第十七讲 圆-【数理报】2026年中考数学高效复习

数理极 专项提分 第十七讲 员 ⊙云南张志强 第一部分 抢分前言 概念：圆、同圆、等圆、孤、弦、圆周角、圆心角。 阎是 图形，对称轴是 ,圆的对称轴有 条，圆又是 图形，对称中心是 垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的 推论：平分弦（不是直径）的直径弦，并且平分弦所对的 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弦或等孤所对的圆周角，同孤 或等孤所对的圆周角的度数是其所对圆心角度数的 圆心角、弦、孤之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条孤、两条 弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 盘皇买浆 设⊙0的半径为，点P到圆心的距离为d,则有：①点P在圆外曰 ②点P在圆上曰 :③，点P在圆内曰 圆 设⊙0的半径为r,圆心到直线1的距离为d,则有：①直线1与⊙0相 交←与 :②直线1与⊙0相切曰 :③直线1与⊙0相离台 图整奖黑的 判定 切线 性质： 髀 孤长的计算公式： 扇形面积的计算公式 第二部分 抢分培训 考点1：圆周角定理 跟踪训练2：如图4，AB 例1 如图1，AB是 是⊙0的直径，点D,M分别 ⊙0的直径，D,C是⊙0上 是弦AC,弧AC的中点，AC= 的点，∠ADC=115°，则 12,BC=5,则MD的长是 ∠BAC的度数是 () 图4 A.25° B.30 图1 考点3：与圆有关的位置关系 C.35° D.40° 例3在平面直角坐标系中，以点4(4,3)》 解：因为∠ADC=I15°，∠ADC+∠B=为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点0 180°，所以∠B=65°，因为AB是⊙0的直径，所在圆A的外部，那么半径R的取值范围是 以∠ACB=90°， 所以∠BAC=180°-90°-65°=25°.故选 A.0<R<5 B.3<R<4 A. C.3<R<5 D.4<R<5 跟踪训练1：如图2，A,B, 解：因为A(4,3),所以04=√32+4=5， C为⊙0上的三个点，∠AOB 因为原点0在圆A的外部，所以R<OA,即R< =4∠B0C,若∠ACB=60°， 5 则∠BAC的度数是( 因为圆A与x轴相交，所以R>3,所以3< A.20° B.18o 图2 R<5.故选C C.159 D.12o 例4若⊙0的半径为3，圆心0到直线1的 考点2：垂径定理 距离为3，那么直线与⊙0的位置关系是 例2如图3，在⊙0中， OA⊥BC,∠ADB=30°，BC= A.相离 B.相切 23,则0C= C.相交 D.不能确定 A.1 B.2 解：因为⊙0的半径为3，圆心0到直线1的 C.25 D.4 距离为3，所以直线1与⊙0相切.故选B. 图3 解：连接OB,设AO与BC交于点E,因为 跟踪训练3：(1)如图5，在矩形ABCD中，AB ∠ADB=30°，所以∠AOB=2∠ADB=60°， =8,BC=35,点P在边AB上，且BP=3AP 因为O11BC,BC=25,所以∠COE=如果圆P是以点P为圆心，PD长为半径的圆，那 么下列判断正确的是 () LROE-60CE=BE-C5 A.点B,C均在圆P外 在Rt△OCE中，∠C0E=60°，CE=√3，所 B.点B在圆P外，点C在圆P内 以OC=CE C.点B在圆P内，点C在圆P外 sin60。=2.故选B. D.点B,C均在圆P内 57 B E D A P 图5 图6 (2)如图6，△ABC中，AB=3,AC=4,BC =5,D,E分别是AC,AB的中点，则以DE为直径 的圆与BC的位置关系是 ( A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定 考点4：切线的有关计算 例5如图7，PA, D PB分别与半径为3的 E ⊙0相切于点A,B,直线 CD分别交PA,PB于点 A C,D,并切⊙0于点E, 图7 当P0=6时，△PCD的周长为 解：因为直线PA,PB,CD均为⊙O的切线 所以PA=PB,DE=DB,CE=CA, 所以△PCD的周长=PD+PC+DE+CE PD PC+DB+CA PA+PB 2PA. 连接OA,由题意得，0A=3,P0=6,0A1 PA,所以PA=√P02-OA=35,所以△PCD 的周长=2PA=65.故填65. 跟踪训练4：如图8， PA,PB分别与⊙O相切于 A,B两点，且∠APB= 56°.若点C是⊙0上异于 B 点A,B的一点，则∠ACB 图8 的大小为 考点5：三角形的外接圆与内切圆 例6在Rt△ABC中，AB=6cm,BC= 8cm,则这个三角形的外接圆半径为 cm. 解：在Rt△ABC中，AB=6cm,BC=8cm, 则分三种情况： ①当∠A=90°，这个三角形的外接圆半径 为)BC=4cm; ②当∠B=90°，由勾股定理得AC= √AB+BC=10cm,所以这个三角形的外接 圆半径为)4C=5cm; ③当∠C=90°，AB=6cm<8cm=BC,由 于直角三角形中斜边大于直角边，则该情况不存 在 综上所述，这个三角形的外接圆半径为4cm或 5cm.故填4或5. 例7 如图9，在 △ABC中，∠ACB=70°， △ABC的内切圆⊙0与 AB,BC分别相切于点D, D E,连接DE,AO的延长线 图9 交DE于点F,则∠AFD= (下转第58版) 58 (上接第57版) 解：连接OE,OD,OB,设OB,DE交于点H, 因为⊙O是△ABC的内切圆， 所以OA,OB分别是∠CAB,∠CBA的角平 分线，所以∠0AB=3∠CAB,L0BA= 3∠CB1, 因为∠ACB=70°，所以∠CAB+∠CBA= 180°-∠ACB=110°， 所以∠OAB+∠OBA= -∠CBA+ 7∠CMB=5,所以∠A0B=180-∠0AB- ∠0BA=125°， 由切线长定理可知BD=BE, 又因为OD=OE,所以OB是DE的垂直平 分线， 所以OB1DE,即∠OHF=90°，所以 ∠AFD=∠AOH-∠OHF=35°.故填35. 跟踪训练5：(1)如图10，三 角形ABD中，∠A=90°，AB = AD,分别以点B和点D为圆心， B BD长为半径画弧，交于点C.若 AB=56,则△ABD外心与 △BCD内心的距离是 图10 A. 05 B.53 C.10 D.5 3 (2)已知Rt△ABC三边分别为6,8,10，则该 三角形的内心，外心和重心围成的小三角形的面 积为 考点6：正多边形与圆 例8 如图11，正六边 形ABCDEF内接于⊙O,点 P在AF上，Q是DE的中点， 则∠CPQ的度数为() A.30° B.36 图11 C.45° D.60° 解：连接0C,OD,0Q,0E, 360° 因为∠COD=∠DOE= =60° 6 ∠D0Q= ∠E00=3∠D0B=30°，所以 ∠C0Q=∠COD+∠D0Q=90°，所以∠CPQ =2∠C00=45故选C 跟踪训练6：如图12，六边 形ABCDEF是⊙O的内接正六 B 边形，设正六边形ABCDEF的 面积为S,△ACE的面积为 D 图12 考点7：弧长与扇形面积的计算 例9如图13，在 △ABC中，AB=AC=6cm, E ∠BAC=50°，以AB为直径 作半圆，交BC于点D,交AC 于点E,则弧DE的长为 A 0 图13 cm. 专项提分。 数理极 解：连接AD,OD,OE、 所以AB∥CD.因为DH⊥AB,所以CD1OD, 因为AB为直径，所以AD⊥BC : 又因为OD为半径，所以CD是⊙O的切线 因为AB=AC=6cm,∠BAC=50°，所以 ②连接HF,因为DF=DF,所以LDEF= BD=CD,∠BAD=∠CAD= 号∠BAC=25, ∠DHF, 所以∠D0E=2LB1D=50,0D=24B= 因为DH为⊙O直径，所以∠DFH=90°， 又因为∠DHB=90°，所以∠DHF=∠DBA 3 cm, =∠DEF,又因为∠EDF=∠BDA,所以△DEF 所以弧DE的长=S0×π×3 5cm.故填 ∽△DBA. 180 (2)连接AC交BD于点G 爱 因为在菱形ABCD中，BD=6,AB=5,所以 AC L BD,AG GC,DG GB =3, 例10如图14，在等腰 直角△ABC中，∠ACB= 所以在Rt△AGB中，AG=√AB2-BG= 90°，AC=BC=22,以点A 4,所以AC=2AG=8, 为圆心，4C为半径画弧，交 因为S菱形BCn= 4C·B0=AB.DH,所以 AB于点E,以点B为圆心， 图14 BC为半径画弧，交AB于点F,则图中阴影部分 ×6x8×写=4 DH =1 的面积是 ( ) 在R△ADH中，sin∠DAH=DH =DH AD B A.T-2 B.2π-2 C.2π-4 D.4π-4 24 5,由△DEF ADBA得∠DFE=∠DAH, 解：因为△ABC是等腰直角三角形，所以 24 ∠A=∠B=45°， 所以sin∠DFE=sin∠DAH= 25 因为AC=BC=22,所以S阴影=S扇形ACE+ 跟踪训练8：如图 S扇形BCF SRt△ABC 45m×(22)2 18,AB是⊙0的直径，点 + 360 C,F是⊙0上的点，且 45m×(22)2 -×2万×22=2m-4.故选 ∠CBF=∠BAC,连接 360 AF,过点C作AF的垂线， C. 交AF的延长线于点D, 图18 跟踪训练7：(1)如 交AB的延长线于点E,过点F作FG⊥AB于点 图15，一条公路的转弯 G,交AC于点H. 处是一段圆弧AC,点0 (1)求证：CE是⊙0的切线； 是这段弧所在圆的圆心， 15 (2)若anE=子，BE=4,求FH的长 B为AC上一点，0B1AC于D.若AC=3005m, BD=150m,则AC的长为 A.300πm B.200mm C.150πm D.1003mm (2)如图16，等圆⊙0 和⊙02相交于A,B两点， ⊙0，经过⊙02的圆心02， 若00，=2，则图中阴影部 分的面积为 16 A.2π B.4 C.T 3 D 2 考点8：圆中的综合题 例11如图17，在菱 形ABCD中，DH⊥AB于 H,以DH为直径的⊙O分 别交AD,BD于点E,F,连 接EF 图17 (1)求证：①CD是⊙0的切线； ②△DEF△DBA; (2)若AB=5,DB=6,求sin∠DFE 解：(1)证明：①因为四边形ABCD是菱形， 数理极 专项提分 59 第三部分 16.(10分)如图14，已知AB是⊙0的直径， 《圆》 直线DC是⊙O的切线，切点为C,AE1DC,垂足 抢分演练4卷) 为E.连接AC. ◎数理报社试题研究中心 (1)求证：AC平分∠BAE; （满分：120分 时间：90分钟) :60°，则图中的阴影部分的面 2)若HC=5,lm乙ACB=子，求o0的胖 、精心选一选（每小题5分，共40分）】 积为 D 题号123 45678 4.4 60 答案 1.已知⊙0的半径为5，当线段OA=6时， 则点A与⊙0的位置关系是 A在圆上 B.在圆外 c景-5 C.在圆内 D.不能确定 2.如图1，点A,B,C在⊙0上，若∠C= D子- 55°，则∠A0B的度数为 () 二、细心填一填（每小题5分，共30分） A.95° B.100° C.105° D.110° 9.已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形 17.(10分)如图15，直线AC与⊙0相切于 圆心角的度数为 度 点C,射线A0与⊙0交于点D,E,连接CD,CE. 10.如图8，四边形ABCD内接于⊙O,延长 (1)求证：∠ACD=∠E; AD至点E,已知∠A0C=140°，那么∠CDE= (2)若AC=5,AD=1,求弧CD的长. D 图1 图2 3.如图2，线段CD是⊙0的直径，CD⊥AB 于点E,若AB长为16,0E长为6，则⊙0的半径 图15 是 A.5 B.6 C.8 D.10 图8 图9 4.如图3，圆内接四边形ABCD中，∠BCD= 11.如图9，OA是⊙0的半径，BC是⊙0的 105°，连接OB,OC,OD,BD,∠B0C=2∠C0D,弦，OA⊥BC于点D,AE是⊙0的切线，AE交OC 18.(10分)如图16，AB是⊙0的直径，将弦 则∠CBD的度数是 ()的延长线于点E.若∠A0C=45°，BC=2,则线 4C绕点A顺时针旋转30°得到AD,此时点C的 A.25° B.30° C.35° D.40° 段AE的长为 对应点D落在AB上，延长CD交⊙O于点E. 12.如图10，在△ABC (1)求证：0C10E; 中，∠A=80°，半径为3cm (2)若CE=4,求图中阴影部分的面积 的⊙0是△ABC的内切圆， 连接0B,0C,分别交⊙0于 D,E两点，则DE的长为 图10 图3 图4 5.如图4，半径为号的⊙A经过原点0和点 cm(结果用含T的式子表示). 13.如图11，小珍同学用半径为8cm,圆心 C(0,1),B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为 1 tan∠OBC为 ):2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 B. cm2. 4 c号 D.2 粘贴部分 6.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是 19.(12分)如图17，AB是⊙0的直径，点C 工业生产中广泛使用的一种图形.如图5，分别 是圆上的一点，CD⊥AD于点D,AD交⊙0于点 以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半 F,连接AC,若AC平分∠DAB,过点F作FG⊥ 径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角 AB于点G,交AC于点H,延长AB,DC交于点E. 形”.若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角 图11 (1)求证：CD是⊙O的切线； 形”的周长等于 14.如图12，点I为△ABC的 (2)求证：AF·AC=AE·AH; 内心，连接AI并延长交△ABC的 A.T B.3m 外接圆于点D,点E为弦AC的中 (3)若6m2E1=专求册的值 C.2π D.2m-5 点，连接CD,EI,IC,当AI= 2CD,IC=6,ID=5时，cos∠AIE 的值为 图12 三、耐心解一解（共50分） 15.(8分)如图13，AD是⊙0的弦，AB经过 图5 圆心0交⊙0于点C,∠A=∠B=30°，连接 图17 修6 7.如图6，在△ABC中，AB=AC,点D在ACBD.求证：BD是⊙0的切线. 边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E.若 BD=10,CD=4,则BE的长为 ( A.6B.7 C.8 D.9 8.如图7，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O 的半径为2，过圆心0的两条直线，2的夹角为 图13 60 专项提分 数理极 第三部分 《圆》 抢分演练(B卷) O数理报社试题研究中心 （满分：120分 时间：90分钟) 论错误的是 ( 一、精心选一选（每小题5分，共40分） A.四边形AMPN是 16.(10分)如图15，AB是⊙0的直径，C是 题号 1 2 3 4 5 6 8 菱形 ⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD,交AB的延 答案 B.PN是⊙0的切 长线于点D,过点A作AE1CD于点E. 1.已知⊙0的半径为5，直线l与⊙0有2个 线 (1)若∠EAC=25°，求∠ACD的度数； 公共点，则点0到直线1的距离可能是 ( C. (2)若0B=2,BD=1,求CE的长 A.3 B.5 C.7 D.9 2.如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O,点F 是DE上的动点，则∠AFC的度数为 ( 二、细心填一填（每小题5分，共30分） A.60° B.72 9.如图8，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆 C.144° D.不确定 的圆周角∠C=50°，则ACB的度数为 图15 17.(10分)如图16，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，延长CA到点D,以AD为直径作⊙O,交BA的 延长线于点E,延长BC到点F,使BF=EF, 灯塔A 灯塔B 1 (1)求证：EF是⊙0的切线； 图8 图9 3.如图2，AB切⊙0于点B,连接OA交⊙0 10.如图9，点A,B,C在半径为2的⊙0上， (2)若0C=9,AC=4,∠F=100°，求扇形 于点C,BD∥OA交⊙0于点D,连接CD,若 ∠ACB=60°，OD1AB,垂足为E,交⊙0于点 :AOE的面积 ∠0CD=25°，则∠A的度数为 (） D,连接OA,则OE的长度为 A.25°B.35°C.40°D.45° 11.如图10，在菱形ABCD中，对角线AC与 4.如图3，△ABC内接于O0,AB=AC,点DBD相交于点O,AC=8,BD=6,则菱形ABCD的 是AB上一点，连接OA,AD,BD,若∠OAC=40°，内切圆半径为 则∠D的度数为 A.110°B.140°C.120° D.130° 0 18.(10分)如图17，PA,PB分别与⊙0相切 图10 图11 12.如图11，⊙0是边长为12的正三角形 于A,B两点，AC是⊙0的直径 图3 图4 :ABC的内切圆，⊙O1与边AB,AC均相切，且与 ()求证：∠BAC=分∠APB: 5.如图4，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB⊙0外切，则⊙0的半径为 (2)连接P0交⊙0于点D,若AC=6, =30°，AB=4,点0为BC的中点，以0为圆心， 13.某款“不倒翁”（如图12-①）的主视图 OB长为半径作半圆，交AC于点D,则图中阴影是图12-②，PA,PB分别与AMB所在圆相切于 cos∠BAC=号，求PD的长 部分的面积是 ( ）点A,B,若该圆半径是10cm,∠P=60°，则主视 A.55-3π B.5W3-4π 图的面积为 cm 3 C.55-2m D.10√3-2π 图1 6.如图5，A,B,C,D为⊙0上的点，且直线 AB与CD夹角为45°.若AB,AC,CD的长分别为 π，T和3π，则⊙0的半径是 2 图12 网13 A.4 B.4.5 C.5 D.5.5 19.(12分)如图18，CD是⊙0的直径，弦 14.如图13，点C是AB上一点，且AC=BC AB1CD,垂足为H,连接BC,过AD上一点E作 =2,∠ACB=120°，点D在BC上运动，连接ADEF∥BC交BA的延长线于点F,CE交AB于点 交BC于点E,胎的最大信为 G,∠FEG=∠FGE,CD延长线交FE于点K. (1)求证：EK是⊙O的切线； 三、耐心解一解（共50分） 图5 图6 15.(8分)如图14，在 （②)求证器-器 7.如图6，四边形ABCD内接于⊙0，BC∥锐角△ABC中，AC是最短 AD,AC⊥BD.若∠A0D=120°，AD=5,则边，以AC中点0为圆心， (3)若smP=号，CH=2,6,求DK的信 ∠CAO的度数与BC的长分别为 ( 分4C长为半径作0，交首 A.10°，1 B.10°，√2 图14 BC于点E,过O作OD∥ C.15°，1 D.15°，2 BC交⊙O于点D,连接AE,AD,DC.求证： 8.如图7，AB是⊙O的直径，点P为AB延长 客1 线上一点，PM与⊙0相切于点M,点N在⊙0 (1)D是AE的中点； 上，且AM=AN,连接PN,若PM∥AN,则下列结 (2)∠DA0=∠B+∠BAD.数理极 参考答案 39 90°，∠AEB=∠FEB,所以∠EFH=90° 90°，所以∠DFC=45°. 因为点E是AD的中点，所以AE=DE=EF=2 因为AB=AC,A0⊥BC,所以∠B40=分∠BAC 18ILam∠DE=号 (2)过点D作DG∥CF交AB于点G 因为ED=EF,所以Rt△EHD≌Rt△EHF 因为∠BAC=90°，所以∠BA0=∠ABC=45°，所 因为BC=8,CD=5,所以BD=3. 所以∠DEH=∠FEH,所以∠DEH+∠AEB=90°. 以∠BAO=∠DFC 因为DG∥CF, 因为∠AEB+∠ABE=90°，所以∠DEH=∠ABE, 因为∠EDA+∠ADM=90°，∠MM+∠ADM=90° 所以△EDH∽△BAE, 所以∠EDA=∠M.所以△ADE△FMC. 所0=%=号荒-能=1，以A=c AB=E=,所DH=4,CH=子 1 (2)设BC与DF的交点为I, 设BG=3x,则AF=FG=5x,BF=FG+BG=8x, 因为∠DBI=∠CFI=45°，∠BID=∠FC, 因为GH∥AB,所以贤-张=子 所以△D△Fc所以-所以-哥 所以带=各 19.(1)过点D作DF⊥AE,交AE的延长线于点F, 所以6=多4c=39 因为∠BIF=∠DIC,所以△BF一△DIC,所以则∠DFE=90°， ∠IBF=∠IDC. 由题意得AC=170米，∠EAC=∠BCA=∠DFE= 19.(I)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所以 又因为∠IDC=90°，所以∠IBF=90°.因为∠ABC:90°，所四边形ACDF为矩形，以DF=AC=170米 ∠ABC=∠ACB=45 =45°，所以∠ABF=∠ABC+∠IBF=135. DE 由旋转的性质，得AD=AE,∠DAE=90°， (3)证明：延长OW交BF于点T,连接DT,D0 所以在R△DFE中，DE=m58=20米 所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90°，所以 因为∠FB1=∠BOA=90°，所以BF∥AO,所以 (2)A→B→D这条路较近，理由如下： ∠BAD=∠EAC,所以△BAD≌△CAE,所以∠ACE= ∠FTN=∠AON 因为∠EAB=30°，∠EAC=90°，所以∠BAC= ∠ABC=450 因为N是AF的中点，所以AN=NF.又因为∠TN 60° (2)①补全图形略 =∠ONA,所以△TNF≌△ONA,所以NT=NO,FT= ②AG=AH.理由如1下： AO.因为∠BAC=90°，AB=AC,A0⊥BC,所以A0= 因为AC=170米，所以在Rt△BAC中，AB=AG c0s609 由(1)得∠ABC=∠ACB=45°，∠ACE=45°，所以 C0,所以FT=CO.由(2)知，△BIF∽△DIC,所以 =340米，CB=AC·tan60°≈294.1米. ∠BCE=90°， ∠DFT=∠DCO. 因为四边形ACDF为矩形，BD=1O0米，所以CD= 又因为DG⊥BC,所以△BDF是等腰直角三角形， 因为DF=DC,所以△DFT≌△DCO,所以DT= AF=CB+DB=394.1米，所以在Rt△DFE中，EF= 所以BD=DF, DO,∠FDT=∠CDO, DF 因为△BAD≌△CAE,所以BD=CE,所以DF 所以∠FDT+∠FD0=∠CDO+∠FDO,即∠ODT an58°≈10625米.所以AE=AF-EF=287.85米所 CE,且DF∥CE,所以四边形CDFE是平行四边形， =∠CDF 以AE+ED≈488米，AB+DB=440米， 又因为∠BCE=90°，所以四边形CDFE是矩形， 因为∠CDF=90°，所以∠ODT=∠CDF=90°，所 所以AE+ED>AB+DB, 所以HF∥CD,所以∠GHF=∠ACB=45°，∠GFH 故走A→B→D这条路较近. =∠GDC=90°， 以ND=2T0=N0 所以△GFH是等腰直角三角形， 《圆》跟踪训练 因为∠BAC=90°，所以AG=AH. 《锐角三角函数》跟踪训练 1.C:2.4:3.(1)C,(2)B:4.62°或118°： 《相似图形》跟踪训练 1.；21:3B:42 5.(1)D,(2);6.2:7.(1)B,(2)D. 1.C;2.B;3.B:4.(6,4) 5.(1)过点B作B'E⊥AD,垂足为点E, 8.(1)正明：连接OC,因为OC=OA.所以∠OAC= 5.河宽EP是10米 在Rt△AB'E中，因为∠BAD=27°，AB'=AB= ∠OCA,因为FC=FC,所以∠FAC=∠FBC, 《相似图形》抢分演练 1m,所以m27°=器，所以BE:A8sn27。 因为∠CBF=∠BAC,所以∠FAC=∠CAB,所以 0.454m,所以BE+A0=0.454+1.7=2.154≈ ∠FAC=∠ACO,所以OC∥AD. 题号12345678 2.15(m). 因为AD⊥DE,所以OC⊥DE, 答：车后盖最高点B到地面的距离为2.15m 因为OC是半径，所以CE是⊙O的切线. 答案BDCDCBDD (2)没有危险，理由如下： =9510.4:9:11.45:12182: (2②)连接0c,因为amE-器=子.，E=4,设0C 过点C'作CF⊥BE,垂足为点F, =3a,则CE=4a,所以0E=5a, a5:% 因为∠B'AD=27°，∠B'EA=90°，所以∠AB'E= 630 阴以mB=e=号wE=号即号=0G4 OC 三、15.(1)AD=2. 因为∠AB'C'=∠ABC=123°，所以∠C'BF= 解得0C=6 (2)因为△ADE△ABC, ∠AB'C'-∠AB'E=60 因为OC⊥DE,所以∠BCE+∠OCB=90° 所以=（脱（子）产=6 在Rt△BFC中，BC'=BC=0.6m, 因为OC=OB,所以∠OCB=∠OBC,所以∠BCE+ S AABC 所以B'F=B'C'·cos60°=0.3m, ∠OBC=90°，因为AB是直径，所以∠ACB=90°，所以 因为△ADE的面积为1，所以△ABC的面积是16. 所以C'到地面的距离为2.15-0.3=1.85(m). ∠CAB+∠ABC=90°，所以∠BCE=∠CAE, 因为四边形BFED是平行四边形，所以EF∥AB. 因为1.85>1.8，所以没有危险 以△EC∽△4c期以=（子= 9 《锐角三角函数》抢分演练 又因为∠E=∠E,所以△BCE∽△CE,所以号 所以△EFC的面积为9. 器岩能所拟cE=能×4， 所以平行四边形BFED的面积为：16-9-1=6 题号12345678 因为AB=20C=12,BE=4,所以CE=64,解得 16.(1)图略.(2)(2m,2n) 答案DDCC D BBC CE=8, 17.(1)证明：因为∠BAC=90°，AD是斜边BC上的 高，所以∠ADB=90°，∠BAC=∠BDA, =8宁：0号：19：12e 所爱=爱=分所以m4c48=能=宁， 又因为∠B=∠B,所以△ABD∽△CBA, 1a4g:1445 因为AB是⊙O的直径，所以BF⊥AF,因为DE1 (2)0长为号 AD,所以DC∥FB,所以∠FBA=∠E,所以tan∠FBA= I8.过点E作EH⊥AB,垂足为H,由题意得EH 三5.（子： m∠E,阴瑞-设4=站，则B=4,航以4= FB,EF BH 1.6 m,EH FB x m, (2)1. 5k. 在Rt△AEH中，∠AEH=26.6°，所以AH=EH 16.BE=35 tan266°≈0.5x,所以AB=AH+BH=(0.5x+1.6)m,因 因为AB=12,所以女=号，所以AF=5 17.(1)点A离地面的高度A0为4km. 为CD⊥FB,AB⊥FB,所以∠CDF=∠ABF=90°，因为 因为FG⊥AB,所以∠AFG=90°-∠GFB=∠FBA 2CPD-∠AB,以△CF一△A,所是-=0，AC-8m,所oc=4c=45m (2)在Rt△AOC中，因为∠A0C=90°，∠AC0= =∠E,所以FG=AF×mE=号AP=尝AG=A =2,所以B=，所以x=05x+1.6, 所以8」 在△B0C中，因为∠B0C=90,∠BC0=45°，所×smE=子4F=g 3 以0B=0C=45km,所以AB=0B-0A=(43 解得x=64,所以AB=子=48m 4)km,所以飞船从A处到B处的平均速度=45-4 因为mLCB=mLAG=- e,所以HG= 答：该景观灯的高AB约为4.8m. 19.(1)证明：由旋转的性质得DF=DC,∠FDC=0.3(km/s). 4G=若，所以FH=FG-G=s 40 参考答案 数理招 《圆》抢分演练(A卷)】 C-4 CE 5 56,在△OEK中，因为CB∥EK,所以∠K=LBCH, 9 《圆》抢分演练(B卷) 题号12345678 所以mK=专，所以0K=255,所以DK=OK-0D 36 答案BDDABBBC 256 =9.60:1070;1E:12号 题号12345678 36 答案ABCDCACD 重点模块测评（四） 13.5:14.号 二、9.260°； 10.:1号；2.26： 三、15.证明：连接OD,因为OD=OA,∠B=∠A= 30°，所以∠ODA=∠DAB=30°，所以∠DOB=60°，所 13.1005+200m:14.25-3 题号12345678910 3 3 答案DDD DD BDCCD 以∠ODB=90°，即OD⊥BD,因为OD为半径，所以直线 三、15.证明：(1)因为OD∥BC,OD=0C,所以 BD与⊙O相切. 3 LODC=∠DCE,∠ODC=∠OCD,所以∠OCD= 二、11.4；12.3：13.25°；14.12.11；15. 16.(1)正明：连接OC,由题意得OC⊥DE,因为AE 三、16.证明略 ⊥DC,所以OC∥AE,所以∠OCA=∠CAE. DCE,所以AD=DE,即D是AE的中点 因为OA=OC,所以∠OCA=∠CA0,所以∠CA0 (2)延长AD与BC交于点G,因为OD∥BC,OD= 17.(1)图略. =∠CAE,即AC平分∠BAE. OA,所以∠AD0=∠AGE,∠AD0=∠DAO,所以∠AGE (2)BE的长为6-25. (2)连接OC,过点O作OF⊥AC于点F,因为AC= =∠DAO,因为∠AGE=∠B+∠BAD,所以∠DAO= 18.垂直高度P℃约为204米 5,则c=4C= ∠B+∠BAD. 四、19.(1)①如图18，点0即 16.(1)∠ACD=115°. 为所求. 因为∠OCE=∠OCF+∠ACE=90°，∠OCF+ (2)由题意，得∠0CD=90. ②如图18，CD即为所求 ∠COF=90°，所以∠ACE=∠COF, 在Rt△OCD中，因为OC=OB=2,OD=OB+BD (2)如图18，连接OA,由勾股 所以tLCOF=tanLACE=子，所以=子，所 CF 3 =3,所以CD=/0D-0C=5. 定理得，OA=OC=√2+1= 因为∠0CD=∠ABC=90,所以0c∥AE,所以0 5,AC=32+1=10,所以 以oF=9所以0c=CF+0F-，即o0的￥ OA2+OC2=AC2,所以△A0C是 图18 径为 等腰直角三角形，且∠AOC=90°，所以ABC的长为 6 17.(1)证明：连接OC,由题意知OC⊥CA,所以 17.(1)证明：连接E0,因为0E=0A,所以∠0EA90m×E- 180 、由网格的特点知，EF∥BC,所以 ∠OCD+∠ACD=90°， =∠OAE,因为∠OAE=∠CAB,所以∠OEA=∠CAB, 因为ED为直径，所以∠OCD+∠OCE=90°，所以因为EF=FB,所以∠FEB=∠FBE,在Rt△ACB中， ∠ACD=∠OCE,因为OE=OC,所以∠OCE=∠E,所 ∠ACB=90°，所以∠CAB+∠CBA=90°，所以∠BEF+ 以∠ACD=∠E. ∠OEA=90°，即∠OEF=90°，因为OE是半径，所以EF 因为CF=2+下=5，所以cD=25 (2)因为0C⊥CA,AC=√5，AD=1,由勾股定理得 是⊙0的切线， 0D2+(5)2=(0D+1)2,解得0D=1, (2)因为0C=9,AC=4,所以0A=5, 20.(1)s75°=6-2 4 在四边形COEF中，∠FE0=∠OCF=90°，所以 在Rt△A0C中，tan∠AOC=AS (2)过点A作AF⊥DE,连接AC,过点O作OG⊥ =3,所以∠AOC ∠F+∠E0C=180°，因为∠F=100°，所以∠E0C= AC,由题意得DE=60米，∠OED=45°，所以OE= -60,所以0=0=号 80,所以SE=子×80E-0 180 360 m. 0545=60,5米，∠D0E=45°，因为∠D0A=120°，所 DE 18.(1)证明：由旋转的性质，得∠CAD=30°，AD 18.(1)正明：连接PO,交AB于点E. 以∠A0E=75°，又因为∠0EA=30°，所以∠OAE= AC, 由题意，得PA=PB,∠AP0=∠0PB=∠APB, 75°，所以0E=AE=602米， 因为OA=OC,所以∠OCA=∠OAC=30°， 因为∠OEA=30°，∠OED=45°，所以∠AED= 因为AD=AC,所以∠ACD=75°，所以∠OCE= ∠PA0=90°. ∠ACD-∠OCA=45°， 所以PE1AB,∠PAE+∠BAC=90,所以∠PEA75,由(I)得cos75°=6：巨，所以EF=AE x cos775° 因为OE=OC,所以∠0EC=∠0CE=45°，所以 =90°，所以∠AP0+∠PAE=90° =(30/3-30)米，所以DF=DE-EF=(90-303) ∠E0C=90°，所以OC⊥OE. 所以∠BAC=∠APO,所以∠BAC=2∠APB 米 (2)由(1)知△0EC是等腰直角三角形，CE=4,则 (2)因为AC是⊙O的直径，所以∠ABC=90°， 因为AF⊥DE,OG⊥AC,OD⊥DE,所以四边形 0E=0C=22,所以S明形=S扇0sc-Sa0Bc = DFAG是矩形，所以AG=DF=(90-303)米， 90x0E▣-20B,0c=2m-7 因为AC=6,cos∠BAC= ×8=2m-4,所以 子，所以AB=AC· 因为三片风叶两两所成的角为120°，且三片风叶长 360 图中阴影部分的面积为2π-4. coS∠BAC= 头，所以BC=√AC-AB=号所以 度相等，所以∠OAG=30°， 19.(1)证明：连接OC,因为AC平分∠DAB,所以 sn∠BMC==所以mLAP0= 3 所04==(05-60)米.mU叶04 ∠DAC=∠CAB,因为OA=OC,所以∠CAB=∠OCA, 的长度为(60万-60)米 所以∠DAC=∠OCA,所以AD∥OC,因为CD⊥AD,所 因为∠PA0=90°，AC=6,所以D0=A0= 21.(1)证明：连接OD,因为DE⊥AC,所以∠DEC 以∠D=∠OCE=90°，因为OC是半径，所以CD是⊙O =90°，因为AB=AC,OB=OD,所以∠C=∠B= 的切线. ∠ODB,所以OD∥AC,所以∠ODE=∠DEC=90°， (2)正明：由(1)得，∠OCE=90°，∠DAC=∠CAB =3,所以P0=sm2AP0=5,所以PD=P0-D0=2. =∠OCA.因为FG⊥AB,所以∠FGA=90°，所以∠AHF 19.(1)证明：连接OE,因为C0=OE,所以∠OCE 因为OD为⊙O的半径，所以直线DE是⊙O的切线 =∠CAB+90°， ∠OEC. (2)连接AD,因为AB为⊙O直径，所以∠ADC= 因为∠ACE=∠OCA+90°，所以∠AHF=∠ACE, 因为∠FEG=∠FGE=∠CGH,CH⊥AB,所以 ∠ADB=90°， ∠CGH+∠GCH=90°，所以∠OEC+∠FEC=90°，所 在Rt△ACD中，CD=6,∠ACB=30°，所以AD=CD· 所以△ACE一△A,所以指= 以OE⊥EF,因为OE是半径，所以EK是⊙O的切线. tan C =23. 所以AC·AF=AE·AH. (2)证明：因为CH⊥AB,所以AC=BC,所以∠CEB 因为AC=AB,∠ACB=30°，所以∠B=30°，所以 (3)因为LDE1=专所以%=手 =∠CBA, 0AD=60°，所以0D=25,同理可得DE=3, 在Rt△ODE中，根据勾股定理，得OE= 设⊙0的半径为4x,则OE=5x,所以CE= 又因为BC∥EF,所以∠CBA=∠F,所以∠CEB= ∠F,因为∠FBE=∠GBE,所以△BGE∽△BEF,所以 OD2+DE=/21 0E-0C=3x. 五、22.(1)证明：因为DE∥AB,所以△CEG一 因为AE=OA+OE=9x,所以在Rt△ADE中，AD= AE·in∠EA=,0E=VE-AD= (3)连接OB,设OB=t,因为BC∥EF,所以∠F= △c,△cD△cFB,所柴-答品-=所以 5, CH 因为DE=Dc+GE,所以C=号 ∠CBH,所以sinF=sin LCBH=B= 张=架又因为6E=6D,所以A=BR (2)因为GE=GD,BG⊥ED,BE=4,CD=2,所以 在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2=AD+DC,所 因为CH=26,所以BC=106,B=86 BD=BE=4,所以BC=BD+CD=6, 3 3 以AC=2,由(2)知△ACE一△AHF,所以盟 5 CFH 在R△HOB中，(r-CH)2+HB2=r2,所以r= 因为DE∥AB,所以△ABC△EDC,所以浩-