19 6.2.1 导数与函数的单调性-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

6．2　利用导数研究函数的性质 6．2.1　导数与函数的单调性 知识 目标 1.理解导数与函数的单调性的关系．　2.掌握利用导数判断函数单调性的方法．　3.会用导数求函数的单调区间．　4.会根据函数的单调性求参数的值或范围． 素养 目标 通过利用导数判断函数单调性的学习，提升数学抽象素养；借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升逻辑推理、数学运算素养. 如果函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，那么对任意的x1，x2∈(a，b)，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，即x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，从而有＞0，即＞0.这表明，函数的平均变化率与其单调性密切相关． 问题．进一步猜想，函数的瞬时变化率(即导数)与其单调性是否也密切相关？有怎样的关系？ 提示：函数的瞬时变化率(即导数)与其单调性密切相关．其关系为：如果在区间(a，b)内，f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)上是增函数；如果在区间(a，b)内，f′(x)＜0，则f(x)在(a，b)上是减函数． 知识点一　函数的单调性与其导数正负的关系 　定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f ′(x)的正负 f(x)的单调性 f ′(x)＞0 单调递增 f ′(x)＜0 单调递减 [微提醒]　(1)如果在某个区间内恒有f ′(x)＝0，那么函数f(x)是常数函数． (2)若在某区间上有有限个点使f ′(x)＝0，其余的点恒有f ′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)． (3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f ′(x)不恒为0. (4)若函数f(x)在定义域上都有f ′(x)<0，则函数f(x)在定义域上不一定单调递减，如函数y＝的导函数y′＝－<0恒成立，但是函数y＝的图象不是恒下降的． 知识点二　函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 　一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) [微提醒]　常见的对应情况如下表： 图象 f′(x) 变化规律 f′(x)>0 且越来 越大 f′(x)>0 且越来 越小 f′(x)<0 且越来 越小 f′(x)<0 且越来 越大 函数 值变化 规律 函数值 增加得 越来越快 函数值 增加得 越来越慢 函数值 减小得 越来越快 函数值 减小得 越来越慢 学生用书↓第71页 1．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 答案：A 解析：因为f(x)＝2x－sin x，所以f ′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．故选A． 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能是(　　 ) 答案：D 解析：因为函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，所以当x＞0时，f ′(x)＜0，当x＜0时，f ′(x)＜0. 3．(多选)函数y＝f(x)的图象如图所示，给出以下说法，正确的是(　　) A．函数y＝f(x)的定义域是[－1，5] B．函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2，4] C．函数y＝f(x)在定义域内是增函数 D．函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)＞0 答案：AB 解析：由图象可知，函数的定义域为[－1，5]，值域为(－∞，0]∪[2，4]，故A、B正确．故选AB． 4．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________． 答案：(0，＋∞) 解析：因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.由f′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0.所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 5．函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，则实数a的取值范围为________． 答案： 解析：f′(x)＝3ax2－2x＋1.由题意知3ax2－2x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，当a＝0时，－2x＋1≥0在(－∞，＋∞)上不恒成立，所以y＝3ax2－2x＋1为一元二次函数，所以解得a≥. 题型一　利用导数研究函数的单调性 例1　 (1)已知f ′(x)是f(x)的导函数，若f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　) (2)证明：函数f(x)＝在区间(0，2)上是单调递增函数． [点拨]　(1)导函数值的正负决定原函数的增减趋势；(2)证明f ′(x)>0在区间(0，2)上恒成立即可． 答案：(1)C 解析：(1)由导函数的图象可知，当x<0时，f ′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<x1时，f ′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x1时，f ′(x)>0，即函数f(x)为增函数，观察选项易知C正确． (2)证明：因为f(x)＝，所以f ′(x)＝， 令f ′(x)>0可知ln x<1，即0<x<e. 故函数f(x)＝的单调增区间为(0，e)，又(0，2)⊆(0，e)， 所以函数f(x)＝在(0，2)上为单调递增函数． 　 1．函数的图象与函数的导数关系的判断方法 (1)对于原函数，要判断其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减． (2)对于导函数，则判断其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并判断这些区间与原函数的单调区间是否一致． 2．利用导数证明或判断函数单调性的思路 求函数f(x)的导数f ′(x)：(1)若f ′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f ′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f ′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．　 对点练1.函数y＝f(x)在定义域(－，3)内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f ′(x)，则不等式f ′(x)<0的解集为________________． 答案：∪(2，3) 解析：根据图象可知，函数y＝f(x)在区间和区间(2，3)上单调递减，所以在区间和区间(2，3)上，y＝f ′(x)<0，所以f ′(x)<0的解集为∪(2，3)． 学生用书↓第72页 题型二　求函数的单调区间 例2　 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－3x＋1； (2)f(x)＝x＋(b＞0)． [点拨]　先求定义域，再求导函数，令f′(x)>0求得增区间，令f ′(x)<0求得减区间． 解：(1)函数f(x)的定义域为R， f ′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0. 即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1. 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)， 令f ′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0， 解得－1＜x＜1. 所以函数f(x)的单调递减区间为(－1，1)． (2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f′(x)＝(x＋)′＝1－， 令f ′(x)＞0，则(x＋)(x－)＞0， 所以x＞，或x＜－. 所以函数的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)． 令f′(x)＜0，则(x＋)(x－)＜0， 所以－＜x＜，且x≠0. 所以函数的单调递减区间为(－，0)和(0，)． 　 1．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤 第一步：确定函数f(x)的定义域； 第二步：求导数f ′(x)； 第三步：在函数f(x)的定义域内解不等式f ′(x)>0和f ′(x)<0； 第四步：根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间． 2．若y＝f(x)在(a，b)内可导，f ′(x)≥0或f ′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：y＝x3在R上f ′(x)≥0，所以y＝x3在R上单调递增．　 对点练2.讨论函数f(x)＝(－1<x<1，b≠0)的单调性． 解：f(x)的定义域为(－1，1)，函数f(x)是奇函数， 所以只需讨论函数在(0，1)上的单调性． 因为f ′(x)＝－， 当0<x<1时，x2＋1>0，(x2－1)2>0， 对于f ′(x)＝－， 所以当b>0时，f ′(x)<0，所以函数f(x)在(0，1)上是减函数； 当b<0时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在(0，1)上是增函数； 又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知：当b>0时，f(x)在(－1，1)上是减函数； 当b<0时，f(x)在(－1，1)上是增函数． 题型三　已知函数的单调性，确定参数的取值范围 例3　 (1)设函数f(x)＝x2＋aln(x＋1)(a为常数)，若函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________________． (2)若函数f(x)＝sin 2x－4x－msin x在[0，2π]上单调递减，则实数m的取值范围为________________． [点拨]　根据函数的单调性与其导函数的正负关系进行求解． 答案：(1)[－4，＋∞)　(2)[－2，2] 解析：(1)由题意知f ′(x)＝≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2－2x在区间[1，＋∞)上恒成立．因为y＝－2x2－2x在区间[1，＋∞)上的最大值为－4，所以a≥－4.经检验，当a＝－4时，f′(x)＝＝≥0，x∈[1，＋∞)．故实数a的取值范围是[－4，＋∞)． (2)易知f ′(x)＝2cos 2x－4－mcos x＝2(2cos2x－1)－4－mcos x＝4cos2x－mcos x－6≤0在[0，2π]上恒成立．令t＝cos x，则t∈[－1，1]，g(t)＝4t2－mt－6，则g(t)≤0在[－1，1]上恒成立，由二次函数的性质得即解得－2≤m≤2. 1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，注意检验参数取“＝”时是否满足题意． (2)先令f ′(x)>0(或 f ′(x)<0)，根据条件求出参数的取值范围，注意检验参数取“＝”时，f(x)是否满足题意． 2．恒成立问题的重要思路 (1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max. (2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.　　 对点练3.设函数f(x)＝xekx(k≠0)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求实数k的取值范围． 解：(1)f ′(x)＝(1＋kx)ekx，由f ′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－(k≠0)． 若k>0，则当x∈时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 若k<0，则当x∈时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减． 所以当k>0时，增区间为，减区间为；当k<0时，增区间为，减区间为. (2)方法一　由(1)知，若k>0，则当且仅当－≤－1，即k≤1时，函数f(x)在(－1，1)内单调递增；若k<0，则当且仅当－≥1，即k≥－1时，函数f(x)在(－1，1)内单调递增． 综上可知，函数f(x)在(－1，1)内单调递增时，实数k的取值范围是[－1，0)∪(0，1]． 方法二　因为f(x)在(－1，1)内单调递增，所以f ′(x)≥0在(－1，1)内恒成立． 令g(x)＝kx＋1，则g(x)≥0在(－1，1)内恒成立， 若k>0，则g(－1)≥0，所以－k＋1≥0，所以k≤1， 所以0<k≤1. 若k<0，则g(1)≥0，所以k＋1≥0，所以k≥－1， 所以－1≤k<0. 所以实数k的取值范围是[－1，0)∪(0，1]． 学生用书↓第73页 易错点　利用导数求函数单调区间时忽视定义域致误 设函数f(x)＝ax－－2ln x，且f ′(2)＝0，求函数f(x)的单调区间． [易错分析]　解答本题常常因为忽视f(x)的定义域而得到错误的单调区间． [误区警示]　在利用导数判断函数的单调性和求函数的单调区间时，必须先考虑函数的定义域，在定义域的范围之内解决问题． [正解]　由已知得x>0，则函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． 因为f ′(x)＝a＋－， 所以由f ′(2)＝a＋－1＝0，得a＝. 即f ′(x)＝＋－＝(2x2－5x＋2)． 令f ′(x)>0，得0<x<或x>2， 令f ′(x)<0，得<x<2， 故函数f(x)的单调递增区间为，(2，＋∞)，单调递减区间为. 1．(2024·天津河西区高二期末)设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　) 答案：C 解析：因为f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1，4)上单调递增，所以当x＜1，或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.故选C． 2．(多选)下列函数中，在区间上为增函数的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．y＝sin 2x B．y＝xex C．y＝x3－x D．y＝ln x－x 答案：BC　 解析：对于A，当x>1，则2x>2，则函数y＝sin 2x在区间上不单调，故A错误；对于B，y′＝ex>0在区间上恒成立，则函数y＝xex在区间上为增函数，故B正确；对于C，y′＝3x2－1>0在区间上恒成立，则y＝x3－x在区间上为增函数，故C正确；对于D，y′＝－1＝<0在区间上恒成立，则y＝ln x－x在区间上为减函数，故D错误．故选BC． 3．函数f(x)＝x＋2cos x，x∈(0，π)的单调递减区间是________． 答案： 解析：由f ′(x)＝1－2sin x<0，得sin x>，又x∈(0，π)，所以x∈. 4．若函数f (x)＝x3－ax2－x＋6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围为________． 答案：[1，＋∞) 解析：因为f ′(x)＝3x2－2ax－1，由题意可知f ′(x)≤0在(0，1)内恒成立．所以即a≥1，a的取值范围为[1，＋∞)． 课时测评18　导数与函数的单调性 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．已知函数f(x)的导函数f ′(x)有下列信息： ①f ′(x)＞0时，－1＜x＜2； ②f ′(x)＜0时，x＜－1或x＞2； ③f ′(x)＝0时，x＝－1或x＝2. 则函数f(x)的大致图象是图中的(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答案：C 解析：根据导函数图象信息知，函数f(x)在(－1，2)上是增函数，在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数．故选C． 2．(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f ′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　) A．f(c)>f(b) B． f(c)>f(a) C． f(a)>f(b) D． f(b)>f(a) 答案：ABD 解析：由f ′(x)图象可知函数f(x)在(－∞，c)上单调递增，在(c，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，又a，b，c∈(－∞，c)，且a<b<c，故f(c)>f(b)>f(a)．故选ABD． 3．定义在R上的可导函数f(x)，已知y＝ef′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的增区间是(　　 ) A．(－∞，1) B．(－∞，2) C．(0，1) D．(1，2) 答案：B 解析：由题意可知，当f ′(x)≥0时，y≥1，对应的区间是(－∞，2)，故函数y＝f(x)的增区间为(－∞，2)．故选B． 4．已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x＞0时，有f′(x)＞0，g′(x)＞0，则当x＜0时，有(　　) A．f ′(x)＞0，g′(x)＞0 B．f ′(x)＞0，g′(x)＜0 C．f ′(x)＜0，g′(x)＞0 D．f ′(x)＜0，g′(x)＜0 答案：B 解析：由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．因为当x＞0时，f ′(x)＞0，g′(x)＞0，所以f(x)，g(x)在(0，＋∞)上均单调递增，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，g(x)在(－∞，0)上单调递减，所以当x＜0时，f ′(x)＞0，g′(x)＜0.故选B． 5．若函数f(x)＝2x＋在区间[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥0 B．a≥2 C．a<2 D．a≤2 答案：D 解析：根据题意，函数f(x)＝2x＋，其导数f ′(x)＝2－，若函数f(x)＝2x＋在区间[0，＋∞)上单调递增，则f ′(x)＝2－≥0在区间[0，＋∞)上恒成立，必有a≤2(x＋1)2，又由x≥0，则a≤2，即实数a的取值范围是a≤2.故选D． 6．已知函数f(x)＝kex－1－x＋x2(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则f(x)的单调递增区间为________． 答案：(0，＋∞) 解析：由题知，f′(x)＝kex－1－1＋x，因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，所以f ′(0)＝k·e－1－1＝0，解得k＝e，故f ′(x)＝ex＋x－1.令f ′(x)＞0，解得x＞0，故f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 7．已知函数f(x)＝2x2－ln x＋1，则f(x)的单调减区间为________． 答案： 解析：因为f(x)＝2x2－ln x＋1(x>0)， 所以f ′(x)＝4x－，令f ′(x)<0，得4x－<0，解得－<x<.又x>0，所以0<x<.所以f(x)的单调减区间为. 8．已知函数f(x)＝ax2－xln x，若f ′(1)＝3，则a＝________；若函数f(x)在单调递增，则实数a的取值范围是________． 答案：2　 解析：因为f(x)＝ax2－xln x，所以f ′(x)＝2ax－ln x－1，因为f ′(1)＝3，所以2a－ln 1－1＝3，解得a＝2.因为函数f(x)在单调递增，所以f ′(x)＝2ax－ln x－1≥0在上恒成立，即a≥，设g(x)＝，x∈，则g′(x)＝＝－，当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减．所以g(x)max＝g(1)＝＝.所以a≥，即实数a的取值范围是. 9．(10分)已知函数y＝f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0，2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0. (1)求函数y＝f(x)的解析式；(4分) (2)求函数y＝f(x)的单调区间．(6分) 解：(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0，2)，知d＝2， 所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋C． 由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0， 知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6. 所以即 解得b＝c＝－3. 故所求的解析式是y＝f(x)＝x3－3x2－3x＋2. (2)f ′(x)＝3x2－6x－3. 令f ′(x)>0，得x<1－或x>1＋； 令f ′(x)<0，得1－<x<1＋. 故f(x)＝x3－3x2－3x＋2的单调递增区间为(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，单调递减区间为(1－，1＋)． 10．(10分)函数f(x)＝x－aln x的图象在点(1，f(1))处的切线恰好经过点(2，3)． (1)求a；(4分) (2)已知函数g(x)＝f(x)＋x2－bx在其定义域内单调递增，求实数b的取值范围．(6分) 解：(1)由f(x)＝x－aln x，得f′(x)＝1－， 则f′(1)＝1－a， 又f(1)＝1，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝(1－a)(x－1)， 即y＝(1－a)x＋a，把点(2，3)代入切线方程，得3＝2－2a＋a，解得a＝－1. (2)由g(x)＝f(x)＋x2－bx＝x＋ln x＋x2－bx，且函数g(x)在其定义域内单调递增， 得g′(x)＝1＋＋2x－b≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以b≤2x＋＋1， 因为2x＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当x＝时等号成立， 所以b≤2＋1，则实数b的取值范围为(－∞，2＋1]． 11．(5分)(多选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋4(a∈R)，则下列结论正确的是(　　) A．当a＝0时，函数f(x)为奇函数 B．当a>0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增 C．当a＝－3时，函数f(x)在(0，2)上单调递减 D．若函数f(x)在(0，2)上单调递减，则a<－3 答案：BC 解析：f ′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)，对于A，a＝0时，f(x)＝x3＋4，显然不是奇函数，故A错误；对于B，a>0时，令f′(x)>0，解得x>0或x<－，故a>0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，a＝－3时，f(x)＝x3－3x2＋4，f ′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f ′(x)<0，解得0<x<2，故f(x)在(0，2)递减，故C正确；对于D，f ′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)，结合题意(0，2)⊆(0，－)(a<0)，则－≥2，解得a≤－3，故D错误．故选BC． 12．(5分)(新定义)(多选)若函数exf(x)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的函数是(　　) A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－x C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2＋2 答案：AD 解析：对于A，exf(x)＝ex·2－x＝，在R上为增函数，故A符合要求；对于B，exf(x)＝ex·3－x＝，在R上为减函数，故B不符合要求；对于C，exf(x)＝ex·x3，故[exf(x)]′＝(ex·x3)′＝ex·(x3＋3x2)，显然函数exf(x)＝ex·x3在R上不单调，故C不符合要求；对于D，exf(x)＝ex·(x2＋2)，故[exf(x)]′＝[ex·(x2＋2)]′＝ex·(x2＋2x＋2)＝ex·[(x＋1)2＋1]＞0，故函数exf(x)＝ex·(x2＋2)在R上为增函数，故D符合要求，故选AD． 13．(15分)已知函数f(x)＝ln x－. (1)求f(x)在(1，f(1))处的切线；(6分) (2)比较ln与－的大小，并说明理由．(9分) 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝－＝， 所以k＝f′(1)＝，又切点为(1，0)， 所以f(x)在(1，0)处的切线方程为y＝(x－1)，即y＝x－. (2)ln<－.理由如下： 由(1)知f′(x)＝>0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 由0<<1，得f()<f(1)，又f(1)＝0，所以f()<0， 即ln－＝ln－<0， 即ln<－. 14．(15分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋ln x，a∈R. (1)当a＝1时，求f(x)在x＝1处的切线方程；(6分) (2)讨论函数f(x)的单调性．(9分) 解：(1)因为已知函数f(x)＝x2－2ax＋ln x，a∈R，所以f ′(x)＝(2a－1)x－2a＋， 当a＝1时，f(x)＝x2－2x＋ln x，f ′(x)＝x＋－2，所以f ′(1)＝0，又f(1)＝－， 所以f(x)在x＝1处的切线方程为y－＝0， 即y＝－. (2)由(1)知：f ′(x)＝(2a－1)x－2a＋＝＝， 所以①当a＝时，f ′(x)＝，此时f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； ②当a＝1时，f ′(x)＝≥0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ③当a>1时，令f′(x)＝0，有x＝，或x＝1，此时f(x)在和(1，＋∞)上单调递增， 在上单调递减； ④当a∈时，f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减； ⑤当a<时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 综合①②③④⑤知：①′当a≤时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； ②′当a∈时，f(x)在(0，1)和上单调递增，在x∈上单调递减； ③′当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ④′当a>1时，f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 学生用书↓第74页 学科网（北京）股份有限公司 $$