2.6.1函数的单调性课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 导数及其应用 第6节 用导数研究函数的性质 6.1函数的单调性 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、正确理解利用导数判断函数的单调性的原理。 2、掌握利用导数判断函数单调性的步骤。 1、掌握利用导数判断函数单调性的步骤。 1、理解利用导数判断函数的单调性的原理。 2 新 知 引 入 函数 在给定的区间M上，任意 且 时  (1)都有 则f(x)在M上是_________. M称为_____________________ (2)都有 则f(x)在M上是__________. M称为___________________ 1、函数的单调性 函数的单调性是在刻画函数值的变化。 增函数 单调递增区间 减函数 单调递减区间 新 知 引 入 2、导数的定义是什么？ 在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x）在点x0处的导数。 导数f＇(x0)刻画的是函数值y=f(x0)在点x0的瞬时变化率。 导数和单调性都是在刻画函数值的变化情况， 它们之间有何关系呢？ 新 知 引 入 引例1： 函数 单调性 导数 f(x)=x f(x)=2x+5 f(x)=-3x+4 f(x)=2x f(x)=()x f(x)=log3x 单调递增 单调递增 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 单调递减 f＇(x)=1 f＇(x)=2 f＇(x)=-3 f＇(x)=2xln2 f＇(x)=()xln f＇(x)= f＇(x)= ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＜ ＜ ____0 ____0 ____0 ____0 ____0 ____0 ____0 f(x)=x 新 知 引 入 引例2： 函数 单调性 导数 正负情况 f(x)=x2 在（0，+∞）上 单调递增 在（-∞，0）上 单调递减 f＇(x)=2x 在（0，+∞）上 f＇(x)＞0 在（-∞，0）上 f＇(x)＜0 学 习 新 知 导数与函数的的单调性之间的关系 （1）若在某个区间内，函数的导数， 则在这个区间内，函数单调递增； （2）若在某个区间内，函数的导数， 则在这个区间内，函数单调递减. 如果在(a，b)内恒有 那么f(x)在(a，b)内是常函数. 注意：1、 2、 f＇(x)＞0⇒f(x)是增函数 ；f＇(x)＜0⇒f(x)是减函数。 f＇(x)≥0且只有有限个点为0⇒f(x)是增函数。 f＇(x)≤0且只有有限个点为0⇒f(x)是减函数。 f(x)是增函数⇒f＇(x)≥0 ；f(x)是减函数⇒f＇(x)≤0 学 习 新 知 （1）确定函数的定义域； （2）求导函数 （3）解不等式，并写出解集； （4）根据（3）的结果确定函数的单调性或单调区间. 利用导数判断函数单调性或求单调区间的步骤 典 例 引 路 例1、导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是(　　) A B C D D 同 步 练 习 练1、设函数的图象如图所示，则导函数的图象可能为(　　) C 典 例 引 路 例2、求f (x)＝3x2－2ln x函数的单调区间. 解：f (x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)， f ′(x)＝6x－＝＝， 由x＞0，f ′(x)＞0，解得x＞. 由x＞0，f ′(x)＜0，解得0＜x＜. ∴函数f (x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为， 单调递减区间为. 同 步 练 习 练2、求函数f (x)＝x2e－x的单调区间. 解：函数的定义域为(－∞，＋∞)． f ′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′ ＝2xe－x－x2e－x ＝e－x(2x－x2)， 由f＇(x)＞0,解得0＜x＜2 由f＇(x)＜0,解得x＜0或x＞2 ∴f (x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)， 单调递增区间为(0，2)． 典 例 引 路 例3、讨论函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的单调性。 解：函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的定义域为R f＇(x)=6x2-6x-36=6(x+2)(x-3) 设f＇(x)＞0，则6(x+2)(x-3)＞0，即x＜-2或x＞3 ∴当x∈(-∞,2)或（3，+∞）时，f＇(x)＞0， 因此，在这两个区间上，函数f(x)均为单调递增； 当x∈(-2,3)时，f＇(x)＜0， 因此，在这个区间上，函数f(x)单调递减。 同 步 练 习 练3、讨论函数的单调性. 解：函数的定义域为R f＇(x)=x2-x-2=(x-2)(x+1) 设f＇(x)＞0，则(x-2)(x+1)＞0，即x＜-1或x＞2 ∴当x∈(-∞,-1)或（2，+∞）时，f＇(x)＞0， 因此，在这两个区间上，函数f(x)均为单调递增； 当x∈(-1,2)时，f＇(x)＜0， 因此，在这个区间上，函数f(x)单调递减。 典 例 引 路 例4、讨论函数f (x)＝kx－ln x的单调区间． 解：函数f (x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝k－＝. 当k≤0时，kx－1＜0，∴f ′(x)＜0，则f (x)在(0，＋∞)上单调递减． 当k＞0时，由f ′(x)＜0，得＜0，解得0＜x＜； 由f ′(x)＞0，得＞0，解得x＞ . ∴当k＞0时，f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述，当k≤0时，f (x)的单调递减区间为(0，＋∞)； 当k＞0时，f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为. 同 步 练 习 练4、已知函数f (x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，讨论f (x)的单调性． 解:f (x)的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)． ①若a≤0，则f ′(x)＜0，所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减． ②若a＞0，则由f ′(x)＞0，得x＞－ln a. 由f ′(x)＜0，得x＜－ln a. 所以f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减， 在(－ln a，＋∞)上单调递增． 综上，当a≤0时，f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a＞0时，f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减， 在(－ln a，＋∞)上单调递增． 典 例 引 路 例5、若函数f(x)=x - - alnx在定义域内单调递增，则实数a的取值范围为________ 解：函数f(x)的定义域为（0，+∞） ∵函数f(x)在定义域内单调递增 ∴ f＇(x)= 1 + - = ≥ 0 恒成立 ∴ x2-ax+4≥0恒成立 ∴ a≤ x + 恒成立 又∵x+≥ 2 = 4（当且仅当x=,即x=2时，等号成立） ∴a≤4 同 步 练 习 练5、若函数f(x)=cosx-ax在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是______________． 解：函数f(x)=cosx-ax在定义域为R， ∵函数f(x)在定义域内单调递减 ∴f＇(x)=-sinx-a≤0恒成立 ∴a≥-sinx恒成立 又∵-sinx≤1 ∴a≥1 典 例 引 路 例6、若f(x)=(x2+2x-a)ex在[-3,+∞)上是单调递增函数，则实数a的取值范围为_________. 解：f＇(x)=(2x+2)ex+(x2+2x-a)ex=(x2+4x+2-a)ex ∵函数f(x)在[-3,+∞)上是单调递增函数 ∴当x∈[-3,+∞)时，f＇(x)≥0恒成立 即(x2+4x+2-a)ex≥0恒成立 ∴当x∈[-3,+∞)时，(x2+4x+2-a)≥0恒成立 ∴当x∈[-3,+∞)时，a≤x2+4x+2恒成立 又x2+4x+2=（x+2)2-2≥-2 ∴a≤-2 同 步 练 习 练6、已知函数f(x)=-x2+mx+2lnx在(2,3)上单调递减，则m的取值范围是______． 解：∵函数f(x)在(2,3)上单调递减 ∴当x∈(2,3)时，f＇(x)= -2x + m + ≤0恒成立 即x∈(2,3)时，m≤2x - 恒成立 记 h(x)= 2x - ，x∈(2,3) 则h＇(x)=2+＞0 所以h(x)在（2,3）上单调递增，所以h(x)＞h(2)=3 ∴ m ≤3 典 例 引 路 例7、若函数f(x)= 在区间[2,3]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是____________. 解：f＇(x) = = 依题意，存在x∈[2,3]，使得f＇(x)＞0， 即存在x∈[2,3]，使得a＜-x2+2x， ∵函数y=-x2+2x在[2,3]上单调递减， ∴当x=2时，ymax=0，则a＜0， 所以实数a的取值范围是a＜0. 同 步 练 习 练7、若函数h(x)=lnx - ax2 - 2x 在（ ，2）上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为_________ 解：依题意，h＇(x) = - ax - 2＜0 在（ ，2）上有解 即 a ＞ - 在（ ，2）上有解 又∵ - = （ -1）2 -1 ≥ -1 ∴a＞-1 同 步 练 习 全 课 总 结 一、f＇(x)＞0⇒f(x)是增函数 ；f＇(x)＜0⇒f(x)是减函数。 f＇(x)≥0且只有有限个点为0⇒f(x)是增函数。 f＇(x)≤0且只有有限个点为0⇒f(x)是减函数。 f(x)是增函数⇒f＇(x)≥0 ；f(x)是减函数⇒f＇(x)≤0 二、利用导数求单调区间或判断单调性。 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 24 $