6.2.1 导数与函数的单调性-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

6.2　利用导数研究函数的性质 6．2.1　导数与函数的单调性 [课标解读]1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.会用导数求函数的单调区间.4.会根据函数的单调区间确定参数的值或范围． 知识点一　函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)＞0 单调递增 f′(x)＜0 单调递减 (1)如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)是常数函数． (2)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似). (3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0. [提示]　若函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上不一定单调递减，如函数y＝的导函数y′＝－<0恒成立，但是函数y＝的图象不是恒下降的．　　 知识点二　函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 常见的对应情况如下表： 图象 f′(x)变化规律 f′(x)>0 且越来越大 f′(x)>0 且越来越小 f′(x)<0 且越来越小 f′(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加的越来越快 函数值增加的越来越慢 函数值减小的越来越快 函数值减小的越来越慢 1．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　) A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 A　[∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．] 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) D　[∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.] 学生用书第56页 3．(多选)函数y＝f(x)的图象如图所示，给出以下说法，正确的是(　　) A．函数y＝f(x)的定义域是[－1，5] B．函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2，4] C．函数y＝f(x)在定义域内是增函数 D．函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)＞0 AB　[由图象可知，函数的定义域为[－1，5]，值域为(－∞，0]∪[2，4]，故AB正确．故选AB．] 4．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________． 解析：　∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1.由f′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0. ∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞). 答案：　(0，＋∞) 5．函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，则实数a的取值范围是________． 解析：　f′(x)＝3ax2－2x＋1. 由题意知3ax2－2x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 当a＝0时，－2x＋1≥0在(－∞，＋∞)上不恒成立， 所以y＝3ax2－2x＋1为一元二次函数， 所以解得a≥. 答案：　a≥ 题型一　利用导数研究函数的单调性 (1)已知f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　) (2)证明：函数f(x)＝在区间(0，2)上是单调递增函数． [点拨]　(1)导函数值的正负决定原函数的增减趋势；(2)证明f′(x)>0在区间(0，2)上恒成立即可． 解析：　(1)由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数，观察选项易知C正确． (2)证明：∵f(x)＝，∴f′(x)＝， 令f′(x)>0可知ln x<1，即0<x<e. 故函数f(x)＝的单调增区间为(0，e)，又(0，2)⊆(0，e)， ∴函数f(x)＝在(0，2)上为单调递增函数． 答案：　(1)C 1．函数的图象与函数的导数关系的判断方法 (1)对于原函数，要判断其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减． (2)对于导函数，则判断其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并判断这些区间与原函数的单调区间是否一致． 2．利用导数证明或判断函数单调性的思路 求函数f(x)的导数f′(x)：(1)若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f′(x)<0，则y＝