精品解析：江苏省连云港市灌云县2021-2022学年八年级上学期期末模拟数学试卷

2021-2022八年级数学期末模拟试题 时间：100分钟　总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个图形中，不是轴对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 2. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　） A. 7cm B. 7cm或5cm C. 5cm D. 3cm 4. 如图，A、B、C、D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是（　　） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 5. 已知点P（1+m，2）在第二象限，则m的取值范围是（ ） A. m>-1 B. m<-1 C. m≤-1 D. m≥-1 6. 关于函数，下列结论正确的是( ) A. 函数必经过点 B. y随x的值增大而增大 C. 与x轴交于 D. 图象经过第一、二、四象限 7. 已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为（8，0）、（9，6）、（0，6），若一次函数y＝kx﹣8k的图象将△ABC分成面积为1∶2的两个部分，则k的值为（ ） A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣3或 D. ﹣2或﹣3 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 四舍五入得到的近似数万，精确到 _____位． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 11. 在平面直角坐标系中，若线段轴，，点A的坐标为，则点B的坐标为____． 12. 已知点在一次函数的图象上，则______． 13. 如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝21°，∠2＝30°，则∠3＝___． 14. 如图，直线y＝kx+b(k≠0)经过点A(﹣2，4)，则不等式kx+b＞4的解集为______. 15. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OCB的度数为____． 16. 笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离与甲船行驶时间之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①A，B港口相距；②乙船的速度为；③B，C港口相距；④乙船出发时，两船相距．其中正确的是___________（填序号）． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 求下列各式中的x： （1） （2） 18. 计算： （1） （2） 19. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 20. 已知与成正比例，且时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点是该函数图象上的一点，求的值． 21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形． （2）若AF＝BF＝，BE＝2，求线段DE的长． 22. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上. （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为（1，3），点C坐标为（2，1）； （2）△ABC的形状是 三角形，△ABC的面积是 ． （3）在y轴上是否存在一点P，使得PA＋PC最小，存在的话，请在图上标出点P的位置并写出P点坐标___________ ． 23. 如图，在中，于，，，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）试判断与的关系，并说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝2x相交于点B（m，4）． （1）求m，b的值； （2）直线l1与y轴交于点M，求△AOM的面积； （3）过动点P（n，0）且垂于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围． 25. 某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． （1）设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； （2）若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ 26. 从特殊出发：如图1，在ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF．小明的证明思路：如图2，连接AP，由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得PD+PE=CF（不需写出证明过程）． 变化一下：（1）如图3，当点P在BC的延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD、PE和CF的关系，并证明． 从几何到函数：如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数和的图像，l1、l2与x轴的交点分别为A、B． （2）两条直线恰好相交于y轴上的点C，点C的坐标是 ； （3）说明ABC是等腰三角形； （4）若l2上的一点M到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022八年级数学期末模拟试题 时间：100分钟　总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个图形中，不是轴对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得选项进行一一分析判定即可得出答案． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，关键是掌握轴对称图形定义． 2. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，根据相关知识逐个选项判断即可． 【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，本选项不符合题意． B、边边角，三角形不能唯一确定，本选项不符合题意． C、角角边，三角形唯一确定，本选项符合题意． D、一边一角无法确定三角形，本选项不符合题意， 故选：C． 3. 等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　） A. 7cm B. 7cm或5cm C. 5cm D. 3cm 【答案】D 【解析】 【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况，分别利用三角形的周长，等腰三角形的性质和三角形的三边关系进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立； 当长是3cm的边是腰时，底边长是13﹣3﹣3＝7cm，而3+3＜7，不满足三角形的三边关系． 