第十三讲 投影与视图-【数理报】2026年中考数学高效复习

数理极 专项提分 第十三讲 投影与视图 ◎吉林刘伟业 第一部分 抢分前言 定义：太阳光线可看作是平行的，像这样的光线照射到物体上，所形成的投影即为 投影 平行投影 性质：(1)在太阳光下，不同时刻，同一物体的影子随时间的变化而变化： 投影 (2)在太阳光下，同一时刻，同一地点，垂直地面物体的影长与其物高成 定义：一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影即为 中心投影 投影，这个“点”就是 投影与视图 性质：(1)，点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在 (2)在同一灯光下，同一物体的影长随位置的变化而 定义：当我们从某一个角度观察某一物体时，所看到的图形叫做物体的一个视图，从正面得 到的视图叫做一视图，反映它的和；从上面得到的视图叫做视图，反映物体 的」 和 ;从左边得到的视图叫做 视图，反映物体的 和 视图 画法：一般地，首先确定主视图的位置，画出主视图，然后在主视图的下面画出视图，在 主视图的右边画出视图在画三视图时，主、俯视图要对正，主、左视图要平 齐，俯、左视图要 相等.其中看得见部分的轮廓线通常画成 线，看不见部分的轮廓 线通常画成」 第二部分 抢分培训 考点1：由几何体确定视图 考点3：有关三视图的计算 例1 个长方体被截去一部分后，得到的 例3如图5是一个 几何体如图1水平放置，其俯视图是 ( 机器零件的三视图，根据 标注的尺寸，这个零件的 表面积（单位：mm)是 图1 A B mm 图5 解：从上面看，该几何体的 A.24π B.21T C.20m 俯视图是矩形.故选A. D.16T 跟踪训练1：把一个水平放 解：根据三视图可知，该零件是一个圆锥，圆 置的正方体按如图2方式截去 锥的高为4mm,底面直径为6mm, 个三棱柱，则剩余部分的左视图 则底面半径为3mm,底面积为9πmm2,圆 正面 为 ( 图2 锥的母线长为√32+4？=5(mm),底面周长为 67 mm, 则侧面积为匀×6m×5=15m(mm),表面 积为9m+15π=24π(mm) 考点2：由视图确定几何体 故选A. 例2如图3是我国某一古建筑的主视图 跟踪训练3：如图6为一个 最符合视图特点的建筑物的图片是 几何体的三视图，左视图和主 视图均为矩形，俯视图为正三 角形，尺寸如图6所示，则该几 何体的全面积为 ( A.273 图6 B.12√3 2 图3 C.24 D.24+25 解：最符合视图特点的建筑物的图片是选项 考点4：由视图确定组成几何体的个数 B所示图片.故选B. 例4在一张桌子上摆放着一些碟子，从 跟踪训练2：某几何体的三视图如图4所示，3个方向看到的三种视图如图7所示，则这个桌 则该几何体为 子上的碟子共有 主视图 左视图 俯视图 图7 A.4个 B.8个 49 C.12个 D.17个 解：由三视图易得三摞碟子数分别为5,4， 3,则这个桌子上共有5+4+3=12个碟子.故选 C. 跟踪训练4：由一些大小相同的小正方体搭 成的几何体的主视图和俯视图如图8所示，则搭 成该几何体的小正方体的个数最多为（) 主视图 俯视图 图8 A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 考点5：投影 例5 如图9，球在灯泡的照 % 射下形成了影子，当球竖直向下运 动时，球的影子的大小变化是 A.越来越小 图9 B.越来越大 C.大小不变 D.不能确定 解：根据中心投影的性质，当球竖直向下运 动时，球的影子会越来越小 故选A. 跟踪训练5：如图10，是某时刻太阳光线，光 线与地面的夹角为45°.小星身高1.6米. 太阳光线 B 图10 (1)若小星正站在水平地面上A处时，那么 他的影长为多少米？ (2)若小星来到一个倾斜角为30°的坡面底 端B处，当他在坡面上至少前进多少米时，他的 影子恰好都落在坡面上（结果保留根号）？ 50 专项提分 数理极 第三部分 《投影与视图 16.(10分)如图11是两根木杆及其影子的 抢分演练 图形 (1)这个图形反映的是中心投影还是平行 ○数理报社试题研究中心 投影？ (2)请你在图中画出表示小树影长的线段 (满分：120分 时间：90分钟)】 的光源与小明的距离为2米.在小明不动的情况 AB(画出的影长加粗加，黑)： 一、精心选一选（每小题5分，共40分） 下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小 题号12 3 4 56 78 明的距离应 答案 A减少3 米 B.增加弓米 1.如图1所示的几何体的俯视图可能是 C减少号米 D.增加米 二、细心填一填（每小题5分，共30分） 图11 9.皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物 剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏 17.(10分)数学活动课上，小宇、小辉一起 剧.表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐， 测量学校升旗台上旗杆AB的高度，如图12，旗杆 具有浓厚的乡土气息.“皮影戏”中的皮影是 AB立在水平的升旗台上，小宇测得旗杆底端B 图1 (填“平行投影”或“中心投影”) 到升旗台边沿C的距离为2m,升旗台的台阶所 2.在同一时刻，两根长度不等的竿子置于阳 10.如图6是一个几何体的三视图，该几何 在的斜坡CD长为2m,坡角为30°，小辉测得旗 光之下，但它们的影长相等，那么这两根竿子的 体的体积是 杆在太阳光下的影子落在水平地面MW上的部 相对位置是 分DE的长为7m,同一时刻，小宇测得直立于水 A.两根都垂直于地面 平地面上长1.8m的标杆的影长为1.2m,请你 B.两根平行斜插在地上 帮他们求出旗杆AB的高度（结果保留一位小数， C.两根竿子不平行 视 D.一根倒在地上 参考数据：√5≈1.732) 3.下列水平放置的几何体中，主视图是圆形 的是 俯视图图6 图7 11.如图7，某数学小组的同学为了测量直 立在水平面上的旗杆AB的高度，把标杆CD直立 在同一水平地面上，在某一时刻测得旗杆和标杆 图12 R 0 在太阳光下的影长分别为BE=5m,DF= 4.下列关于投影的描述，不正确的是( 1.25m,已知B,E,F在同一直线上，AB⊥BE A.在阳光下，同一时刻同一物体的高度与 CD⊥DF,CD=2m,则AB= m. 18.(10分)如图13为一几何体的三视图. 影长的比值是一个定值 12.校园中一棵树的高度为8m,下午某一时 (1)写出这个几何体的名称： B.一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是 刻它在水平地面上形成的树影长为10m,身高 (2)画出这个几何体的侧面展开图； 平行四边形 1.6m的小亮想在树荫下乘凉，那么他最多可以离 (3)若主视图的长为8cm,俯视图中圆的半 C.物体在光线下的投影只和物体本身的大 开树干 m才可以不被阳光晒到（结果保：径为3cm,求这个几何体的表面积和体积（结果 小有关 留整数) 保留π)： D.物体在平行投影下可可以得到自己的主视图 13.如图8是某几何体的三视图，主视图和 5.小明利用一面镜子把太阳光经镜子反射 左视图都是等边三角形，依据图中信息，可求得 后，光线平行于地面照到了墙上，如图2，镜子CD 该几何体的体积是 主视图左视图 俯视图 与地面AB夹角为32°，则太阳光与地面所成角度 图13 V3 是 A.569 B.58 视图 左视图 0./4 19.(12分)物体在太阳光照射下，影子的长 1 俯视图 度与时间变化直接相关.小明在某天的 图8 图9 8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆 14.由一些大小相同的小正方体搭成的几何 12 垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时 图3 体的主视图、左视图和俯视图都是如图9所示的 间(8≤t≤16)之间近以满足二次函数关系式 6.如图3为某几何体的三视图，则该几何体 图形，则搭成该几何体的小正方体的个数为 y=a(t-12)2+c.已知该天11点时影子长度为 的侧面积是 1.31米，12点时影子长度为1.08米. A.36π B.48m C.60m D.96m 三、耐心解一解（共50分） (1)请确定a,c的值； 7.如图4，是由4个完全相同的小 15.(8分)一个零件是由长为34mm、高和 (2)如图14，太阳光线与地面之间的夹角为 正方体组成的几何体，现移动1号小 宽都为17mm的长方体与直径为34mm、高度为 0,求14点时tan0的值； 正方体，使其与剩下的三个小正方体 17mm的半圆柱组成几何体后，又切去直径为 (3)若另有一垂直于地面的旗杆长度为 至少共一个面且移动前后的几何体的 图4 17mm的圆柱后剩下的几何体，其实物直观图如 5.4米，请确定该天9点至14点间这根旗杆影子 左视图不变，则移动的方法有 图10所示，请画出这个零件的三视图， 长度m的范围， A.1种B.2种 C.3种 D.4种 太阳光线 8.手影游戏利用的物 直杆 理原理是：光是沿直线传 地面 播的.图5中小狗手影就 34 图14 是我们小时候常玩的游 图5 (单位：mm 戏在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着 图1038 参考答案 数理极 10.3:11.以点E为圆心，EF长为半径画弧： 《投影与视图》抢分演练 言解得B-号。 12.①②④→③或②③④-→①：13.2： 因为BC=AD=2a,所以BF=2BC, 142T 题号12345678 三、15.如图10，点M即为所求 答案CCCCCCC A 所以点F为BC的中点， (2)∠AGH=120°，理由如下： 二、9.中心投影；10.4r;11.8;12.8: 连接HF,由折叠的性质可知∠GBH=∠FBH,BF 13.5；144 HF,所以∠FBH=∠FHB, 所以∠GBH=∠BHF,所以BD∥HF 三、15.三视图略 所以∠DGH=∠GHF, 16.(1)是中心投影 由(I)知AF⊥BD,所以AF⊥HF,所以∠ACD=90 (2)略. 17.延长AB交MN于点H,过C作CG⊥MN于点G, 设AB=a,则AD=Ea=BC,BP=F=吾，BG 10 所以四边形BHGC是矩形，所以HG=BC=2m,∠CGD 16.(1)如图11. =90°，BH=CG, 3,所以cF= (2)证明：因为OP平分∠AOB,所以∠AOP= 6, 因为∠CDG=30°，CD=2m, ∠BOP, 在△6m中，m2G=张=. 由作图可知CD∥OA,所以∠AOP=∠OCD,所以 所以cG=2CD=1m,DG=万m, ∠OCD=∠BOP,所以OD=CD. 所以∠GHF=30°，所以∠DGH=30°， 所以HE=HG+GD+DE=(9+3)m 17.(1)连接AC,因为四边形ABCD是菱形，所以 所以∠AGH=∠AGD+∠DGH=120° 因为同一时刻，物高和影长成正比， ACE=∠ACF,因为CE=CF,AC=AC,所以△ACE≌ 2.(1)BG=2CE. △ACF,所以AE=AF (2)成立，理由如下： (2)命题“若AE=AF,则CE=CF"是假命题，作图 过点E在AC右侧作EM⊥EC且使EM=EC,连接 27+35 格 2 m AM.CM. 18.(1)图12-①所示，点E就是所求作的符合条 因为∠DAE=∠AEM=90°，所以AD∥EM 件的点， 所以AB=AH-BH=27+35-1=15.1(m. 因为AC=AB,BD=AE,所以AD=CE 答：旗杆AB的高度为15.1m. 所以AD=EM. 18.(1)这个几何体的名称是圆柱体 所以四边形ADEM为平行四边形， (2)图略. 所以AM∥DE. (3)这个几何体的表面积是66mcm2,体积是 由AG⊥DE,可得AG⊥AM,所以∠CAM=∠BAG 90°-∠CAG. 72w cm'. 因为EM⊥EC且EM=EC,所以CM=ECE, 图12 19.(1)a=0.23,c=1.08. (2)如图12-②所示，点F就是所求作的符合条件 (2)由(1)得函数表达式为y=0.23(t-12)2+ 所以∠ACM=∠ABG=45°， 的点 1.08(8≤t≤16)，把t=14代入y=0.23(1-12)2+ 因为AC=AB,所以△ACM兰△ABG, 所以BG=CM=2CE. (3)如图12-③所示，点G就是所求作的符合条件 1.03得y=2,则am0=27=1.35 的点 (3)8c的长为9 (3)对于函数y=0.23(t-12)2+1.08(9≤t≤ 19.(1)如图13，菱形BMEV即为所求（答案不谁一 14) 点M,N可以对调位置) 因为a=0.23>0,所以当t=12时，y取得最小值 《命题与尺规作图》跟踪训练 此时y=0.23(12-12)2+1.08=1.08, 1.5 当t=9时，y取得最大值，此时y=0.23(9-12)2+ 2.(1)如图9所示，MW即为 1.08=3.15, 所求. (2)证明：因为四边形ABCD 因为：2所以号-等=片 是平行四边形，所以AD∥BC,所 所以m的取值范用为2.16≤m≤6.3. 以∠CAE=∠ACF 《图形的变换》跟踪训练 设EF与AC交于点O,因为Ef 图9 是AC的垂直平分线，所以AO= 图1 1.C;2.B:3.B. OC,EF⊥AC, (2)如图14，菱形BEPQ即为所求 4.(1)如图16所示，线段BF和点G即为所作. 因为∠AOE=∠COF,所以△AOE≌△COF,所以 OE=OF,所以四边形AFCE为平行四边形，因为EF AC,所以四边形AFCE为菱形 3.A 4.(1)①，③或④：②，③或④：③，①或②或④ (2)条件是①，结论是③或④. 图16 图17 证明：因为∠BAD=∠C,∠B=∠B,所以△ABD∽ 《投影与视图》跟踪训练 (2)如图17所示，点N与点H即为所作 △c所发-船品-能以=D:C 1.D:2.B:3.D:4.A 《图形的变换》抢分演练 条件是②，结论是③或④： 5.(1)小星在A处的影子为1.6米 证明：因为∠ADB=∠CAB,∠B=∠B,所以△ABD (2)如图15，因为 太阳光线 一△C,肌光-铝岩-品所以4=BD-BC ∠FBG=30°，设FG= D 题号2345678 x米，则BF=2x米，所以 答案CBBBBAAD 条件是③，结论是①或②或④： BG=3x米，所以EG=CA 二、9.1：10.4：1L.18；12.2+6:13.n-1: 证明：因为AB=BD,BC,所以瓷=船，因为∠B EF+FG=(x+⊥.6)米， 图15 14.90°或270°或180°. 在Rt△EBG中，∠EBG=45°，所以BG=EG, 三、15.(1)图略.(2)图略.(3)13 =∠B,所以△ABD∽△CBA, 所∠B4D=∠c,A0B=Lc,岩= AB 所以元=1.6+，解得=号（万+1 16.(1)图略. (2)8. 所以小星在斜坡上的影子为BF=2×号（万+1） 17.(1)图略.(2)图略.(3)(m-4,-n) 《命题与尺规作图》抢分演练 8(5+山（米）. 18.延长BF交CD于点H,连接EH. 5 因为四边形ABCD是正方形， 题号12345678 答：当他在坡面上至少前进8(5，+山米时，他的影 所以AB∥CD,∠D=∠DAB=90°，AD=CD=AB 答案CBACCC BD =1,所以AC=AD2+CD=2. 二、9.两个底角相等的三角形是等腰三角形： 子恰好都落在坡面上 由翻折的性质可知，AE=EF,∠EAB=∠EFB=