取值范围为(－2，2)． 学生用书↓第78页 学科网（北京）股份有限公司 $$