第十五讲 相似图形-【数理报】2026年中考数学高效复习

数理极 参考答案 39 90°，∠AEB=∠FEB,所以∠EFH=90° 90°，所以∠DFC=45°. 因为点E是AD的中点，所以AE=DE=EF=2 因为AB=AC,A0⊥BC,所以∠B40=分∠BAC 18ILam∠DE=号 (2)过点D作DG∥CF交AB于点G 因为ED=EF,所以Rt△EHD≌Rt△EHF 因为∠BAC=90°，所以∠BA0=∠ABC=45°，所 因为BC=8,CD=5,所以BD=3. 所以∠DEH=∠FEH,所以∠DEH+∠AEB=90°. 以∠BAO=∠DFC 因为DG∥CF, 因为∠AEB+∠ABE=90°，所以∠DEH=∠ABE, 因为∠EDA+∠ADM=90°，∠MM+∠ADM=90° 所以△EDH∽△BAE, 所以∠EDA=∠M.所以△ADE△FMC. 所0=%=号荒-能=1，以A=c AB=E=,所DH=4,CH=子 1 (2)设BC与DF的交点为I, 设BG=3x,则AF=FG=5x,BF=FG+BG=8x, 因为∠DBI=∠CFI=45°，∠BID=∠FC, 因为GH∥AB,所以贤-张=子 所以△D△Fc所以-所以-哥 所以带=各 19.(1)过点D作DF⊥AE,交AE的延长线于点F, 所以6=多4c=39 因为∠BIF=∠DIC,所以△BF一△DIC,所以则∠DFE=90°， ∠IBF=∠IDC. 由题意得AC=170米，∠EAC=∠BCA=∠DFE= 19.(I)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所以 又因为∠IDC=90°，所以∠IBF=90°.因为∠ABC:90°，所四边形ACDF为矩形，以DF=AC=170米 ∠ABC=∠ACB=45 =45°，所以∠ABF=∠ABC+∠IBF=135. DE 由旋转的性质，得AD=AE,∠DAE=90°， (3)证明：延长OW交BF于点T,连接DT,D0 所以在R△DFE中，DE=m58=20米 所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90°，所以 因为∠FB1=∠BOA=90°，所以BF∥AO,所以 (2)A→B→D这条路较近，理由如下： ∠BAD=∠EAC,所以△BAD≌△CAE,所以∠ACE= ∠FTN=∠AON 因为∠EAB=30°，∠EAC=90°，所以∠BAC= ∠ABC=450 因为N是AF的中点，所以AN=NF.又因为∠TN 60° (2)①补全图形略 =∠ONA,所以△TNF≌△ONA,所以NT=NO,FT= ②AG=AH.理由如1下： AO.因为∠BAC=90°，AB=AC,A0⊥BC,所以A0= 因为AC=170米，所以在Rt△BAC中，AB=AG c0s609 由(1)得∠ABC=∠ACB=45°，∠ACE=45°，所以 C0,所以FT=CO.由(2)知，△BIF∽△DIC,所以 =340米，CB=AC·tan60°≈294.1米. ∠BCE=90°， ∠DFT=∠DCO. 因为四边形ACDF为矩形，BD=1O0米，所以CD= 又因为DG⊥BC,所以△BDF是等腰直角三角形， 因为DF=DC,所以△DFT≌△DCO,所以DT= AF=CB+DB=394.1米，所以在Rt△DFE中，EF= 所以BD=DF, DO,∠FDT=∠CDO, DF 因为△BAD≌△CAE,所以BD=CE,所以DF 所以∠FDT+∠FD0=∠CDO+∠FDO,即∠ODT an58°≈10625米.所以AE=AF-EF=287.85米所 CE,且DF∥CE,所以四边形CDFE是平行四边形， =∠CDF 以AE+ED≈488米，AB+DB=440米， 又因为∠BCE=90°，所以四边形CDFE是矩形， 因为∠CDF=90°，所以∠ODT=∠CDF=90°，所 所以AE+ED>AB+DB, 所以HF∥CD,所以∠GHF=∠ACB=45°，∠GFH 故走A→B→D这条路较近. =∠GDC=90°， 以ND=2T0=N0 所以△GFH是等腰直角三角形， 《圆》跟踪训练 因为∠BAC=90°，所以AG=AH. 