故底边长是3cm． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，正确理解题意，分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键． 4. 如图，A、B、C、D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是（　　） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】先估算出的范围，再根据点的位置得出即可． 【详解】解：∵32＝9，3.52＝12.25， ∴3＜＜3.5， ∴四个点中最适合表示的是点C， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个平方数之间，再估算该无理数在哪两个数之间． 5. 已知点P（1+m，2）在第二象限，则m的取值范围是（ ） A. m>-1 B. m<-1 C. m≤-1 D. m≥-1 【答案】B 【解析】 【分析】令点P的横坐标小于0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵点P（1+m，2）在第二象限， ∴1+m＜0， 解得： m＜-1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 6. 关于函数，下列结论正确的是( ) A. 函数必经过点 B. y随x的值增大而增大 C. 与x轴交于 D. 图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，逐一验证各选项即可得到答案. 【详解】解：函数为，其中，， ∵当时，， ∴函数不经过点，A错误； ∵， ∴随的值增大而减小，B错误； ∵函数与轴相交时，令得，解得， ∴函数与轴交于，C错误； ∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，D正确. 7. 已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出x的取值范围，然后选择即可． 【详解】由题意得，2x+y=10， 所以，y=-2x+10， 由三角形的三边关系得，， 解不等式①得，x＞2.5， 解不等式②的，x＜5， 所以，不等式组的解集是2.5＜x＜5， 正确反映y与x之间函数关系的图象是D选项图象． 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为（8，0）、（9，6）、（0，6），若一次函数y＝kx﹣8k的图象将△ABC分成面积为1∶2的两个部分，则k的值为（ ） A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣3或 D. ﹣2或﹣3 【答案】C 【解析】 【分析】先找出一次函数经过顶点，再根据题意将△ABC分成面积为1：2的两个部分，求出E、F两点的坐标，用待定系数法代入一次函数解析式即可． 【详解】解：∵一次函数y=kx-8k，当x=8时，y=0， ∴一次函数y=kx-8k过定点(8，0)， 由题意可知，如图，直线AE或AF将△ABC分成面积之比为1：2的两个部分， ∵B、C三点的坐标分别为（9，6）、（0，6）， ∴BC//OA， ∴此时两三角形的高相等，面积之比等于底之比， 即CE：BE=1：2或CF：BF=2：1， ∴或， ∴E(3，6)，F(6，6)， 将E(3，6)代入y=kx-8k得，3k-8k=6， ∴k=-； 将F(6，6)代入y=kx-8k得，6k-8k=6， ∴k=-3； 综上可知：k=-3或k=-． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是发现直线过顶点，并用待定系数法解决问题． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 四舍五入得到的近似数万，精确到 _____位． 【答案】百位 【解析】 【分析】根据近似数的运算法则即可求解． 【详解】解：万，精确到百位， 故答案为：百位． 【点睛】本题主要考查近似数的应用，理解近似数的取值方法，四舍五入的运算方法是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的轴对称变换，掌握好点的坐标的变换规律是解题关键． 关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解． 【详解】解：点关于轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标变为其相反数， ∴对称点的坐标为 ． 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，若线段轴，，点A的坐标为，则点B的坐标为____． 【答案】（-1，4）或（7，4）##（7，4）或（-1，4） 【解析】 【分析】线段AB∥x轴，A、B两点纵坐标相等，又AB=4，B点可能在A点左边或者右边，根据距离确定B点坐标． 【详解】解：∵AB∥x轴，点A的坐标为， ∴A、B两点纵坐标都为4， 又∵AB=4， ∴当B点在A点左边时，B（3-4=-1，4）， 当B点在A点右边时，B（3+4=7，4）． 故答案为：（-1，4）或（7，4）． 【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握：平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等． 12. 已知点在一次函数的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由点P在一次函数图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴． 13. 如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝21°，∠2＝30°，则∠3＝___． 【答案】51° 【解析】 【分析】根据∠BAC=∠DAE通过角的计算即可得出∠1=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE即可证出△BAD≌△CAE（SAS），进而即可得出∠ABD=∠2=30°．再根据外角的性质即可得出∠3的度数． 【详解】解：∵∠BAC=∠DAE，∠BAC=∠1+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE， ∴∠1=∠CAE． 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD=∠2=30°． ∵∠3=∠1+∠ABD=21°+30°=51°． 故答案为：51°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及外角的性质，通过证明三角形全等找出∠ABD=∠2是解题的关键． 14. 如图，直线y＝kx+b(k≠0)经过点A(﹣2，4)，则不等式kx+b＞4的解集为______. 【答案】x＞-2． 【解析】 【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可． 【详解】观察图象知：当x＞-2时，kx+b＞4， 故答案为x＞-2． 【点睛】考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 15. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OCB的度数为____． 【答案】10° 【解析】 【分析】连接OA，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：如图所示，连接OA， ∵∠BAC=80°， ∴∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC=100°， ∵AB、AC的垂直平分线交于点O， ∴OB=OA，OC=OA， ∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB， ∴OBA+∠OCA=∠OAB+∠OAC=∠BAC， ∴∠OBC+∠OCB=100°−(∠OBA+∠OCA)= 100°−∠BAC=20°， ∴∠OCB=∠OBC=10°， 故答案为：10°． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟悉掌握线段垂直平分线的性质是关键． 16. 笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离与甲船行驶时间之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①A，B港口相距；②乙船的速度为；③B，C港口相距；④乙船出发时，两船相距．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据右图的图象可知A、B港口相距400km，从而可以判断①； 根据图象可知甲船4个小时行驶了400km，可以求得甲船的速度，从而求出乙船的速度，可以判断②； 根据甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，可以计算出B、C港口间的距离，从而可以判断③； 根据题意和图象可以计算出乙出发4h时两船相距的距离，从而可以判断④． 【详解】解：由题意和图象可知， A、B港口相距400km，故①正确； 甲船4个小时行驶了400km，故甲船的速度为：400÷4=100km/h，乙船的速度为：100÷1.25=80km/h，故②正确； 则400÷80=（400+sBC）÷100-1，得sBC=200km，故③正确； 乙出发4h时两船相距的距离是：4×80+（4+1-4）×100=420km，故④错误； 由上可得，正确的为①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 求下列各式中的x： （1） （2） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 解： 解得； 【小问2详解】 解： 或 解得或． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根，立方根的求法结合实数混合运算法则计算即可； （2）先根据绝对值的意义化简绝对值，然后根据算术平方根的求法以及实数混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式＝＝； （2）原式＝． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，算术平方根以及立方根的求法，绝对值等知识点，题目比较基础，熟练掌握基础知识点是关键． 19. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】解：的立方根是，的算术平方根是， ，， 解得：， 是的整数部分， ， ， 的平方根是． 【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可． 20. 已知与成正比例，且时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点是该函数图象上的一点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与成正比例，设，把与的值代入求出的值，即可确定出关系式； （2）把点代入一次函数解析式，求出的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意：设， 把，代入得：， 解得：． 与函数关系式为； 【小问2详解】 解：把点代入得： 解得． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形． （2）若AF＝BF＝，BE＝2，求线段DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）9 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质和余角的性质可证得∠D＝∠DFA，根据等腰三角形的判定即可证得结论； （2）根据题意过A作AH⊥DE于H，由等腰三角形的性质可得DH＝FH，根据全等三角形的判定证得△AFH≌△BFE，得到DH＝FH＝EF，在Rt△BEF中，根据勾股定理求出EF，即可求出DE． 【详解】解：（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥BC， ∴∠B＋∠BFE＝∠C＋∠D＝90°， ∴∠D＝∠BFE， ∵∠BFE＝∠DFA， ∴∠D＝∠DFA， ∴AD＝AF， ∴△ADF是等腰三角形； （2）过A作AH⊥DE于H， ∵DE⊥BC， ∴∠AHF＝∠BEF＝90°， 由（1）知，AD＝AF， ∴DH＝FH， 在△AFH和△BFE中， ， ∴△AFH≌△BFE（AAS）， ∴FH＝EF， ∴DH＝FH＝EF， 在Rt△BEF中， ∵BF＝，BE＝2， ∴EF＝＝3， ∴DE＝3EF＝9． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和判定以及全等三角形的性质和判定和勾股定理，正确作出辅助线，并证得DH=FH=EF是解决问题的关键． 22. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上. （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为（1，3），点C坐标为（2，1）； （2）△ABC的形状是 三角形，△ABC的面积是 ． （3）在y轴上是否存在一点P，使得PA＋PC最小，存在的话，请在图上标出点P的位置并写出P点坐标___________ ． 【答案】（1）见解析；（2）直角；5；（3）见解析；（0，） 【解析】 【分析】（1）根据点A与点C的坐标易得y轴在点A左侧一个单位，x轴在点C下方1个单位，建立直角坐标系即可； （2）利用勾股定理分别求出、、，再利用勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，利用面积公式计算面积； （3）存在点P，作点A关于y轴的对称点A’，连接A’C交y轴于一点即为点P，此时的值最小，设直线A’C的函数解析式为：，将A’(-1,3)，C(2,1)代入求解确定解析式，然后令，，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）根据点A与点C的坐标易得y轴在点A左侧一个单位，x轴在点C下方1个单位，作图如下： （2）∵，，， ∴， ∴是直角三角形，是直角， ∵，， ∴△ABC的面积， 故答案为：直角三角形，5； （3）如图：作点A关于y轴的对称点A’，连接A’C交y轴于一点即为点P，此时的值最小， 的最小值为线段的长度， 根据图象可得：A’(-1,3)，C(2,1), 设直线A’C的函数解析式为：，可得： ， 解得：， ∴函数解析式为：， 当时，， ∴点P的坐标为：， 故答案为： ． 【点睛】题目考查作图能力，根据已知点的坐标建立直角坐标系，勾股定理求网格中线段的长度，运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，利用一次函数待定系数法确定一次函数解析式，理解题意，综合运用各个知识点是解题关键． 23. 如图，在中，于，，，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）试判断与的关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）DE＝DF，DE⊥DF 【解析】 【分析】（1）根据SAS证明△BDG≌△ADC； （2）根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明． 【详解】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在△BDG和△ADC中， ， ∴△BDG≌△ADC（SAS）； （2）证明：由（1）知△BDG≌△ADC． ∴BG＝AC，∠BGD＝∠C， ∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F分别是BG，AC的中点， ∴DE＝BG＝EG，DF＝AC＝AF， ∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD， ∴∠EDG＋∠FDA＝90°， ∴DE⊥DF． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝2x相交于点B（m，4）． （1）求m，b的值； （2）直线l1与y轴交于点M，求△AOM的面积； （3）过动点P（n，0）且垂于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）m=2，b=3；（2）9；（3）n＜2． 【解析】 【分析】（1）将B（m，4）代入y=2x可得m=2，B（2，4），再代入直线l1的表达式中求出b的值即可； （2）在y=x+3中，令y=0得x=-6，即得AO=6，再求出OM=3，最后由三角形面积公式可求解； （3）用数形结合思想观察函数图象可直接得到答案． 【详解】解：（1）∵点B在直线l2上， ∴4=2m， ∴m=2， ∴点B的坐标为（2，4） ∵直线l1：y=x+b经过点B， ∴+b=4 ∴b=3； （2）将y=0代入y=x+3，得：x=﹣6， ∴OA=6 ∴△AOM的面积=； （3）由图象可知n＜2． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、函数值的比较等知识，解题的关键是掌握函数图象上点坐标的特征． 25. 某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． （1）设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； （2）若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ 【答案】（1）（且x为整数） （2）共有25种租车方案；租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时最省钱 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式与不等式组． （1） 先根据总费用=A型车费用+B型车费用列出函数表达式，再根据载客量不小于总人数、车辆数非负确定x的取值范围； （2） 结合总费用不超过21940元的条件，列出不等式组，确定x的整数取值，得到租车方案，再根据一次函数的增减性确定最省钱方案． 【小问1详解】 解： 租用A型号客车辆，则租用B型号客车辆， ． 总载客量需满足， ， ． 又为整数，且， 的取值范围是，且为整数． 【小问2详解】 解： 租车总费用不超过21940元， ， ． 结合（1）中，得，且为整数， 可取，共25种租车方案． 中，， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时，． 答：一共有25种租车方案，租用A型车21辆、B型车41辆时最省钱． 26. 从特殊出发：如图1，在ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF．小明的证明思路：如图2，连接AP，由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得PD+PE=CF（不需写出证明过程）． 变化一下：（1）如图3，当点P在BC的延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD、PE和CF的关系，并证明． 从几何到函数：如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数和的图像，l1、l2与x轴的交点分别为A、B． （2）两条直线恰好相交于y轴上的点C，点C的坐标是 ； （3）说明ABC是等腰三角形； （4）若l2上的一点M到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 【答案】（1）PD＋PE＝CF，见解析；（2） ；（3）见解析；（4）（，2）或（-，4） 【解析】 【分析】（1）连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得结论； （2）根据一次函数图象，与y轴交点即为点C，令x=0求出y值即可得到点C的坐标； （3）求出A、B、C三点坐标，根据坐标求出线段AB和AC的长相等，即可求证； （4）分M在线段BC上和M在线段BC外两种情况，再分别根据图②和③的结论，求得M到AC的距离，即M点的纵坐标，再代入l2的解析式可求出M的坐标． 【详解】解：小明的证明思路：如图②，连接AP， ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB， ∴＝AB•PD，＝AC•PE，＝AB•CF， ∵＋＝， ∴AB•PD＋AC•PE＝AB•CF， 又AB＝AC， ∴PD＋PE＝CF； （1）如图③，连接AP， ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB， ∴＝AB•PD，＝AC•PE，＝AB•CF， ∵−＝ ， ∴AB•PD−AC•PE＝AB•CF， 又∵AB＝AC， ∴PD−PE＝CF； （2）∵和两条直线恰好相交于y轴上的点C， ∴当 ，则 ， ∴ ； （3）∵点A是l1与x轴的交点， ∴当 时 ， ∴ ， ∵点B为l2与x轴的交点， ∴当 时 ， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴AB=AC, ∴ABC是等腰三角形； （4）如图④，由题意可求得A（−4，0），C（0，3），B（1，0）， ∴AB＝5，AC＝5，BC＝，OC＝3， 当M在线段BC上时，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AC，垂足分别为P、Q， ∵l2上的一点M到l1的距离是1， ∴MQ＝1， 由图②的结论得：MP＋MQ＝OC=3， ∴MP＝2， ∴M点的纵坐标为2， 又∵M在直线y＝−3x＋3， ∴当y＝2时，x＝ ∴M坐标为（，2）； 同理，由前面结论可知当M点在线段BC外时，有|MP−MQ|＝OC， 可求得MP＝4或MP＝−2，即M点的纵坐标为4或−2， 分别代入y＝−3x＋3，可求得x＝-或x＝（舍，因为它到l1的距离不是1）， ∴M点的坐标为（-，4）； 综上可知M点的坐标为（，2）或（-，4）． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合运用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和等积法等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $