精品解析：贵州遵义市南白中学2025-2026学年第二学期第一次测试高三数学试卷

2025-2026学年第二学期第一次测试高三数学试卷 一．选择题单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 命题：，，则它的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．如图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列结论中正确的是（　　） A. 这一星期内乙的每日步数的中位数为12970 B. 甲的每日步数星期三比星期二增加了1倍以上 C. 这一星期内甲的每日步数的平均值大于乙 D. 这一星期内甲的每日步数的极差小于乙 5. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 6. 若是第一象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. 0 C. D. 或 二．多选题多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，则（ ）． A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. 在上单调递减 D. 是奇函数 10. 已知分别为椭圆的左、右焦点，不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则下列结论正确的有（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆C的长轴长为2 C. 若A， B为左右顶点，则直线PA， PB斜率乘积为 D. 的面积的最大值为 11. 设函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在点处的切线方程为 B. 当时，有三个零点 C. 若有两个极值点，则 D. 若，则正实数的取值范围为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在篮球比赛中，罚球命中一次得1分，不中得0分．若篮球运动员甲罚球命中的概率为0.73，则篮球运动员甲罚球一次得分的均值是______． 13. 在数列中，，，若，则______． 14. 已知正方体，正方体所有顶点都在平面的同一侧，正方体的8个顶点到平面的距离恰好为1，2，3，4，5，6，7，8，则正方体的棱长为______. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为75°. （1）求两点间的距离； （2）求大楼的高度. 16. 已知数列的首项，且满足（）． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，求数列的前项和，并证明． 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，ADBC，，，． （1）证明：． （2）若，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值． 18. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）记函数的最小零点为，证明： （i）且； （ii）. 19. 已知双曲线的离心率为2，左焦点为，点在上． （1）求的方程． （2）过点的直线与的左支交于两点，直线分别交直线于点，的中点为． （i）求证：． （ii）记的面积分别为，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第一次测试高三数学试卷 一．选择题单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，再根据复数代数形式的除法运算计算可得. 【详解】因为在复平面内对应的点为， 又点关于直线对称的点为，所以， 所以. 故选：A 2. 已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算和向量的减法即可求解. 【详解】由题意. 故选：A 3. 命题：，，则它的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知： 命题：，，则它的否定为，. 故选：A 4. 中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．如图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列结论中正确的是（　　） A. 这一星期内乙的每日步数的中位数为12970 B. 甲的每日步数星期三比星期二增加了1倍以上 C. 这一星期内甲的每日步数的平均值大于乙 D. 这一星期内甲的每日步数的极差小于乙 【答案】C 【解析】 【分析】利用折线图的性质、中位数、平均数、极差的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，这一星期内乙的每日步数从小到大为：，，，，，，，中位数为，故A错误； 对于B，甲星期三走步，星期二走 步，没有增加倍以上，故B错误； 对于C，甲每日步数的平均值为：， 乙每日步数的平均值为：， 这一星期内甲的每日步数的平均值大于乙，故C正确； 对于D，这一星期内甲的每日步数的极差为：， 这一星期内乙的每日步数的极差为：， 这一星期内甲的每日步数的极差大于乙，故D错误. 5. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】， 则为奇函数，即， 故选:C. 6. 若是第一象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角正切公式得到方程，解得即可. 【详解】因为，所以，解得或， 又是第一象限角，所以. 故选：C 7. 已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式求出棱台的高，设和的中心分别为，作平面ABC交平面ABC于点，即为直线与平面ABC所成的角，利用锐角三角函数求得线面角的正切值. 【详解】设正三棱台的高为 ，， ， 正三棱台的体积 . ， 如图： 设和的中心分别为，连接，，AO， 作平面ABC交平面ABC于点D， 由几何体为正三棱台可知，点D在AO上，且四边形为矩形， 其中即为直线与平面ABC所成的角， 由，，可得，， ， 故选：. 8. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. 0 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求得，根据是函数的极小值点，求得，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数，可得， 因为是函数的极小值点，可得，解得或， 当时，，此时函数在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，， 令，解得或；令，解得， 所以在上单调递增，在上点单调递减， 所以是函数的极小值点，符合题意， 所以，此时，所以. 故选：A. 二．多选题多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，则（ ）． A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. 在上单调递减 D. 是奇函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可得，对称中心，即可求得，从而知函数的解析式，再根据余弦函数的图像与性质，逐一分析选项即可. 【详解】因为点在的图象上，所以．又，所以． 因为图象的一个对称中心是，所以，则． 又，所以，则，A正确． ，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确． 当时，，单调递减，C正确． ，是奇函数，D正确． 故选：ACD. 10. 已知分别为椭圆的左、右焦点，不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则下列结论正确的有（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆C的长轴长为2 C. 若A， B为左右顶点，则直线PA， PB斜率乘积为 D. 的面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB选项，根据椭圆方程得到，，从而求出离心率和长轴长；C选项，设求得的斜率，利用点在椭圆上得到，代入化简即得；D选项，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，求出两根之和、两根之积，求出和点到直线的距离为，表达出的面积，求出最大值. 【详解】AB选项，由题意得，故， 故椭圆的离心率为，长轴长为，A正确，B错误； C选项，∵ A,B 为的左、右顶点，∴, 设由题意得，则， 的斜率为 则，故C正确； D选项，设不过原点且斜率为1的直线为， 联立得，， 由，解得， 设，则， 则， ， 点到直线的距离为， 故的面积为 ， 因为，所以， 故当时，的面积取得最大值，最大值为，故D正确. 故选：ACD. 11. 设函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在点处的切线方程为 B. 当时，有三个零点 C. 若有两个极值点，则 D. 若，则正实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A由题可得点处的切线方程的斜率和，即可得切线方程；B，由题可得，，即可判断选项正误；C，有两个极值点等价于有两个整根，即可得取值范围；D，可化为，后由及单调性可得的取值范围. 【详解】对于A，设切线方程为：.当时，， 则，，即切线方程为，故A正确； 对于B，当时，，；或. 则在上递增，在上递减，得， ，又注意到当趋近于负无穷大时，趋近于正无穷大， 趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，则分别在上有一个零点，故B正确； 对于C，，，令， 因有两个极值点，则有两个不等正根，，故 C错误； 对于D，，即，可化为， 令，因，则在上单调递增， 即，令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则，则，即，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：对于三次函数零点个数问题，常利用函数极大值与函数极小值存在性及符号可判断零点个数； 极值点相关问题，常转化为导函数零点问题解决；指对函数含参问题，常利用指对互化以产生相同结构，从而简化问题. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在篮球比赛中，罚球命中一次得1分，不中得0分．若篮球运动员甲罚球命中的概率为0.73，则篮球运动员甲罚球一次得分的均值是______． 【答案】0.73 【解析】 【分析】由题，先求得和时的概率，即可求得期望. 【详解】由题意可得，的所有可能取值为0，1， ， 所以的分布列为 0 1 0.27 0.73 所以， 故答案为：0.73 13. 在数列中，，，若，则______． 【答案】506 【解析】 【分析】由题意可得到数列是等差数列，求得其通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意可得，故数列为等差数列，4为公差， 则，故令，解得. 故答案为：. 14. 已知正方体，正方体所有顶点都在平面的同一侧，正方体的8个顶点到平面的距离恰好为1，2，3，4，5，6，7，8，则正方体的棱长为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式建立等量关系求解. 【详解】将平面平移到经过顶点，平移后各顶点到平面的距离依次为0，1，2，3，4，5，6，7.以为原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系，分别是在平面上的射影，设正方体的棱长为，为平面的法向量，不妨设到平面的距离分别为（到平面的距离为3）. 则， 所以， 所以，所以， ，所以， ，所以. 所以，令，则，， 所以，由，得，所以. 故答案为： 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为75°. （1）求两点间的距离； （2）求大楼的高度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理计算即可求解； （2）根据题意可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【小问1详解】 因为， 在中，由正弦定理得， 即，所以m， 即AC两点的距离为m； 【小问2详解】 在中，因为，， 所以， 又， 所以m， 即大楼的高度为m. 16. 已知数列的首项，且满足（）． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，求数列的前项和，并证明． 【答案】（1） 由得， 又，所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2） 由（1）知，，所以 所以， 当时，单调递增，故． 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义即可求证， （2）由裂项相消法求和，即可求解,根据单调性，即可求证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，ADBC，，，． （1）证明：． （2）若，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值． 【答案】（1） 连接AC， 因为，，，， 所以在梯形ABCD中，可得，， 所以，可得， 因为平面，平面，所以， 因为，平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC，因为平面PAC，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC，通过几何关系求出，同时由题易得，由此即可证明平面PAC，即可得题目所证； （2）以为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，通过空间向量法求解两平面余弦值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面ABCD，， 所以以为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，， 所以平面PCD的一个法向量为， 显然是平面PAB的一个法向量， 设平面PAB与平面PCD的夹角为， 则， 所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）记函数的最小零点为，证明： （i）且； （ii）. 【答案】（1） （2） （i）由（1）知. 当时，，所以在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 所以. 又，. 为增函数；又. 当时，函数即为. 时，函数的最小零点即为的零点. 则存在，使得. ，.则. （ii）由题知. 先证恒成立，单调递增且存在唯一零点. 当为偶数时，函数为. 由（i）知，为增函数，零点为，. 又在上单调递减，在上单调递增. 则. 又，则单调递增，. . 则存在唯一零点，以此递推，……， . 则单调递增，又. 则存在唯一零点，命题成立. 又单调递增，且，所以. 由上述讨论知，在单调递减，在单调递增，且. 当为奇数时，函数为， 又时，，则存在另一零点，由题意知另一零点为，且. 现证明若存在使得，则. 即证，即证. 令，则. ，. ，. . . …… ，. . 反推可得到，命题得证. 又，则，即. 综上所述：. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解. （2）（i）根据导数求出，又，得到为增函数，当时，函数即为，根据零点存在性定理即可证明，代入即可证明；（ii）先分别证明两个不等式，通过分析函数的单调性和零点的性质来完成证明. 【小问1详解】 ，则. ，，则切线方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知双曲线的离心率为2，左焦点为，点在上． （1）求的方程． （2）过点的直线与的左支交于两点，直线分别交直线于点，的中点为． （i）求证：． （ii）记的面积分别为，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）由的方程知， 设． 由 得， 因为与的左支交于两点，且的渐近线方程为，可得， 即， 所以． 直线的方程为， 令，得， 所以，同理得． 所以 即． 当时，直线与轴垂直，与都在轴上，满足； 当时，有，也满足． 综上，． （ii） 所以，即存在，符合条件． 【解析】 【分析】（1）由已知可求得，进而由离心率求得，可求得的方程． （2）（i）设，将直线方程与的方程联立，由韦达定理可得，求得点的坐标，分与两种情况讨论可得结论；（ii）根据，，结合韦达定理进行整理，进而得到的取值. 【小问1详解】 设的半焦距为． 因为在上，所以， 因为的离心率，即， 所以． 故的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $