6.3.2 二项式系数的性质 课件-2025-2026学年高二下学期人教A版选择性必修三册

该高中数学课件围绕二项式系数的性质展开，从二项式定理回顾切入，通过自主研读梳理对称性、增减性与最值、系数和等核心知识点，以问题链（如对称性发现、增减性证明）搭建学习支架，衔接定理与性质应用。 其亮点在于以问题驱动培养数学思维，通过杨辉三角观察对称性（数学眼光），对比相邻项比值证明增减性（逻辑推理），赋值法及范德蒙德恒等式证明体现数学语言表达。实例有例2区分二项式系数与系数最值，例3用赋值法证奇偶项系数和。助力学生发展探究与推理能力，为教师提供系统教学资源。

回忆与展望 二项式定理： 二项式系数： 从不同的角度进行研究，有很多有趣的性质 6.3.2 二项式系数的性质 自主研读 P31~P34例3上面，梳理知识，记录疑问 二项式系数有哪些性质？课本从哪几个方面阐述的？ 什么是“赋值法”？课本用赋值法求出了什么？ 划出 ，以及 . 关注以下问题： 问题一：通过阅读与研究，你发现了二项式系数的哪些性质？ 1.对称性： 2.增减性与最值： 二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的：在中间项取得最大值. 当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值. 3.各二项式系数和： 问题二：对称性是怎样发现？  1 6 15 15 6 1 1 5 10 10 5 1 1 4 6 4 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 20 1.对称性： 组合数的性质 杨辉三角 问题三：怎样证明二项式系数的增减性？二项式系数最值出现在哪里？  由 可知， 当 时，二项式系数是逐渐增大的 所以 相对于 的增减情况由 决定 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的, 且中间项取得最大值 因为 中间一项（n为偶数时） 或中间两项(n为奇数时) 问题四：怎样证明二项式系数和的性质？  赋值法 典例精析 例1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第 k 项的二项式系数相同的项是(　　) A．第n－k项 B．第n－k－1项 C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项 √ 第k项的二项式系数是 ， 故第n－(k－1)＋1项的二项式系数与第k项的二项式系数相同． 由于 （上标和等下标） 典例精析 例2．在 中，求： (1)展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中系数最大的项 [解](1)由于n＝5为奇数， ∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项， 它们分别为 ， 典例精析 例2．在 中，求： (1)展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中系数最大的项 [解](2) 展开式通项为： 设Tk＋1项系数最大，则 解得： 由k∈N得：k=4 故系数最大项为： 典例精析 例3：求证：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 证明： 即：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 例4：已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，求值． (1)a0＋a1＋a2＋…＋a5； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5. [解](1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. (2)令x＝－1，得(－3)5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 由(2x－1)5的通项Tk＋1＝(－1)k25-kx5-k 知a1，a3，a5为负值， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5| ＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5 ＝35＝243. (3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝(－3)5， 得2(a1＋a3＋a5)＝1－35， 所以a1＋a3＋a5＝＝－121. 典例精析 问题五：你能利用二项式知识设计一个算法证明以下恒等式吗？  展开式中 xk 项的二项式系数为：______ 展开式中 xk 项的二项式系数为：______ 范德蒙恒等式 归纳总结 随堂小测 课本P34 练习1，2，4 课后作业 课本P34 习题6.3 1，5(3)(4) 课本P35 7(1)，10 $