第十六讲 锐角三角函数-【数理报】2026年中考数学高效复习

数理极 专项提分 …第十方讲 锐角三角图数只 ⊙山西杨超 第一部分 抢分前言 在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边，则 sin A= -cos A= tan A= 锐角三角函数 sin30°= -,c0s30° ,tan30°= sin 45= ,c0s45°=】 ,tan 45= sin60°= -,c0s60°= -,tan60°= 仰角和俯角：从上向下看，视线与水平线的夹角，叫做 从下向上看，视线与水平线的夹角，叫做 坡度和坡角：坡面的垂直高度()与水平长度1的比叫做 ,记为i, 解直角三角形 坡角记作α，坡度等于坡角的一，即= 坡度越大，坡角 解决直角三角形应用题时，若题目中含有30°，60°角，应联想到利用等腰三角形 的性质；若题目中含有45°，60°角，应联想到利用等腰直角三角形的性质. 第二部分 抢分培训 考点1：三角函数的计算 A.45° B.60° C.759 D.105 例1 学校开放日即将来 解：因为lsin- 71+√anB-I=0, 临，负责布置的林老师打算从学 sin a- 、1 校图书馆的顶楼拉出一条彩旗 2 1≥0，√/anB-I≥0，所以sina 绳AB到地面，如图1所示已知 彩旗绳与地面形成25°角（即 32米 2 =0,lanB-1=0,所以sina=2,lanB=l1. ∠BAC=25),彩旗绳固定在地 图1 因为，B均为锐角，所以=30°，B=45° 面的位置与图书馆相距32米（即AC=32米），所以α+B=75°.故选C. 则彩旗绳AB的长度为 ( 跟踪训练3：如图3，四 A.32sin25°米 B.32c0s25°米 32 C-in25米 32 边形ABCD中，cosB= 2 D.eo925。米 直线EF分别交AB,BC于 图3 解：由题意，得AC1BC,所以△ABC为直角 点E,F,则LAEF+∠EFC的值等于 三角形，所以AB=AC 32 c0s25o(米).故选 A.135° B.225° C.2659 D.280° cos 25 考点4：网格中的三角函数 跟踪训练1：如图2，在 例4如图4，在网格中， Rt△ABC中，∠C=90°，若 每个小正方形的边长均为1， 3AB=5BC,则sinB的值是 每个小正方形的顶点称为格 图2 点.点A,B,C三点都在格点 考点2：特殊角的三角函数值 上，则sin∠ABC= 图4 解：取AB的中点D,连接AC,CD, 例2 sin45°+的值等于 2 因为AC=√P+3=0,BC A.1 B.2 C.5 D.2 √/？+3=0，CD=2+2=5,所以 解45+，号 AC BC =√2.故选B 又因为点D是AB的中点，所以CD⊥AB,所 跟踪训练2：计算：2cos245°-1+tan30°· tan60° BC 10 跟踪训练4：在如图5所示 的网格中，小正方形网格的边长 为1，△ABC的三个顶点均在格 点上，则tanA的值为 图5 考点3：根据锐角三角函数求角度 考点5：锐角三角函数的应用 例3已知a,B均为锐角，且满足I sin a 例5小王同学学习了锐角三角函数后，通 过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他 2 -|+anB-1=0,则a+B= 认为利用台阶的可测数据与在点A,B处测出点 55 D的仰角度数，可以求出信 D 号塔DE的高.如图6，AB的 长为5m,高BC为3m.他在 建 点A处测得点D的仰角为 信号塔 8. 45°，在点B处测得点D的 台阶点45广场 CA E 仰角为38.7°，A,B,C,D,E 图6 在同一平面内.你认为小王同学能求出信号塔 DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不 能，请说明理由（参考数据：sin38.7°≈0.625， cos38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结果保留 整数). 解：过点B作BF⊥DE,垂足为F, 因为∠ACB=90°，∠AED=90°，所以四边 形BCEF是矩形，所以CE=BF,EF=BC. 因为AB=5m,BC=3m,所以EF=BC= 3m,所以在Rt△ABC中，AC=4m. 因为∠DEA=90°，∠DAE=45°，所以 ∠ADE=45°，所以AE=DE, 所以设AE=DE=xm,则DF=(x-3)m, CE BF =(x +4)m. 因为tanLDBF= BF:LDBF -38.7 m38.7°=0.80，所以an387°-+所以 0.8≈-3，解得x=31.即信号塔DE的高为 x+41 31m. 跟踪训练5：图7-①是某越野车的侧面示 意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB=1m, BC=0.6m,∠ABC=123°，该车的高度A0= 1.7m.如图7-②，打开后备箱，车后盖ABC落 在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD=27°. 图7 (1)求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地 面1的距离； (2)若小琳爸爸的身高为1.8m,他从打开 的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明 理由（结果精确到0.01m,参考数据：sin27°≈ 0.454,cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，√5≈ 1.732). 56 专项提分。 数理极 第三部分 《锐角三角数》 (2)W3cos30°-W2sin45°+tan45°cos60° 抢分演练 ©数理报社试题研究中心 (满分：120分时间：90分钟) :P是BC的中点，将顶点D折叠至线段AP上一点 16.(8分)如图12，在△ABC中，∠A=90°， 一、精心选一选（每小题5分，共40分） D',折痕为EF,此时，点C折叠至点C'.下列说法 ∠B=60°，D是AC边上一点，DE⊥BC于点E, 题号123 AC=12,DE=5,求BE的长 45 6 78 中错误的是 答案 A.cosLBAP=5 1.如图1，Rt△ABC中，∠C =90°，BC=2,AB=3,则c0sB B当AE=子时，DE1AD 的值是 ( C.当AE=18-65时，△AD'E是等腰三角形 A.5 B.5 2 3 Dsin∠DAP=号 17.(10分)如图13，飞船从地面0处发射， c n子 二、细心填一填（每小题5分，共30分） 当它到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得 B .在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC= 9.将正方体的一种展开图按如图7方式放AC的距离是8km,仰角为30°.10s后飞船到达B 置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为 处，此时测得仰角为45. √5，那么∠B的度数是 ( 1,则tanB= (1)求点A离地面的高度A0; A.15o B.459 C.30° D.60° 大树 (2)求飞船从A处到B处的平均速度（结果 3.在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且sinA 北门 气，anC=尽，则△ABC的形状是 西门冻门 精确到0.1km/s,参考数据：5≈1.73). ( A.直角三角形 B.钝角三角形 图7 图8 C.等边三角形 D.不能确定 10.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别 4.如图2，在Rt△ACB中，∠C=90°，D是为a,b,c,且满足a2+1c-101+√万-8=12a 450 AC的中点，BC=4,tan∠CAB= 2,则AD的长 1 36,则sinB的值为 图13 11.小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问 为 题进行了改编：如图8，一座圆形城堡有正东、正 A.1 B.2 4 D.8 南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程 18.(10分)如图14，在△ABC中，AD⊥BC 后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9 于点D,E是AD的中点.连接CE并延长交边AB 里到达城堡边，再往前走6里到达树下，则该城 于点F,AC=13,BC=8,cos∠ACB=3求： 堡的外围直径为 里 (1)tan∠DCE的值； 12.如图9，△ABC在网格内，则cos∠BAD= 图3 (2)船的值 5.如图3，点A,B,C在正方形网格的格点 上，则sin∠BAC= ( c /26 D. 26 6.某种落地晾衣架晾衣时 左右晾衣臂张开后示意图如图4 图9 图10 所示，AB和CD分别是两根不同 13.长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的 长度的支撑杆，其中两支脚OD 民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久.图10 19.(12分)为了美化环境，提高民众的生活 =OB=50cm,展开角∠B0D= 是某款长嘴壶模型放置在水平桌面上的抽象示 质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个 D E 70°，晾衣臂A0=80cm,则支撑 图4 意图，已知壶身AB=AD=BC=120cm,CD= 四边形人工湖泊ABDE,并沿湖泊修建了人行步 杆的端点A离地面的高度AE为 40cm,壶嘴EF=150cm,且CD∥AB,EF∥ 道.如图15，点C在点A的正东方向170米处，点 A.130tan55°cm B.130sin55°cm BC,DE=3AE,则sin∠FED= E在点A的正北方向，点B,D都在点C的正北方 C.130 lan 556 cm D.130 14.如图11,0为菱形 向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方 sin 556 cm :ABCD对角线的交点，点E 向，点D在点E的北偏东58°方向. 7.某路灯示意图如图5所示，它是轴对称图和点F分别在边AB和边 (1)求步道DE的长度； 形.若∠ACB=130°，AC=BC=1.2m,CD与地BC上，且满足S四边形0EF= (2)点D处有一个小商店，某人从点A出发 面垂直且CD=3m,则灯顶A到地面的高度为 沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D,也 ( 子5m,连接ER,若菱 1 可以经点E到达点D,请通过计算说明他走哪条 A.(3+1.2cos25°)mB.(3+1.2sin25)m 青，则EF长度的 路较近（结果精确到个位，参考数据：sin58°≈ 形ABCD的边长为10，sinA= C.(3+1.2 .2 0.85,cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，√3≈1.73) cos 256)m D.(3+ sin 256)m 最小值为 三、耐心解一解（共50分） 西 →东58% 15.计算（每小题5分，共10分） 南 (1)sin30°·tan45°+sin260°-2cos60°； 图5 图15 8.如图6，矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点数理极 参考答案 39 90°，∠AEB=∠FEB,所以∠EFH=90° 90°，所以∠DFC=45°. 因为点E是AD的中点，所以AE=DE=EF=2 因为AB=AC,A0⊥BC,所以∠B40=分∠BAC 18ILam∠DE=号 (2)过点D作DG∥CF交AB于点G 因为ED=EF,所以Rt△EHD≌Rt△EHF 因为∠BAC=90°，所以∠BA0=∠ABC=45°，所 因为BC=8,CD=5,所以BD=3. 所以∠DEH=∠FEH,所以∠DEH+∠AEB=90°. 以∠BAO=∠DFC 因为DG∥CF, 因为∠AEB+∠ABE=90°，所以∠DEH=∠ABE, 因为∠EDA+∠ADM=90°，∠MM+∠ADM=90° 所以△EDH∽△BAE, 所以∠EDA=∠M.所以△ADE△FMC. 所0=%=号荒-能=1，以A=c AB=E=,所DH=4,CH=子 1 (2)设BC与DF的交点为I, 设BG=3x,则AF=FG=5x,BF=FG+BG=8x, 因为∠DBI=∠CFI=45°，∠BID=∠FC, 因为GH∥AB,所以贤-张=子 所以△D△Fc所以-所以-哥 所以带=各 19.(1)过点D作DF⊥AE,交AE的延长线于点F, 所以6=多4c=39 因为∠BIF=∠DIC,所以△BF一△DIC,所以则∠DFE=90°， ∠IBF=∠IDC. 由题意得AC=170米，∠EAC=∠BCA=∠DFE= 19.(I)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所以 又因为∠IDC=90°，所以∠IBF=90°.因为∠ABC:90°，所四边形ACDF为矩形，以DF=AC=170米 ∠ABC=∠ACB=45 =45°，所以∠ABF=∠ABC+∠IBF=135. DE 由旋转的性质，得AD=AE,∠DAE=90°， (3)证明：延长OW交BF于点T,连接DT,D0 所以在R△DFE中，DE=m58=20米 所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90°，所以 因为∠FB1=∠BOA=90°，所以BF∥AO,所以 (2)A→B→D这条路较近，理由如下： ∠BAD=∠EAC,所以△BAD≌△CAE,所以∠ACE= ∠FTN=∠AON 因为∠EAB=30°，∠EAC=90°，所以∠BAC= ∠ABC=450 因为N是AF的中点，所以AN=NF.又因为∠TN 60° (2)①补全图形略 =∠ONA,所以△TNF≌△ONA,所以NT=NO,FT= ②AG=AH.理由如1下： AO.因为∠BAC=90°，AB=AC,A0⊥BC,所以A0= 因为AC=170米，所以在Rt△BAC中，AB=AG c0s609 由(1)得∠ABC=∠ACB=45°，∠ACE=45°，所以 C0,所以FT=CO.由(2)知，△BIF∽△DIC,所以 =340米，CB=AC·tan60°≈294.1米. ∠BCE=90°， ∠DFT=∠DCO. 因为四边形ACDF为矩形，BD=1O0米，所以CD= 又因为DG⊥BC,所以△BDF是等腰直角三角形， 因为DF=DC,所以△DFT≌△DCO,所以DT= AF=CB+DB=394.1米，所以在Rt△DFE中，EF= 所以BD=DF, DO,∠FDT=∠CDO, DF 因为△BAD≌△CAE,所以BD=CE,所以DF 所以∠FDT+∠FD0=∠CDO+∠FDO,即∠ODT an58°≈10625米.所以AE=AF-EF=287.85米所 CE,且DF∥CE,所以四边形CDFE是平行四边形， =∠CDF 以AE+ED≈488米，AB+DB=440米， 又因为∠BCE=90°，所以四边形CDFE是矩形， 因为∠CDF=90°，所以∠ODT=∠CDF=90°，所 所以AE+ED>AB+DB, 所以HF∥CD,所以∠GHF=∠ACB=45°，∠GFH 故走A→B→D这条路较近. =∠GDC=90°， 以ND=2T0=N0 所以△GFH是等腰直角三角形， 《圆》跟踪训练 因为∠BAC=90°，所以AG=AH. 《锐角三角函数》跟踪训练 1.C:2.4:3.(1)C,(2)B:4.62°或118°： 《相似图形》跟踪训练 1.；21:3B:42 5.(1)D,(2);6.2:7.(1)B,(2)D. 1.C;2.B;3.B:4.(6,4) 5.(1)过点B作B'E⊥AD,垂足为点E, 8.(1)正明：连接OC,因为OC=OA.所以∠OAC= 5.河宽EP是10米 在Rt△AB'E中，因为∠BAD=27°，AB'=AB= ∠OCA,因为FC=FC,所以∠FAC=∠FBC, 《相似图形》抢分演练 1m,所以m27°=器，所以BE:A8sn27。 因为∠CBF=∠BAC,所以∠FAC=∠CAB,所以 0.454m,所以BE+A0=0.454+1.7=2.154≈ ∠FAC=∠ACO,所以OC∥AD. 题号12345678 2.15(m). 因为AD⊥DE,所以OC⊥DE, 答：车后盖最高点B到地面的距离为2.15m 因为OC是半径，所以CE是⊙O的切线. 答案BDCDCBDD (2)没有危险，理由如下： =9510.4:9:11.45:12182: (2②)连接0c,因为amE-器=子.，E=4,设0C 过点C'作CF⊥BE,垂足为点F, =3a,则CE=4a,所以0E=5a, a5:% 因为∠B'AD=27°，∠B'EA=90°，所以∠AB'E= 630 阴以mB=e=号wE=号即号=0G4 OC 三、15.(1)AD=2. 因为∠AB'C'=∠ABC=123°，所以∠C'BF= 解得0C=6 (2)因为△ADE△ABC, ∠AB'C'-∠AB'E=60 因为OC⊥DE,所以∠BCE+∠OCB=90° 所以=（脱（子）产=6 在Rt△BFC中，BC'=BC=0.6m, 因为OC=OB,所以∠OCB=∠OBC,所以∠BCE+ S AABC 所以B'F=B'C'·cos60°=0.3m, ∠OBC=90°，因为AB是直径，所以∠ACB=90°，所以 因为△ADE的面积为1，所以△ABC的面积是16. 所以C'到地面的距离为2.15-0.3=1.85(m). ∠CAB+∠ABC=90°，所以∠BCE=∠CAE, 因为四边形BFED是平行四边形，所以EF∥AB. 因为1.85>1.8，所以没有危险 以△EC∽△4c期以=（子= 9 《锐角三角函数》抢分演练 又因为∠E=∠E,所以△BCE∽△CE,所以号 所以△EFC的面积为9. 器岩能所拟cE=能×4， 所以平行四边形BFED的面积为：16-9-1=6 题号12345678 因为AB=20C=12,BE=4,所以CE=64,解得 16.(1)图略.(2)(2m,2n) 答案DDCC D BBC CE=8, 17.(1)证明：因为∠BAC=90°，AD是斜边BC上的 高，所以∠ADB=90°，∠BAC=∠BDA, =8宁：0号：19：12e 所爱=爱=分所以m4c48=能=宁， 又因为∠B=∠B,所以△ABD∽△CBA, 1a4g:1445 因为AB是⊙O的直径，所以BF⊥AF,因为DE1 (2)0长为号 AD,所以DC∥FB,所以∠FBA=∠E,所以tan∠FBA= I8.过点E作EH⊥AB,垂足为H,由题意得EH 三5.（子： m∠E,阴瑞-设4=站，则B=4,航以4= FB,EF BH 1.6 m,EH FB x m, (2)1. 5k. 在Rt△AEH中，∠AEH=26.6°，所以AH=EH 16.BE=35 tan266°≈0.5x,所以AB=AH+BH=(0.5x+1.6)m,因 因为AB=12,所以女=号，所以AF=5 17.(1)点A离地面的高度A0为4km. 为CD⊥FB,AB⊥FB,所以∠CDF=∠ABF=90°，因为 因为FG⊥AB,所以∠AFG=90°-∠GFB=∠FBA 2CPD-∠AB,以△CF一△A,所是-=0，AC-8m,所oc=4c=45m (2)在Rt△AOC中，因为∠A0C=90°，∠AC0= =∠E,所以FG=AF×mE=号AP=尝AG=A =2,所以B=，所以x=05x+1.6, 所以8」 在△B0C中，因为∠B0C=90,∠BC0=45°，所×smE=子4F=g 3 以0B=0C=45km,所以AB=0B-0A=(43 解得x=64,所以AB=子=48m 4)km,所以飞船从A处到B处的平均速度=45-4 因为mLCB=mLAG=- e,所以HG= 答：该景观灯的高AB约为4.8m. 19.(1)证明：由旋转的性质得DF=DC,∠FDC=0.3(km/s). 4G=若，所以FH=FG-G=s