精品解析：甘肃省武威市凉州区武威第十七中学2025-2026学年第二学期九年级数学中考模拟试卷

2025-2026学年第二学期九年级数学中考模拟试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是二次函数的部分图象，该图象经过点，其对称轴为：直线，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 如图，为的弦，直线与相切于点C，且，连接，，若点D为弦所对弧上一点，则为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A. B. C. D. 6. 甘肃是一个非常适合旅游的地方，有着丰富的文旅资源．某校准备组织九年级学生进行研学旅行活动，周老师随机抽取了其中一些学生进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图所示的统计图（不完整）．下列说法错误的是（ ） A. 这次调查的样本容量是50 B. 九年级500名学生中，估计想去莫高窟的学生大约有200人 C. 被调查的学生中，想去麦积山石窟的人数最多 D. 被调查的学生中，想去嘉峪关关城的学生有10人 7. 市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（ ） A. 元 B. 45元 C. 元 D. 48元 8. 如图，在中，，，，点在边上（不与点，重合）．将线段绕点顺时针旋转到，连接，若是等腰直角三角形，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中“均输章”有云：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”受此启发，我们构建如下生活情境：在两座城市A和B之间，甲车从城市A驶向城市B，全程需7天；乙车从城市B驶向城市A，全程需9天．若甲车先出发2天后，乙车才从城市B出发，两车相向而行．设从乙车出发后，经过天两车相遇．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，当点运动到的中点处时，的面积为（　　） A. 48 B. 40 C. 24 D. 30 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 12. 已知直线向下平移个单位后经过点，则的值为________． 13. 已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是_____． 14. 若m和n互为相反数，p和q互为倒数，a是最大的负整数，则的值为_______． 15. 已知直线经过抛物线的顶点．若当时总有，则当时，的取值范围是________． 16. 如图，点A，B，C，D，E在上，D是的中点，．若，，则__________°． 17. 如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则________． 18. 如图，在中，，，．将折叠，使点B的对应点落在边上，折痕分别与交于点D，E．若与相似，则的长为___________ 三、解答题（共66分） 19. 按要求完成下列各式： （1）计算：； （2）解不等式组：． 20. 如图，已知是的直径，点在上，，连接，，点是线段延长线上一点，且，连接并延长交射线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，连接，求的长． 22. 如图，在中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，，时，求的长． 23. 领航无人机表演团队进行无人机表演训练，无人机从地面起飞匀速上升，6s时到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，到达距离地面高度时进行联合表演，表演完成后按一定的速度返回地面．无人机所在的位置距离地面高度y（m）与无人机飞行时间x（s）的函数关系如图所示，根据图象信息，解答下列问题： （1）求所在直线的函数表达式； （2）这些无人机联合表演完成后，返回时，需再飞行多少秒距地面的高度为12m？ 24. 列方程或不等式解应用题： 为迎接南方小土豆的到来，冰雪大世界做好冰雕艺术品制作，某公司有A、B两搬运组搬运冰冻原料，已知A组每小时比B组每小时多搬运20千克，且A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等． （1）求这两个搬运组每小时分别搬运多少千克冰冻原料； （2）为生产效率和生产安全考虑，A，B两组都要参与冰冻原料运输但两组不能同时进行工作，如果要求不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运，则A组至少搬运多少千克冰冻原料？ 25. 兰陵阁是兰陵兰溪湿地公园地标性建筑，某数学兴趣小组为了测量兰陵阁的高度，制定了两种方案： 方案一：利用测角仪在地面进行测量．如图1，先在点C处测得兰陵阔的顶端A的仰角为，又向前走了5米到点D处，此时测得顶端A的仰角为； 方案二：利用无人机在空中进行测量．如图2，无人机在离地面30米高的点E处测得兰陵阁顶端A的俯角为，测得底部B的俯角为； 请你选择一种测量方案，结合测得的数据，计算兰陵阁的高度约为多少米？（参考数据，，，，，）． 26. 实施“双减”政策后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“双减”前后参加校外学科补习班的情况进行了一次随机问卷调查（以下将参加校外学科补习班简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表和统计图1． “双减”前后报班情况统计表（第一组） 0 1 2 3 4及以上 合计 “双减”前 102 48 75 51 24 m “双减”后 255 15 24 n 0 m “双减”前后报班情况统计图（ 第二组） 、整理描述 （1）根据表1，m 的值为 ，n的值为 ． 分析处理 （2）请你汇总统计表和图 1 中的数据，求出“双减”后报班数为 3 的学生人数所占的百分比． （3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图 2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题： ①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 ，“双减”后学生报班个数的众数为 ． ②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括） 27. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求线段的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，过平面上一点作任意一条直线交抛物线于两点，过点作直线，分别交轴于两点，试探究与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级数学中考模拟试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据分式的加减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2. 