《锐角三角函数》跟踪训练 1.C:2.4:3.(1)C,(2)B:4.62°或118°： 《相似图形》跟踪训练 1.；21:3B:42 5.(1)D,(2);6.2:7.(1)B,(2)D. 1.C;2.B;3.B:4.(6,4) 5.(1)过点B作B'E⊥AD,垂足为点E, 8.(1)正明：连接OC,因为OC=OA.所以∠OAC= 5.河宽EP是10米 在Rt△AB'E中，因为∠BAD=27°，AB'=AB= ∠OCA,因为FC=FC,所以∠FAC=∠FBC, 《相似图形》抢分演练 1m,所以m27°=器，所以BE:A8sn27。 因为∠CBF=∠BAC,所以∠FAC=∠CAB,所以 0.454m,所以BE+A0=0.454+1.7=2.154≈ ∠FAC=∠ACO,所以OC∥AD. 题号12345678 2.15(m). 因为AD⊥DE,所以OC⊥DE, 答：车后盖最高点B到地面的距离为2.15m 因为OC是半径，所以CE是⊙O的切线. 答案BDCDCBDD (2)没有危险，理由如下： =9510.4:9:11.45:12182: (2②)连接0c,因为amE-器=子.，E=4,设0C 过点C'作CF⊥BE,垂足为点F, =3a,则CE=4a,所以0E=5a, a5:% 因为∠B'AD=27°，∠B'EA=90°，所以∠AB'E= 630 阴以mB=e=号wE=号即号=0G4 OC 三、15.(1)AD=2. 因为∠AB'C'=∠ABC=123°，所以∠C'BF= 解得0C=6 (2)因为△ADE△ABC, ∠AB'C'-∠AB'E=60 因为OC⊥DE,所以∠BCE+∠OCB=90° 所以=（脱（子）产=6 在Rt△BFC中，BC'=BC=0.6m, 因为OC=OB,所以∠OCB=∠OBC,所以∠BCE+ S AABC 所以B'F=B'C'·cos60°=0.3m, ∠OBC=90°，因为AB是直径，所以∠ACB=90°，所以 因为△ADE的面积为1，所以△ABC的面积是16. 所以C'到地面的距离为2.15-0.3=1.85(m). ∠CAB+∠ABC=90°，所以∠BCE=∠CAE, 因为四边形BFED是平行四边形，所以EF∥AB. 因为1.85>1.8，所以没有危险 以△EC∽△4c期以=（子= 9 《锐角三角函数》抢分演练 又因为∠E=∠E,所以△BCE∽△CE,所以号 所以△EFC的面积为9. 器岩能所拟cE=能×4， 所以平行四边形BFED的面积为：16-9-1=6 题号12345678 因为AB=20C=12,BE=4,所以CE=64,解得 16.(1)图略.(2)(2m,2n) 答案DDCC D BBC CE=8, 17.(1)证明：因为∠BAC=90°，AD是斜边BC上的 高，所以∠ADB=90°，∠BAC=∠BDA, =8宁：0号：19：12e 所爱=爱=分所以m4c48=能=宁， 又因为∠B=∠B,所以△ABD∽△CBA, 1a4g:1445 因为AB是⊙O的直径，所以BF⊥AF,因为DE1 (2)0长为号 AD,所以DC∥FB,所以∠FBA=∠E,所以tan∠FBA= I8.过点E作EH⊥AB,垂足为H,由题意得EH 三5.（子： m∠E,阴瑞-设4=站，则B=4,航以4= FB,EF BH 1.6 m,EH FB x m, (2)1. 5k. 在Rt△AEH中，∠AEH=26.6°，所以AH=EH 16.BE=35 tan266°≈0.5x,所以AB=AH+BH=(0.5x+1.6)m,因 因为AB=12,所以女=号，所以AF=5 17.(1)点A离地面的高度A0为4km. 为CD⊥FB,AB⊥FB,所以∠CDF=∠ABF=90°，因为 因为FG⊥AB,所以∠AFG=90°-∠GFB=∠FBA 2CPD-∠AB,以△CF一△A,所是-=0，AC-8m,所oc=4c=45m (2)在Rt△AOC中，因为∠A0C=90°，∠AC0= =∠E,所以FG=AF×mE=号AP=尝AG=A =2,所以B=，所以x=05x+1.6, 所以8」 在△B0C中，因为∠B0C=90,∠BC0=45°，所×smE=子4F=g 3 以0B=0C=45km,所以AB=0B-0A=(43 解得x=64,所以AB=子=48m 4)km,所以飞船从A处到B处的平均速度=45-4 因为mLCB=mLAG=- e,所以HG= 答：该景观灯的高AB约为4.8m. 19.(1)证明：由旋转的性质得DF=DC,∠FDC=0.3(km/s). 4G=若，所以FH=FG-G=s数理极 专项提分。 53 第十五讲 相似图形 OC' 因为S△on=0.3,所以SA0m=16SAB= 4.8.所以S四边彩cDB=SAOCD-SA0=4.5.故填 ⊙安徽周礼 4.5. 第一部分 抢分前言 跟踪训练4：如图8，在直 角坐标系中，△ABC的三个顶 比例线段 比例线段：对于四条线段a,b,c,d,如果 ,那么线段a,b,c,d是成比例线 点分别为A(1,2),B(2,1), 段，简称 C(3,2),现以原点0为位以 相似图形 的图形叫做相似图形，各角对应 、各边对应 的两个多边形叫做 相似多边形.相似多边形对应角，对应边 中心，在第一象限内作与 图8 平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交， 与原三角形 △ABC的位比为2的位似图形△A'B'C',则顶 相似平行线分线段成比例定理： 相似三角形的判定 点C'的坐标是 两个三角形相似的判定定理有：①三组对应边 的两个三角形相似：②两对对 应角 的两个三角形相似：③两组对应边 的两个三角形相似， 考点5：相似三角形的应用 ①相似三角形周长的比等于」 ,相似多边形周长的比等于一；②相似三角形 相似多边形的性质 ,相似多边形面积的比等于」 ;③相似三角形对应高的比 例5如图9，数学活 对应中线的比、对应角平分线的比都等于」 动课上，为测量学校旗杆 位似 如果两个平面图形不仪是 ,而且 那么这样的两个图形叫做位似图形 高度，小菲同学在脚下水圣一点 平放置一平面镜，然后向 图9 第二部分 抢分培训 后退（保持脚、镜和旗杆底瑞在同一直线上），直 到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的 考点1：平行线分线段成比例 :△ABC相似，这样的直线最多可以画 眼晴离地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子 例1 如图1，直线AD A.5条 B.4条C.3条 D.2条 的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离为 BC交于点O,AB∥EF∥ 10m,则旗杆高度为 CD.若A0=2,OF=1,FD 解：如图10，由图可 2,则E 元的值为 知，AB⊥BD,CD⊥DE, CF⊥BD,所以∠ABC= 解：因为AB∥EF∥CD,A0=2,OF= ∠CDE=90. 所以2=品=子.所以B0=20E, 考点3：相似三角形的性质 B 因为根据镜面的反射 图10 例3 因为院=咒=宁所以Bc=20E, 如图5，已知△ABC△EDC,AC:性质，可知∠ACF=∠ECF, EC=2:3,若AB的长度为6，则DE的长度为 所以90°-∠ACF=90°-∠ECF,所以 所以-2050E=故填号 3 ( 20E A.4 B.9 ∠ACB=∠ECD,所以△MBc△EDC,所以提 跟踪训练1：如图2，MW C.12 D.13.5 = BC 是△ABC的中位线，点F在 解：因为△ABC∽△EDC,所以AC:EC= CD 线段BC上，CF=2BF,连接 AB:DE=2:3,因为AB=6,所以2：3=6：DE, 由题意知AB=1.6m,BC=2m,CD= AF交MN于点E,则下列说法 所以DE=9.故选B. 10m,所以=品解得D5=8m故填8 不正确的是 () 图2 跟踪训练3：小孔成 跟踪训练5：如图 A.起 像是光在均匀介质中沿 11,为了估算河面的宽 直线传播形成的一种物 c删-兰 -光 理现象，两千四百多年 图6 度，即EP的长，在离河 岸D点2米远的B点， 图11 前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像 考点2：相似三角形的判定 立一根长为1米的标杆AB,在河对岸的岸边有 实验的做法与成因，如图6是某次小孔成像实验 例2在综合与实践 一块高为2.5米的安全警示牌MF,警示牌的顶 课上，老师组织同学们以 的示意图，AC与BD交于点O,AB∥CD,若点O到端M在河里的倒影为点N,即PM=PN,两岸均 “矩形的折叠”为主题开 AB的距离为10cm,点0到CD的距离为15cm,蜡高出水平面1.25米，即DE=FP=1.25米，经测 烛火焰AB的高度是3©m,则蜡烛火焰倒立的像量此时A,D,N三点在同一直线上，并且点M,F, 展数学活动.有一张矩形 图3 CD的高度是 ) P,N共线，点B,D,F共线，若AB,DE,MF均垂直 纸片ABCD如图3所示，点N在边AD上，现将矩 A.2 cm 9 B.2 cm C.5em D.9 cm 于河面EP,求河宽EP是多少米？ 形折叠，折痕为BN,点A对应的点记为点M,若 点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相 考点4：位似图形 似的三角形是 例4如图7，平面直角坐 解：因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=标系中，已知点A(O,1),C(0, ∠D=∠C=90°，所以∠DNM+∠DMN=90°，4)，△OAB与△OCD位似，原 由折叠的性质可得∠BMN=∠A=90°，点O是位似中心，若△OAB 所以∠NMD+∠BMC=90°，所以∠DNM的面积为0.3，则四边形 图7 =∠BMC,所以△NDM∽△MCB.故填△MCB. :ACDB的面积为 跟踪训练2：如图4，在三边都不相等的 解：因为A(0,1),C(0,4),所以0A=1,0C △ABC的边AB上有一点D,过点D画一条直线，=4. 与三角形的另一边相交所截得的三角形与 因为△OAB∽△OCD 54 专项提分。 数理报 三、耐心解一解（共50分）》 第三部分 《相似图形》 15.(8分)如图13，在△ABC中，点D,E,F 抢分演练 分别在边AB,AC,BC上，连接DE,EF.已知四边 ©数理报社试题研究中心 形BFED是平行四边形，瓷=子 (满分：120分 时间：90分钟)】 点E,F,已知AC=4,以下 (1)若AB=8,求线段AD的长： 一、精心选一选（每小题5分，共40分） 结论错误的是 (2)若△ADE的面积为1，求平行四边形 题号123 45 678 A.CE AF BFED的面积 答案 B.若CF=FP,则EF 1.若两个相以三角形周长的比为1：4，则这 =2BE 两个三角形对应边的比是 C.EF AF-BE A.1:2B.1:4C.1:8 D.1:16 D.若AP=2BP时，∠AFB=135°. 2.如图1，△ABC与△DEF是以点O为位似 二、细心填一填（每小题5分，共30分）》 中心的位似图形，若△ABC的周长与△DEF的 图13 周长比是4：9，则0A与0D之比为 9已知号=号，那么代数式8：号的值是 a+b 16.(10分)如图14，在 A.2:3 B.1:2 C.1:3 D.4:9 10.有3个正方形如图8所示放置，阴影部分 平面直角坐标系中，△ABC 的面积依次记为S,S2,则S:S2= 三个顶点的坐标分别为 A(-2,1),B(-1,4),C(-32) (1)以原点0为位似 中心，相似比为2：1，在y轴 图1 图2 的左侧画出△ABC放大后 3.如图2，树AB在路灯O的照射下形成投影 AC,若树高AB=2m,树影AC=3m,树与路灯 的△AB,C; 图8 (2)在(1)中，若点M(m,n)为线段BC上 的水平距离AP=4.5m,则路灯的高度OP是 () 11.如图9，在△ABC中，AC=BC=16,点D任意一点，写出变化后点M的对应点M'的坐标 在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对 :为 A.3 m B.4m C.5m D,6m称点为点B',连接DB',EB',分别与AC相交于F 17.(10分)如图15，在 4.如图3，在△ABC中，点D,E分别在AB,点，G点，若AF=8,DF=7,B'F=4,则CG的长R1△ABC中，∠BAC=90°， AC边上，DE∥BC,且∠DCE=∠B.那么下列度为 AD是斜边BC上的高 图15 判断中，错误的是 12.在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了 (1)求证：△ABD∽△CBA: A.△ADE△ABCB.△ADE△ACD 个测量塔高的问题：如图10所示，AB表示塔的 (2)若AB=6,BC=10,求BD的长 C.△DEC∽△CDB D.△ADE∽△DCB 高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示 人眼到地面的高度，AB,CD,EF在同一平面内， 点A,C,E在一条水平直线上.已知AC=20米， 18.(10分)一天晚 CE=10米，CD=7米，EF=1.4米，人从点F 上，小明和爸爸带着测角 远跳塔顶B,视线恰好经过竹竿的顶端D,可求出 仪和皮尺去公园测量一景 图3 4 塔的高度.根据以上信息，塔的高度为 米 观灯（灯杆底部不可到达） 5.如图4，在口ABCD中，F是AD上一点，CF 的高AB.如图16所示，当 图16 交BD于点E,CF的延长线交BA的延长线于点 小明爸爸站在点D处时，他的影子长为DF,测得 G,EF=1,EC=3,则GF的长为 ( DF=2.4m:当小明站在爸爸影子的顶端F处 A.4 B.6 c.8 D.10 时，测得点A的仰角α为26.6°.已知爸爸的身高 6.五角星是我们中华人民共和国国旗的元 图10 图11 CD=1.8m,小明眼睛到地面的距离EF= 素，如图5是从一个五角星中分离出来的等腰三 13.如图11，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，1.6m,点F,D,B在同一条直线上，EF1FB,CD 角形ABC,已知∠A=36,BD平分∠ABC,则APAC=3,BC=1,将△ABC绕点A逆时针方向旋 ⊥FB,AB⊥FB.求该景观灯的高AB(参考数据： AC转90°，得到△AB'C',连接BB,交AC于点D,则 sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，lan266°≈0.50) 的值为 B.5-1 c.3-1 2的值为 A D. 3 14.如图12，在平面直角坐标系中，四边形 19.(12分)如图17-①，在△ABC中 A1B,B2C1,AB2B,C2,ABB,C3,ABB,C4,…,都 ∠BAC=90°，AB=AC,D是AB边上不与A,B重 是平行四边形，顶点B,B,B,B,B,…,都在x合的一个定点A01BC于点0，交CD于点E 轴上，顶点C,C2,C,C,…,都在正比例函数yDF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的， 4x(x≥0)的图象上，且B,C,=2A,C,B,C,FD,CA的延长线相交于点M (1)求证：△ADE∽△FMC； 7.如图6，正方形ABCD中，点E,G是AC的 =2AC2,BC3=2A,C3,…,连接AB2,AB3,AB4, (2)求∠ABF的度数； 三等分点，点F,H是BD的三等分点.记阴影部 AB,…,分别交射线0C,于点01,02,03,04，…，连 (3)若N是AF的中点，如图17-②.求证： 接04,043,0344，…，得到△04，B2,△04B3, ND NO. S正方形ABCD面积为，则。的值△04B4,若B,(2,0),B,(3,0),A(3,1)贝 为 ( △0An1Bn1的面积为 c A 8.如图7，P为等腰Rt△ABC的斜边AB上的 B 动点，连接CP,AF⊥CP,BE⊥CP,垂足分别为 12