实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴上点表示有理数，根据数轴上的点确定式子的符号，不等式的性质，理解并掌握数轴的特点是解题的关键．根据数轴上点的特点得到，结合不等式的性质即可求解． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ， 故B不符合题意； ， 故C符合题意； ， ， 故D不符合题意； 故选：C． 3. 如图，是二次函数的部分图象，该图象经过点，其对称轴为：直线，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断，由抛物线的顶点坐标为，可得函数有最小值，可判断①②；由且，则，可判断③；由对称性可得一元二次方程的根为或，可判断④错误；由抛物线开口向上，对称轴为直线，时，y随x的增大而增大，可得，可判断⑤．即可得到答案． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴， ∴， 故①正确； ②根据函数图象可得抛物线开口向上， ∵由图可知抛物线的顶点坐标为， ∴时，函数有最小值， ∴， 故②错误； ③若且，则， ∴， 故③正确； ④由条件可得关于x的一元二次方程的根为或， 故④错误； ⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确选项有3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，包括二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握原式知识点是关键． 4. 如图，为的弦，直线与相切于点C，且，连接，，若点D为弦所对弧上一点，则为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，由切线的性质得，由垂径定理得，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵直线与相切于点C， ∴． ∵， ∴， ∴． 当点D在优弧上时， ． 当点D在劣弧上时， ． 故选C． 5. 如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．连接，先根据矩形与折叠的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，最后在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，为的中点，点在边上， ∴，，， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵的延长线过点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：A． 6. 甘肃是一个非常适合旅游的地方，有着丰富的文旅资源．某校准备组织九年级学生进行研学旅行活动，周老师随机抽取了其中一些学生进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图所示的统计图（不完整）．下列说法错误的是（ ） A. 这次调查的样本容量是50 B. 九年级500名学生中，估计想去莫高窟的学生大约有200人 C. 被调查的学生中，想去麦积山石窟的人数最多 D. 被调查的学生中，想去嘉峪关关城的学生有10人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，正确读取统计图中的信息是解题的关键． 根据统计图中的信息逐项判断即可． 【详解】解：人， 这次调查的样本容量是50， 故选项A正确，不符合题意； 人， 九年级500名学生中，估计想去莫高窟的学生大约有200人， 故选项B正确，不符合题意； ， 被调查的学生中，想去莫高窟的人数最多， 故选项C错误，符合题意； 人， 被调查的学生中，想去嘉峪关关城的学生有10人， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 7. 市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（ ） A. 元 B. 45元 C. 元 D. 48元 【答案】C 【解析】 【分析】分和，求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，求函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故， 故选：C． 8. 如图，在中，，，，点在边上（不与点，重合）．将线段绕点顺时针旋转到，连接，若是等腰直角三角形，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，，则，则，所以，由勾股定理可得，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，最后由线段和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由旋转性质可知：， ∴， 故选：． 9. 《九章算术》中“均输章”有云：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”受此启发，我们构建如下生活情境：在两座城市A和B之间，甲车从城市A驶向城市B，全程需7天；乙车从城市B驶向城市A，全程需9天．若甲车先出发2天后，乙车才从城市B出发，两车相向而行．设从乙车出发后，经过天两车相遇．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设从乙车出发后，经过天两车相遇，将A和B之间的总路程看作“1”，则甲车一天走，乙车一天走，列方程即可． 【详解】解：设从乙车出发后，经过天两车相遇， 根据题意得， 故选：B． 10. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，当点运动到的中点处时，的面积为（　　） A. 48 B. 40 C. 24 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是理解并读懂函数图象各个点的实际意义． 图1和图2中的点对应：点对点，点对点，点对点，根据点运动的路程为，线段的长为，依次解出，即点的横坐标，，即点的纵坐标，然后利用勾股定理求出高，再由三角形中线等分面积即可求解． 【详解】解：在图1中，作，垂足为， 在图2中，取，， 当点从点到点时，对应图2中线段，得， 当点从到时，对应图2中曲线从点到点，得， 解得， 当点到点时，对应图2中到达点，得， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得， 当点运动到的中点处时，， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式和二次根式有无意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得且． 故答案为：且． 12. 已知直线向下平移个单位后经过点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的规律得到平移后的解析式为，然后把点的坐标代入求值即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移（）个单位后得到， 把代入，得，解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键． 13. 已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解得情况，求参数的取值范围．将两个二元一次方程相加，得到的值，根据，求出的取值范围即可． 【详解】解：， 得：，即：； ∵， ∴，解得：； 故答案为：． 14. 若m和n互为相反数，p和q互为倒数，a是最大的负整数，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相反数，倒数，负整数．根据相反数、倒数、负整数的性质求出相关数据，代入所给代数式计算即可求解． 【详解】解：∵m和n互为相反数，p和q互为倒数，是最大的负整数， ∴，，， ∴． 故答案为：． 15. 已知直线经过抛物线的顶点．若当时总有，则当时，的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数与不等式，涉及到二次函数和一次函数的性质，由直线经过拋物线的顶点得到，，结合当时，，得到抛物线和直线的大致图象，进而求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 将代入并整理得：， ∴， ∵当时，， ∴， 当时，则或， ∴函数图象大致如下： 结合函数图象知，当时，x的取值范围是：， 故答案为：． 16. 如图，点A，B，C，D，E在上，D是的中点，．若，，则__________°． 【答案】85 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．连接，由三角形内角和定理与等腰三角形的性质得，由圆心角、弧、弦的关系求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：85． 17. 如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，求角的正切值，相似三角形的性质与判定．过A、B作轴，轴，根据条件得到：，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：如图所示，过A、B作轴，轴，垂足分别为C、D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，．将折叠，使点B的对应点落在边上，折痕分别与交于点D，E．若与相似，则的长为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质．设，则，由折叠的性质得，分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：设，则，由折叠的性质得， 分两种情况讨论， 当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得， 综上，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（共66分） 19. 按要求完成下列各式： （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 20. 如图，已知是的直径，点在上，，连接，，点是线段延长线上一点，且，连接并延长交射线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（）连接，可证，又由垂径定理可得，即得，即可求证； （）由切线的性质得，设半径长为，则，，利用勾股定理可得，，进而由锐角三角函数得，即可得，再根据解答即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的切线， ∴， ∴， 设半径长为，则，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 过点作于，则，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂径定理，切线的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，连接，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的表达式、反比例函数与一次函数的交点问题和反比例函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键． （1）先将点的坐标代入中得到的值，从而得出反比例函数的表达式，再把点代入中，求出的值，最后根据待定系数法求出一次函数的表达式； （2）先把代入中求出点的坐标，再由题意可以知道轴，得到点与点的纵坐标相等，从而求出点的坐标，最后根据勾股定理求出的长． 【小问1详解】 解：将代入中，得 反比例函数的表达式为． 将代入中，得， ． 将，分别代入中，得 ，解得， 一次函数的表达式为． 【小问2详解】 把代入得， 点坐标为， 由题意知点，点纵坐标相等， 把代入中，得， 点坐标为， ， 在中，． 22. 如图，在中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，，时，求的长． 【答案】（1） 证明：， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，运用平行四边形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出，，再证，则，得，求出，进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：或（舍去）， ，， 由（1）得：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：或,（舍去）， 即． 23. 领航无人机表演团队进行无人机表演训练，无人机从地面起飞匀速上升，6s时到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，到达距离地面高度时进行联合表演，表演完成后按一定的速度返回地面．无人机所在的位置距离地面高度y（m）与无人机飞行时间x（s）的函数关系如图所示，根据图象信息，解答下列问题： （1）求所在直线的函数表达式； （2）这些无人机联合表演完成后，返回时，需再飞行多少秒距地面的高度为12m？ 【答案】（1） （2）返回时，需再飞行7秒距地面的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象与一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）结合图象，求得，利用待定系数法即可求解； （2）无人机联合表演完成后，返回的速度为米/秒，再根据时间路程时间即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得无人机上升过程中的速度为（米/秒）， 由图象知，， ∵无人机的速度为8米/秒， 无人机匀速从48米到96米所用时间为（秒）， 无人机在48米处表演完，此时时间为（秒）， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， ∴线段所在直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：无人机联合表演完成后，返回的速度为（米/秒）， 返回时，距地面的高度为需飞行的时间为（秒）， 答：返回时，需再飞行7秒距地面的高度为． 24. 列方程或不等式解应用题： 为迎接南方小土豆的到来，冰雪大世界做好冰雕艺术品制作，某公司有A、B两搬运组搬运冰冻原料，已知A组每小时比B组每小时多搬运20千克，且A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等． （1）求这两个搬运组每小时分别搬运多少千克冰冻原料； （2）为生产效率和生产安全考虑，A，B两组都要参与冰冻原料运输但两组不能同时进行工作，如果要求不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运，则A组至少搬运多少千克冰冻原料？ 【答案】（1）120千克，100千克 （2）480千克 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设B组每小时搬运x千克冰冻原料，根据A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等列方程求解即可； （2）设A组搬运m千克原料，根据不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设B组每小时搬运x千克冰冻原料，则A组每小时搬运千克冰冻原料， 根据题意，得 解得， 经检验是原方程的解． ． 答：A组每小时搬运120千克原料，B组每小时搬运100千克原料． 【小问2详解】 解：设A组搬运m千克原料． 根据题意，得 解得． 答：A组至少搬运480千克原料． 25. 兰陵阁是兰陵兰溪湿地公园地标性建筑，某数学兴趣小组为了测量兰陵阁的高度，制定了两种方案： 方案一：利用测角仪在地面进行测量．如图1，先在点C处测得兰陵阔的顶端A的仰角为，又向前走了5米到点D处，此时测得顶端A的仰角为； 方案二：利用无人机在空中进行测量．如图2，无人机在离地面30米高的点E处测得兰陵阁顶端A的俯角为，测得底部B的俯角为； 请你选择一种测量方案，结合测得的数据，计算兰陵阁的高度约为多少米？（参考数据，，，，，）． 【答案】兰陵阁的高度约为米； 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用； 选择方案一：设，可得，结合，再建立方程求解即可； 选择方案二：如图，延长交水平线与，结合题意可得：，，，，设，求解，结合，再建立方程并进一步求解即可. 【详解】解：选择方案一： 由题意可得：，，，， 在中，， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴兰陵阁的高度约为米； 选择方案二： 如图，延长交水平线与，结合题意可得：，，，， 在中，， ∴设， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴； ∴兰陵阁的高度约为米； 26. 实施“双减”政策后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“双减”前后参加校外学科补习班的情况进行了一次随机问卷调查（以下将参加校外学科补习班简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表和统计图1． “双减”前后报班情况统计表（第一组） 0 1 2 3 4及以上 合计 “双减”前 102 48 75 51 24 m “双减”后 255 15 24 n 0 m “双减”前后报班情况统计图（ 第二组） 、整理描述 （1）根据表1，m 的值为 ，n的值为 ． 分析处理 （2）请你汇总统计表和图 1 中的数据，求出“双减”后报班数为 3 的学生人数所占的百分比． （3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图 2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题： ①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 ，“双减”后学生报班个数的众数为 ． ②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括） 【答案】（1）300，6； （2）“双减”后报班数为3个的学生人数占比； （3）①1，0； ②该市城区学生“双减”后报班的人数大幅度下降，“双减”取得了显著成效．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、统计表等，从统计图表中有效的获取信息是解题的关键． （1）将统计表中“双减”前的数据相加可得m的值，然后用m减去“双减”后其它已知数据可得到n． （2）用“双减”后报班数为3的学生人数除以总人数即可得到所占的百分比． （3）①将报班个数的人数从小到大排列，再查询第、位的个数是几即可；统计“双减”后学生报班个数最多的即可． ②根据“双减”前后报班个数变化情况作出客观的分析和结论即可． 【详解】解：（1）根据第一组表格可得：， ． 故答案为：；6． （2）解：收集到的第一组数据有：． 收集到的第二组数据有：． 参与调查的总人数： （人）． 两组数据中，“双减”后报班数为3的学生人数均为6人． ∴． 故“双减”后报班个数为3的学生人数占比． （3）①将“双减”前报班个数从小到大排列，其中位于中间的第、位是报班个数为“1个”的，因此报班个数的中位数是1；“双减”后报班个数最多的为“0个”，因此“双减”后学生报班个数的众数为0． ②分析1：“双减”后参加校外学科补习班的人数明显下降； 分析2：“双减”后参加校外学科补习班的现象仍然存在，但比“双减”前明显减少； 分析3：“双减”后不报班的学生人数明显增加． （注：写出一条，且答案合理即可给分） 27. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求线段的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，过平面上一点作任意一条直线交抛物线于两点，过点作直线，分别交轴于两点，试探究与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为，此时 （3）与的积为定值，定值为2 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式为：设，过作，交于，求出，进而求出，利用而阐述的性质即可解答； （3）设直线的解析式为：，求出直线的解析式为：，联立：，求出，求出直线的解析式为，进而求出，同理：，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意的： 抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：， 设直线的表达式为： ， 设直线的表达式为： 设，过作，交于 ∵， ∴， ， 的最大值为，此时； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为：，且直线经过点 直线的解析式为： 联立： 得 设直线的解析式为：， 同理： ， 与的积为定值，定值为2． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，根和系数的关系等．解决（3）问的关键的是通过相似三角形用坐标表示出线段，的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $